PELABELAN TOTAL TAK-AJAIB SISI KUAT (a, d) PADA GABUNGAN DUA GRAF SUN (S m S n ) SKRIPSI

(1)

i

PELABELAN TOTAL TAK-AJAIB SISI KUAT (𝒂, 𝒅) PADA GABUNGAN DUA GRAF SUN (𝐒_𝐦∪ 𝐒_𝐧)

SKRIPSI

Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Pendidikan (S.Pd.)

Program Studi Pendidikan Matematika

Oleh:

Brigitta Vinda Yonanta NIM: 161414079

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA

JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA

2020

(2)

iv

HALAMAN MOTTO

You are loved more than you will ever know by someone who died to know you – Romans 5 : 6

Kau tidak perlu menang atau kalah dalam permainan, yang penting adalah kau merasa menang - Mr. Krab

We can’t solve problems by using the same kind of thinking we used when we created them – Albert Einstein

“

(3)

v

HALAMAN PERSEMBAHAN

Dengan tulus karya ini saya persembahkan kepada :

Tuhan Yang Maha Esa Kedua Orangtuaku, Yohanes Subandi dan Marianta Siti Lestari Kakek dan Nenekku, Broto Suwarno dan Yustina Suwiji Kakak dan adikku, Alfonsus Thyonada Bananta dan Yohanes Grace A.

Teman-teman seperjuanganku di Pendidikan Matematika 2016 Program Studi Pendidikan Matematika

Universitas Sanata Dharma

(4)

viii ABSTRAK

Brigitta Vinda Yonanta. 2020. Pelabelan Total Tak-Ajaib Sisi Kuat (𝒂, 𝒅) pada Gabungan Dua Graf Sun (𝐒_𝐦∪ 𝐒_𝐧) . Program Studi Pendidikan Matematika, Jurusan Pendidikan Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan, Universitas Sanata Dharma.

Pelabelan total suatu graf 𝐺 = (𝑉, 𝐸) merupakan pemetaan bijektif 𝑓 yang memetakan gabungan himpunan titik dan sisi ke {1,2,3, … , |𝑉| + |𝐸|} . Bobot elemen sebuah graf (titik atau sisi) adalah hasil penjumlahan label elemen (sisi atau titik) tersebut dengan elemen (sisi atau titik) yang incident dengan elemen (sisi atau titik) tersebut. Berdasarkan bobot elemennya, pelabelan total dibedakan menjadi dua jenis yakni pelabelan total ajaib dan pelabelan total tak-ajaib. Suatu pelabelan total disebut pelabelan total ajaib apabila semua bobot elemennya (titik atau sisi) sama, sedangkan pelabelan total disebut pelabelan total tak-ajaib jika semua bobot elemennya (titik atau sisi) berbeda. Pelabelan total tak ajaib sisi kuat (𝑎, 𝑑) dari graf 𝐺 = (𝑉, 𝐸) adalah pelabelan total tak-ajaib dengan bobot dari semua sisi berbeda dan membentuk suatu barisan aritmatika naik dengan suku pertama 𝑎 dan beda 𝑑 , dan label-label terkecil dipasangkan dengan titik-titik. Penelitian ini mengkaji pelabelan total tak-ajaib sisi kuat (𝑎, 𝑑) pada graf S_m∪ S_n.

Penelitian ini bertujuan untuk mengetahui bentuk gabungan dua graf sun, keberlakuan pelabelan tak-ajaib sisi kuat (𝑎, 𝑑) pada graf S_m∪ S_n dan mencari rumus umum atau pola pelabelannya. Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah penelitian pustaka dengan mengkaji beberapa penelitian sebelumnya. Hasil penelitian ini menunjukkan bahwa pelabelan total tak-ajaib sisi kuat (𝑎, 𝑑) berlaku pada graf S_m∪ S_n dengan 𝑚, 𝑛 ≥ 3, untuk nilai 𝑑 = 1 dengan 𝑎 = 4(𝑚 + 𝑛) + 2 dimana 𝑚 = 𝑛 atau 𝑚 ≠ 𝑛 dengan 𝑚, 𝑛 keduanya genap atau ganjil.

Kata kunci : Graf, Pelabelan Total Tak-Ajaib Sisi Kuat (𝑎, 𝑑), Gabungan Dua Graf Sun (S_m∪ S_n)

(5)

ix ABSTRACT

Brigitta Vinda Yonanta. 2020. Super (𝒂, 𝒅) Edge Antimagic Total Labeling on Union of Two Sun Graphs (𝑺_𝒎∪ 𝑺_𝒏). Mathematics Education Study Program, Departemen of Mathematics and Science Education, Faculty of Teacher Training and Education, Sanata Dharma University.

Total labeling of graph 𝐺 = (𝑉, 𝐸) is bijective mapping 𝑓 from the union of the vertex and edge sets to {1,2,3, … , |𝑉| + |𝐸|}. A weight of an element of a graph (vertex or edge) is the total label of the element and all vertices (or edges) incident to it. Based on the weight of the element of a graph, there are two types of total labeling of a graph, i.e, magic total labeling and antimagic total labeling. A magic total labeling is a total labeling where the weight of the elements of the graphs are the same, while an antimagic total labeling is a total labeling where the weight of the elements of the graph are different. An antimagic total labeling is called a super (𝑎, 𝑑)-edge antimagic total labeling on 𝐺 = (𝑉, 𝐸) graph if the weight of the edges on 𝐺 = (𝑉, 𝐸) are different and form an ascending arithmetic sequence with the initial terms is a and the different is d, the smallest labels are assigned to the vertices. This research investigates super (𝑎, 𝑑)-edge antimagic total labeling on Graph 𝑆_𝑚∪ 𝑆_𝑛.

The aim of the research is to study the union of two sun graphs (𝑆_𝑚∪ 𝑆_𝑛), whether it has the super (𝑎, 𝑑) edge antimagic total labeling, and to find a formula of the labeling. This research is a bibliography studies where researcher reviewed some result from previous studies. The result of this research is that the union of two sun graphs (𝑆_𝑚∪ 𝑆_𝑛) has a super super (𝑎, 𝑑) edge antimagic total labeling with 𝑚, 𝑛 ≥ 3 for 𝑑 = 1 with 𝑎 = 4(𝑚 + 𝑛) + 2 where 𝑚 = 𝑛 or 𝑚 ≠ 𝑛 with both of 𝑚 and 𝑛 are even or odd.

Key Words : Graph, Super (𝑎, 𝑑) Edge Antimagic Total Labeling,Union of two sun graphs (S_m∪ S_n)

(6)

xii DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL ... i

HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING ... ii

LEMBAR PERSETUJUAN... iii

HALAMAN MOTTO ... iiv

HALAMAN PERSEMBAHAN ... v

PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ... vi

LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN ... vii

ABSTRAK ... viii

ABSTRACT ... iix

KATA PENGANTAR ... x

DAFTAR ISI ... xiii

DAFTAR GAMBAR ... xiviv

DAFTAR NOTASI ... xv

BAB I PENDAHULUAN ... 1

A. Latar Belakang ... 1

B. Rumusan Masalah ... 4

C. Batasan Masalah... 5

D. Tujuan dan Manfaat Penelitian ... 5

E. Sistem Penulisan ... 5

F. Metode Penelitian... 6

BAB II LANDASAN TEORI ... 8

2.1 Himpunan ... 8

2.2 Teori Graf ... 12

2.3 Pelabelan Graf ... 22

BAB III GABUNGAN DUA GRAF SUN (𝐒_𝐦∪ 𝐒_𝐧) ... 30

3.1 Gabungan dua Graf Sun ... 30

3.2 Pelabelan Total Tak-Ajaib Titik Kuat (𝑎, 𝑑) pada Graf Sun ... 32

3.3 Pelabelan Total Tak-Ajaib Titik pada Gabungan Graf Sun ... 33

(7)

xiii

3.4 Pelabelan Total Tak-Ajaib Sisi Kuat (𝑎, 𝑑) pada Graf Sun... 34 BAB IV

PELABELAN TOTAL TAK-AJAIB SISI KUAT 𝒂, 𝒅 PADA GABUNGAN DUA GRAF SUN (𝐒_𝐦∪ 𝐒_𝐧) ... 35

4.1 Perhitungan Dasar Pelabelan Total Tak Ajaib Sisi Kuat... 35 4.2 Pelabelan Total Tak-Ajaib Sisi Kuat (𝑎, 𝑑) pada Gabungan Dua Graf Sun (S_m∪ S_n) untuk 𝑑 = 1 ... 41 BAB V

