Gabungan dua Graf Sun

F. Metode Penelitian

3.1 Gabungan dua Graf Sun

Parestu, Silaban dan Sugeng (2009) mendefinisikan graf sun (𝑆_𝑛) sebagai graf yang dibentuk oleh graf sikel 𝐶_𝑛 berorder 𝑛 dengan tambahan 𝑛 sisi yang terhubung pada setiap titik yang terdapat pada sikel dan 𝑛 titik diluar sikel. Graf sun memiliki himpunan titik dan himpunan sisi sebagai berikut:

𝑉(𝑆_𝑛) = {𝑣_𝑖 ∶ 1 ≤ 𝑖 ≤ 2𝑛} dengan 𝑣_𝑖 adalah titik ke-𝑖 pada graf 𝑆_𝑛

𝐸(𝑆_𝑛) = {𝑒_𝑖 = (𝑣_𝑗𝑣_𝑘) ∶ 𝑣_𝑗, 𝑣_𝑘 ∈ 𝑉, 1 ≤ 𝑖 ≤ 2𝑛} dengan 𝑒_𝑖 adalah sisi ke-𝑖 pada graf 𝑆_𝑛

Graf sun (𝑆_𝑛) memiliki 2𝑛 buah titik (|𝑉| = 2𝑛) dan 2𝑛 buah sisi (|𝐸| = 2𝑛) dengan |𝑉| merupakan banyaknya titik dan |𝐸| merupakan banyaknya sisi. Pada penelitian lain, graf sun sering disebut sebagai graf sikel 𝐶_𝑛 dengan tambahan 𝑛 anting atau graf mahkota. Namun pada penelitian ini akan disebut sebagai graf sun (𝑆_𝑛).

Gabungan dua graf sun adalah gabungan dari dua graf sun yang tak terhubung dan tak berarah yang dilambangkan dengan S_m∪ S_n. Gabungan dua graf sun merupakan himpunan bagian dari gabungan graf sun (𝑆_𝑛1 ∪ 𝑆_𝑛2 ∪ … ∪ 𝑆_𝑛𝑡) Gabungan dua graf sun (S_m∪ S_n) memiliki 2(𝑚 + 𝑛) buah titik (|𝑉| = 2(𝑚 + 𝑛)) dan 2(𝑚 + 𝑛) buah sisi (|𝐸| = 2(𝑚 + 𝑛)) dengan |𝑉| merupakan banyaknya titik dan |𝐸| merupakan banyaknya sisi. Gabungan dua graf sun (S_m∪ S_n) memiliki himpunan titik dan sisi sebagai berikut :

𝑉(S_m∪ S_n) = {𝑣_𝑖¹ ∶ 1 ≤ 𝑖 ≤ 2𝑚} ∪ {𝑣_𝑗² ∶ 1 ≤ 𝑗 ≤ 2𝑛}

dengan 𝑣_𝑖¹ merupakan titik ke-𝑖 pada graf ke-1, 𝑣_𝑗² merupakan titik ke-𝑗 pada graf ke-2

𝐸(S_m∪ S_n) = {𝑒_𝑖 = (𝑣_𝑘𝑣_𝑙) ∶ 𝑣_𝑘, 𝑣_𝑙 ∈ 𝑉, 1 ≤ 𝑖 ≤ 2𝑚} ∪ {𝑒_𝑗 = (𝑣_𝑝𝑣_𝑞) ∶

Dengan himpunan titik dan himpunan sisi sebagai berikut :

𝑉(S₄∪ S₄) = {𝑣₄¹, 𝑣₁¹, 𝑣₂¹, 𝑣₃¹, 𝑣₅¹, 𝑣₆¹, 𝑣₇¹, 𝑣₈¹} ∪ {𝑣₄², 𝑣₁², 𝑣₂², 𝑣₃², 𝑣₆², 𝑣₅², 𝑣₇², 𝑣₈²}

{(𝑣₁𝑣₂), (𝑣₂𝑣₃), (𝑣₃𝑣₄), (𝑣₆𝑣₇), (𝑣₇𝑣₈), (𝑣₃𝑣₆), (𝑣₂𝑣₇)}

Demikian salah satu contoh dari gabungan dua graf sun, dengan 𝑚 = 4 dan 𝑛 = 4. Gabungan dua graf sun yang digunakan dalam penelitian ini adalah gabungan dua graf sun (S_m∪ S_n) dengan 𝑚, 𝑛 ≥ 3 dan 𝑚, 𝑛 bilangan bulat.

3.2 Pelabelan Total Tak-Ajaib Titik Kuat (𝒂, 𝒅) pada Graf Sun

Reni (2019) telah membuktikan keberlakuan pelabelan total tak-ajaib titik kuat (𝑎, 𝑑) atau (𝑎, 𝑑) − Super Vertex Antimagic Total Labeling ((𝑎, 𝑑) − 𝑆𝑉𝐴𝑇𝐿) pada graf sun, berikut ini akan diberikan beberapa teorema yang telah ditemukan:

Teorema 3.1 (Reni, 2019)

Graf sun (𝑆_𝑛) memiliki pelabelan total tak ajaib titik kuat (4𝑛 + 2,1) untuk 𝑛 ≥ 3.

Berikut ini akan diberikan salah satu contoh pelabelan total tak ajaib titik kuat (4𝑛 + 2,1) pada graf sun (S₃)

Gambar 3.3 Pelabelan total tak ajaib titik kuat (14,1) pada graf 𝑆3

Teorema 3.2 (Reni, 2019)

Graf sun (𝑆_𝑛) memiliki pelabelan total tak ajaib titik kuat (2𝑛 + 3,3) untuk 𝑛 ≥ 3.

Berikut ini akan diberikan salah satu contoh pelabelan total tak ajaib titik kuat (2𝑛 + 3,3) pada graf sun (𝑆₃).

2 12

9 1

8 6 10

3

5

7 4

11

Gambar 3.4 Pelabelan total tak ajaib titik kuat (9,3) pada graf 𝑆₃

3.3 Pelabelan Total Tak-Ajaib Titik pada Gabungan Graf Sun

Parestu, Silaban dan Sugeng (2009) juga telah membuktikan keberlakuan pelabelan total tak ajaib titik pada union of the sun atau gabungan graf sun.

Gabungan graf sun adalah gabungan dari 𝑡 graf sun yang tak terhubung dan tak berarah yang dilambangkan dengan S_n1 ∪ S_n2 ∪ … ∪ S_nt. Berikut ini merupakan beberapa teorema yang berkaitan dengan pelabelan total tak ajaib titik (𝑎, 𝑑) atau (𝑎, 𝑑) −Vertex Antimagic Total Labeling ((𝑎, 𝑑) −VATL) pada gabungan graf sun :

Teorema 3.3 (Parestu, Silaban dan Sugeng, 2009)

Gabungan t graf sun 𝑆_𝑛1∪ 𝑆_𝑛2 ∪ … ∪ 𝑆_𝑛𝑡 memiliki (4 ∑^𝑡_𝑘=1𝑛_𝑘+ 2,1)

Teorema 3.4 (Parestu, Silaban dan Sugeng, 2009)

Gabungan 𝑡 graf sun 𝑆_𝑛1∪ 𝑆_𝑛2∪ … ∪ 𝑆_𝑛𝑡 memiliki (4 ∑^𝑡_𝑘=1𝑛_𝑘+ 3,2) − 𝑉𝐴𝑇𝐿 untuk 𝑛_𝑗 ≥ 3 dan 𝑡 ≥ 1.

Teorema 3.5 (Parestu, Silaban dan Sugeng, 2009)

Gabungan 𝑡 graf sun S_n1∪ S_n2 ∪ … ∪ S_nt memiliki (4 ∑^𝑡_𝑘=1𝑛_𝑘+ 3,3) − 𝑉𝐴𝑇𝐿 untuk setiap bilangan ganjil 𝑛_𝑗 ≥ 3 dan 𝑡 ≥ 1.

Teorema 3.6 (Parestu, Silaban dan Sugeng, 2009)

Gabungan 𝑡 graf sun 𝑆_𝑛1∪ 𝑆_𝑛2∪ … ∪ 𝑆_𝑛𝑡 memiliki (4 ∑^𝑡_𝑘=1𝑛_𝑘+ 3,4) − 𝑉𝐴𝑇𝐿 untuk 𝑛_𝑗 ≥ 3 dan 𝑡 ≥ 1.

Teorema 3.7 (Parestu, Silaban dan Sugeng, 2009)

Gabungan 𝑡 graf sun 𝑆_𝑛1∪ 𝑆_𝑛2∪ … ∪ 𝑆_𝑛𝑡 memiliki (5,6) − 𝑉𝐴𝑇𝐿 untuk setiap bilangan ganjil 𝑛_𝑗 ≥ 3 dan 𝑡 ≥ 1.

3.4 Pelabelan Total Tak-Ajaib Sisi Kuat (𝒂, 𝒅) pada Graf Sun

Ullah, Ali, Ali dan Semaničová-Feňovčíková (2013) membuktikan keberlakuan pelabelan total tak-ajaib sisi kuat (𝑎, 𝑑) atau (𝑎, 𝑑) − Super Edge Antimagic Total Labeling ((𝑎, 𝑑) − 𝑆𝐸𝐴𝑇𝐿) pada graf sun, berikut ini akan diberikan teorema yang telah ditemukan:

Teorema 3.8 (Ullah, Ali, Ali dan Semaničová-Feňovčíková, 2013)

Untuk setiap bilangan bulat positif ganjil 𝑛 dengan 𝑛 ≥ 4 , berlaku pelabelan total tak-ajaib sisi kuat (4𝑛 + 2,1) pada graf sun (𝑆_𝑛).

Berikut ini akan diberikan salah satu contoh pelabelan total tak-ajaib sisi kuat (4𝑛 + 2,1) pada graf sun 𝑆₄

Gambar 3.6 Pelabelan total tak ajaib titik kuat (18,1) pada graf 𝑆4 11

BAB IV

PELABELAN TOTAL TAK-AJAIB SISI KUAT (𝒂, 𝒅) PADA GABUNGAN DUA GRAF SUN (𝐒_𝐦∪ 𝐒_𝐧)

Hasil dari penelitian ini dibagi menjadi dua bagian, yaitu perhitungan dasar tentang pelabelan total tak ajaib sisi kuat dan keterberlakuan (𝑎, 𝑑) pelabelan total tak ajaib sisi kuat pada gabungan dua graf sun (S_m∪ S_n). Dua bagian ini akan dibagi lagi menjadi beberapa bagian yang akan dijelaskan disetiap bagiannya.

4.1 Perhitungan Dasar Pelabelan Total Tak Ajaib Sisi Kuat

Perhitungan dasar pelabelan total tak ajaib titik dibagi menjadi beberapa bagian. Bagian pertama adalah mencari jumlah semua label. Kedua yakni mencari jumlah bobot titik. Bagian ketiga adalah mencari batasan bobot titik terkecil dan terbesar. Keempat mencari nilai beda d. Kelima yakni mencari batasan nilai bobot titik terkecil a. Dan yang terakhir adalah mencari nilai bobot terkecil a.

1. Jumlah Semua Label

Menurut definisi 2.25 pelabelan total tak ajaib sisi adalah suatu pemetaan bijektif dari setiap titik dan sisi ke bilangan bulat positif mulai dari satu hingga jumlah total titik dan sisi 𝑓 ∶ 𝑉 ⋃ 𝐸 → 𝐴 = {1,2, … , 𝑝 + 𝑞} dimana |𝑉| = 𝑝 adalah banyaknya titik dan |𝐸| = 𝑞 yang merupakan banyaknya sisi. Diberikan 𝑠_𝑣 yang merupakan jumlah semua label titik dan 𝑠_𝑒 yang merupakan jumlah semua label sisi pada graf S_m∪ S_n yang memiliki |𝑉| = 2(𝑚 + 𝑛) dan |𝐸| = 2(𝑚 + 𝑛). Selanjutnya akan dicari hasil penjumlahan dari jumlah semua label titik dan jumlah semua label sisi (𝑠_𝑣+ 𝑠_𝑒). Berikut ini adalah penjelasan mengenai hasil penjumlahan dari jumlah semua label titik dan jumlah semua label sisi (𝑠_𝑣+ 𝑠_𝑒):

𝑠_𝑣+ 𝑠_𝑒 = 1 + 2 + ⋯ + (|𝑉| + |𝐸|)

= 1 + 2 + ⋯ + 2(𝑚 + 𝑛) + 2(𝑚 + 𝑛)

= 1 + 2 + ⋯ + 4(𝑚 + 𝑛)

= ^4(𝑚+𝑛)

2 (2(1) + (4(𝑚 + 𝑛) − 1)1)

= 2(𝑚 + 𝑛)(2 + 4(𝑚 + 𝑛) − 1) 𝑠_𝑣+ 𝑠_𝑒 = (4(𝑚 + 𝑛) + 1)2(𝑚 + 𝑛) (4.1)

2. Jumlah Bobot Titik

Pada definisi 2.27 disebutkan bahwa 𝑓 merupakan suatu pemetaan bijektif dimana 𝑓: V ⋃ E → A dengan A = {1,2, … , |𝑉| + |𝐸|}. Fungsi 𝑓 disebut pelabelan total tak ajaib sisi (𝑎, 𝑑) dari graf 𝐺 = (𝑉, 𝐸) jika bobot dari semua sisi berbeda dan membentuk suatu barisan aritmatika naik 𝑊 = {𝑤(𝑣_𝑖𝑣_𝑗)|(𝑣_𝑖𝑣_𝑗) ∈ 𝐸} = {𝑎, 𝑎 + 𝑑, … , (|𝐸| − 1)𝑑} untuk 𝑎 dan 𝑑 bilangan bulat positif, akibatnya jumlah semua bobot titiknya (𝑠_𝑤) adalah:

𝑠_𝑤 = 𝑎 + (𝑎 + 𝑑) + (𝑎 + 2𝑑) + ⋯ + (𝑎 + (2(𝑚 + 𝑛) − 1)𝑑)

= 2(𝑚 + 𝑛)𝑎 + (𝑑 + 2𝑑 + ⋯ + (2(𝑚 + 𝑛) − 1)𝑑)

= 2(𝑚 + 𝑛)𝑎 + (1 + 2 + ⋯ + (2(𝑚 + 𝑛) − 1))𝑑

= 2(𝑚 + 𝑛)𝑎 +^{(2(𝑚+𝑛)−1)}

2 (2(1) + ((2(𝑚 + 𝑛) − 1) − 1)1)𝑑

= 2(𝑚 + 𝑛)𝑎 +^{(2(𝑚+𝑛)−1)}

2 (2 + (2(𝑚 + 𝑛) − 2))𝑑

= 2(𝑚 + 𝑛)𝑎 +^{(2(𝑚+𝑛)−1)}

2 (2(𝑚 + 𝑛))𝑑

= 2(𝑚 + 𝑛) (𝑎 +^{(2(𝑚+𝑛)−1)}

2 𝑑) (4.2)

