DASAR TEOR
2.9 Fuzzy C-Means
Konsep dari himpunan fuzzy sejalan dengan himpunan tegas, hanya saja derajat atau tingkat keanggotaan dari himpunan fuzzy tersebut bersifat kontinu dimana nilainya dalam interval [0,1]. Dimisalkan didefinisikan suatu himpunan Z yang anggotanya dapat dilambangkan dengan u. Suatu himpunan fuzzy Adalam Z yang didefinisikan dengan { , | }� � � � � = ∈, � � adalah fungsi 36 keanggotaan untuk himpunan fuzzy A. Dimana fungsi keanggotaan akan memetakan setiap elemen dari Z ke derajat keanggotaan antara 0 dan 1. Semakin nilai fungsi keanggotaan mendekati satu, akan semakin tinggi derajat atau tingkat keanggotaan z dalam A. Himpunan fuzzy dalam pengelompokan berperan dalam pembentukan fungsi dan tingkat keanggotaan dari setiap objek dalam kelompok.
Clustering atau klasterisasi merupakan proses membagi data dalam suatu himpunan ke dalam beberapa kelompok yang kesamaan datanya dalam suatu
41 kelompok lebih besar daripada kesamaan data tersebut dengan data dalam kelompok lain (Kusrini, 2009).
Klastering dapat diterapkan ke dalam data yang kuantitatif (numerik), kualitatif dan kategorikal atau kombinasi dari keduanya. Data dapat merupakan hasil pengamatan dari suatu proses. Setiap pengamatan dapat memiliki n variabel pengukuran dan dikelompokkan dalam n dimensi vektor :
= [ , … . , … . ] , � (2.37) Sebuah himpunan dari N pengamatan dinotasikan dengan :
= | = , , … . , … . , (2.38) Dan direpresentasikan sebagai matrik n x N
= ( ��
� � � ⋮)
(2.39)
Dalam pengenalan pola, kolom dalam matriks disebut patterns atau objek, baris disebut features atau attribute. Arti kolom dan baris dalam Z tergantung pada konteks pembahasan.
Klaster secara umum merupakan wujud himpunan bagian dari suatu himpunan data dan metode klastering dapat diklasifikasikan berdasarkan himpunan bagian yang dihasilkan, apakah fuzzy atau crips hard (Kusrini, 2009). Dalam metode fuzzy clustering level keanggotaan data dalam suatu kelompok bukan hanya 0 atau 1, dapat tetapi memiliki nilai antara 0 dan 1. Nilai level keanggotaan dalam setiap kolom matriks selalu berjumlah 1. Fuzzy clustering adalah salah satu teknik
42 untuk menentukan cluster optimal dalam suatu ruang vektor yang didasarkan pada bentuk normal euclidean distance vektor.
Fuzzy C-Means adalah suatu teknik pengklasteran data yang mana keberadaan tiap-tiap titik data dalam suatu klaster ditentukan oleh derajat keanggotaan. Teknik ini pertama kali diperkenalkan oleh Jim Bezdek pada tahun 1981. Konsep dasar Fuzzy C-Means pertama kali adalah menentukan pusat klaster yang akan menandai lokasi rata-rata untuk tiap-tiap klaster. Pada kondisi awal, pusat klaster ini masih belum akurat. Setiap titik data memiliki derajat keanggotaan untuk setiap klaster. Dengan cara memperbaiki pusat klaster dan derajat keanggotaan setiap titik data secara berulang, maka akan dapat dilihat bahwa pusat klaster akan bergerak menuju lokasi yang tepat. Perulangan ini didasarkan pada minimalisasi fungsi objektif yang menggambarkan jarak dari titik data yang diberikan ke pusat klaster yang terbobot oleh derajat keanggotaan titik data tersebut.