KESIMPULAN ... 85 DAFTAR PUSTAKA ... xix

(8)

xiv

DAFTAR GAMBAR

Gambar 1.1 Tujuh jembatan di kota Königsberg ... 1

Gambar 1. 2 Representasi masalah jembatan di kota Königsberg ... 1

Gambar 1.3 Representasi senyawa hidrokarbon ... 3

Gambar 1.4 Representasi senyawa benzenoida ... 3

Gambar 1.5 Tahapan Penelitian ... 7

Gambar 2.1 Graf dan Bukan Graf ... 12

Gambar 2.2 Graf 𝐺₁ ... 13

Gambar 2.3 Graf 𝐺₂ ... 15

Gambar 2.4 Graf 𝐺₃ ... 16

Gambar 2.5 Graf 𝐺₄ dan 𝐺₅ ... 17

Gambar 2.6 Graf 𝐺₆ dan 𝐺₇ ... 18

Gambar 2.7 Graf 𝐺₈, 𝐺₉ dan 𝐺₁₀ ... 19

Gambar 2.8 Graf 𝐺₁₁ ... 20

Gambar 2.9 Graf 𝐾₄ dan 𝐾₅ ... 20

Gambar 2.10 Graf 𝐺₁₂ ... 21

Gambar 2.11 Graf 𝐶₄⨀𝐾₁ ... 21

Gambar 2.12 Graf Bipartit ... 22

Gambar 2.13 Graf bipartite lengkap ... 22

Gambar 2.14 Pelabelan pada Graf 𝐺₁₂ ... 23

Gambar 2.15 Graf 𝐺₁₃ ... 25

Gambar 2.16 Graf 𝐺₁₄ ... 26

Gambar 2.17 Graf 𝐺₁₅ ... 28

Gambar 2.18 Graf 𝐺₁₆ ... 28

Gambar 3.1 Bentuk Umum Gabungan dua graf sun (𝑆_𝑚∪ 𝑆_𝑛) ... 31

Gambar 3.2 Gabungan dua graf sun (𝑆₄∪ 𝑆₄) ... 31

Gambar 3.3 Pelabelan total tak-ajaib titik kuat (14,1) pada 𝑆₃ ... 32

Gambar 3.4 Pelabelan total tak-ajaib titik kuat (9,3) pada 𝑆₃ ... 33

Gambar 3.5 VATL pada gabungan graf sun 𝑆₄∪ 𝑆₅∪ 𝑆₆ ... 33

Gambar 3.6 Pelabelan total tak-ajaib sisi kuat (18,1) pada 𝑆₄ ... 34

Gambar 4.1 Pelabelan total tak-ajaib sisi kuat (26,1) pada 𝑆₃∪ 𝑆₃ ... 41

(9)

xv

Gambar 4.2 Pelabelan total tak-ajaib sisi kuat (34,1) pada 𝑆₄∪ 𝑆₄ ... 42

Gambar 4.3 Pelabelan total tak-ajaib sisi kuat (42,1) pada 𝑆₅∪ 𝑆₅ ... 43

Gambar 4.4 Pelabelan total tak-ajaib sisi kuat (34,1) pada 𝑆₅∪ 𝑆₃ ... 44

Gambar 4.5 Pelabelan total tak-ajaib sisi kuat (50,1) pada 𝑆₅∪ 𝑆₇ ... 45

Gambar 4.6 Pelabelan total tak-ajaib sisi kuat (50,1) pada 𝑆₈∪ 𝑆₄ ... 47

Gambar 4.7 Pelabelan total tak-ajaib sisi kuat (42,1) pada 𝑆₄∪ 𝑆₆ ... 41

Gambar 4.8 Ilustrasi pelabelan titik pada graf 𝑆₄∪ 𝑆₃ ... 84

(10)

xvi

DAFTAR NOTASI

∪ : gabungan himpunan

∩ : irisan himpunan

∈ : anggota himpunan

∉ : bukan anggota himpunan

∅ : himpunan kosong

⊆ : himpunan bagian

≡ : kongruen

≢ : tidak kongruen

≈ : mendekati

∎ : akhir pembuktian

= : sama dengan

≠ : tidak sama dengan

≤ : kurang dari atau sama dengan

≥ : lebih dari atau sama dengan

< : kurang dari

|𝑉| : banyaknya titik pada graf

|𝐸| : banyaknya sisi pada graf 𝑉 = {𝑣₁, 𝑣₂, … , 𝑣_𝑖} : himpunan titik pada graf

𝑣_𝑖 : titik ke-i

𝑣_𝑗^𝑖 : titik ke-j pada graf ke-i 𝐸 = {𝑒₁, 𝑒₂, … , 𝑒_𝑖} : himpunan sisi pada graf

𝑒 = (𝑣_𝑖𝑣_𝑗) : sisi yang menghubungkan 𝑣_𝑖 ke 𝑣_𝑗 𝑒_𝑗^𝑖 : sisi ke-j pada graf ke-i

𝑠_𝑣 : jumlah semua label titik 𝑠_𝑒 : jumlah semua label sisi 𝑠_𝑤 : jumlah semua bobot sisi 𝑤(𝑣_𝑖) : bobot titik 𝑣_𝑖

𝑤(𝑣_𝑖𝑣_𝑗) : bobot sisi (𝑣_𝑖𝑣_𝑗)

𝑓 : fungsi

(11)

xvii 𝑓(𝑣_𝑖) : label titik 𝑣_𝑖

𝑓(𝑣_𝑖𝑣_𝑗) : label sisi 𝑣_𝑖𝑣_𝑗

𝑆_𝑛 : graf sun dengan 2𝑛 sisi 𝑆_𝑛₁ ∪ 𝑆_𝑛₂∪ … ∪ 𝑆_𝑛_𝑘 : gabungan graf sun

𝑆_𝑚⋃ 𝑆_𝑛 : gabungan dua graf sun dengan 2𝑚 + 2𝑛sisi

(12)

1 BAB I PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

Matematika sering dipahami sebagai ilmu pengetahuan yang mempelajari tentang bilangan, hubungan antara bilangan, dan prosedur operasional yang digunakan dalam menyelesaikan masalah mengenai bilangan. Padahal matematika juga merupakan ilmu pengetahuan yang mempelajari pola dan hubungan (relasi). Salah satu cabang dari matematika yang mempelajari mengenai hubungan dan relasi adalah teori graf.

Teori Graf bermula ketika penduduk kota Königsberg di Prusia Timur (sekarang dikenal dengan nama Kaliningrad) bertanya kepada seorang matematikawan Swiss yang terkenal pada saat itu, Leonhard Euler.

Inti dari pernyataan mereka adalah dapatkah seseorang berjalan menyeberangi masing-masing dari ketujuh jembatan yang ada di kota Königsberg (Gambar 1.1) sebanyak persis satu kali dan tiba kembali ke titik keberangatannya?

𝐺𝑎𝑚𝑏𝑎𝑟 1.1 𝑇𝑢𝑗𝑢ℎ 𝑗𝑒𝑚𝑏𝑎𝑡𝑎𝑛 𝑑𝑖 𝑘𝑜𝑡𝑎 𝐾ö𝑛𝑖𝑔𝑠𝑏𝑒𝑟𝑔 (Sumber : Foulds, 1992)

(13)

Euler berhasil membuktikannya dengan merepresentasikan pulau dan sisi-sisi dari jembatan sebagai titik lalu jembatannya direpresentasikan dengan garis seperti pada Gambar 1.2. Representasi yang dilakukan Euler inilah yang selanjutnya disebut sebagai teori graf. Ia membuktikan bahwa hal tersebut mungkin terjadi jika setiap titiknya memiliki derajat titik genap.

Kondisi ini tentu tidak berlaku (lihat gambar 1.2) karena tidak ada titik yang memenuhi, sehingga perjalanan tersebut tidak dapat ditemukan (Foulds, 1992).

𝐺𝑎𝑚𝑏𝑎𝑟 1.2 𝑅𝑒𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑎𝑠𝑖 𝑚𝑎𝑠𝑎𝑙𝑎ℎ 𝑗𝑒𝑚𝑏𝑎𝑡𝑎𝑛 𝑑𝑖 𝑘𝑜𝑡𝑎 𝐾ö𝑛𝑖𝑔𝑠𝑏𝑒𝑟𝑔 (Sumber : Foulds, 1992)

Sampai saat ini, teori graf masih diminati untuk dikaji penerapannya.

Salah satu penerapan graf yakni pada ilmu pengetahuan kimia. Faris (2006) menyebutkan bahwa ada beberapa kosakata yang dikenal dalam graf diubah ke dalam kamus kimia, seperti graf menjadi rumus struktur, titik menjadi atom, sisi menjadi ikatan kimia, derajat titik menjadi atom valensi, graf bipartite menjadi struktur alternant, dan perfect matching menjadi struktur kekule. Graf sangat membantu kimiawan untuk memodelkan senyawa.

Beberapa senyawa yang dimodelkan dalam graf adalah hidrokarbon dan benzenoids (Gambar 1.3 dan gambar 1.4).