Berdasarkan definisi 2.23 pada pelabelan total tak ajaib sisi berlaku : 𝑤(𝑣_𝑖𝑣_𝑗) = 𝑓(𝑣_𝑖) + 𝑓(𝑣_𝑖𝑣_𝑗) + 𝑓(𝑣_𝑗)

Artinya bobot suatu sisi ditentukan dengan menjumlahkan label sisi tersebut dengan label titik yang adjacent dengan sisi tersebut, akibatnya jumlah bobot semua sisi (𝑠_𝑤) sama dengan menjumlahkan jumlah seluruh label sisi (𝑠_𝑒) dan dua kali jumlah seluruh label titik (𝑠_𝑣), sehingga : 𝑠_𝑤 = 2𝑠_𝑣+ 𝑠_𝑒

𝑠_𝑤 = 𝑠_𝑣+ (𝑠_𝑣+ 𝑠_𝑒) (4.3)

Substitusikan persamaan (4.1) dan (4.2) ke persamaan (4.3), menjadi 2(𝑚 + 𝑛) (𝑎 +^{(2(𝑚+𝑛)−1)}

2 𝑑) = 𝑠_𝑣+ (4(𝑚 + 𝑛) + 1)2(𝑚 + 𝑛) (4.4) Definisi 2.29 tentang pelabelan kuat, menyatakan bahwa label-label untuk titiknya adalah {1,2, … ,2(𝑚 + 𝑛)} dan label untuk sisinya adalah

{2(𝑚 + 𝑛) + 1,2(𝑚 + 𝑛) + 2, … ,4(𝑚 + 𝑛)} . Maka dari itu persamaan

3. Batasan Bobot Sisi Terkecil dan Terbesar

Pada pelabelan total, bobot sisi dihitung dari bobot sisi tersebut ditambahkan dengan bobot titik yang adjacent dengan sisi itu, sehingga bobot terkecil dapat dicari dengan mengambil sisi yang bersisian dengan titik yang memiliki bobot paling kecil. Pada pelabelan total tak ajaib sisi kuat, label pada titik terdiri dari bilangan bulat positif dari 1 sampai |𝑉|, maka batasan bobot sisi terkecil diambil bilangan 2 label titik terkecil dan 1 label sisi terkecil, sehingga:

𝑎 ≥ 𝑏𝑜𝑏𝑜𝑡 𝑠𝑖𝑠𝑖 𝑡𝑒𝑟𝑘𝑒𝑐𝑖𝑙 𝑎 ≥ 1 + 2 + 2(𝑚 + 𝑛) + 1 𝑎 ≥ 2(𝑚 + 𝑛) + 4

Jika mencari bobot terkecil menggunakan titik dengan sisi yang memiliki bobot paliang kecil maka untuk mencari batasan bobot terbesar dapat digunakan sisi dan titik dengan bobot paling besar. Sehingga bobot sisi tersbesar dapat dicari dengan cara berikut ini :

𝑎 + (2(𝑚 + 𝑛) − 1)𝑑 ≤ 𝑏𝑜𝑏𝑜𝑡 𝑡𝑖𝑡𝑖𝑘 𝑡𝑒𝑟𝑏𝑒𝑠𝑎𝑟

𝑎 + (2(𝑚 + 𝑛) − 1)𝑑 ≤ 2(𝑚 + 𝑛) + 2(𝑚 + 𝑛) − 1 + 4(𝑚 + 𝑛) 𝑎 + (2(𝑚 + 𝑛) − 1)𝑑 ≤ 8(𝑚 + 𝑛) − 1

𝑎 ≤ 8(𝑚 + 𝑛) − 1 − (2(𝑚 + 𝑛) − 1)𝑑 4. Batasan Nilai Beda 𝒅

Batasan nilai beda (𝑑) dapat dicari dengan mensubstitusikan nilai terkecil 𝑎, yaitu 𝑎 =10(𝑚+𝑛)+3−(2(𝑚+𝑛)−1)𝑑

2 ke batasan bobot, sehingga didapatkan pertidaksamaan sebagai berikut :

𝑎 ≥ 2(𝑚 + 𝑛) + 4 10(𝑚 + 𝑛) + 3 − (2(𝑚 + 𝑛) − 1)𝑑

2 ≥ 2(𝑚 + 𝑛) + 4

10(𝑚 + 𝑛) + 3 − (2(𝑚 + 𝑛) − 1)𝑑 ≥ 4(𝑚 + 𝑛) + 8

−(2(𝑚 + 𝑛) − 1)𝑑 ≥ 4(𝑚 + 𝑛) + 8 − 10(𝑚 + 𝑛) − 3

−(2(𝑚 + 𝑛) − 1)𝑑 ≥ −6(𝑚 + 𝑛) + 5 𝑑 ≤−6(𝑚 + 𝑛) + 5

−2(𝑚 + 𝑛) + 1 𝑑 ≤ 3

Dari pertidaksamaan diatas, didapatkan nilai 𝑑 ≤ 3, atau dapat dituliskan kemungkinan nilai 𝑑 adalah 1, 2 atau 3.

5. Batasan Nilai Bobot 𝒂

Pada bagian ini akan dicari batasan nilai 𝑎 pada 𝑑 ≤ 3 dengan menggunakan batasan bobot titik terbesar

a. Untuk 𝑑 = 1, maka batasan terbesar nilai 𝑎 adalah 𝑎 ≤ 8(𝑚 + 𝑛) − 1 − (2(𝑚 + 𝑛) − 1)𝑑

𝑎 ≤ 8(𝑚 + 𝑛) − 1 − 2(𝑚 + 𝑛) + 1 𝑎 ≤ 6(𝑚 + 𝑛)

Jadi batasan untuk nilai 𝑎 agar dapat dilakukan pelabelan yaitu

2(𝑚 + 𝑛) + 4 ≤ 𝑎 ≤ 6(𝑚 + 𝑛)

b. Untuk 𝑑 = 2, maka batasan terbesar nilai 𝑎 adalah 𝑎 ≤ 8(𝑚 + 𝑛) − 1 − (2(𝑚 + 𝑛) − 1)𝑑 𝑎 ≤ 8(𝑚 + 𝑛) − 1 − (2(𝑚 + 𝑛) − 1)2 𝑎 ≤ 8(𝑚 + 𝑛) − 1 − 4(𝑚 + 𝑛) + 2 𝑎 ≤ 4(𝑚 + 𝑛) + 1

Jadi batasan untuk nilai 𝑎 agar dapat dilakukan pelabelan yaitu 2(𝑚 + 𝑛) + 4 ≤ 𝑎 ≤ 4(𝑚 + 𝑛) + 1

c. Untuk 𝑑 = 3, maka batasan terbesar nilai 𝑎 adalah 𝑎 ≤ 8(𝑚 + 𝑛) − 1 − (2(𝑚 + 𝑛) − 1)𝑑 𝑎 ≤ 8(𝑚 + 𝑛) − 1 − (2(𝑚 + 𝑛) − 1)3 𝑎 ≤ 8(𝑚 + 𝑛) − 1 − 6(𝑚 + 𝑛) + 3 𝑎 ≤ 2(𝑚 + 𝑛) + 2

Untuk 𝑑 = 3 batasan yang diperoleh yaitu 2(𝑚 + 𝑛) + 4 ≤ 𝑎 ≤ 2(𝑚 + 𝑛) + 2. Namun hal itu tidak memungkinkan karena tidak ada nilai 𝑎 yang memenuhi batasan tersebut. Jadi untuk 𝑑 = 3 tidak memungkinkan terjadinya pelabelan total sisi kuat (𝑎, 𝑑) pada gabungan dua graf sun (S_m∪ S_n).

6. Nilai Bobot Sisi Terkecil 𝒂

Pada persamaan (4.5) ditunjukkan bahwa 𝑎 =

10(𝑚+𝑛)+3−(2(𝑚+𝑛)−1)𝑑

2 dan berdasarkan hasil perhitungan 𝑎 dan 𝑑 sebelumnya, maka pelabelan total tak ajaib sisi kuat (𝑎, 𝑑) pada pada gabungan dua graf sun (S_m∪ S_n) kemungkinan dapat dilakukan ketika 𝑑 = 1 atau 𝑑 = 2, maka akan dicari nilai 𝑎 untuk masing-masing nilai 𝑑 = 1 atau 𝑑 = 2.

a. Untuk 𝑑 = 1 dengan 𝑚, 𝑛 ≥ 3 𝑎 =10(𝑚+𝑛)+3−(2(𝑚+𝑛)−1)𝑑

2

𝑎 =10(𝑚+𝑛)+3−(2(𝑚+𝑛)−1)1

2

𝑎 =10(𝑚+𝑛)+3−2(𝑚+𝑛)+1

2

𝑎 =^{8(𝑚+𝑛)+4}

2 𝑎 = 4(𝑚 + 𝑛) + 2

Pada saat 𝑑 = 1 diperoleh 𝑎 = 4(𝑚 + 𝑛) + 2 . Hal ini sesuai dengan pernyataan sebelumnya dimana batasan bobot sisi yaitu

2(𝑚 + 𝑛) + 4 ≤ 𝑎 ≤ 6(𝑚 + 𝑛)

Sehingga pada gabungan dua graf sun (S_m∪ S_n) terdapat pelabelan total tak ajaib sisi kuat (8𝑛 + 2,1) untuk 𝑚, 𝑛 ≥ 3.

b. Untuk 𝑑 = 2 dengan 𝑚, 𝑛 ≥ 3 𝑎 =10(𝑚+𝑛)+3−(2(𝑚+𝑛)−1)𝑑

2

𝑎 =10(𝑚+𝑛)+3−(2(𝑚+𝑛)−1)2

2

𝑎 =10(𝑚+𝑛)+3−4(𝑚+𝑛)+2

2

𝑎 =^{6(𝑚+𝑛)+5}

2

𝑎 = 3(𝑚 + 𝑛) + 2,5

Pada saat 𝑑 = 2 diperoleh 𝑎 = 3(𝑚 + 𝑛) + 2,5. Hal ini tidak sesuai dengan definisi 2.27 yang menyatakan bahwa label sisi merupakan himpunan bilangan bulat positif. Nilai 𝑎 = 3(𝑚 + 𝑛) + 2,5 menyatakan dengan jelas bahwa tidak ada nilai 𝑚, 𝑛 ≥ 3 dan 𝑛 ∈ ℤ yang memenuhi agar 𝑎 ∈ ℤ⁺. Jadi pada gabungan dua graf sun (S_m∪ S_n) tidak dapat dilakukan pelabelan total tak ajaib sisi kuat dengan nilai 𝑑 = 2.

Dari perhitungan yang dilakukan diatas, didapatkan bahwa nilai 𝑎 yang memenuhi syarat dari pernyataan sebelumnya hanya titik 𝑎 pada saat 𝑑 = 1.

Pada saat 𝑑 = 1 didapatkan nilai 𝑎 = 4(𝑚 + 𝑛) + 2. Sedangkan pada 𝑑 = 2 nilai 𝑎 yang didapatkan tidak memenuhi definisi 2.27 dimana label sisi haruslah bilangan bulat positif, dimana nilai 𝑎 yang didapatkan adalah 𝑎 = 6𝑛 + 2,5. Oleh karena itu, pasangan (𝑎, 𝑑) untuk pelabelan total tak-ajaib sisi kuat hanya dapat dilakukan untuk pasangan (4(𝑚 + 𝑛) + 2,1).

4.2 Pelabelan Total Tak-Ajaib Sisi Kuat (𝒂, 𝒅) pada Gabungan Dua Graf Sun (𝐒_𝐦∪ 𝐒_𝐧) untuk 𝒅 = 𝟏

Hasil dari subbab sebelumnya menjelaskan bahwa terdapat pelabelan total tak-ajaib sisi kuat (𝑎, 𝑑) yang berlaku pada gabungan dua graf sun (S_m∪ S_n).

Bagian ini akan menjelaskan secara lebih mendalam mengenai pelabelan total tak-ajaib titik (4(𝑚 + 𝑛) + 2,1) pada gabungan dua graf sun (S_m∪ S_n) . Berikut ini akan diperlihatkan pelabelan total tak ajaib sisi kuat (4(𝑚 + 𝑛) + 2,1) pada beberapa graf S_m∪ S_n.

Gambar 4.1 Pelabelan total tak ajaib sisi kuat (26,1) pada graf S3∪ S3

Pada gambar 4.1 dapat dilihat bahwa label untuk titiknya {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12} dan label untuk sisinya {13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24}. Bobot dari masing-masing sisinya yaitu {26,27,28,29,30,31,32,33,34,35,36,37} yang dapat diuraikan sebagai berikut :

k) Bobot sisi dengan label 23 adalah 23 + 5 + 2 = 30 l) Bobot sisi dengan label 24 adalah 24 + 4 + 1 = 29