Output dari Fuzzy C-Means bukan merupakan fuzzy inference sistem, melainkan merupakan deretan pusat klaster dan beberapa derajat keanggotaan untuk tiap-tiap titik data. Informasi ini dapat digunakan untuk membangun suatu
fuzzy inference sistem. Algoritma Fuzzy C-Means dapat diuraikan sebagai berikut. 1. Input data yang akan diklaster, X, berupa matriks berukuran n x m (n = jumlah
sampel data, m = attribut setiap data), dimana � = data sampel ke-i (i = 1,2,....,n), attribut ke-j (j = 1,2,....,m)
2. Tentukan :
a. Jumlah cluster = c
43 c. Maksimum iterasi = MaxIter
d. Error terkecil yang diharapkan = � e. Fungsi objectif awal = P0 = 0
f. Iterasi awal = t = 1
3. Bangkitkan bilangan random � , i = 1,2,....,n; k = 1,2,....,c; sebagai elemen- elemen matriks partisi awal U.
Hitung jumlah setiap kolom :
� = ∑
�=�
(2.40)Dengan j = 1,2,....,n
Hitung :
� =
��
4. Hitung pusat cluster ke-k, � , dengan k = 1,2,....,c; dan j = 1,2,....,m.
� =
∑= (��)∗�∑= �� (2.41)
5. Hitung fungsi obyektif pada iterasi ke-t, Pt
= ∑= ∑�= ∑ (� − � )= �� (2.42)
6. Hitung perubahan matriks partisi
� =
∑ = (� −� ) − �− ∑ ∑= (� −� ) − �− � = (2.43)7. Cek kondisi berhenti :
44 Jika tidak: t = t + 1, ulangi langkah ke-4
Gambar 2.8 Ilustrasi penentuan pusat klaster dengan Fuzzy C-Means
2.10 Optimalisasi
2.10.1 Definisi Optimalisasi
Optimalisasi adalah tindakan untuk memperoleh hasil yang terbaik dengan keadaan yang diberikan. Dalam desain, konstruksi, dan pemeliharaan dari sistem teknik, harus diambil beberapa teknologi dan keputusan managerial dalam beberapa tahap. Tujuan akhir dari semua keputusan seperti itu adalah meminimalkan upaya yang diperlukan atau untuk memaksimalkan manfaat yang diinginkan. Mengacu pada pendapat Singiresu S Rao, John Wiley dan Sons optimalisasi juga dapat didefinisikan sebagai proses untuk mendapatkan keadaan yang memberikan nilai maksimum atau minimum dari suatu fungsi (Rao, S. S., 2009). Hal ini dapat dilihat dari gambar 2.1, bahwa jika titik x* berkaitan dengan nilai minimum fungsi f(x), titik yang sama juga berkaitan dengan nilai maksimum dari negatif fungsi tersebut –f(x). Tanpa menghilangkan keumumannya, optimasi dapat diartikan
45 meminimalkan, karena maksimum suatu fungsi dapat diperoleh melalui minimum dari negatif fungsi yang sama.
8
Gambar 2. 9 Minimum dari f(x) sama dengan Maksimum dari –f(x) (Rao, S. S., 2009)
2.10.2 Metode Optimalisasi
Metode mencari optimum dikenal sebagai teknik mathematical programming dan biasa dipelajari sebagai bagian riset operasi. Riset operasi adalah cabang matematika yang berkaitan dengan penerapan metode ilmiah dan teknik pengambilan keputusan dan penetapan penyelesaian terbaik atau optimal. Pada awal dari subyek riset operasi dapat ditelusuri pada periode awal Perang Dunia II, selama perang, militer inggris menghadapi masalah mengalokasikan sumber daya yang sangat langka dan terbatas (seperti pesawat tempur, radar, dan kapal selam) untuk beberapa kegiatan (penyebaran ke berbagai target dan tujuan). Karena tidak ada metode sistematis yang tersedia untuk memecahkan masalah alokasi sumber
46 daya, militer diatas (tim matematikawan) mengembangkan metode untuk memecahkan masalah secara ilmiah. Metode yang dikembangkan oleh tim berperan penting dalam memenangkan pertempuran udara oleh inggris. Metode tersebut seperti program linier, yang dikembangkan sebagai hasil riset pada militer.
Perkembangan metode optimalisasi semakin mengalami kemajuan hingga masa modern, hal ini dapat dilihat dengan semakin banyak metode optimasi yang ditemukan dan dapat menghasilkan solusi yang semakin optimal. Metode optimasi yang popular dan banyak dipakai antara lain seperti Dynamic Programming, Integer Programming, Game Theory, dan metode optimasi modern. Metode optimasi modern juga disebut metode optimasi non-tradisional, muncul sebagai metode yang ampuh dan popular untuk menyelesaikan masalah teknik optimasi yang kompleks. Metode yang termasuk seperti algoritma genetik, optimasi partikel swarm, optimasi koloni semut, optimasi berbasis jaringan syaraf tiruan, optimasi fuzzy, dan simulated annealing (Rao, S. S., 2009).