(14)

𝐺𝑎𝑚𝑏𝑎𝑟 1.3 𝑅𝑒𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑎𝑠𝑖 𝑠𝑒𝑛𝑦𝑎𝑤𝑎 ℎ𝑖𝑑𝑟𝑜𝑘𝑎𝑟𝑏𝑜𝑛

(Sumber : Faris, 2006) 𝐺𝑎𝑚𝑏𝑎𝑟 1.4 𝑅𝑒𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑎𝑠𝑖 𝑠𝑒𝑛𝑦𝑎𝑤𝑎 𝑏𝑒𝑛𝑧𝑒𝑛𝑜𝑖𝑑𝑠 (Sumber : Faris, 2006)

Graf yang digunakan dalam penelitian ini adalah graf berhingga (finite graph), sederhana dan tak berarah (undirected graph). Selanjutnya untuk menyebutkan graf sederhana dan tak berarah cukup dengan graf saja.

Istilah graf yang lain akan tetap disebutkan jika diperlukan.

Pelabelan graf mulai dikembangkan pada pertengahan tahun 1960.

Pada tahun 1966, Rosa berhasil mendefinisikan valuasi atau yang dikenal sekarang menjadi pelabelan sebagai 'graceful labeling'. Graf 𝐺 = (𝑉, 𝐸) adalah gabungan himpunan tak kosong titik (vertex) 𝑉 = 𝑉(𝐺) dan sisi (edge) 𝐸 = 𝐸(𝐺) dengan jumlah vertex |𝑉| = 𝑝 dan jumlah edge |𝐸| = 𝑞.

Gallian (2018) menjelaskan bahwa pelabelan graf memetakan himpunan titik (vertex) atau himpunan sisi (edge) atau gabungan himpunan titik dan sisi ke himpunan bilangan (biasanya himpunan bilangan bulat positif).

Pelabelan titik (vertex labeling) adalah pelabelan yang memetakan himpunan titik, pelabelan sisi (edge labeling) adalah pelabelan yang memetakan himpunan sisi, sedangkan pelabelan yang memetakan keduanya yakni himpunan titik dan sisi disebut pelabelan total (total labeling). Dalam penelitian ini, pelabelan yang dikaji adalah pelabelan total (total labeling).

Kotzig dan Rosa (1970) pertama kali memperkenalkan pelabelan ajaib dengan menggeneralisasi ide dari persegi ajaib. Selain pelabelan ajaib, diperkenalkan juga pelabelan anti ajaib oleh Hartsfield dan Ringel (1990).

Selanjutnya diperkenalkan konsep (𝑎, 𝑑) labeling antimagic oleh Bodendiek dan Walther (1993) sebagai pelabelan sisi dengan bobot setiap titiknya membentuk suatu barisan aritmatika dengan suku pertama 𝑎 dan beda 𝑑.

(15)

Graf sun atau matahari adalah graf sikel (𝐶_𝑛) dengan tambahan sisi yang terhubung pada setiap titik 𝑣_𝑖 yang terdapat pada sikel dan titik 𝑢_𝑖 diluar sikel dengan 𝑖 = 1, 2, … , 𝑛. Graf matahari dilambangkan dengan 𝑆_𝑛. Penelitian ini menggunakan gabungan dua graf matahari yang tak terhubung dan tak berarah dan dilambangkan dengan 𝑆_𝑚∪ 𝑆_𝑛. Dalam penelitian lain, graf sun sering juga disebut graf sikel dengan tambahan 𝑛 anting atau graf mahkota.

Reni (2019) telah menunjukkan keberlakuan pelabelan total tak ajaib titik kuat (𝑎, 𝑑) pada graf sikel dengan tambahan 𝑛 anting. Pelabelan total tak-ajaib titik pada union of suns ditemukan oleh Parestu, Silaban dan Sugeng (2012). Selanjutnya juga ditemukan pelabelan total tak ajaib sisi kuat (𝑎, 𝑑) pada tipe spesial dari graf mahkota oleh Ullah, Ali, Ali dan Semaničová-Feňovčíková (2013).

Berdasarkan hasil dari penelitian-penelitian sebelumnya tentang pelabelan total tak-ajaib titik dan sisi, penulis ingin menyelidiki keberlakuan pelabelan total tak-ajaib sisi kuat (𝑎, 𝑑) pada graf yang belum ditemukan peneliti lain, yaitu pada gabungan dua graf sun (S_m∪ S_n). Oleh karena itu, pada skripsi ini akan dibahas mengenai pelabelan total tak-ajaib sisi kuat (𝑎, 𝑑) pada graf pada gabungan dua graf sun (S_m∪ S_n) atau Super Edge Antimagic Total Labeling (SEATL) on Union of Two Sun Graphs (S_m∪ S_n).

B. Rumusan Masalah

Rumusan masalah yang akan dibahas dalam penelitian ini adalah sebagai berikut :

1. Bagaimana bentuk gabungan dua graf sun (S_m∪ S_n)?

2. Apakah gabungan dua graf sun (S_m∪ S_n) memenuhi pelabelan total tak-ajaib sisi kuat (𝑎, 𝑑)?

3. Bagaimana perumusan pola pelabelan total tak-ajaib sisi kuat pada gabungan dua graf sun (S_m∪ S_n)?

(16)

C. Batasan Masalah

Pada penelitian ini, penulis membatasi penelitian dengan mencari salah satu rumusan pola pelabelan total tak-ajaib titik yang berlaku pada gabungan dua graf sun (S_m∪ S_n).

D. Tujuan dan Manfaat Penelitian

Adapun tujuan dan manfaat dalam penelitian ini adalah sebagai berikut :

1. Mengetahui bentuk gabungan dua graf sun (S_m∪ S_n).

2. Mengetahui keberlakuan pelabelan total tak-ajaib sisi kuat (𝑎, 𝑑) pada gabungan dua graf sun (S_m∪ S_n).

3. Menentukan rumus umum / pola pelabelan total tak-ajaib sisi kuat (𝑎, 𝑑) pada gabungan dua graf sun (S_m∪ S_n).

E. Sistem Penulisan

Dalam penulisan skripsi ini, penulis menggunakan sitematika penulisan yang terdiri atas empat bab yang terbagi dalam beberapa subbab dengan sistematika penulisan sebagai berikut :

BAB I PENDAHULUAN

Dalam bab ini terdapat beberapa subbab bahasan yaitu latar belakang, rumusan masalah, batasan masalah, tujuan dan manfaat penelitian, sistematika penulisan serta metode penelitian.

BAB II LANDASAN TEORI

Dalam bab ini akan dibahas mengenai teori-teori yang ada kaitannya dengan hal-hal yang akan penulis teliti seperti teori graf, pelabelan dan graf gabungan dua graf sun (S_m∪ S_n).

BAB III GABUNGAN DUA GRAF SUN (S_m∪ S_n)

Pada bagian ini akan dijelaskan mengenai definisi dari gabungan dua graf sun (S_m∪ S_n) dan beberapa teorema mengenai graf sun dan sejenisnya yang berkaitan dengan pelabelan total tak ajaib.

(17)

BAB IV PELABELAN TOTAL TAK-AJAIB SISI KUAT (𝑎, 𝑑) PADA GABUNGAN DUA GRAF SUN (S_m∪ S_n)

Pada bagian ini akan dijelaskan mengenai perhitungan dasar untuk menentukan batasan suku pertama a dan beda d dari (𝑎, 𝑑) −Super Edge Antimagic Total Labeling atau (𝑎, 𝑑)-SEATL pada gabungan dua graf sun (S_m∪ S_n) dan (𝑎, 𝑑) − SEATL pada gabungan dua graf sun (S_m∪ S_n) termasuk diantaranya keberlakuan (𝑎, 𝑑) − SEATL pada graf S_m∪ S_n dan pola pelabelan atau rumus umumnya.

BAB V PENUTUP

Pada bagian yang terakhir berisi kesimpulan dan saran dari hasil penelitian ini.

F. Metode Penelitian

Penelitian ini menggunakan metode penelitian pustaka (library research). Terdapat beberapa langkah yang akan dilakukan untuk melakukan penelitian ini. Secara garis besar, beberapa langkah tersebut yaitu :

1. Mengumpulkan literatur mengenai topik pelabelan total tak ajaib sisi kuat (𝑎, 𝑑) pada beberapa graf dan beberapa topik pelabelan pada graf matahari atau mahkota atau sikel dengan 𝑛 anting.

2. Mempelajari literatur yang telah didapatkan sebelumnya.

3. Meninjau keterberlakuan (𝑎, 𝑑) pelabelan total tak ajaib sisi kuat pada gabungan dua graf sun (S_m∪ S_n).

4. Menentukan syarat d dan batas-batas a yang memenuhi pelabelan total tak ajaib sisi kuat pada gabungan dua graf sun (S_m∪ S_n).