Gambar 4.2 Pelabelan total tak ajaib sisi kuat (34,1) pada graf S₄∪ S₄

Pada gambar 4.2 dapat dilihat bahwa label untuk titiknya {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16} dan label untuk sisinya {17,18,19,20,21,22,23,24,25,26,27,28,29,30,31,32} . Bobot dari masing-masing sisinya yaitu {26,27,28,29,30,31,32,33,34,35,36,37} yang dapat diuraikan sebagai berikut :

p) Bobot sisi dengan label 32 adalah 32 + 5 + 1 = 3

Gambar 4.3 Pelabelan total tak ajaib sisi kuat (42,1) pada graf S5∪ S5

Pada gambar 4.3 dapat dilihat bahwa label untuk titiknya {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20} dan label untuk sisinya {21,22,23,24,25,26,27,28,29,30,31,32,33,34,35,36,37,38,39,40} . Bobot

dari masing-masing sisinya yaitu

{42,43,44,45,46,47,48,49,50,51,52,53,54,55,56,57,58,59,60,61} yang

q) Bobot sisi dengan label 37 adalah 37 + 9 + 4 = 50 {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16} dan label untuk sisinya {17,18,19,20,21,22,23,24,25,26,27,28,29,30,31,32} . Bobot dari masing-masing sisinya yaitu {34,35,36,37,38,39,40,41,42,43,44,45,46,47,48,49}

yang dapat diuraikan sebagai berikut :

a) Bobot sisi dengan label 17 adalah 17 + 16 + 15 = 48

n) Bobot sisi dengan label 30 adalah 30 + 3 + 1 = 34 44,45,46,47,48} . Bobot dari masing-masing sisinya yaitu {50,51,52,53.54,55,56,57,58,59,60,6162,63,64,65,66,67,68,69,70,71,72,73}

o) Bobot sisi dengan label 39 adalah 39 + 10 + 7 = 56 44,45,46,47,48} . Bobot dari masing-masing sisinya yaitu {50,51,52,53,54,55,56,57,58,59,60,61,62,63,64,65,66,67,68,69,70,71,72, 73} yang dapat diuraikan sebagai berikut:

a) Bobot sisi dengan label 25 adalah 25 + 24 + 23 = 72

f) Bobot sisi dengan label 30 adalah 30 + 19 + 18 = 67

{42,43,44,45,46,47,48,49,50,51,52,53,54,55,56,57,58,59,60,61} yang dapat diuraikan sebagai berikut :

a) Bobot sisi dengan label 21 adalah 21 + 20 + 19 = 60 b) Bobot sisi dengan label 22 adalah 22 + 19 + 18 = 59 c) Bobot sisi dengan label 23 adalah 23 + 18 + 17 = 58 d) Bobot sisi dengan label 24 adalah 24 + 18 + 15 = 57 e) Bobot sisi dengan label 25 adalah 25 + 16 + 15 = 56 f) Bobot sisi dengan label 26 adalah 26 + 15 + 14 = 55 g) Bobot sisi dengan label 27 adalah 27 + 14 + 13 = 54 h) Bobot sisi dengan label 28 adalah 28 + 14 + 11 = 53 i) Bobot sisi dengan label 29 adalah 29 + 12 + 11 = 52 j) Bobot sisi dengan label 30 adalah 30 + 11 + 10 = 51 k) Bobot sisi dengan label 31 adalah 31 + 10 + 9 = 50 l) Bobot sisi dengan label 32 adalah 32 + 19 + 10 = 61 m) Bobot sisi dengan label 33 adalah 33 + 8 + 7 = 48 n) Bobot sisi dengan label 34 adalah 34 + 7 + 6 = 47 o) Bobot sisi dengan label 35 adalah 35 + 6 + 5 = 46 p) Bobot sisi dengan label 36 adalah 36 + 6 + 3 = 45 q) Bobot sisi dengan label 37 adalah 37 + 4 + 3 = 44 r) Bobot sisi dengan label 38 adalah 38 + 3 + 2 = 43 s) Bobot sisi dengan label 39 adalah 39 + 2 + 1 = 42 t) Bobot sisi dengan label 40 adalah 40 + 7 + 2 = 49

Kosntruksi gabungan dua graf sun (S_m∪ S_n) saat nilai 𝑎 = 4(𝑚 + 𝑛) + 2 dengan 𝑑 = 1 dibedakan menjadi beberapa bagian, yang pertama pada saat 𝑚 = 𝑛 dan kedua pada saat 𝑚 ≠ 𝑛. Berikut ini akan diberikan hasil konstruksinya :

4.2.1. Pelabelan Total Tak-Ajaib Sisi Kuat (𝒂, 𝒅) pada Gabungan Dua Graf Sun (𝐒_𝐦∪ 𝐒_𝐧) untuk 𝒅 = 𝟏 pada saat 𝒎 = 𝒏

Gabungan dua graf sun saat 𝑚 = 𝑛 memiliki 2(𝑚 + 𝑛) = 2(𝑛 + 𝑛) = 4𝑛 buah titik dan 2(𝑚 + 𝑛) = 2(𝑛 + 𝑛) = 4𝑛 garis. Misalkan 𝑓 merupakan fungsi pelabelan tersebut, maka konstruksi gabungan dua graf sun (S_m∪ S_n) saat nilai

𝑎 = 4(𝑚 + 𝑛) + 2 = 4(𝑛 + 𝑛) + 2 = 8𝑛 + 2 dengan 𝑑 = 1 untuk label titiknya adalah sebagai berikut.

Rumus 4.1

𝑓(𝑣_𝑗^𝑖) = 𝑗 + (𝑖 − 1)2𝑛 untuk 𝑖 = 1,2 dan 𝑗 = 1,2, … , 2𝑛 Sedangkan label untuk sisinya adalah sebagai berikut.

Rumus 4.2

𝑓(𝑣_𝑗^𝑖𝑣_𝑗+𝑛^𝑖 ) = (8 − (3(𝑖 − 1))) 𝑛 − (𝑗 − 1) untuk setiap 𝑖 = 1,2 dan 𝑗 = 1,2, … , 𝑛 𝑓(𝑣_𝑗²𝑣_𝑗+1² ) = 7𝑛 − (𝑗 − 1) untuk 𝑗 = 1,2, … , 𝑛 − 1

𝑓(𝑣₁²𝑣_𝑗²) = 7𝑛 − (𝑗 − 1) untuk 𝑗 = 𝑛

𝑓(𝑣_𝑗¹𝑣_𝑗+1¹ ) = 6𝑛 − (𝑗 − (𝑛 + 1)) untuk 𝑗 = 𝑛 + 1, 𝑛 + 2, … ,2𝑛 − 1 𝑓(𝑣_𝑛+1¹ 𝑣_𝑗¹) = 6𝑛 − (𝑗 − (𝑛 + 1)) untuk 𝑗 = 2𝑛

Pelabelan titik-titik dari graf S_m∪ S_n adalah sebagai berikut.

Untuk 𝑖 = 1

𝑓(𝑣_𝑗¹) = 𝑗 + (1 − 1)2𝑛 𝑓(𝑣_𝑗¹) = 𝑗 + 0

𝑓(𝑣_𝑗¹) = 𝑗 untuk 𝑗 = 1,2, … ,2𝑛 𝑓(𝑣₁¹) = 1

𝑓(𝑣₂¹) = 2

…

𝑓(𝑣_𝑗¹) = 2𝑛 Untuk 𝑖 = 2

𝑓(𝑣_𝑗²) = 𝑗 + (2 − 1)2𝑛

𝑓(𝑣_𝑗²) = 𝑗 + 2𝑛 untuk 𝑗 = 1,2, … , 𝑛 𝑓(𝑣₁²) = 1 + 2𝑛

𝑓(𝑣₂²) = 2 + 2𝑛

…

𝑓(𝑣₂²) = 2𝑛 + 2𝑛 = 4𝑛

Sedangkan pelabelan titik-titik dari graf S_m∪ S_n adalah sebagai berikut.

𝒇(𝒗_𝒋^𝒊𝒗_𝒋+𝒏^𝒊 ) = (𝟖 − (𝟑(𝒊 − 𝟏))) 𝒏 − (𝒋 − 𝟏) untuk setiap 𝒊 = 𝟏, 𝟐 dan 𝒋 = 𝟏, 𝟐, … , 𝒏

Untuk 𝑖 = 1

𝑓(𝑣_𝑗¹𝑣_𝑗+𝑛¹ ) = (8 − (3(1 − 1))) 𝑛 − (𝑗 − 1)

𝑓(𝑣_𝑗¹𝑣_𝑗+𝑛¹ ) = 8𝑛 − (𝑗 − 1) untuk setiap 𝑗 = 1,2, … , 𝑛 𝑓(𝑣₁¹𝑣_1+𝑛¹ ) = 8𝑛 − (1 − 1) = 8𝑛

𝑓(𝑣₂¹𝑣_2+𝑛¹ ) = 8𝑛 − (2 − 1) = 8𝑛 − 1

…

𝑓(𝑣₂¹𝑣_2+𝑛¹ ) = 8𝑛 − (𝑛 − 1) = 7𝑛 + 1 Untuk 𝑖 = 2

𝑓(𝑣_𝑗²𝑣_𝑗+𝑛² ) = (8 − (3(3 − 1))) 𝑛 − (𝑗 − 1) 𝑓(𝑣_𝑗²𝑣_𝑗+𝑛² ) = (8 − 3)𝑛 − (𝑗 − 1)

𝑓(𝑣_𝑗²𝑣_𝑗+𝑛² ) = 5𝑛 − (𝑗 − 1) untuk setiap 𝑗 = 1,2, … , 𝑛 𝑓(𝑣₁²𝑣_1+𝑛² ) = 5𝑛 − (1 − 1) = 5𝑛

𝑓(𝑣₂²𝑣_2+𝑛² ) = 5𝑛 − (2 − 1) = 5𝑛 − 1

…

𝑓(𝑣_𝑛²𝑣_2𝑛² ) = 5𝑛 − (𝑛 − 1) = 4𝑛 + 1

𝒇(𝒗_𝒋^𝟐𝒗_𝒋+𝟏^𝟐 ) = 𝟕𝒏 − (𝒋 − 𝟏) untuk 𝒋 = 𝟏, 𝟐, … , 𝒏 − 𝟏 𝑓(𝑣₁²𝑣₂²) = 7𝑛 − (1 − 1) = 7𝑛

𝑓(𝑣₂²𝑣₃²) = 7𝑛 − (𝑗 − 1) = 7𝑛 − 1

…

𝑓(𝑣_𝑛−1² 𝑣_𝑛²) = 7𝑛 − (𝑛 − 1 − 1) = 6𝑛 + 2 𝒇(𝒗_𝟏^𝟐𝒗_𝒋^𝟐) = 𝟕𝒏 − (𝒋 − 𝟏) untuk 𝒋 = 𝒏 𝑓(𝑣₁²𝑣_𝑛²) = 7𝑛 − (𝑛 − 1) = 6𝑛 + 1

𝒇(𝒗_𝒋^𝟏𝒗_𝒋+𝟏^𝟏 ) = 𝟔𝒏 − (𝒋 − (𝒏 + 𝟏)) untuk 𝒋 = 𝒏 + 𝟏, 𝒏 + 𝟐, … , 𝟐𝒏 − 𝟏 𝑓(𝑣_𝑛+1¹ 𝑣_𝑛+2¹ ) = 6𝑛 − (𝑛 + 1 − (𝑛 + 1)) = 6𝑛

𝑓(𝑣_𝑛+2¹ 𝑣_𝑛+3¹ ) = 6𝑛 − (𝑛 + 2 − (𝑛 + 1)) = 6𝑛 − 1

…

𝑓(𝑣_2𝑛−1¹ 𝑣_2𝑛¹ ) = 6𝑛 − (2𝑛 − 1 − (𝑛 + 1)) = 5𝑛 + 2 𝒇(𝒗_𝒏+𝟏^𝟏 𝒗_𝒋^𝟏) = 𝟔𝒏 − (𝒋 − (𝒏 + 𝟏)) untuk 𝒋 = 𝟐𝒏 𝑓(𝑣_𝑛+1¹ 𝑣_2𝑛¹ ) = 6𝑛 − (2𝑛 − (𝑛 + 1)) = 5𝑛 + 1

Konstruksti pelabelan diatas mempertihatkan bahwa label untuk titik merupakan bilangan bulat positif {1,2,3, … 2𝑛, 2𝑛 + 1,2𝑛 + 2, … ,4𝑛} dan label untuk sisi merupakan bilangan bulat positif {4𝑛 + 1,4𝑛 + 2, … ,8𝑛}. Hal ini sesuai dengan definisi 2.29 tentang pelabelan kuat yang menyatakan bilangan yang merupakan label titiknya lebih kecil dari bilangan untuk label sisinya. Konstruksi pelabelan total tak ajaib sisi kuat diatas akan dibuktikan berlaku untuk semua gabungan dua graf sun (S_m∪ S_n). Berikut akan diuraikan pembuktiannya:

Pembuktian I

Dengan menggunakan induksi matematika akan ditunjukkan bahwa 𝑓(𝑣_𝑗^𝑖) ≤ 4𝑛 untuk setiap 𝑖 = 1,2 , 𝑗 = 1,2, … ,2𝑛 dengan 𝑛 ≥ 3

1) Akan dibuktikan bahwa 𝑗 = 1 benar untuk 𝑖 = 1,2 a) Pada saat 𝑖 = 1 maka

𝑓(𝑣₁¹) = 1 + (1 − 1)2𝑛 𝑓(𝑣₁¹) = 1 + 0

𝑓(𝑣₁¹) = 1

Sangat jelas didapatkan 𝑓(𝑣₁¹) = 1 dimana 𝑓(𝑣₁¹) ≤ 4𝑛 untuk setiap 𝑛 ≥ 3, sehingga pernyataan tersebut benar.

b) Pada saat 𝑖 = 2 maka 𝑓(𝑣₁²) = 1 + (2 − 1)2𝑛 𝑓(𝑣₁²) = 1 + 2𝑛

𝑓(𝑣₁²) = 2𝑛 + 1

Sangat jelas didapatkan 𝑓(𝑣₁²) = 2𝑛 + 1 dimana 𝑓(𝑣₁²) ≤ 4𝑛 untuk setiap 𝑛 ≥ 3, sehingga pernyataan tersebut benar.

2) Jika 𝑗 = 𝑘 benar maka akan dibuktikan bahwa 𝑗 = 𝑘 + 1 benar untuk setiap 𝑖 = 1,2

a) Pada saat 𝑖 = 1

Misalkan pernyataan tersebut benar untuk 𝑗 = 𝑘 dengan 𝑖 = 1 maka 𝑓(𝑣_𝑘¹) = 𝑘 + (1 − 1)2𝑛

𝑓(𝑣_𝑘¹) = 𝑘 + 0 𝑓(𝑣_𝑘¹) = 𝑘 ≤ 4𝑛

Untuk 𝑗 = 𝑘 + 1 dengan 𝑖 = 1 yaitu 𝑓(𝑣_𝑘+1¹ ) = 𝑘 + 1 + (1 − 1)2𝑛 𝑓(𝑣_𝑘+1¹ ) = 𝑘 + 1 + 0

𝑓(𝑣_𝑘+1¹ ) = 𝑘 + 1 ≤ 4𝑛

Dari pernyataan sebelumnya yang menyebutkan bahwa 𝑓(𝑣_𝑘¹) = 𝑘 ≤ 4𝑛 benar, kita dapat mengambil kesimpulan bahwa 𝑓(𝑣_𝑘+1¹ ) = 𝑘 + 1 ≤ 4𝑛 benar.

b) Pada saat 𝑖 = 2

Misalkan pernyataan tersebut benar untuk 𝑗 = 𝑘 dengan 𝑖 = 2 maka 𝑓(𝑣_𝑘²) = 𝑘 + (2 − 1)2𝑛

𝑓(𝑣_𝑘²) = 𝑘 + 2𝑛 𝑓(𝑣_𝑘²) = 𝑘 + 2𝑛 ≤ 4𝑛

Untuk 𝑗 = 𝑘 + 1 dengan 𝑖 = 2 yaitu 𝑓(𝑣_𝑘+1² ) = 𝑘 + 1 + (2 − 1)2𝑛 𝑓(𝑣_𝑘+1² ) = 𝑘 + 1 + 2𝑛

𝑓(𝑣_𝑘+1² ) = 𝑘 + 1 + 2𝑛 ≤ 4𝑛

Dari pernyataan sebelumnya yang menyebutkan bahwa 𝑓(𝑣_𝑘²) = 𝑘 + 2𝑛 ≤ 4𝑛 benar, kita dapat mengambil kesimpulan bahwa 𝑓(𝑣_𝑘+1² ) = 𝑘 + 1 + 2𝑛 ≤ 4𝑛 benar.