5. Menentukan rumusan pelabelan untuk titik dan sisi dari gabungan dua graf sun (S_m∪ S_n) yang memenuhi (𝑎, 𝑑) −SEATL.

6. Membuktikan teorema - teorema yang diberikan terkait (𝑎, 𝑑) −SEATL.

(18)

Berikut ini akan diberikan gambar tahapan penelitian yang akan dilaksanakan peneliti :

MULAI

Mengumpulkan literatur mengenai topik pelabelan

total tak ajaib sisi kuat (𝑎, 𝑑) pada beberapa graf

Mempelajari literatur yang telah didapatkan

sebelumnya Meninjau keterberlakuan

(a,d) pelabelan total tak ajaib sisi kuat pada gabungan dua graf sun

(S_m∪ S_n)

Menentukan syarat d dan batas-batas a yang memenuhi pelabelan total

tak ajaib sisi kuat pada gabungan dua graf sun

(S_m∪ S_n)

Menentukan rumusan pelabelan untuk titik dan sisi dari gabungan dua graf

sun (S_m∪ S_n) yang memenuhi (a,d)-SEATL.

Membuktikan teorema- teorema yang diberikan

terkait (a,d)-SEATL.

SELESAI

Gambar 1.5 Tahapan Penelitian

(19)

8 BAB II

LANDASAN TEORI

Pada bab ini akan dipaparkan beberapa teori untuk mendukung pembuktian dan mempermudah pemahaman yang dibagi menjadi beberapa bagian yaitu himpunan, teori graf dan pelabelan graf. Teori pendukung akan dijelaskan pada bagian terkait.

2.1 Himpunan

A. Pengertian Himpunan

Berikut ini akan diberikan definisi dari himpunan.

Definisi 2.1 (Rosen, 2018)

Sebuah himpunan adalah suatu kumpulan objek berbeda yang tidak memperhatikan urutan. Objek dalam himpunan dinamakan elemen atau anggota. Diberikan 𝑎 anggota himpunan 𝐴 , kita dapat menuliskannya menjadi 𝑎 ∈ 𝐴. Selanjutnya diberikan 𝑏 bukan himpunan 𝐴, maka dapat ditulis menjadi 𝑏 ∉ 𝐴.

Berikut ini akan diberikan beberapa contoh dari himpunan.

Contoh 2.1

ℕ = himpunan bilangan asli = {1,2, … }

ℤ = himpunan bilangan bulat = {… , −2, −1,0,1,2, … } ℤ⁺ = himpunan bilangan bulat positif = {1,2,3, … } ℝ = himpunan bilangan real

B. Beberapa Istilah dalam Himpunan

Terdapat beberapa istilah yang berkaitan dengan himpunan, sehingga dalam bagian ini akan dijelaskan beberapa istilah yang terkait dengan himpunan. Selanjutnya akan dijelaskan definisi dari himpunan kosong.

Definsi 2.2 (Rosen, 2018)

Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak memiliki anggota dan dinotasikan dengan ∅ atau { }.

(20)

Berikut ini akan diberikan definisi mengenai himpunan berhingga.

Definisi 2.3

Himpunan 𝐴 dikatakan berhingga jika banyaknya anggota 𝐴 berhingga.

Berikut ini akan diberikan contoh mengenai himpunan berhingga.

Contoh 2.2

Misalnya 𝐴 adalah himpunan bilangan asli kurang dari 5, maka 𝐴 = {1,2,3,4} . Himpunan 𝐴 merupakan himpunan berhingga karena sesuai dengan definisi 2.3.

Berikut ini akan diberikan definisi mengenai himpunan tak berhingga.

Himpunan 𝐴 dikatakan tak berhingga jika banyaknya anggota 𝐴 tak berhingga.

Berikut ini akan diberikan contoh mengenai himpunan tak berhingga.

Contoh 2.3

Himpunan bilangan bulat (ℤ) merupakan contoh himpunan tak berhingga karena banyaknya anggota ℤ tak berhingga.

Berikut ini akan diberikan definisi mengenai himpunan bagian.

Himpunan 𝐴 merupakan himpunan bagian dari 𝐵 (𝐴 ⊆ 𝐵) jika dan hanya jika setiap elemen 𝐴 merupakan elemen 𝐵.

Berikut ini akan diberikan contoh mengenai himpunan bagian Contoh 2.4

Misalkan 𝐴 = {1,2,3,4,5} dan 𝐵 = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} maka 𝐴 ⊆ 𝐵 sesuai dengan definisi 2.5.

Berikut ini akan diberikan definisi mengenai himpunan kuasa.

Diberikan himpunan 𝐴, himpunan kuasa dari 𝐴 adalah himpunan yang berisi semua himpunan bagian dari 𝐴. Himpunan kuasa dari 𝐴 dilambangkan dengan 𝒫(𝐴).

Berikut ini akan diberikan contoh mengenai himpunan kuasa.

(21)

Contoh 2.5

Diberikan himpunan 𝐴 = {0,1,2} maka 𝒫(𝐴) = {∅, {0}, {1}, {2}, {0,1}, {0,2}, {1,2}, {0,1,2}}. Hal ini sesuai dengan definisi 2.6.

Berikut ini akan diberikan definisi mengenai himpunan semesta.

Himpunan semesta adalah himpunan yang berisi semua objek yang dibicarakan dan dilambangkan dengan 𝑆.

Berikut ini akan diberikan contoh mengenai himpunan semesta.

Contoh 2.6

Misalkan 𝐴 = {1,3,5,7,9} maka himpunan semesta dari 𝐴 yang memungkinkan adalah 𝑆 = himpunan bilangan ganjil = {1,3,5,7,9, … }.

C. Operasi Himpunan

Dua atau lebih himpunan dapat dikombinasikan dalam berbagai cara yakni dengan mengenai operasi yang berlaku pada himpunan. Operasi- operasi yang berlaku pada suatu himpunan yaitu gabungan (union), irisan (intersect), komplemen, selisih (difference) dan jumlah (symmetry difference). Berikut ini akan diberikan definisi dan contoh dari operasi yang berlaku pada himpunan.

1. Gabungan (Union)

Berikut ini akan diberikan definisi mengenai operasi gabungan pada himpunan.

Diberikan himpunan 𝐴 dan 𝐵 , gabungan 𝐴 dan 𝐵 (𝐴 ∪ 𝐵) merupakan himpunan yang berisi elemen-elemen yang ada di 𝐴 atau 𝐵 atau keduanya.

Berikut ini akan diberikan contoh mengenai operasi gabungan pada himpunan.

Contoh 2.7

Diberikan himpunan 𝐴 = {1,2,3,4,5} dan 𝐴 = {4,5,6,7,8} maka 𝐴 ∪ 𝐵 = {1,2,3,4,5,6,7,8}

(22)

2. Irisan (intersection)

Berikut ini akan diberikan definisi mengenai operasi irisan pada himpunan.

Diberikan himpunan 𝐴 dan 𝐵 , gabungan 𝐴 dan 𝐵 (𝐴 ∪ 𝐵) merupakan himpunan yang berisi elemen-elemen yang ada di 𝐴 atau 𝐵 atau keduanya.

Berikut ini akan diberikan contoh mengenai operasi irisan pada himpunan.

Contoh 2.8

Misalkan himpunan 𝐴 = {1,2,3,4,5} dan 𝐵 = {4,5,6,7,8} maka 𝐴 ∩ 𝐵 = {4,5}

3. Selisih (difference)

Berikut ini akan diberikan definisi dari operasi selisih pada himpunan.

Diberikan himpunan 𝐴 dan 𝐵, selisih 𝐴 dan 𝐵 yang dilambangkan dengan 𝐴 − 𝐵 merupakan himpunan yang anggotanya merupakan anggota 𝐴 yang tidak ada di 𝐵.

Berikut ini akan diberikan contoh dari operasi selisih pada himpunan.

Contoh 2.9

Diberikan himpunan 𝐴 = {1,2,3,4,5} dan 𝐵 = {1,2,6,7} maka 𝐴 − 𝐵 = {3,4,5}, hal ini sesuai dengan definisi 2.10.

4. Komplemen

Berikut ini akan diberikan definisi dari komplemen suatu himpunan.

𝑆 merupakan himpunan semesta. Komplemen dari himpunan 𝐴 yang dilambangkan dengan 𝐴^𝑐 merupakan himpunan yang anggotanya merupakan anggota 𝑆 yang bukan anggota 𝐴.

Berikut ini akan diberikan contoh dari komplemen suatu himpunan.

(23)

Contoh 2.10

Misalkan 𝑆 = himpunan bilangan ganjil yang kurang dari 10 = {1,3,5,7,9} dan 𝐴 = {1,3} maka berdasarkan definisi 2.11 𝐴^𝑐 = {5,7,9}.

2.2 Teori Graf

A. Pengertian Graf

Berikut ini akan diberikan definisi dari graf.

Suatu graf 𝐺 terdiri dari 𝑉 dan 𝐸 (dinotasikan dengan 𝐺 = (𝑉, 𝐸) ) dimana V merupakan himpunan tak kosong titik V = {v₁, v₂, v₃, … } dan E merupakan himpunan sisi E = {e₁, e₂, e₃, … } dengan e_i = (v_jv_k), dengan v_j, v_k∈ V. Selanjutnya anggota V disebut titik dan anggota E disebut sisi.

Banyaknya titik dari graf 𝐺 disebut order graf 𝐺 dan dinotasikan dengan |𝑉| = 𝑝 , sedangkan banyaknya sisi disebut ukuran graf 𝐺 dan dinotasikan dengan |𝐸| = 𝑞. Secara geometri, suatu titik dapat dinyatakan sebagai sebuah titik dan sisi dapat dinyatakan sebagai sebuah garis yang menghubungkan dua titik. Pada penelitian ini, graf yang digunakan adalah graf sederhana dan tak berarah yang selanjutnya disebut graf saja, sehingga sisi (v_jv_k) = (v_kv_j) dengan v_j, v_k∈ V.

Berikut ini akan diberikan contoh tentang suatu graf.

Contoh 2.11

Diberikan 𝑉 = {𝑣₁, 𝑣₂, 𝑣₃, 𝑣₄} dan 𝐸 = {(𝑣₁𝑣₂), (𝑣₂𝑣₃), (𝑣₃𝑣₄), (𝑣₁𝑣₄), (𝑣₁𝑣₄)}, dari himpunan 𝑉 dan 𝐸 dapat digambar menjadi diagram sebagai berikut :

(a) Graf (Graf 𝐺 = (𝑉, 𝐸)) (b) Bukan Graf

𝑒₃

𝑒₂ 𝑒₁

𝑒₄

𝑣₁ 𝑣₂

𝑣₃ 𝑣₄

𝑒₅

𝐺𝑎𝑚𝑏𝑎𝑟 2.1 𝐺𝑟𝑎𝑓 𝑑𝑎𝑛 𝐵𝑢𝑘𝑎𝑛 𝐺𝑟𝑎𝑓

(24)

Pada Gambar 2.1 dapat dilihat bahwa gambar tersebut memiliki empat titik yang berarti memiliki himpunan tak kosong titik. Gambar tersebut juga memiliki lima sisi yang berarti memiliki himpunan sisi. Selain itu, setiap sisi memiliki ujung yaitu titik yang terkait dengannya. Oleh karena itu gambar tersebut memenuhi definisi 2.12, sehingga gambar tersebut dapat dikatakan sebagai graf. Sedangkan gambar 2.1 bukan merupakan graf karena |𝑉| = 0 dan

|𝐸| = 0 sehingga tidak memenuhi definisi 2.12.

B. Beberapa Istilah dalam Graf

Terdapat beberapa istilah yang berkaitan dengan graf sehingga dalam bagian ini akan dijelaskan beberapa istilah yang terkait dengan graf. Berikut ini diberikan definisi tentang adjacent, incident, derajat sebuah titik, loop, sisi ganda, walk, trial, path.

Berikut ini akan diberikan definisi mengenai titik yang bertetangga atau berdampingan (adjacent).

Definisi 2.13 (Wilson, 2010)

Dua buah titik 𝑣₁ dan 𝑣₂ pada sebuah graf dikatakan bertetangga atau berdampingan (adjacent) jika terdapat sebuah sisi 𝑒₁ yang menghubungkan keduanya (𝑒₁ = (𝑣₁𝑣₂)).

Berikut akan diberikan contoh mengenai titik yang bertetangga atau berdampingan (adjacent).

Contoh 2.12

Diberikan graf seperti gambar dibawah ini.

Pada gambar 2.2, titik 𝑣₁ dan 𝑣₂ dapat dikatakan bertetangga karena memenuhi definisi 2.13 dimana terdapat sisi yang menghubungkan kedua

𝑣₁

𝑣₄ 𝑣₂

𝑣₃ 𝑒₂ 𝑒₁

𝑒₃ 𝑒₄

Gambar 2.2 Graf 𝐺₁(𝑉, 𝐸)

(25)

titik tersebut. Selain itu terdapat titik 𝑣₂ dan 𝑣₃ yang memenuhi definisi 2.13 juga. Sedangkan titik 𝑣₃ dan 𝑣₄ bukan merupakan titik yang bertetangga karena tidak ada sisi yang menghubungkan keduanya.

Berikut ini akan diberikan definisi mengenai sisi yang bersinggungan (incident).

Sisi 𝑒₁ dikatakan bersinggungan (incident) dengan titik 𝑣₁ dan 𝑣₂ jika 𝑒₁ = (𝑣₁𝑣₂).

Berikut ini akan diberikan contoh mengenai sisi yang bersinggungan (incident).

Contoh 2.13

Pada gambar 2.2, sisi 𝑒₁ dan 𝑒₂ bersinggungan (incident) dengan titik 𝑣₁ dan 𝑣₂. Sedangkan 𝑒₃ tidak bersinggungan dengan 𝑣₁.

Berikut ini akan diberikan definisi mengenai loop.

Loop adalah sisi yang menghubungkan sebuah titik 𝑣₁ dengan dirinya sendiri yakni 𝑣₁.

Berikut ini akan diberikan contoh mengenai loop.

Contoh 2.14

Pada gambar 2.2, sisi 𝑒₄ merupakan loop karena memenuhi definisi 2.15 dimana titik-titik ujung dari sisi 𝑒₄ merupakan titik yang sama, yakni 𝑣₃.

Selanjutnya akan diberikan definisi mengenai derajat sebuah titik (degree).

Derajat (deg(𝑣)) sebuah titik v adalah bilangan yang menyatakan jumlah sisi yang bersinggungan dengan v dan sisi suatu loop dihitung dua kali.

Berikut ini akan diberikan contoh mengenai derajat sebuah titik (degree).

(26)

Contoh 2.15

𝐺𝑎𝑚𝑏𝑎𝑟 2.3 𝐺𝑟𝑎𝑓 𝐺₂

Pada gambar 2.3, deg(𝑣₁) = 3 , karena terdapat tiga sisi yang bersinggungan dengan titik 𝑣₁. Titik 𝑣₂ memiliki derajat titik sebanyak empat (deg(𝑣₂) = 4) karena terdapat dua sisi dan satu loop yang bersinggungan dengan titik 𝑣₂. Titik 𝑣₃ memiliki derajat titik sebanyak 2 (deg(𝑣₃) = 2). Titik 𝑣₄ derajatnya adalah tiga. Sedangkan derajat titik 𝑣₅ adalah nol karena tidak ada sisi yang bersinggungan dengan titik 𝑣₄, sehingga titik 𝑣₄ disebut titik terisolasi (isolated vertex).

Selanjutnya akan diberikan definisi dari sisi ganda.

Definisi 2.17 (Siang, 2011)

Sebarang dua sisi berbeda yakni 𝑒_𝑖 dan 𝑒_𝑗 dengan 𝑖 ≠ 𝑗 yang dihubungkan dengan titik ujung yang sama disebut sisi ganda.

Berikut ini akan diberikan contoh menegenai sisi ganda.

Contoh 2.16

Pada gambar 2.3, sisi 𝑒₅ dan 𝑒₆ merupakan sisi ganda karena memiliki titik ujung yang sama yakni titik 𝑣₁ dan 𝑣₄ sehingga memenuhi definisi 2.17

Selanjutnya akan diberikan definisi mengenai perjalanan (walk) dalam graf.

Definisi 2.18 (Wallis, 2001)

Perjalanan (walk) dalam graf G adalah barisan berhingga yang terdiri atas titik-titik dan sisi-sisi yang bergantian, dimana setiap sisi bersinggungan dengan titik terdekat, dengan diawali dan diakhiri pada suatu titik.

Walk disebut perjalanan tertutup jika titik awal sama dengan titik akhir.

Dalam hal lain disebut perjalanan terbuka.

𝑒₂ 𝑣₂

𝑣₃ 𝑒₃ 𝑒₅

𝑣₁

𝑣₄

𝑒₁

𝑒₄

𝑒₆ 𝑣₅

(27)

Berikut ini akan diberikan contoh mengenai perjalanan (walk) dalam suatu graf mencakup perjalanan terbuka dan tertutup.

Contoh 2.17

𝐺𝑎𝑚𝑏𝑎𝑟 2.4 𝐺𝑟𝑎𝑓 𝐺₃

Pada Graf 𝐺₃ terdapat walk yaitu 𝑣₁, 𝑒₁, 𝑣₂, 𝑒₂, 𝑣₃, 𝑒₃, 𝑣₄, 𝑒₄, 𝑣₄ yang dapat disebut juga perjalanan terbuka. Sedangkan perjalanan tertutup adalah 𝑣₁, 𝑒₇, 𝑣₅, 𝑒₆, 𝑣₆, 𝑒₈, 𝑣₁.

Berikut ini akan diberikan definisi mengenai trail, path dan panjang lintasan.

Suatu walk yang tiap sisinya berbeda disebut trail. Dan suatu trail yang tiap titiknya berbeda disebut lintasan (path). Panjang lintasan adalah banyak sisi dalam lintasan tersebut.

Berikut ini akan diberikan contoh mengenai trail, path dan panjang lintasan.