Dari pernyataan 1) dan 2) terbukti bahwa 𝑓(𝑣_𝑗^𝑖) ≤ 4𝑛 untuk setiap 𝑖 = 1,2 , 𝑗 = 1,2, … ,2𝑛 dengan 𝑛 ≥ 3

Pembuktian II

Dengan menggunakan induksi matematika akan ditunjukkan bahwa konstruksi label sisi 𝑓(𝑣_𝑗^𝑖𝑣_𝑗+𝑛^𝑖 ) ≥ 4𝑛 untuk setiap 𝑖 = 1,2 dan 𝑗 = 1,2, … , 𝑛 − 1

1) Akan dibuktikan benar untuk 𝑗 = 1 untuk setiap 𝑖 = 1,2 a) Pada saat 𝑖 = 1, maka

𝑓(𝑣₁¹𝑣_1+𝑛¹ ) = (8 − (3(1 − 1))) 𝑛 − (1 − 1) 𝑓(𝑣₁¹𝑣_1+𝑛¹ ) = (8 − 0)𝑛 − 0

𝑓(𝑣_𝑗¹𝑣_𝑗+𝑛¹ ) = 8𝑛 ≥ 4𝑛

Jelas bahwa 𝑓(𝑣_𝑗𝑣_𝑗+𝑛) ≥ 4𝑛 sehingga pernyataan tersebut benar.

b) Pada saat 𝑖 = 2, maka

𝑓(𝑣₁²𝑣_1+𝑛² ) = (8 − (3(2 − 1))) 𝑛 − (1 − 1) 𝑓(𝑣₁²𝑣_1+𝑛² ) = (8 − (3(1))) 𝑛 − (1 − 1) 𝑓(𝑣₁²𝑣_1+𝑛² ) = (8 − 3)𝑛 − 0

𝑓(𝑣_𝑗²𝑣_𝑗+𝑛^" ) = 5𝑛 ≥ 4𝑛

Jelas bahwa 𝑓(𝑣_𝑗²𝑣_𝑗+𝑛² ) ≥ 4𝑛 sehingga pernyataan tersebut benar.

2) Jika 𝑗 =k benar, maka akan dibuktikan benar untuk 𝑗 = 𝑘 + 1 a) Pada saat 𝑖 = 1

Misalkan pernyataan tersebut benar untuk 𝑗 = 𝑘 dengan 𝑖 = 1 maka 𝑓(𝑣_𝑘¹𝑣_𝑘+𝑛¹ ) = (8 − (3(1 − 1))) 𝑛 − (𝑘 − 1)

𝑓(𝑣_𝑘¹𝑣_𝑘+𝑛¹ ) = (8 − 0)𝑛 − (𝑘 − 1) 𝑓(𝑣_𝑘¹𝑣_𝑘+𝑛¹ ) = 8𝑛 − (𝑘 − 1) 𝑓(𝑣_𝑘¹𝑣_𝑘+𝑛¹ ) = 8𝑛 − 𝑘 + 1 ≥ 4𝑛 Untuk 𝑗 = 𝑘 + 1 dengan 𝑖 = 1, yaitu

𝑓(𝑣_𝑘+1¹ 𝑣_𝑘+1+𝑛¹ ) = (8 − (3(1 − 1))) 𝑛 − ((𝑘 + 1) − 1) 𝑓(𝑣_𝑘+1¹ 𝑣_𝑘+1+𝑛¹ ) = (8 − 0)𝑛 − (𝑘 − 1)

𝑓(𝑣_𝑘+1¹ 𝑣_𝑘+1+𝑛¹ ) = 8𝑛 − ((𝑘 + 1) − 1) 𝑓(𝑣_𝑘+1¹ 𝑣_𝑘+1+𝑛¹ ) = 8𝑛 − 𝑘 ≥ 4𝑛

Dari pernyataan sebelumnya yang menyebutkan bahwa 𝑓(𝑣_𝑘¹𝑣_𝑘+𝑛¹ ) = 8𝑛 − 𝑘 + 1 ≥ 4𝑛 benar, kita dapat mengambil kesimpulan bahwa 𝑓(𝑣_𝑘+1¹ 𝑣_𝑘+1+𝑛¹ ) = 8𝑛 − 𝑘 ≥ 4𝑛.

b) Pada saat 𝑖 = 2

Misalkan pernyataan tersebut benar untuk 𝑗 = 𝑘 dengan 𝑖 = 2 maka 𝑓(𝑣_𝑘²𝑣_𝑘+𝑛² ) = (8 − (3(2 − 1))) 𝑛 − (𝑘 − 1)

𝑓(𝑣_𝑘²𝑣_𝑘+𝑛² ) = (8 − 3)𝑛 − 𝑘 + 1 𝑓(𝑣_𝑘²𝑣_𝑘+𝑛² ) = 5𝑛 − 𝑘 + 1 ≥ 4𝑛 Untuk 𝑗 = 𝑘 + 1 dengan 𝑖 = 2, yaitu

𝑓(𝑣_𝑘+1² 𝑣_𝑘+1+𝑛² ) = (8 − (3(2 − 1))) 𝑛 − ((𝑘 + 1) − 1)

𝑓(𝑣_𝑘+1𝑣_𝑘+1+𝑛) = (8 − 3)𝑛 − 𝑘 𝑓(𝑣_𝑘+1² 𝑣_𝑘+1+𝑛² ) = 5𝑛 − 𝑘 ≥ 4𝑛

Dari pernyataan sebelumnya yang menyebutkan bahwa 𝑓(𝑣_𝑘²𝑣_𝑘+𝑛² ) = 5𝑛 − 𝑘 + 1 ≥ 4𝑛 benar, kita dapat mengambil kesimpulan bahwa 𝑓(𝑣_𝑘+1² 𝑣_𝑘+1+𝑛² ) = 5𝑛 − 𝑘 ≥ 4𝑛 benar.

Dari pernyataan 1) dan 2) terbukti bahwa 𝑓(𝑣_𝑗^𝑖𝑣_𝑗+𝑛^𝑖 ) ≥ 4𝑛 untuk setiap 𝑖 = 1,2 dan 𝑗 = 1,2, … , 𝑛 − 1 dengan 𝑛 ≥ 3.

Pembuktian III

Dengan menggunakan induksi matematika akan ditunjukkan bahwa konstruksi label sisi 𝑓(𝑣_𝑗²𝑣_𝑗+1² ) ≥ 4𝑛 untuk setiap 𝑗 = 1,2, … , 𝑛 − 1

1) Akan dibuktikan benar untuk 𝑗 = 1 𝑓(𝑣₁²𝑣₁₊₁² ) = 7𝑛 − (1 − 1)

𝑓(𝑣₁²𝑣₂²) = 7𝑛 ≥ 4𝑛

Jelas bahwa 𝑓(𝑣₁²𝑣₁₊₁² ) ≥ 4𝑛 sehingga pernyataan tersebut benar.

2) Jika 𝑗 =k benar, maka akan dibuktikan benar untuk 𝑗 = 𝑘 + 1

Misalkan pernyataan tersebut benar untuk 𝑗 = 𝑘 dengan 1 ≤ 𝑘 ≤ 𝑛 − 1 maka

𝑓(𝑣_𝑘²𝑣_𝑘+1² ) = 7𝑛 − 𝑘 + 1 ≥ 4𝑛 Untuk 𝑗 = 𝑘 + 1, yaitu

𝑓(𝑣_𝑘+1² 𝑣_(𝑘+1)+1² ) = 7𝑛 − 𝑘 ≥ 4𝑛

Dari pernyataan sebelumnya yang menyebutkan bahwa 𝑓(𝑣_𝑘²𝑣_𝑘+1² ) = 7𝑛 − 𝑘 + 1 ≥ 4𝑛 benar, kita dapat mengambil kesimpulan bahwa 𝑓(𝑣_𝑘+1² 𝑣_(𝑘+1)+1² ) = 7𝑛 − 𝑘 ≥ 4𝑛 benar.

Dari pernyataan 1) dan 2) terbukti bahwa 𝑓(𝑣_𝑗²𝑣_𝑗+1² ) ≥ 4𝑛 untuk setiap 𝑗 = 1,2, … , 𝑛 − 1 dengan 𝑛 ≥ 3.

Pembuktian IV

Diketahui 𝑓(𝑣₁²𝑣_𝑗²) = 7𝑛 − (𝑗 − 1) dengan 𝑛 ≥ 3, jelas bahwa jika 𝑗 = 𝑛 maka 𝑓(𝑣₁²𝑣_𝑛²) = 7𝑛 − (𝑛 − 1) = 7𝑛 − 𝑛 + 1 = 6𝑛 + 1 ≥ 4𝑛 . Jadi terbukti bahwa 𝑓(𝑣₁²𝑣_𝑗²) ≥ 4𝑛 untuk setiap 𝑗 = 𝑛 dengan 𝑛 ≥ 3.

Pembuktian V

Dengan menggunakan induksi matematika akan ditunjukkan bahwa konstruksi label sisi 𝑓(𝑣_𝑗¹𝑣_𝑗+1¹ ) ≥ 4𝑛 untuk setiap 𝑗 = 𝑛 + 1, 𝑛 + 2, … ,2𝑛 − 1

1) Akan dibuktikan benar untuk 𝑗 = 𝑛 + 1 𝑓(𝑣₁¹𝑣₁₊₁¹ ) = 6𝑛 − (𝑛 + 1 − (𝑛 + 1)) 𝑓(𝑣₁¹𝑣₂¹) = 6𝑛 − (𝑛 + 1 − 𝑛 − 1) 𝑓(𝑣₁¹𝑣₂¹) = 6𝑛 − (0)

𝑓(𝑣₁¹𝑣₂¹) = 6𝑛 ≥ 4𝑛

Jelas bahwa 𝑓(𝑣₁¹𝑣₁₊₁¹ ) ≥ 4𝑛 sehingga pernyataan tersebut benar.

2) Jika 𝑗 =k benar, maka akan dibuktikan benar untuk 𝑗 = 𝑘 + 1

Misalkan pernyataan tersebut benar untuk 𝑗 = 𝑘 dengan 𝑛 + 1 ≤ 𝑘 ≤ 2𝑛 − 1 maka

𝑓(𝑣_𝑘¹𝑣_𝑘+1¹ ) = 6𝑛 − (𝑘 − (𝑛 + 1)) ≥ 4𝑛 𝑓(𝑣_𝑘¹𝑣_𝑘+1¹ ) = 6𝑛 − 𝑘 + 𝑛 + 1 ≥ 4𝑛 𝑓(𝑣_𝑘¹𝑣_𝑘+1¹ ) = 7𝑛 − 𝑘 + 1 ≥ 4𝑛 Untuk 𝑗 = 𝑘 + 1, yaitu

𝑓(𝑣_𝑘+1¹ 𝑣_(𝑘+1)+1¹ ) = 6𝑛 − ((𝑘 + 1) − (𝑛 + 1)) 𝑓(𝑣_𝑘+1¹ 𝑣_(𝑘+1)+1¹ ) = 6𝑛 − 𝑘 + 𝑛

𝑓(𝑣_𝑘+1¹ 𝑣_(𝑘+1)+1¹ ) = 7𝑛 − 𝑘 ≥ 4𝑛

Dari pernyataan sebelumnya yang menyebutkan bahwa 𝑓(𝑣_𝑘𝑣_𝑘+1) = 7𝑛 − 𝑘 + 1 ≥ 4𝑛 benar, kita dapat mengambil kesimpulan bahwa 𝑓(𝑣_𝑘+1¹ 𝑣_(𝑘+1)+1¹ ) = 7𝑛 − 𝑘 ≥ 4𝑛 benar.

Dari pernyataan 1) dan 2) terbukti bahwa 𝑓(𝑣_𝑗¹𝑣_𝑗+1¹ ) ≥ 4𝑛 untuk setiap 𝑗 = 𝑛 + 1, 𝑛 + 2, … ,2𝑛 − 1 dengan 𝑛 ≥ 3.

Pembuktian VI

Diketahui 𝑓(𝑣_𝑛+1¹ 𝑣_𝑗¹) = 6𝑛 − (𝑗 − (𝑛 + 1)) dengan 𝑛 ≥ 3 , jelas bahwa jika 𝑗 = 2𝑛 maka 𝑓(𝑣_𝑛+1¹ 𝑣_2𝑛¹ ) = 6𝑛 − (2𝑛 − (𝑛 + 1)) = 6𝑛 − (2𝑛 − 𝑛 − 1) = 6𝑛 − (𝑛 − 1) = 6𝑛 − 𝑛 + 1 = 5𝑛 + 1 ≥ 4𝑛 . Jadi terbukti bahwa 𝑓(𝑣_𝑛+1¹ 𝑣_𝑗¹) ≥ 4𝑛 untuk setiap 𝑗 = 𝑛 dengan 𝑛 ≥ 3.

Pembuktian I, II, III, IV, V dan VI menunjukan bahwa konstruksi label untuk titik dan sisi memiliki hubungan untuk titik tersebut merupakan bilangan bulat positif {1,2,3, … ,4𝑛} dan label untuk sisi {4𝑛 + 1,4𝑛 + 2, … ,8𝑛} . Hal ini sesuai dengan definisi 2.29 sehingga konstruksi pelabelan yang diberikan berlaku untuk setiap 𝑚 = 𝑛.

Berikut akan diberikan contoh pelabelan total sisi kuat (4(𝑚 + 𝑛) + 2,1) pada gabungan dua graf sun (S_m∪ S_n).

a. Pelabelan total tak ajaib sisi kuat (4(𝑚 + 𝑛) + 2,1) pada gabungan dua graf sun (S₃∪ S₃)

Graf pada Gambar 4.1 merupakan gabungan dua graf sun (S₃∪ S₃) yang akan diberi label dengan bobot titik terkecilnya 26 (𝑎 = 26) dan bedanya 1 (𝑑 = 1) menggunakan konstruksi pelabelan graf yang telah didapatkan sebelumnya.

Label untuk titik :

Untuk 𝑖 = 1,2 dan 𝑗 = 1,2,3,4, … ,2𝑛

𝑓(𝑣₁¹) = 1 + (1 − 1) × 2 × 3 = 1 + 0 = 1 𝑓(𝑣₂¹) = 2 + (1 − 1) × 2 × 3 = 2 + 0 = 2 𝑓(𝑣₃¹) = 3 + (1 − 1) × 2 × 3 = 3 + 0 = 3

𝑓(𝑣₄) = 4 + (1 − 1) × 2 × 3 = 4 + 0 = 4 𝑓(𝑣₅¹) = 5 + (1 − 1) × 2 × 3 = 5 + 0 = 5 𝑓(𝑣₆¹) = 6 + (1 − 1) × 2 × 3 = 6 + 0 = 6 𝑓(𝑣₁²) = 1 + (2 − 1) × 2 × 3 = 1 + 6 = 7 𝑓(𝑣₂²) = 2 + (2 − 1) × 2 × 3 = 2 + 6 = 8 𝑓(𝑣₃²) = 3 + (2 − 1) × 2 × 3 = 3 + 6 = 9 𝑓(𝑣₄²) = 4 + (2 − 1) × 2 × 3 = 4 + 6 = 10 𝑓(𝑣₅²) = 5 + (2 − 1) × 2 × 3 = 5 + 6 = 11 𝑓(𝑣₆²) = 6 + (2 − 1) × 2 × 3 = 6 + 6 = 12 Label untuk sisi :

𝒇(𝒗_𝒋^𝒊𝒗_𝒋+𝒏^𝒊 ) = (𝟖 − (𝟑(𝒊 − 𝟏))) 𝒏 − (𝒋 − 𝟏) untuk 𝒊 = 𝟏, 𝟐 dan 𝒋 = 𝟏, 𝟐, 𝟑 𝑓(𝑣₁¹𝑣₄¹) = (8 − (3(1 − 1))) 3 − (1 − 1) = 8 × 3 = 24

𝑓(𝑣₂¹𝑣₅¹) = (8 − (3(1 − 1))) 3 − (2 − 1) = (8 × 3) − 1 = 23 𝑓(𝑣₁¹𝑣₄¹) = (8 − (3(1 − 1))) 3 − (3 − 1) = (8 × 3) − 2 = 22

𝑓(𝑣₁²𝑣₄²) = (8 − (3(2 − 1))) 3 − (1 − 1) = (8 − 3) × 3 − 0 = 15 − 0 = 15

𝑓(𝑣₂²𝑣₅²) = (8 − (3(2 − 1))) 3 − (2 − 1) = (8 − 3) × 3 − 1 = 15 − 1 = 14

𝑓(𝑣₃²𝑣₆²) = (8 − (3(2 − 1))) 3 − (3 − 1) = (8 − 3) × 3 − 2 = 15 − 2 = 13 𝒇(𝒗_𝒋^𝟐𝒗_𝒋+𝟏^𝟐 ) = 𝟕𝒏 − (𝒋 − 𝟏) untuk 𝒋 = 𝟏, 𝟐

𝑓(𝑣₁²𝑣₂²) = 7(3) − (1 − 1) = 21 − 0 = 21 𝑓(𝑣₂²𝑣₃²) = 7(3) − (2 − 1) = 21 − 1 = 20 𝒇(𝒗_𝟏^𝟐𝒗_𝒋^𝟐) = 𝟕𝒏 − (𝒋 − 𝟏) untuk 𝒋 = 𝟑 𝑓(𝑣₁²𝑣₃²) = 7(3) − (3 − 1) = 21 − 3 = 19

𝒇(𝒗_𝒋^𝟏𝒗_𝒋+𝟏^𝟏 ) = 𝟔𝒏 − (𝒋 − (𝒏 + 𝟏)) untuk 𝒋 = 𝟒, 𝟓 𝑓(𝑣₄¹𝑣₅¹) = 6(3) − (4 − (3 + 1)) = 18 − 0 = 18 𝑓(𝑣₅¹𝑣₆¹) = 6(3) − (5 − (3 + 1)) = 18 − 1 = 17 𝒇(𝒗_𝒏+𝟏^𝟏 𝒗_𝒋^𝟏) = 𝟔𝒏 − (𝒋 − (𝒏 + 𝟏)) untuk 𝒋 = 𝟐𝒏 𝑓(𝑣₄¹𝑣₆¹) = 6(3) − (6 − (3 + 1)) = 18 − 2 = 16

Dari perhitungan tersebut didapatkan graf berlabel seperti pada gambar 4.1.

b. Pelabelan total tak ajaib sisi kuat (4(𝑚 + 𝑛) + 2,1) pada gabungan dua graf sun (S₄∪ S₄)

Gambar 4.2 merupakan gambar gabungan dua graf sun (S₄∪ S₄) yang akan diberi label dengan bobot titik terkecilnya 34 (𝑎 = 34) dan bedanya 1 (𝑑 = 1) menggunakan konstruksi pelabelan graf yang telah didapatkan sebelumnya.

Label untuk titik :

𝒇(𝒗_𝒋^𝒊) = 𝒋 + (𝒊 − 𝟏)𝟐𝒏 untuk 𝒊 = 𝟏, 𝟐 dan 𝒋 = 𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒, 𝟓, 𝟔, 𝟕, 𝟖 𝑓(𝑣₁¹) = 1 + (1 − 1)2(4) = 1 + 0 = 1

𝑓(𝑣₂¹) = 2 + (1 − 1)2(4) = 2 + 0 = 2 𝑓(𝑣₃¹) = 3 + (1 − 1)2(4) = 3 + 0 = 3 𝑓(𝑣₄¹) = 4 + (1 − 1)2(4) = 4 + 0 = 4 𝑓(𝑣₅¹) = 5 + (1 − 1)2(4) = 5 + 0 = 5 𝑓(𝑣₆¹) = 6 + (1 − 1)2(4) = 6 + 0 = 6 𝑓(𝑣₇¹) = 7 + (1 − 1)2(4) = 7 + 0 = 7 𝑓(𝑣₈¹) = 8 + (1 − 1)2(4) = 8 + 0 = 8 𝑓(𝑣₁²) = 1 + (2 − 1)2(4) = 1 + 8 = 9 𝑓(𝑣₂²) = 2 + (2 − 1)2(4) = 2 + 8 = 10 𝑓(𝑣₃²) = 3 + (2 − 1)2(4) = 3 + 8 = 11

𝑓(𝑣₄) = 4 + (2 − 1)2(4) = 4 + 8 = 12 𝑓(𝑣₅²) = 5 + (2 − 1)2(4) = 5 + 8 = 13 𝑓(𝑣₆²) = 6 + (2 − 1)2(4) = 6 + 8 = 14 𝑓(𝑣₇²) = 7 + (2 − 1)2(4) = 7 + 8 = 15 𝑓(𝑣₈²) = 8 + (2 − 1)2(4) = 8 + 8 = 16

Label untuk sisi :

𝒇(𝒗_𝒋^𝒊𝒗_𝒋+𝒏^𝒊 ) = (𝟖 − (𝟑(𝒊 − 𝟏))) 𝒏 − (𝒋 − 𝟏) untuk setiap 𝒊 = 𝟏, 𝟐 dan 𝒋 = 𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒

𝑓(𝑣₁¹𝑣₅¹) = (8 − (3(1 − 1))) (4) − (1 − 1) = 8(4) − 0 = 32 𝑓(𝑣₂¹𝑣₆¹) = (8 − (3(1 − 1))) (4) − (2 − 1) = 8(4) − 1 = 31 𝑓(𝑣₃¹𝑣₇¹) = (8 − (3(1 − 1))) (4) − (3 − 1) = 8(4) − 2 = 30 𝑓(𝑣₄¹𝑣₈¹) = (8 − (3(1 − 1))) (4) − (4 − 1) = 8(4) − 3 = 29 𝑓(𝑣₁²𝑣₅²) = (8 − (3(2 − 1))) (4) − (1 − 1) = 5(4) − 0 = 20 𝑓(𝑣₂²𝑣₆²) = (8 − (3(2 − 1))) (4) − (2 − 1) = 5(4) − 1 = 19 𝑓(𝑣₃²𝑣₇²) = (8 − (3(2 − 1))) (4) − (3 − 1) = 5(4) − 2 = 18 𝑓(𝑣₄²𝑣₈²) = (8 − (3(2 − 1))) (4) − (4 − 1) = 5(4) − 3 = 17 𝒇(𝒗_𝒋^𝟐𝒗_𝒋+𝟏^𝟐 ) = 𝟕𝒏 − (𝒋 − 𝟏) untuk 𝒋 = 𝟏, 𝟐, 𝟑

𝑓(𝑣₁²𝑣₂²) = 7(4) − (1 − 1) = 28 − 0 = 28 𝑓(𝑣₂²𝑣₃²) = 7(4) − (2 − 1) = 28 − 1 = 27 𝑓(𝑣₃²𝑣₄²) = 7(4) − (3 − 1) = 28 − 2 = 26 𝒇(𝒗_𝟏^𝟐𝒗_𝒋^𝟐) = 𝟕𝒏 − (𝒋 − 𝟏) untuk 𝒋 = 𝟒 𝑓(𝑣₁²𝑣₄²) = 7(4) − (4 − 1) = 28 − 3 = 25

𝒇(𝒗_𝒋^𝟏𝒗_𝒋+𝟏^𝟏 ) = 𝟔𝒏 − (𝒋 − (𝒏 + 𝟏)) untuk 𝒋 = 𝟓, 𝟔, 𝟕 𝑓(𝑣₅¹𝑣₆¹) = 6(4) − (5 − (4 + 1)) = 24 − 0 = 24 𝑓(𝑣₆¹𝑣₇¹) = 6(4) − (6 − (4 + 1)) = 24 − 1 = 23 𝑓(𝑣₇¹𝑣₈¹) = 6(4) − (7 − (4 + 1)) = 24 − 2 = 22

𝒇(𝒗_𝒏+𝟏^𝟏 𝒗_𝒋^𝟏) = 𝟔𝒏 − (𝒋 − (𝒏 + 𝟏)) untuk 𝒋 = 𝟖 𝑓(𝑣₅¹𝑣₈¹) = 6(4) − (8 − (4 + 1)) = 24 − 3 = 21

Dari perhitungan tersebut didapatkan graf berlabel seperti pada gambar 4.2.

c. Pelabelan total tak ajaib sisi kuat (4(𝑚 + 𝑛) + 2,1) pada gabungan dua graf sun (S₅∪ S₅)

Gambar 4.3 merupakan gambar gabungan dua graf sun (S₅∪ S₅) yang akan diberi label dengan bobot titik terkecilnya 42 (𝑎 = 42) dan bedanya 1 (𝑑 = 1) menggunakan konstruksi pelabelan graf yang telah didapatkan sebelumnya.

Label untuk titik :

𝒇(𝒗_𝒋^𝒊) = 𝒋 + (𝒊 − 𝟏)𝟐𝒏 untuk 𝒊 = 𝟏, 𝟐 dan 𝒋 = 𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒, 𝟓, 𝟔, 𝟕, 𝟖, 𝟗, 𝟏𝟎 𝑓(𝑣₁¹) = 1 + (1 − 1)2(5) = 1 + 0 = 1

𝑓(𝑣₂¹) = 2 + (1 − 1)2(5) = 2 + 0 = 2 𝑓(𝑣₃¹) = 3 + (1 − 1)2(5) = 3 + 0 = 3 𝑓(𝑣₄¹) = 4 + (1 − 1)2(5) = 4 + 0 = 4 𝑓(𝑣₅¹) = 5 + (1 − 1)2(5) = 5 + 0 = 5 𝑓(𝑣₆¹) = 6 + (1 − 1)2(5) = 6 + 0 = 6 𝑓(𝑣₇¹) = 7 + (1 − 1)2(5) = 7 + 0 = 7 𝑓(𝑣₈¹) = 8 + (1 − 1)2(5) = 8 + 0 = 8 𝑓(𝑣₉¹) = 9 + (1 − 1)2(5) = 9 + 0 = 9 𝑓(𝑣₁₀¹ ) = 10 + (1 − 1)2(5) = 10 + 0 = 10 𝑓(𝑣₁²) = 1 + (2 − 1)2(5) = 1 + 10 = 11 𝑓(𝑣₂²) = 2 + (2 − 1)2(5) = 2 + 10 = 12 𝑓(𝑣₃²) = 3 + (2 − 1)2(5) = 3 + 10 = 13 𝑓(𝑣₄²) = 4 + (2 − 1)2(5) = 4 + 10 = 14

𝑓(𝑣₅) = 5 + (2 − 1)2(5) = 5 + 10 = 15 𝑓(𝑣₆²) = 6 + (2 − 1)2(5) = 6 + 10 = 16 𝑓(𝑣₇²) = 7 + (2 − 1)2(5) = 7 + 10 = 17 𝑓(𝑣₈²) = 8 + (2 − 1)2(5) = 8 + 10 = 18 𝑓(𝑣₉²) = 9 + (2 − 1)2(5) = 9 + 10 = 19 𝑓(𝑣₁₀² ) = 10 + (2 − 1)2(5) = 10 + 10 = 20 Label untuk sisi :

𝒇(𝒗_𝒋^𝒊𝒗_𝒋+𝒏^𝒊 ) = (𝟖 − (𝟑(𝒊 − 𝟏))) 𝒏 − (𝒋 − 𝟏) untuk setiap 𝒊 = 𝟏, 𝟐 dan 𝒋 = 𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒, 𝟓

𝑓(𝑣₁¹𝑣₆¹) = (8 − (3(1 − 1))) (5) − (1 − 1) = 8(5) − 0 = 40 𝑓(𝑣₂¹𝑣₇¹) = (8 − (3(1 − 1))) (5) − (2 − 1) = 8(5) − 1 = 39 𝑓(𝑣₃¹𝑣₈¹) = (8 − (3(1 − 1))) (5) − (3 − 1) = 8(5) − 2 = 38 𝑓(𝑣₄¹𝑣₉¹) = (8 − (3(1 − 1))) (5) − (4 − 1) = 8(5) − 3 = 37 𝑓(𝑣₅¹𝑣₁₀¹ ) = (8 − (3(1 − 1))) (5) − (5 − 1) = 8(5) − 4 = 36 𝑓(𝑣₁²𝑣₆²) = (8 − (3(2 − 1))) (5) − (1 − 1) = 5(5) − 0 = 25 𝑓(𝑣₂²𝑣₇²) = (8 − (3(2 − 1))) (5) − (2 − 1) = 5(5) − 1 = 24 𝑓(𝑣₃²𝑣₈²) = (8 − (3(2 − 1))) (5) − (3 − 1) = 5(5) − 2 = 23 𝑓(𝑣₄²𝑣₉²) = (8 − (3(2 − 1))) (5) − (4 − 1) = 5(5) − 3 = 22 𝑓(𝑣₅²𝑣₁₀² ) = (8 − (3(2 − 1))) (5) − (5 − 1) = 5(5) − 4 = 21 𝒇(𝒗_𝒋^𝟐𝒗_𝒋+𝟏^𝟐 ) = 𝟕𝒏 − (𝒋 − 𝟏) untuk 𝒋 = 𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒

𝑓(𝑣₁²𝑣₂²) = 7(5) − (1 − 1) = 35 − 0 = 35 𝑓(𝑣₂²𝑣₃²) = 7(5) − (2 − 1) = 35 − 1 = 34 𝑓(𝑣₃²𝑣₄²) = 7(5) − (3 − 1) = 35 − 2 = 33 𝑓(𝑣₄²𝑣₅²) = 7(5) − (4 − 1) = 35 − 3 = 32 𝒇(𝒗_𝟏^𝟐𝒗_𝒋^𝟐) = 𝟕𝒏 − (𝒋 − 𝟏) untuk 𝒋 = 𝟓 𝑓(𝑣₁²𝑣₅²) = 7(5) − (5 − 1) = 35 − 4 = 31

𝒇(𝒗_𝒋^𝟏𝒗_𝒋+𝟏^𝟏 ) = 𝟔𝒏 − (𝒋 − (𝒏 + 𝟏)) untuk 𝒋 = 𝟔, 𝟕, 𝟖, 𝟗 𝑓(𝑣₆¹𝑣₇¹) = 6(5) − (6 − (5 + 1)) = 30 − 0 = 30 𝑓(𝑣₇¹𝑣₈¹) = 6(5) − (7 − (5 + 1)) = 30 − 1 = 29 𝑓(𝑣₈¹𝑣₉¹) = 6(5) − (8 − (5 + 1)) = 30 − 2 = 28 𝑓(𝑣₉¹𝑣₁₀¹ ) = 6(5) − (9 − (5 + 1)) = 30 − 3 = 27 𝒇(𝒗_𝒏+𝟏^𝟏 𝒗_𝒋^𝟏) = 𝟔𝒏 − (𝒋 − (𝒏 + 𝟏)) untuk 𝒋 = 𝟏𝟎 𝑓(𝑣₆¹𝑣₁₀¹ ) = 6(5) − (10 − (5 + 1)) = 30 − 4 = 26

Dari perhitungan tersebut didapatkan graf berlabel seperti pada gambar 4.3.