Contoh 2.18

Pada Graf 𝐺₃ (gambar 2.4) terdapat trail yaitu 𝑣₁, 𝑒₁, 𝑣₂, 𝑒₂, 𝑣₃, 𝑒₃, 𝑣₄, 𝑒₄, 𝑣₄ dan path yaitu 𝑣₁, 𝑒₁, 𝑣₂, 𝑒₂, 𝑣₃, 𝑒₃, 𝑣₄. Dengan panjang lintasanya 3.

Berikut ini akan diberikan definisi mengenai graf terhubung (connected graph).

Misalkan 𝐺 adalah suatu graf. Graf 𝐺 dikatakan terhubung (connected) jika untuk setiap dua titik 𝑣_𝑖 dan 𝑣_𝑗 dimana 𝑣_𝑖 ≠ 𝑣_𝑗 pada 𝐺 memiliki path yang menghubungkan kedua titik tersebut. Graf 𝐺 disebut graf tak terhubung (disconnected) jika ada pasangan titik di 𝐺 yang tidak mempunyai path.

𝑒8

𝑒₁

𝑣1 𝑣2 𝑣₃

𝑣₄ 𝑣5

𝑣₆

𝑒₂

𝑒₃

𝑒₄ 𝑒5

𝑒6

𝑒7

𝑒9

(28)

Berikut ini akan diberikan contoh mengenai graf terhubung (connected graph).

Contoh 2.19

Graf 𝐺4 Graf 𝐺5

𝐺𝑎𝑚𝑏𝑎𝑟 2.5 𝐺𝑎𝑚𝑏𝑎𝑟 𝐺𝑟𝑎𝑓 𝐺₄ 𝑑𝑎𝑛 𝐺𝑟𝑎𝑓 𝐺₅

Graf 𝐺₄ pada Gambar 2.5 merupakan graf tak terhubung karena tidak memenuhi definisi 2.20 dimana terdapat titik 𝑣₅ yang tidak memiliki sisi yang menghubungkannya dengan titik yang lainnya yaitu 𝑣₁, 𝑣₂, 𝑣₃, 𝑣₄. Sedangkan pada graf 𝐺₅ setiap pasangan titik memiliki path yang menghubungkan kedua sisi tersebut.

Berikut ini akan dijelaskan definisi mengenai sirkuit atau cycle.

Sirkuit atau cycle adalah suatu lintasan tertutup. Sirkuit dengan panjang k disebut Sirkuit-k atau k-Cycle.

Berikut ini akan diberikan contoh mengenai sirkuit atau cycle.

Contoh 2.20

Pada Gambar 2.5, Graf 𝐺₄ memiliki cycle yaitu 𝑣₁, 𝑒₁, 𝑣₂, 𝑒₂, 𝑣₃, 𝑒₃, 𝑣₄, 𝑒₄, 𝑣₁.

C. Jenis-Jenis Graf

Pada dasarnya graf dibedakan menjadi beberapa macam menurut sifat-sifatnya. Pengelompokkan graf dapat dipandang berdasarkan jenis sisinya, ada tidaknya loop atau sisi ganda dan berdasarkan banyaknya titik.

Berikut ini diberikan definisi dan contoh dari jenis-jenis graf berdasarkan sifatnya masing-masing.

𝑣₅

𝑣₄ 𝑣₃

𝑣₂

𝑣₁ 𝑒₁

𝑒2

𝑒₃

𝑒4 𝑣5

𝑣₄ 𝑣₃

𝑣2

𝑣1 𝑒1

𝑒₂

𝑒3

𝑒₄ 𝑒₅ 𝑒₆

(29)

Graf dibedakan menjadi dua berdasarkan jenis sisinya, yaitu : 1. Graf berarah (directed graph)

Rosen (2018) menjelaskan bahwa graf berarah atau biasa disebut digraf terdiri dari himpunan titik 𝑉 dan himpunan sisi 𝐸 yang terdiri dari pasangan terurut elemen 𝑉. Pada graf berarah, sisi dilambangkan dengan 𝑒_𝑖 = (𝑣_𝑗𝑣_𝑘) dimana 𝑒_𝑖 ∈ 𝐸 dan 𝑣_𝑗, 𝑣_𝑘 ∈ 𝑉 . Sisi (𝑣_𝑗𝑣_𝑘) dan (𝑣_𝑘𝑣_𝑗) menyatakan dua sisi yang berbeda.

2. Graf tak berarah (undirected graph)

Graf tak berarah atau biasa disebut graf saja merupakan graf yang sisinya tidak memiliki orientasi arah. Pada graf tak berarah, sisinya dilambangkan dengan 𝑒_𝑖 = (𝑣_𝑗𝑣_𝑘) dimana 𝑒_𝑖 ∈ 𝐸 dan 𝑣_𝑗, 𝑣_𝑘 ∈ 𝑉 dengan sisi (𝑣_𝑗𝑣_𝑘) dan (𝑣_𝑘𝑣_𝑗) menyatakan dua sisi yang sama. (Siang, 2011)

Berikut ini akan diberikan contoh mengenai graf berarah dan graf tidak berarah

Contoh 2.21

Graf 𝐺₆ Graf 𝐺₇

𝐺𝑎𝑚𝑏𝑎𝑟 2.6 𝐺𝑟𝑎𝑓 𝐺6 𝑑𝑎𝑛 𝐺7

Pada gambar 2.6, Graf 𝐺₆ merupakan graf tak berarah dan graf 𝐺₇ adalah graf berarah.

Selanjutnya graf dapat juga dibedakan berdasarkan ada tidaknya loop atau sisi ganda menjadi dua jenis, yaitu :

1. Graf sederhana (simple graph)

Suatu graf yang tidak memiliki loop maupun sisi ganda merupakan graf sederhana (Rosen, 2018).

(30)

2. Graf tak sederhana (unsimple graph)

Suatu graf yang memiliki loop atau sisi ganda merupakan graf tak sederhana. Terdapat dua macam graf tak sederhana, yaitu graf ganda (multigraph) dan graf semu (pseudograph). Graf ganda merupakan graf yang memiliki sisi ganda sedangkan graf semu adalah graf yang memiliki sisi ganda dan loop (Rosen, 2018).

Berikut ini akan disajikan contoh graf sederhana dan graf tak sederhana termasuk graf ganda dan graf semu.

Contoh 2.22

Graf 𝐺₈ Graf 𝐺₉ Graf 𝐺₁₀

Gambar 2.7 Graf 𝐺8, Graf 𝐺9, Graf 𝐺10

Pada Gambar 2.7 di atas Graf 𝐺₈ merupakan graf sederhana, Graf 𝐺₉ merupakan graf ganda, dan Graf 𝐺₁₀ merupakan graf semu.

Graf juga dapat dikelompokkan menjadi dua jenis berdasarkan banyak titik pada graf tersebut, yaitu :

1. Graf berhingga (finite graph)

Graf berhingga merupakan suatu graf yang memiliki jumlah titik dan sisi yang berhingga. Graf berhingga yang memiliki satu titik tanpa sisi (titik tunggal) disebut sebagai graf trivial.

2. Graf tak berhingga (infinite graph)

Graf tak berhingga merupakan graf yang banyak titiknya tidak berhingga.

Berikut ini akan diberikan contoh graf berhingga dan graf tak berhingga.

𝑣1 𝑣2

𝑣3

𝑣₄

𝑣₁ 𝑣₂

𝑣3

𝑣₄

𝑣1 𝑣2

𝑣₃ 𝑣4

(31)

Contoh 2.23

Gambar 2.8 Graf 𝐺11

Pada Gambar 2.7 Graf 𝐺₈, 𝐺₉ dan 𝐺₁₀ merupakan contoh dari graf berhingga, sedangkan graf 𝐺₁₁ pada Gambar 2.8 merupakan graf tak berhingga.

Selanjutnya akan dipaparkan beberapa jenis graf khusus beserta contoh dari masing-masing jenis.

1. Graf lengkap (complete graph)

Graf lengkap adalah graf sederhana yang tiap pasangan titik yang berbeda saling bertetangga. Graf lengkap disimbolkan dengan 𝐾_𝑛 dimana n adalah banyak titik yang dimilikki graf tersebut. Graf 𝐾_𝑛 memiliki sebanyak ¹

2𝑛(𝑛 − 1) sisi. Berikut ini akan diberikan contoh graf lengkap (Wilson, 2010).

Berikut ini akan diberikan contoh mengenai graf lengkap.

Contoh 2.24

Gambar 2.9 Graf 𝐾₄ dan 𝐾₅

Pada Gambar 2.9 Graf 𝐾₄ dan 𝐾₅ adalah graf lengkap karena setiap pasang titiknya yang berbeda saling bertetangga.

2. Graf sikel (cycle graph)

Graf sikel adalah graf terhubung yang setiap titiknya berderajat dua.

Simbol dari graf sikel dengan n titik adalah 𝐶_𝑛(Wilson, 2010).

Berikut ini akan diberikan contoh mengenai graf sikel.