4.2.2. Pelabelan Total Tak-Ajaib Sisi Kuat (𝒂, 𝒅) pada Gabungan Dua Graf Sun (𝐒_𝐦∪ 𝐒_𝐧) untuk 𝒅 = 𝟏 pada saat 𝒎 ≠ 𝒏

Pada bagian ini, pelabelan total tak-ajaib sisi kuat (𝑎, 𝑑) pada gabungan dua graf sun (S_m∪ S_n) untuk 𝑑 = 1 pada saat 𝑚 ≠ 𝑛 terbagi menjadi beberapa bagian, yakni pada saat 𝑚, 𝑛 keduanya ganjil, 𝑚, 𝑛 keduanya genap dan 𝑚, 𝑛 salah satunya ganjil. Berikut ini akan dijelaskan konstruksi pelabelannya :

a. Pelabelan total tak-ajaib sisi kuat (𝑎, 𝑑) pada gabungan dua graf sun (S_m∪ S_n) untuk 𝑑 = 1 pada saat 𝑚 ≠ 𝑛 dengan 𝑚, 𝑛 keduanya bilangan ganjil dan 𝑚, 𝑛 ≥ 3.

Misalkan 𝑓 merupakan fungsi pelabelan tersebut, maka konstruksi gabungan dua graf sun (S_m∪ S_n) dengan 𝑚, 𝑛 bilangan ganjil saat (4(𝑚 + 𝑛) + 2,1) dengan label titiknya adalah sebagai berikut:

Rumus 4.3 𝑓(𝑣₁¹) = 1 𝑓(𝑣₂¹) = 2𝑚 + 1

𝑓(𝑣_𝑗¹) = 𝑗 untuk 𝑗 = 3,4,5, … ,2𝑚 𝑓(𝑣₁²) = 2

𝑓(𝑣_𝑗²) = 𝑗 + 2𝑚 untuk 𝑗 = 2,3,4,5, … ,2𝑛

Sedangkan label untuk sisinya adalah sebagai berikut : Rumus 4.4

𝑓(𝑣₁¹𝑣₂¹) = 4(𝑚 + 𝑛) 𝑓(𝑣₁¹𝑣₃¹) = 4(𝑚 + 𝑛) − 2

𝑓(𝑣_𝑗¹𝑣_𝑗+1¹ ) = 4(𝑚 + 𝑛) − (𝑗 + 1)untuk 𝑗 = 3,5,6, … ,2𝑚 − 1 dan 𝑗 ≢ 0 𝑚𝑜𝑑 4 𝑓(𝑣_𝑗¹𝑣_𝑗+3¹ ) = 4(𝑚 + 𝑛) − (𝑗 + 2) untuk 𝑗 ≡ 3 𝑚𝑜𝑑 4 dan 𝑗 < 2𝑚 − 1

𝑓(𝑣₁¹𝑣_2𝑚¹ ) = 4(𝑚 + 𝑛) − 1 𝑓(𝑣₁²𝑣₂²) = 4(𝑚 + 𝑛) − 3

𝑓(𝑣_𝑗²𝑣_𝑗+1² ) = 4(𝑚 + 𝑛) − (𝑗 + 2𝑚) untuk 𝑗 = 2,3,5,6, … , 2𝑛 − 1 dan 𝑗 ≢ 0 𝑚𝑜𝑑 4 𝑓(𝑣_𝑗²𝑣_𝑗+3² ) = 4(𝑚 + 𝑛) − (𝑗 + 2𝑚 + 2) untuk 𝑗 ≡ 3 𝑚𝑜𝑑 4 dan 𝑗 < 2𝑛 − 1 𝑓(𝑣₁¹𝑣_2𝑛¹ ) = 4(𝑚 + 𝑛) − (1 + 2𝑚)

Pelabelan titik untuk graf S_m∪ S_n adalah sebagai berikut.

𝑓(𝑣₁¹) = 1 𝑓(𝑣₂¹) = 2𝑚 + 1

𝑓(𝑣_𝑗¹) = 𝑗 untuk 𝑗 = 3,4,5, … ,2𝑚 𝑓(𝑣₃¹) = 3

𝑓(𝑣₄¹) = 4

…

𝑓(𝑣_2𝑚¹ ) = 2𝑚 𝑓(𝑣₁²) = 2

𝑓(𝑣_𝑗²) = 𝑗 + 2𝑚 untuk 𝑗 = 2,3,4,5, … ,2𝑛 𝑓(𝑣₂²) = 2 + 2𝑚

𝑓(𝑣₃²) = 3 + 2𝑚

…

𝑓(𝑣_2𝑛² ) = 2𝑛 + 2𝑚

Pelabelan sisi untuk graf S_m∪ S_n adalah sebagai berikut.

𝑓(𝑣₁¹𝑣₂¹) = 4(𝑚 + 𝑛) 𝑓(𝑣₁¹𝑣₃¹) = 4(𝑚 + 𝑛) − 2

𝑓(𝑣_𝑗¹𝑣_𝑗+1¹ ) = 4(𝑚 + 𝑛) − (𝑗 + 1) untuk 𝑗 = 3,5,6, … ,2𝑚 − 1 dan 𝑗 ≢ 0 𝑚𝑜𝑑 4

𝑓(𝑣₃¹𝑣₄¹) = 4(𝑚 + 𝑛) − (3 + 1) = 4(𝑚 + 𝑛) − 4 𝑓(𝑣₅¹𝑣₆¹) = 4(𝑚 + 𝑛) − (5 + 1) = 4(𝑚 + 𝑛) − 6

…

𝑓(𝑣_2𝑚−1¹ 𝑣_2𝑚¹ ) = 4(𝑚 + 𝑛) − (2𝑚 − 1 + 1) = 2𝑚 + 4𝑛

𝑓(𝑣_𝑗¹𝑣_𝑗+3¹ ) = 4(𝑚 + 𝑛) − (𝑗 + 2) untuk 𝑗 ≡ 3 𝑚𝑜𝑑 4 dan 𝑗 < 2𝑚 − 1 𝑓(𝑣₃¹𝑣₆¹) = 4(𝑚 + 𝑛) − (3 + 2) = 4(𝑚 + 𝑛) − 5

𝑓(𝑣₇¹𝑣₁₀¹ ) = 4(𝑚 + 𝑛) − (7 + 2) = 4(𝑚 + 𝑛) − 9 …

𝑓(𝑣_2𝑚−5¹ 𝑣_2𝑚−2¹ ) = 4(𝑚 + 𝑛) − (2𝑚 − 5 + 2) = 2𝑚 + 4𝑛 + 3 𝑓(𝑣₁¹𝑣_2𝑚¹ ) = 4(𝑚 + 𝑛) − 1

𝑓(𝑣₁²𝑣₂²) = 4(𝑚 + 𝑛) − 3

𝑓(𝑣_𝑗 𝑣_𝑗+1) = 4(𝑚 + 𝑛) − (𝑗 + 2𝑚) untuk 𝑗 = 2,3,5,6, … , 2𝑛 − 1 dan 𝑗 ≢ 0 𝑚𝑜𝑑 4

𝑓(𝑣₂²𝑣₃²) = 4(𝑚 + 𝑛) − (2 + 2𝑚) = 2𝑚 + 4𝑛 − 1 𝑓(𝑣₃²𝑣₄²) = 4(𝑚 + 𝑛) − (3 + 2𝑚) = 2𝑚 + 4𝑛 − 3

…

𝑓(𝑣_2𝑛−1² 𝑣_2𝑛² ) = 4(𝑚 + 𝑛) − (2𝑛 − 1 + 2𝑚) = 2𝑚 + 2𝑛 + 1 𝑓(𝑣₂²𝑣₃²) = 4(𝑚 + 𝑛) − (2 + 2𝑚) = 2𝑚 + 4𝑛 − 2

𝑓(𝑣_𝑗²𝑣_𝑗+3² ) = 4(𝑚 + 𝑛) − (𝑗 + 2𝑚 + 2) untuk 𝑗 ≡ 3 𝑚𝑜𝑑 4 dan 𝑗 < 2𝑛 − 1 𝑓(𝑣₃²𝑣₆²) = 4(𝑚 + 𝑛) − (3 + 2𝑚 + 2) = 2𝑚 + 4𝑛 − 5

𝑓(𝑣₇²𝑣₁₀² ) = 4(𝑚 + 𝑛) − (7 + 2𝑚 + 2) = 2𝑚 + 4𝑛 − 9

…

𝑓(𝑣_2𝑛−5² 𝑣_2𝑛−2² ) = 4(𝑚 + 𝑛) − (2𝑛 − 5 + 2𝑚 + 2) = 2𝑚 + 2𝑛 + 3 𝑓(𝑣₁¹𝑣_2𝑛¹ ) = 4(𝑚 + 𝑛) − (1 + 2𝑚) = 2𝑚 + 4𝑛 − 1

Konstruksi pelabelan total tak ajaib sisi kuat diatas akan dibuktikan berlaku untuk semua gabungan dua graf sun (S_m∪ S_n) dengan 𝑚, 𝑛 bilangan ganjil dan 𝑚, 𝑛 ≥ 3. Berikut akan diuraikan pembuktiannya:

Pembuktian I

Akan dibuktikan bahwa 𝑓(𝑣₁¹) ≤ 2(𝑚 + 𝑛). Diketahui 𝑓(𝑣₁¹) = 1, jelas bahwa 𝑓(𝑣₁¹) = 1 ≤ 2(𝑚 + 𝑛) untuk 𝑚, 𝑛 ≥ 3.

Pembuktian II

Akan dibuktikan bahwa 𝑓(𝑣₂¹) ≤ 2(𝑚 + 𝑛). Diketahui 𝑓(𝑣₂¹) = 2𝑚 + 1, jelas bahwa 𝑓(𝑣₂¹) = 2𝑚 + 1 ≤ 2(𝑚 + 𝑛) untuk 𝑚, 𝑛 ≥ 3.

Pembuktian III

Akan ditunjukkan bahwa 𝑓(𝑣_𝑗¹) ≤ 2(𝑚 + 𝑛) untuk setiap 𝑗 = 3,4, … ,2𝑚 dengan 𝑚 ≥ 3. Jelas bahwa untuk setiap 𝑗 = 3,4, … ,2𝑚 maka fungsi 𝑓(𝑣_𝑗¹) = 𝑗 ≤ 2(𝑚 + 𝑛) untuk 𝑚, 𝑛 ≥ 3.

Pembuktian IV

Akan dibuktikan bahwa 𝑓(𝑣₁²) ≤ 2(𝑚 + 𝑛). Diketahui 𝑓(𝑣₁²) = 2, jelas bahwa 𝑓(𝑣₁²) = 2 ≤ 2(𝑚 + 𝑛) untuk 𝑚, 𝑛 ≥ 3.

Pembuktian V

Akan ditunjukkan bahwa 𝑓(𝑣_𝑗²) ≤ 2(𝑚 + 𝑛) untuk setiap 𝑗 = 3,4, … ,2𝑛 dengan 𝑚 ≥ 3 . Jelas bahwa untuk setiap 𝑗 = 2,3,4, … ,2𝑛 maka fungsi 𝑓(𝑣_𝑗¹) = 𝑗 + 2𝑚 ≤ 2(𝑚 + 𝑛) = 2𝑛 + 2𝑚 untuk 𝑚, 𝑛 ≥ 3.

Pembuktian VI

Akan ditunjukkan bahwa 𝑓(𝑣₁¹𝑣₂¹) ≥ 2(𝑚 + 𝑛) dengan 𝑚, 𝑛 ≥ 3 . Jelas bahwa 𝑓(𝑣₁¹𝑣₂¹) = 4(𝑚 + 𝑛) ≥ 2(𝑚 + 𝑛) untuk 𝑚, 𝑛 ≥ 3.

Pembuktian VII

Akan ditunjukkan bahwa 𝑓(𝑣₁¹𝑣₃¹) ≥ 2(𝑚 + 𝑛) dengan 𝑚, 𝑛 ≥ 3 . Jelas bahwa 𝑓(𝑣₁¹𝑣₃¹) = 4(𝑚 + 𝑛) − 2 = 4𝑚 + 4𝑛 − 2 ≥ 2(𝑚 + 𝑛) = 2𝑚 + 2𝑛 untuk 𝑚, 𝑛 ≥ 3.

Pembuktian VIII

Dengan induksi matematis akan ditunjukkan bahwa 𝑓(𝑣_𝑗¹𝑣_𝑗+1¹ ) ≥ 2(𝑚 + 𝑛) untuk setiap 𝑗 = 3,5,6, … ,2𝑚 − 1 dan 𝑗 ≢ 0 𝑚𝑜𝑑 4.

1) Akan dibuktikan bahwa 𝑗 = 3 benar.

𝑓(𝑣_𝑗¹𝑣_𝑗+1¹ ) = 4(𝑚 + 𝑛) − (𝑗 + 1) 𝑓(𝑣₃¹𝑣₄¹) = 4(𝑚 + 𝑛) − (3 + 1) 𝑓(𝑣₃¹𝑣₄¹) = 4(𝑚 + 𝑛) − 4

Jelas bahwa 𝑓(𝑣₃¹𝑣₄¹) = 4(𝑚 + 𝑛) − 4 ≥ 2(𝑚 + 𝑛) , maka pernyataan tersebut benar untuk 𝑗 = 3.