…

… … …

(32)

Contoh 2.25

Gambar 2.10 Graf 𝐺12

Pada Gambar 2.10 Graf 𝐺₁₂ merupakan contoh dari graf cycle.

3. Graf Corona

Diberikan dua graf 𝐺 dengan order 𝑝 dan 𝐻 , operasi sederhana antara 𝐺 dengan 𝐻 disebut corona dan dinotasikan dengan 𝐺 ⊙ 𝐻 . Corona 𝐺 dengan 𝐻 diperoleh dengan mengambil satu graf 𝐺 dan 𝑝 graf 𝐻 yang kemudian setiap titik salinan 𝐻 adjacent satu persatu ke titik salinan 𝐺 (Frucht dan Harary, 1970).

Salah satu contoh dari corona adalah graf mahkota yang mengoperasikan graf sikel dengan graf 𝐾₁ (𝐶_𝑛 ⊙ 𝑚𝐾₁). Berikut ini akan diberikan contoh mengenai graf mahkota.

Contoh 2.26

Gambar 2.11 Graf 𝐶₄⊙ 4𝐾₁

Graf mahkota sering di sebut dalam penelitian lain sebagai graf sikel dengan tambahan 𝑛 anting atau graf sun. Dalam penelitian ini, akan digunakan istilah graf sun.

4. Graf Birpartit (bipartite graph)

Graf sederhana 𝐺 disebut graf bipartit jika himpunan 𝑉 dapat dipartisi menjadi dua himpunan terpisah 𝑉₁ dan 𝑉₂ sedemikian hingga setiap sisi dalam graf menghubungkan titik di 𝑉₁ dan 𝑉₂. (Rosen, 2018)

Berikut ini akan diberikan contoh mengenai graf bipartit.

(33)

Contoh 2.27

Gambar 2.12 Graf bipartit

5. Graf Bipartit Lengkap (complete bipartit graph)

Graf bipartit lengkap adalah graf bipartit dengan setiap titik di 𝑉₁ bertetangga dengan setiap titik di 𝑉₂. Graf bipartit lengkap atau 𝐾_𝑟,𝑠 memiliki 𝑟 + 𝑠 titik dan 𝑟𝑠 sisi (Wilson, 2010).

Berikut ini akan diberikan contoh mengenai graf bipartit lengkap.

Contoh 2.28

Gambar 2.13 Graf bipartit lengkap (𝐾2,3)

2.3 Pelabelan Graf

Pelabelan pada graf 𝐺(𝑉, 𝐸) berarti pemetaan bijektif yang memetakan himpunan titik, himpunan sisi atau gabungan himpunan titik dan sisi ke suatu himpunan label, dimana himpunan labelnya yakni {1,2,3, … , |𝑉|}, {1,2,3, … , |𝐸|} atau {1,2,3, … , |𝑉| + |𝐸|} . Pelabelan pada graf juga dibedakan menjadi tiga jenis yaitu pelabelan titik, pelabelan sisi dan pelabelan total. Pelabelan titik merupakan pelabelan yang memetakan himpunan titik ke {1,2,3, … , |𝑉|}, pelabelan sisi merupakan pelabelan yang memetakan himpunan sisi ke {1,2,3, … , |𝐸|} dan pelabelan total ialah pelabelan yang memetakan himpunan titik dan sisi ke {1,2,3, … , |𝑉| + |𝐸|}. Penelitian ini merupakan penelitian pelabelan total pada graf sun. Selanjutnya akan dipaparkan beberapa definisi dan contoh yang berhubungan dengan pelabelan total.

Berikut ini akan diberikan definisi mengenai pelabelan pada graf.

Definsi 2.21 (Wallis, 2001)

Pelabelan sebuah graf 𝐺 = (𝐸, 𝑉) adalah sebuah pemetaan bijektif 𝑓 yang memetakan himpunan titik (𝑉), himpunan sisi (𝐸) atau gabungan

(34)

himpunan titik dan sisi (𝑉 ∪ 𝐸) ke {1,2,3, … , |𝑉|}, {1,2,3, … , |𝐸|} atau {1,2,3, … , |𝑉| + |𝐸|}

Berikut ini akan diberikan contoh mengenai pelabelan pada graf.

Contoh 2.29

Diberikan Graf 𝐺₁₂ seperti dibawah ini :

Gambar 2.14 Pelabelan pada Graf 𝐺₁₂

Pada Gambar 2.14 diketahui bahwa Graf 𝐺₁₂ memiliki 4 titik yakni {𝑣₁, 𝑣₂, 𝑣₃, 𝑣₄} yang dilabeli {1,2,3,4} dan 4 sisi yakni {𝑒₁, 𝑒₂, 𝑒₃, 𝑒₄} yang dilabeli {5,6,7,8} . Hal ini sesuai dengan definisi 2.21 yakni gabungan himpunan titik dan sisi {𝑣₁, 𝑣₂, 𝑣₃, 𝑣₄, 𝑒₁, 𝑒₂, 𝑒₃, 𝑒₄} yang dipetakan secara bijektif ke {1,2,3,4,5,6,7,8}.

Berikut ini akan diberikan definisi mengenai pelabelan total.

Misalkan 𝐴 = {1,2,3, … , |𝑉| + |𝐸|} , pelabelan total pada suatu graf adalah pemetaan bijektif 𝑓 yang memetakan gabungan himpunan titik dan sisi (𝑉 ∪ 𝐸) ke himpunan 𝐴 . Fungsi tersebut dapat dituliskan menjadi 𝑓: 𝑉 ∪ 𝐸 → 𝐴.

Berikut ini akan diberikan contoh mengenai pelabelan total.

Contoh 2.30

Pada Gambar 2.14 diketahui bahwa setiap titik dan sisi pada Graf 𝐺₁₂ dilebeli ke himpunan {1,2,3,4,5,6,7,8}. Penjelasan pada contoh 2.29 juga menegaskan bahwa pelabelan pada graf 𝐺₁₂ merupakan pelabelan total sesuai dengan definisi 2.22.

Selanjutnya akan diberikan definisi mengenai bobot titik dan bobot sisi.

𝑒₂

𝑒3

5

4 3

2

1 6

7

8

𝑣1 𝑣₂

𝑣3

𝑣4

𝑒₁

𝑒4

(35)

Diberikan 𝑣_𝑖, 𝑣_𝑗 ∈ 𝑉 dan 𝑣_𝑖𝑣_𝑗 merupakan sisi pada graf yang salah satu ujungnya di 𝑣_𝑖 dengan 𝑖 = 1,2,3, … dan 𝑗 = 1,2,3, … , maka bobot titik 𝑣_𝑖 yang dinotasikan dengan 𝑤(𝑣_𝑖) adalah

𝑤(𝑣_𝑖) = 𝑓(𝑣_𝑖) + ∑ 𝑓(𝑣_𝑖𝑣_𝑗)

𝑣_𝑖~𝑣_𝑗

Sedangkan bobot sisi 𝑣_𝑖𝑣_𝑗 yang dinotasikan dengan 𝑤(𝑣_𝑖𝑣_𝑗) adalah 𝑤(𝑣_𝑖𝑣_𝑗) = 𝑓(𝑣_𝑖) + 𝑓(𝑣_𝑖𝑣_𝑗) + 𝑓(𝑣_𝑗)

Berikut ini akan diberikan contoh mengenai bobot titik dan sisi.

Contoh 2.31

Graf 𝐺₁₂ pada gambar 2.14 dapat dicari bobot titiknya dengan menjumlahkan label titik dengan label sisi yang bersinggungan dengan titik tersebut. Pada graf 𝐺₁₂ bobot titik dengan label 2 dapat dicari dengan menjumlahkan label titik tersebut (yaitu 2) dan semua label sisi yang bersinggungan dengan titik tersebut (yaitu 6 dan 7) sehingga didapatkan bobot titik dengan label 2 adalah 15 (2 + 6 + 7 = 15). Sedangkan untuk mencari bobot sisi dapat dicari dengan menjumlahkan label sisi tersebut dengan label semua titik ujung sisi tersebut. Misalnya pada graf 𝐺₁₂ bobot sisi dengan label 8 adalah jumlah label sisi tersebut yaitu 8 dan titik-titik ujungnya yaitu 3 dan 4, sehingga didapatkan bobot sisi dengan label 8 adalah 15.

Terdapat 2 jenis pelabelan dalam graf yang dibedakan dari jumlah bobot elemen pada graf tersebut, yakni pelabelan ajaib (magic labeling) dan pelabelan tak ajaib (antimagic labeling). Pelabelan ajaib merupakan suatu pelabelan dimana jumlah setiap bobot elemennya (titik atau sisi) sama / konstan, sedangkan pelabelan tak ajaib merupakan suatu pelabelan dimana jumlah setiap bobot elemennya (titik atau sisi) berbeda. Pada penelitian ini akan digunakan pelabelan total tak ajaib sisi kuat (𝑎, 𝑑) dalam pengkajian masalah yaitu pelabelan pada gabungan dua graf sun (𝑆_𝑚∪ 𝑆_𝑛).