2) Jika 𝑗 = 𝑘 benar, maka akan dibuktikan 𝑗 = 𝑘 + 1 benar.

Misalkan pernyataan tersebut benar untuk 𝑗 = 𝑘, maka 𝑓(𝑣_𝑘¹𝑣_𝑘+1¹ ) = 4(𝑚 + 𝑛) − (𝑘 + 1) = 4𝑚 + 4𝑛 − 𝑘 − 1 untuk 𝑗 = 3,5,6, … ,2𝑚 − 1 dan 𝑗 ≢ 0 𝑚𝑜𝑑 4

Untuk 𝑗 = 𝑘 + 1,

𝑓(𝑣_𝑘+1¹ 𝑣_𝑘+2¹ ) = 4(𝑚 + 𝑛) − (𝑘 + 1 + 1)

𝑓(𝑣_𝑘+1¹ 𝑣_𝑘+2¹ ) = 4𝑚 + 4𝑛 − 𝑘 − 1 − 1 ≥ 2(𝑚 + 𝑛)

Diperlihatkan bahwa pernyataan tersebut juga benar untuk 𝑗 = 𝑘 + 1 dengan 𝑚, 𝑛 ≥ 3

Pembuktian IX

Dengan induksi matematis akan ditunjukkan bahwa 𝑓(𝑣_𝑗¹𝑣_𝑗+3¹ ) ≥ 2(𝑚 + 𝑛) untuk setiap 𝑗 ≡ 3 𝑚𝑜𝑑 4 dan 𝑗 < 2𝑚 − 1.

1) Akan dibuktikan bahwa 𝑗 = 3 benar.

𝑓(𝑣_𝑗¹𝑣_𝑗+3¹ ) = 4(𝑚 + 𝑛) − (𝑗 + 2) 𝑓(𝑣₃¹𝑣₆¹) = 4(𝑚 + 𝑛) − (3 + 2) 𝑓(𝑣₃¹𝑣₆¹) = 4(𝑚 + 𝑛) − 5

Jelas bahwa 𝑓(𝑣₃¹𝑣₆¹) = 4(𝑚 + 𝑛) − 5 ≥ 2(𝑚 + 𝑛) , maka pernyataan tersebut benar untuk 𝑗 = 3.

2) Jika 𝑗 = 𝑘 benar, maka akan dibuktikan 𝑗 = 𝑘 + 1 benar.

Misalkan pernyataan tersebut benar untuk 𝑗 = 𝑘, maka

𝑓(𝑣_𝑘¹𝑣_𝑘+3¹ ) = 4(𝑚 + 𝑛) − (𝑘 + 2) = 4(𝑚 + 𝑛) − 𝑘 − 2 ≥ 2(𝑚 + 𝑛) untuk 𝑘 ≡ 3 𝑚𝑜𝑑 4 dan 𝑘 < 2𝑚 − 1

Untuk 𝑗 = 𝑘 + 1,

𝑓(𝑣_𝑘+1¹ 𝑣_𝑘+4¹ ) = 4(𝑚 + 𝑛) − (𝑘 + 1 + 2)

𝑓(𝑣_𝑘+1¹ 𝑣_𝑘+4¹ ) = 4(𝑚 + 𝑛) − 𝑘 − 2 − 1 ≥ 2(𝑚 + 𝑛)

Diperlihatkan bahwa pernyataan tersebut juga benar untuk 𝑗 = 𝑘 + 1 dengan 𝑚, 𝑛 ≥ 3

Pembuktian X

Akan ditunjukkan bahwa 𝑓(𝑣₁¹𝑣_2𝑚¹ ) ≥ 2(𝑚 + 𝑛) dengan 𝑚, 𝑛 ≥ 3. Jelas bahwa 𝑓(𝑣₁¹𝑣_2𝑚¹ ) = 4(𝑚 + 𝑛) − 1 ≥ 2(𝑚 + 𝑛) untuk 𝑚, 𝑛 ≥ 3.

Pembuktian XI

Akan ditunjukkan bahwa 𝑓(𝑣₁²𝑣₂²) ≥ 2(𝑚 + 𝑛) dengan 𝑚, 𝑛 ≥ 3 . Jelas bahwa 𝑓(𝑣₁²𝑣₂²) = 4(𝑚 + 𝑛) − 3 ≥ 2(𝑚 + 𝑛) untuk 𝑚, 𝑛 ≥ 3

Pembuktian XII

Dengan induksi matematis akan ditunjukkan bahwa 𝑓(𝑣_𝑗²𝑣_𝑗+1² ) ≥ 2(𝑚 + 𝑛) untuk setiap 𝑗 = 2,3,5,6, … , 2𝑛 − 1 dan 𝑗 ≢ 0 𝑚𝑜𝑑 4.

1) Akan dibuktikan bahwa 𝑗 = 2 benar.

𝑓(𝑣_𝑗²𝑣_𝑗+1² ) = 4(𝑚 + 𝑛) − (𝑗 + 2𝑚) 𝑓(𝑣₂²𝑣₃²) = 4(𝑚 + 𝑛) − (2 + 2𝑚) 𝑓(𝑣₂²𝑣₃²) = 4(𝑚 + 𝑛) − (2𝑚 + 2)

𝑓(𝑣₂𝑣₃) = 2𝑚 + 4𝑛 − 2

Jelas bahwa 𝑓(𝑣₂²𝑣₃²) = 2𝑚 + 4𝑛 − 2 ≥ 2(𝑚 + 𝑛) = 2𝑚 + 2𝑛 , maka pernyataan tersebut benar untuk 𝑗 = 2.

2) Jika 𝑗 = 𝑘 benar, maka akan dibuktikan 𝑗 = 𝑘 + 1 benar.

Misalkan pernyataan tersebut benar untuk 𝑗 = 𝑘, maka 𝑓(𝑣_𝑘²𝑣_𝑘+1² ) = 4(𝑚 + 𝑛) − (𝑘 + 2𝑚) = 2𝑚 + 4𝑛 − 𝑘 untuk 𝑗 = 2,3,5,6, … , 2𝑛 − 1 dan 𝑗 ≢ 0 𝑚𝑜𝑑 4

Untuk 𝑗 = 𝑘 + 1,

𝑓(𝑣_𝑘+1² 𝑣_𝑘+2² ) = 4(𝑚 + 𝑛) − (𝑘 + 1 + 2𝑚) 𝑓(𝑣_𝑘+1² 𝑣_𝑘+2² ) = 2𝑚 + 4𝑛 − 𝑘 − 1 ≥ 2(𝑚 + 𝑛)

Diperlihatkan bahwa pernyataan tersebut juga benar untuk 𝑗 = 𝑘 + 1 dengan 𝑚, 𝑛 ≥ 3

Pembuktian XIII

Dengan induksi matematis akan ditunjukkan bahwa 𝑓(𝑣_𝑗²𝑣_𝑗+3² ) ≥ 2(𝑚 + 𝑛) untuk setiap untuk 𝑗 ≡ 3 𝑚𝑜𝑑 4 dan 𝑗 < 2𝑛 − 1.

1) Akan dibuktikan bahwa 𝑗 = 3 benar.

𝑓(𝑣_𝑗²𝑣_𝑗+3² ) = 4(𝑚 + 𝑛) − (𝑗 + 2𝑚 + 1) 𝑓(𝑣₃²𝑣₆²) = 2𝑚 + 4𝑛 − 4

Jelas bahwa 𝑓(𝑣₃²𝑣₆²) = 2𝑚 + 4𝑛 − 4 ≥ 2(𝑚 + 𝑛) = 2𝑚 + 2𝑛 , maka pernyataan tersebut benar untuk 𝑗 = 3.

2) Jika 𝑗 = 𝑘 benar, maka akan dibuktikan 𝑗 = 𝑘 + 1 benar.

Misalkan pernyataan tersebut benar untuk 𝑗 = 𝑘, maka 𝑓(𝑣_𝑘²𝑣_𝑘+3² ) = 4(𝑚 + 𝑛) − (𝑘 + 2𝑚 + 1)

𝑓(𝑣_𝑘²𝑣_𝑘+3² ) = 2𝑚 + 4𝑛 − 𝑘 − 1 ≥ 2(𝑚 + 𝑛) untuk 𝑘 ≡ 3 𝑚𝑜𝑑 4 dan 𝑘 < 2𝑛 − 1

Untuk 𝑗 = 𝑘 + 1,

𝑓(𝑣_𝑘+1² 𝑣_𝑘+4² ) = 4(𝑚 + 𝑛) − (𝑘 + 1 + 2𝑚 + 1) 𝑓(𝑣_𝑘+1² 𝑣_𝑘+4² ) = 2𝑚 + 4𝑛 − 𝑘 − 1 − 1 ≥ 2(𝑚 + 𝑛)

Diperlihatkan bahwa pernyataan tersebut juga benar untuk 𝑗 = 𝑘 + 1 dengan 𝑚, 𝑛 ≥ 3

Pembuktian XIV

Akan ditunjukkan bahwa 𝑓(𝑣₁¹𝑣_2𝑛¹ ) ≥ 2(𝑚 + 𝑛) dengan 𝑚, 𝑛 ≥ 3 . Jelas bahwa 𝑓(𝑣₁¹𝑣_2𝑛¹ ) = 4(𝑚 + 𝑛) − (1 + 2𝑚) = 2𝑚 + 4𝑛 − 1 ≥ 2(𝑚 + 𝑛) = 2𝑚 + 2𝑛 untuk 𝑚, 𝑛 ≥ 3

Dari pelabelan titik, pelabelan sisi, pembuktian I hingga pembuktian V dapat kita simpulkan bahwa label titik tersebut merupakan bilangan bulat positif {1,2,3, … ,2𝑚, 2𝑚 + 1, . . ,2(𝑚 + 𝑛)} . Pembuktian V hingga pembuktian XIV juga telah membuktikan bahwa label pada sisi merupakan himpunan bilangan positif {2(𝑚 + 𝑛) + 1,2(𝑚 + 𝑛) + 2, … ,4(𝑚 + 𝑛)}. Hal ini sesuai dengan definisi 2.29 tentang pelabelan sisi kuat. Oleh karena itu, konstruksi tersebut berlaku untuk setiap 𝑚, 𝑛 ≥ 3 dengan 𝑚, 𝑛 bilangan ganjil.

Berikut akan diberikan contoh pelabelan total sisi kuat (4(𝑚 + 𝑛) + 2,1) pada gabungan dua graf sun (S_m∪ S_n) dengan 𝑚, 𝑛 bilangan ganjil.

a) Pelabelan total tak ajaib sisi kuat (4(𝑚 + 𝑛) + 2,1) pada gabungan dua graf sun (S₅∪ S₃)

Gambar 4.4 merupakan gambar gabungan dua graf sun (S₅∪ S₃) yang akan diberi label dengan bobot titik terkecilnya 26 (𝑎 = 26) dan bedanya 1 (𝑑 = 1) menggunakan konstruksi pelabelan graf yang telah didapatkan sebelumnya.

𝒇(𝒗_𝟏^𝟏) = 𝟏 𝒇(𝒗_𝟐^𝟏) = 𝟐𝒎 + 𝟏

𝑓(𝑣₂¹) = (2 × 5) + 1 = 11

𝒇(𝒗_𝒋^𝟏) = 𝒋 untuk 𝒋 = 𝟑, 𝟒, 𝟓, 𝟔, 𝟕, 𝟖, 𝟗, 𝟏𝟎 𝑓(𝑣₃¹) = 3

𝑓(𝑣₄¹) = 4 𝑓(𝑣₅¹) = 5 𝑓(𝑣₆¹) = 6

𝑓(𝑣₇¹) = 7 𝑓(𝑣₈¹) = 8 𝑓(𝑣₉¹) = 9 𝑓(𝑣₁₀¹ ) = 10 𝒇(𝒗_𝟏^𝟐) = 𝟐

𝒇(𝒗_𝒋^𝟐) = 𝒋 + 𝟐𝒎 untuk 𝒋 = 𝟐, 𝟑, 𝟒, 𝟓, 𝟔 𝑓(𝑣₂²) = 2 + (2 × 5) = 2 + 10 = 12 𝑓(𝑣₃²) = 3 + (2 × 5) = 3 + 10 = 13

𝑓(𝑣₄) = 4 + (2 × 5) = 4 + 10 = 14 𝑓(𝑣₅²) = 5 + (2 × 5) = 5 + 10 = 15 𝑓(𝑣₆²) = 6 + (2 × 5) = 6 + 10 = 16 Label untuk sisinya :

𝒇(𝒗_𝟏^𝟏𝒗_𝟐^𝟏) = 𝟒(𝒎 + 𝒏) 𝑓(𝑣₁¹𝑣₂¹) = 4(5 + 3) = 32 𝒇(𝒗_𝟏^𝟏𝒗_𝟑^𝟏) = 𝟒(𝒎 + 𝒏) − 𝟐

𝑓(𝑣₁¹𝑣₃¹) = 4(5 + 3) − 2 = 32 − 2 = 30

𝒇(𝒗_𝒋^𝟏𝒗_𝒋+𝟏^𝟏 ) = 𝟒(𝒎 + 𝒏) − (𝒋 + 𝟏) untuk 𝒋 = 𝟑, 𝟓, 𝟔, 𝟕, 𝟗 𝑓(𝑣₃¹𝑣₄¹) = 4(5 + 3) − (3 + 1) = 32 − 4 = 28

𝑓(𝑣₅¹𝑣₆¹) = 4(5 + 3) − (5 + 1) = 32 − 6 = 26 𝑓(𝑣₆¹𝑣₇¹) = 4(5 + 3) − (6 + 1) = 32 − 7 = 25 𝑓(𝑣₇¹𝑣₈¹) = 4(5 + 3) − (7 + 1) = 32 − 8 = 24 𝑓(𝑣₉¹𝑣₁₀¹ ) = 4(5 + 3) − (9 + 1) = 32 − 10 = 22 𝒇(𝒗_𝒋^𝟏𝒗_𝒋+𝟑^𝟏 ) = 𝟒(𝒎 + 𝒏) − (𝒋 + 𝟐) untuk 𝒋 = 𝟑, 𝟕 𝑓(𝑣₃¹𝑣₆¹) = 4(5 + 3) − (3 + 2) = 32 − 5 = 27 𝑓(𝑣₇¹𝑣₁₀¹ ) = 4(5 + 3) − (7 + 2) = 32 − 9 = 23 𝒇(𝒗_𝟏^𝟏𝒗_𝟐𝒎^𝟏 ) = 𝟒(𝒎 + 𝒏) − 𝟏