(36)

Berikut ini akan diberikan beberapa definisi terkait dengan pelabelan total tak-ajaib titik atau Vertex Antimagic Total Labeling (VATL).

Definisi 2.24 (Bača, Bertault, Macdougall dan Miller, 2003)

Misal 𝐴 = {1,2, … , |𝑉| + |𝐸|} dan 𝑓 merupakan suatu pemetaan bijektif dimana 𝑓: 𝑉 ⋃ 𝐸 → 𝐴. Fungsi 𝑓 disebut pelabelan total tak ajaib titik (Vertex Antimagic Total Labeling-VATL) dari graf 𝐺 = (𝑉, 𝐸) jika bobot dari semua titik berbeda.

Berikut ini akan diberikan contoh mengenai pelabelan total tak-ajaib titik atau Vertex Antimagic Total Labeling (VATL).

Contoh 2.32

Gambar 2.15 Graf 𝐺₁₃

Graf 𝐺₁₃ pada gambar 2.15 merupakan salah satu contoh graf dengan pelabelan total tak ajaib titik, karena bobot setiap titiknya berbeda, yaitu :

Bobot titik dengan label 1 = 1 + 8 + 7 = 16 Bobot titik dengan label 2 = 2 + 8 + 5 = 15 Bobot titik dengan label 3 = 3 + 5 + 6 = 14 Bobot titik dengan label 4 = 4 + 7 + 6 = 17

Berikut ini akan diberikan beberapa definisi terkait dengan pelabelan total tak-ajaib sisi atau Edge Antimagic Total Labeling (EATL).

Definisi 2.25 (Bača, Bertault, Macdougall dan Miller, 2003)

Misal 𝐴 = {1,2, … , |𝑉| + |𝐸|} dan 𝑓 merupakan suatu pemetaan bijektif dimana 𝑓: 𝑉 ⋃ 𝐸 → 𝐴. Fungsi 𝑓 disebut pelabelan total tak ajaib sisi (Edge Antimagic Total Labeling-EATL) dari graf 𝐺 = (𝑉, 𝐸) jika bobot dari semua sisi berbeda.

Berikut ini akan diberikan contoh mengenai pelabelan total tak-ajaib sisi .

4 3

2

1 8

5

6 7

(37)

Contoh 2.33

Gambar 2.16 Graf 𝐺14

Graf 𝐺₁₄ pada gambar 2.16 merupakan salah satu contoh graf dengan pelabelan total tak ajaib sisi, karena bobot setiap sisinya berbeda, yaitu :

Bobot sisi dengan label 4 = 1 + 2 + 4 = 7 Bobot sisi dengan label 5 = 5 + 1 + 3 = 9, dan Bobot sisi dengan label 6 = 3 + 2 + 6 = 11

Berikut akan diberikan definisi mengenai pelabelan total tak ajaib titik (a,d).

Definisi 2.26 (Baca, Miller, Ryan dan Semanicová-Feňovčíková, 2019) Misal A = {1,2, … , |𝑉| + |𝐸|} dan 𝑓 merupakan suatu pemetaan bijektif dimana 𝑓: 𝑉 ⋃ 𝐸 → 𝐴. Fungsi 𝑓 disebut pelabelan total tak ajaib titik (𝑎, 𝑑) dari graf 𝐺 = (𝑉, 𝐸) jika bobot dari semua titik berbeda dan membentuk suatu barisan aritmatika naik 𝑊 = {𝑤(𝑣_𝑖)|𝑣_𝑖 ∈ 𝑉} = {𝑎, 𝑎 + 𝑑, … , (|𝑉| − 1)𝑑} untuk 𝑎 dan 𝑑 bilangan bulat positif.

Berikut ini akan diberikan contoh mengenai pelabelan total tak ajaib titik (𝑎, 𝑑).

Contoh 3.34

Pada Gambar 2.15, terdapat graf 𝐺₁₃ yang juga merupakan graf yang memiliki pelabelan total tak-ajaib titik (a,d). Hal ini sesuai dengan definisi 2.27 dimana bobot dari semua titik pada graf 𝐺₁₃ berbeda dan membentuk barisan aritmatika naik dengan 𝑎 = 14 dan beda 𝑑 = 1. Pada titik berlabel 1, bobot titiknya adalah 16. Untuk titik berlabel 2 bobotnya adalah 15, titik berlabel 3 bobotnya adalah 14 dan titik berlabel 4 bobotnya adalah 17 (𝑤 = {𝑤(𝑣_𝑖)|𝑣_𝑖 ∈ 𝑉} = {14,15,16,17}).

3 5

2 1

4

6

(38)

Berikut akan diberikan definisi mengenai pelabelan total tak ajaib sisi (𝑎, 𝑑).

Definisi 2.27 (Baca, Miller, Ryan dan Semanicová-Feňovčíková, 2019) Misal 𝐴 = {1,2, … , |𝑉| + |𝐸|} dan 𝑓 merupakan suatu pemetaan bijektif dimana 𝑓: 𝑉 ⋃ 𝐸 → 𝐴. Fungsi 𝑓 disebut pelabelan total tak ajaib sisi (𝑎, 𝑑) dari graf 𝐺 = (𝑉, 𝐸) jika bobot dari semua sisi berbeda dan membentuk suatu barisan aritmatika naik 𝑊 = {𝑤(𝑣_𝑖𝑣_𝑗)|(𝑣_𝑖𝑣_𝑗) ∈ 𝐸} = {𝑎, 𝑎 + 𝑑, … , (|𝐸| − 1)𝑑} untuk 𝑎 dan 𝑑 bilangan bulat positif.

Berikut ini akan diberikan contoh mengenai pelabelan total tak-ajaib sisi (𝑎, 𝑑).

Contoh 2.35

Pada Gambar 2.16, terdapat graf 𝐺₁₄ yang juga merupakan graf yang memiliki pelabelan total tak-ajaib sisi (a,d). Hal ini sesuai dengan definisi 2.27 dimana bobot dari semua sisi pada graf 𝐺₁₄ berbeda dan membentuk barisan aritmatika naik dengan 𝑎 = 7 dan beda 𝑑 = 2. Pada sisi berlabel 4, bobotnya adalah 7. Untuk sisi berlabel 5 bobotnya adalah 9 dan sisi berlabel 6 bobotnya adalah 11 (𝑤 = {𝑤(𝑣_𝑖𝑣_𝑗)|(𝑣_𝑖𝑣_𝑗) ∈ 𝐸} = {7,9,11}).

Berikut ini akan diberikan definisi mengenai pelabelan total tak- ajaib titik kuat dari graf.

Definisi 2.28 (Baca, Miller, Ryan dan Semanicová-Feňovčíková, 2019) Pelabelan total tak-ajaib titik dari suatu graf 𝐺 dapat dikatakan pelebelan total tak-ajaib titik kuat jika label sisinya adalah {1,2,3, … , |𝐸|}

dan label titiknya {|E| + 1, |E| + 2, … , |V| + |E|} dengan |V| banyaknya titik dan |E| banyaknya sisi pada graf G.

Berikut ini akan diberikan contoh mengenai pelabelan total tak-ajaib titik kuat dari graf.

(39)

Contoh 2.36

Gambar 2.17 Graf 𝐺15

Graf 𝐺₁₅ pada Gambar 2.17 merupakan graf dengan pelabelan total tak ajaib titik kuat karena graf tersebut memiliki bobot titik yang berbeda yaitu:

Graf 𝐺₁₅ juga memenuhi definisi 2.28 dimana Graf 𝐺₁₅ memiliki label sisi {1,2,3,4} dan label titik {5,6,7,8}

Berikut ini akan diberikan definisi mengenai pelabelan total tak-ajaib sisi kuat dari graf.

Definisi 2.29 (Baca, Miller, Ryan dan Semanicová-Feňovčíková, 2019) Pelabelan total tak-ajaib sisi dari suatu graf 𝐺 dapat dikatakan pelebelan total tak-ajaib sisi kuat jika label titiknya adalah {1,2,3, … , |V|}

dan label sisinya {|V| + 1, |V| + 2, … , |V| + |E|} dengan |V| banyaknya titik dan |E| banyaknya sisi pada graf G.

Berikut ini akan diberikan contoh mengenai pelabelan total tak-ajaib sisi kuat dari graf.

Contoh 2.37

Gambar 2.18 Graf 𝐺₁₆

Graf 𝐺₁₆ pada Gambar 2.18 merupakan graf dengan pelabelan total tak ajaib sisi kuat karena graf tersebut memiliki bobot sisi yang berbeda yaitu:

8 7

6

5 3

4

1 2

4 2

3

1 7

5

6 8

(40)

Dan graf 𝐺₁₆ memenuhi definisi 2.29 dimana Graf 𝐺₁₆ memiliki label titik {1,2,3,4} dan label sisi {5,6,7,8}