𝑓(𝑣₁¹𝑣₆¹) = 4(5 + 3) − 1 = 32 − 1 = 31 𝒇(𝒗_𝟏^𝟐𝒗_𝟐^𝟐) = 𝟒(𝒎 + 𝒏) − 𝟑

𝑓(𝑣₁²𝑣₂²) = 4(5 + 3) − 3 = 32 − 3 = 29

𝒇(𝒗_𝒋^𝟐𝒗_𝒋+𝟏^𝟐 ) = 𝟒(𝒎 + 𝒏) − (𝒋 + 𝟐𝒎) untuk 𝒋 = 𝟐, 𝟑, 𝟓 𝑓(𝑣₂²𝑣₃²) = 4(5 + 3) − (2 + 10) = 32 − 12 = 20 𝑓(𝑣₃²𝑣₅²) = 4(5 + 3) − (3 + 10) = 32 − 13 = 19 𝑓(𝑣₅²𝑣₆²) = 4(5 + 3) − (5 + 10) = 32 − 15 = 17 𝒇(𝒗_𝒋^𝟐𝒗_𝒋+𝟑^𝟐 ) = 𝟒(𝒎 + 𝒏) − (𝒋 + 𝟐𝒎 + 𝟏) untuk 𝒋 = 𝟑 𝑓(𝑣₃²𝑣₆²) = 4(5 + 3) − (3 + 10 + 1) = 32 − 14 = 18 𝒇(𝒗_𝟏^𝟏𝒗_𝟐𝒏^𝟏 ) = 𝟒(𝒎 + 𝒏) − (𝟏 + 𝟐𝒎)

𝑓(𝑣₁¹𝑣₆¹) = 4(5 + 3) − (1 + 12) = 32 − 13 = 19

Dari perhitungan tersebut didapatkan graf berlabel seperti pada gambar 4.4

b) Pelabelan total tak ajaib sisi kuat (4(𝑚 + 𝑛) + 2,1) pada gabungan dua graf sun (S₅∪ S₇)

Gambar 4.5 merupakan gambar gabungan dua graf sun (S₅∪ S₇) yang akan diberi label dengan bobot titik terkecilnya 50 (𝑎 = 50) dan bedanya 1 (𝑑 = 1) menggunakan konstruksi pelabelan graf yang telah didapatkan sebelumnya.

Label untuk titiknya : 𝒇(𝒗_𝟏^𝟏) = 𝟏

𝒇(𝒗_𝟐^𝟏) = 𝟐𝒎 + 𝟏

𝑓(𝑣₂¹) = (2 × 5) + 1 = 11

𝒇(𝒗_𝒋^𝟏) = 𝒋 untuk 𝒋 = 𝟑, 𝟒, 𝟓, 𝟔, 𝟕, 𝟖, 𝟗, 𝟏𝟎 𝑓(𝑣₃¹) = 3

𝑓(𝑣₄¹) = 4 𝑓(𝑣₅¹) = 5 𝑓(𝑣₆¹) = 6

𝑓(𝑣₇¹) = 7 𝑓(𝑣₈¹) = 8 𝑓(𝑣₉¹) = 9 𝑓(𝑣₁₀¹ ) = 10

𝒇(𝒗_𝟏^𝟐) = 𝟐

𝒇(𝒗_𝒋^𝟐) = 𝒋 + 𝟐𝒎 untuk 𝒋 = 𝟐, 𝟑, 𝟒, 𝟓, … , 𝟏𝟒 𝑓(𝑣₂²) = 2 + (2 × 5) = 2 + 10 = 12

𝑓(𝑣₃²) = 3 + (2 × 5) = 3 + 10 = 13 𝑓(𝑣₄²) = 4 + (2 × 5) = 4 + 10 = 14 𝑓(𝑣₅²) = 5 + (2 × 5) = 5 + 10 = 15 𝑓(𝑣₆²) = 6 + (2 × 5) = 6 + 10 = 16 𝑓(𝑣₇²) = 7 + (2 × 5) = 7 + 10 = 17 𝑓(𝑣₈²) = 8 + (2 × 5) = 8 + 10 = 18 𝑓(𝑣₉²) = 9 + (2 × 5) = 9 + 10 = 19 𝑓(𝑣₁₀² ) = 10 + (2 × 5) = 10 + 10 = 20 𝑓(𝑣₁₁² ) = 11 + (2 × 5) = 11 + 10 = 21 𝑓(𝑣₁₂² ) = 12 + (2 × 5) = 12 + 10 = 22 𝑓(𝑣₁₃² ) = 13 + (2 × 5) = 13 + 10 = 23

𝑓(𝑣₁₄) = 14 + (2 × 3) = 14 + 10 = 24 Label untuk sisinya :

𝒇(𝒗_𝟏^𝟏𝒗_𝟐^𝟏) = 𝟒(𝒎 + 𝒏) 𝑓(𝑣₁¹𝑣₂¹) = 4(5 + 7) = 48 𝒇(𝒗_𝟏^𝟏𝒗_𝟑^𝟏) = 𝟒(𝒎 + 𝒏) − 𝟐

𝑓(𝑣₁¹𝑣₃¹) = 4(5 + 7) − 2 = 48 − 2 = 46

𝒇(𝒗_𝒋^𝟏𝒗_𝒋+𝟏^𝟏 ) = 𝟒(𝒎 + 𝒏) − (𝒋 + 𝟏) untuk 𝒋 = 𝟑, 𝟓, 𝟔, 𝟕, 𝟗 𝑓(𝑣₃¹𝑣₄¹) = 4(5 + 7) − (3 + 1) = 48 − 4 = 44

𝑓(𝑣₅¹𝑣₆¹) = 4(5 + 7) − (5 + 1) = 48 − 6 = 42 𝑓(𝑣₆¹𝑣₇¹) = 4(5 + 7) − (6 + 1) = 48 − 7 = 41 𝑓(𝑣₇¹𝑣₈¹) = 4(5 + 7) − (7 + 1) = 48 − 8 = 40 𝑓(𝑣₉¹𝑣₁₀¹ ) = 4(5 + 7) − (9 + 1) = 48 − 10 = 38 𝒇(𝒗_𝒋^𝟏𝒗_𝒋+𝟑^𝟏 ) = 𝟒(𝒎 + 𝒏) − (𝒋 + 𝟐) untuk 𝒋 = 𝟑, 𝟕 𝑓(𝑣₃¹𝑣₆¹) = 4(5 + 7) − (3 + 2) = 48 − 5 = 43 𝑓(𝑣₇¹𝑣₁₀¹ ) = 4(5 + 7) − (7 + 2) = 48 − 9 = 39 𝒇(𝒗_𝟏^𝟏𝒗_𝟐𝒎^𝟏 ) = 𝟒(𝒎 + 𝒏) − 𝟏

𝑓(𝑣₁¹𝑣₁₀¹ ) = 4(5 + 7) − 1 = 48 − 1 = 47 𝒇(𝒗_𝟏^𝟐𝒗_𝟐^𝟐) = 𝟒(𝒎 + 𝒏) − 𝟑

𝑓(𝑣₁²𝑣₂²) = 4(5 + 7) − 3 = 48 − 3 = 45

𝒇(𝒗_𝒋^𝟐𝒗_𝒋+𝟏^𝟐 ) = 𝟒(𝒎 + 𝒏) − (𝒋 + 𝟐𝒎) untuk 𝒋 = 𝟐, 𝟑, 𝟓, 𝟔, 𝟕, 𝟗, 𝟏𝟎, 𝟏𝟏, 𝟏𝟑

𝑓(𝑣₂²𝑣₃²) = 4(5 + 7) − (2 + 10) = 48 − 12 = 36 𝑓(𝑣₃²𝑣₅²) = 4(5 + 7) − (3 + 10) = 48 − 13 = 35 𝑓(𝑣₅²𝑣₆²) = 4(5 + 7) − (5 + 10) = 48 − 15 = 33 𝑓(𝑣₆²𝑣₇²) = 4(5 + 7) − (6 + 10) = 48 − 16 = 32 𝑓(𝑣₇²𝑣₈²) = 4(5 + 7) − (7 + 10) = 48 − 17 = 31 𝑓(𝑣₉²𝑣₁₀² ) = 4(5 + 7) − (9 + 10) = 48 − 19 = 29 𝑓(𝑣₁₀² 𝑣₁₁² ) = 4(5 + 7) − (10 + 10) = 48 − 20 = 28 𝑓(𝑣₁₁² 𝑣₁₂² ) = 4(5 + 7) − (11 + 10) = 48 − 21 = 27 𝑓(𝑣₁₃² 𝑣₁₄² ) = 4(5 + 7) − (13 + 10) = 48 − 23 = 25

𝒇(𝒗_𝒋𝒗_𝒋+𝟑) = 𝟒(𝒎 + 𝒏) − (𝒋 + 𝟐𝒎 + 𝟏) untuk 𝒋 = 𝟑, 𝟕, 𝟏𝟏 𝑓(𝑣₃²𝑣₆²) = 4(5 + 7) − (3 + 10 + 1) = 48 − 14 = 34 𝑓(𝑣₇²𝑣₁₀² ) = 4(5 + 7) − (7 + 10 + 1) = 48 − 18 = 30 𝑓(𝑣₁₁² 𝑣₁₄² ) = 4(5 + 7) − (11 + 10 + 1) = 48 − 22 = 26 𝒇(𝒗_𝟏^𝟏𝒗_𝟐𝒏^𝟏 ) = 𝟒(𝒎 + 𝒏) − (𝟏 + 𝟐𝒎)

𝑓(𝑣₁¹𝑣₁₄¹ ) = 4(5 + 7) − (1 + 10) = 48 − 11 = 37

Dari perhitungan tersebut didapatkan graf berlabel seperti pada gambar 4.2.5.

b. Pelabelan total tak-ajaib sisi kuat (𝑎, 𝑑) pada gabungan dua graf sun (S_m∪ S_n) untuk 𝑑 = 1 pada saat 𝑚 ≠ 𝑛 dengan 𝑚, 𝑛 keduanya bilangan genap dan 𝑚, 𝑛 ≥ 3.

Misalkan 𝑓 merupakan fungsi pelabelan tersebut, maka konstruksi gabungan dua graf sun (S_m∪ S_n) dengan 𝑚, 𝑛 bilangan genap dan 𝑚, 𝑛 ≥ 3 saat (4(𝑚 + 𝑛) + 2,1) dengan label titiknya adalah sebagai berikut:

Rumus 4.2.3

𝑓(𝑣_𝑗¹) = 𝑗 untuk 𝑗 = 1,2,3, … ,2𝑚 𝑓(𝑣_𝑗²) = 𝑗 + 2𝑚 untuk 𝑗 = 1,2,3, … ,2𝑛

Sedangkan label untuk sisinya adalah sebagai berikut : Rumus 4.2.4

𝑓(𝑣_𝑗¹𝑣_𝑗+1¹ ) = 4(𝑚 + 𝑛) − 𝑗 untuk 𝑗 = 1,2, … ,2𝑚 − 1 dan 𝑗 ≢ 0 𝑚𝑜𝑑 4 𝑓(𝑣_𝑗¹𝑣_𝑗+3¹ ) = 4(𝑚 + 𝑛) − (𝑗 + 1) untuk 𝑗 ≡ 3 𝑚𝑜𝑑 4 dan 𝑗 < 2𝑚 − 1 𝑓(𝑣₂¹𝑣_𝑗¹) = 4(𝑚 + 𝑛) untuk 𝑗 = 2𝑚 − 1

𝑓(𝑣_𝑗²𝑣_𝑗+1² ) = 4(𝑚 + 𝑛) − (𝑗 + 2𝑚) untuk 𝑗 = 1,2, … ,2𝑛 − 1 dan 𝑗 ≢ 0 𝑚𝑜𝑑 4

𝑓(𝑣_𝑗²𝑣_𝑗+3² ) = 4(𝑚 + 𝑛) − (𝑗 + 2𝑚 + 1) untuk 𝑗 ≡ 3 𝑚𝑜𝑑 4 dan 𝑗 < 2𝑛 − 1 𝑓(𝑣₂²𝑣_𝑗²) = 4(𝑚 + 𝑛) − 2𝑚 untuk 𝑗 = 2𝑛 − 1

Pelabelan titik untuk graf S_m∪ S_n adalah sebagai berikut.

𝑓(𝑣_𝑗¹) = 𝑗 untuk 𝑗 = 1,2,3, … ,2𝑚

𝑓(𝑣₁) = 1 𝑓(𝑣₂¹) = 2

…

𝑓(𝑣_2𝑚¹ ) = 2𝑚

𝑓(𝑣_𝑗²) = 𝑗 + 2𝑚 untuk 𝑗 = 1,2,3, … ,2𝑛 𝑓(𝑣₁²) = 1 + 2𝑚

𝑓(𝑣₂²) = 2 + 2𝑚

…

𝑓(𝑣_2𝑛² ) = 2𝑛 + 2𝑚

Pelabelan sisi untuk graf S_m∪ S_n adalah sebagai berikut.

𝑓(𝑣_𝑗¹𝑣_𝑗+1¹ ) = 4(𝑚 + 𝑛) − 𝑗 untuk 𝑗 = 1,2, … ,2𝑚 − 1 dan 𝑗 ≢ 0 𝑚𝑜𝑑 4 𝑓(𝑣₁¹𝑣₂¹) = 4(𝑚 + 𝑛) − 1

𝑓(𝑣₂¹𝑣₃¹) = 4(𝑚 + 𝑛) − 2

…

𝑓(𝑣_2𝑚−1¹ 𝑣_2𝑚¹ ) = 4(𝑚 + 𝑛) − 2𝑚 + 1 = 2𝑚 + 4𝑛 + 1

𝑓(𝑣_𝑗¹𝑣_𝑗+3¹ ) = 4(𝑚 + 𝑛) − (𝑗 + 1) untuk 𝑗 ≡ 3 𝑚𝑜𝑑 4 dan 𝑗 < 2𝑚 − 1 𝑓(𝑣₃¹𝑣₆¹) = 4(𝑚 + 𝑛) − (3 + 1) = 4(𝑚 + 𝑛) − 4

𝑓(𝑣₂¹𝑣_𝑗¹) = 4(𝑚 + 𝑛) untuk 𝑗 = 2𝑚 − 1 𝑓(𝑣₂¹𝑣_2𝑚−1¹ ) = 4(𝑚 + 𝑛)

𝑓(𝑣_𝑗²𝑣_𝑗+1² ) = 4(𝑚 + 𝑛) − (𝑗 + 2𝑚) untuk 𝑗 = 1,2, … ,2𝑛 − 1 dan

𝑓(𝑣_𝑗²𝑣_𝑗+1² ) = 4(𝑚 + 𝑛) − (𝑗 + 2𝑚) untuk 𝑗 = 1,2, … ,2𝑛 − 1 dan