Teori Graf

F. Metode Penelitian

2.2 Teori Graf

A. Pengertian Graf

Berikut ini akan diberikan definisi dari graf.

Definisi 2.12 (Rosen, 2018)

Suatu graf 𝐺 terdiri dari 𝑉 dan 𝐸 (dinotasikan dengan 𝐺 = (𝑉, 𝐸) ) dimana V merupakan himpunan tak kosong titik V = {v₁, v₂, v₃, … } dan E merupakan himpunan sisi E = {e₁, e₂, e₃, … } dengan e_i = (v_jv_k), dengan v_j, v_k∈ V. Selanjutnya anggota V disebut titik dan anggota E disebut sisi.

Banyaknya titik dari graf 𝐺 disebut order graf 𝐺 dan dinotasikan dengan |𝑉| = 𝑝 , sedangkan banyaknya sisi disebut ukuran graf 𝐺 dan dinotasikan dengan |𝐸| = 𝑞. Secara geometri, suatu titik dapat dinyatakan sebagai sebuah titik dan sisi dapat dinyatakan sebagai sebuah garis yang menghubungkan dua titik. Pada penelitian ini, graf yang digunakan adalah graf sederhana dan tak berarah yang selanjutnya disebut graf saja, sehingga sisi (v_jv_k) = (v_kv_j) dengan v_j, v_k∈ V.

Berikut ini akan diberikan contoh tentang suatu graf.

Contoh 2.11

Diberikan 𝑉 = {𝑣₁, 𝑣₂, 𝑣₃, 𝑣₄} dan 𝐸 = {(𝑣₁𝑣₂), (𝑣₂𝑣₃), (𝑣₃𝑣₄), (𝑣₁𝑣₄), (𝑣₁𝑣₄)}, dari himpunan 𝑉 dan 𝐸 dapat digambar menjadi diagram sebagai berikut :

(a) Graf (Graf 𝐺 = (𝑉, 𝐸)) (b) Bukan Graf

𝑒₃

𝑒₂ 𝑒₁

𝑒₄

𝑣₁ 𝑣₂

𝑣₃ 𝑣₄

𝑒₅

𝐺𝑎𝑚𝑏𝑎𝑟 2.1 𝐺𝑟𝑎𝑓 𝑑𝑎𝑛 𝐵𝑢𝑘𝑎𝑛 𝐺𝑟𝑎𝑓

Pada Gambar 2.1 dapat dilihat bahwa gambar tersebut memiliki empat titik yang berarti memiliki himpunan tak kosong titik. Gambar tersebut juga memiliki lima sisi yang berarti memiliki himpunan sisi. Selain itu, setiap sisi memiliki ujung yaitu titik yang terkait dengannya. Oleh karena itu gambar tersebut memenuhi definisi 2.12, sehingga gambar tersebut dapat dikatakan sebagai graf. Sedangkan gambar 2.1 bukan merupakan graf karena |𝑉| = 0 dan

|𝐸| = 0 sehingga tidak memenuhi definisi 2.12.

B. Beberapa Istilah dalam Graf

Terdapat beberapa istilah yang berkaitan dengan graf sehingga dalam bagian ini akan dijelaskan beberapa istilah yang terkait dengan graf. Berikut ini diberikan definisi tentang adjacent, incident, derajat sebuah titik, loop, sisi ganda, walk, trial, path.

Berikut ini akan diberikan definisi mengenai titik yang bertetangga atau berdampingan (adjacent).

Definisi 2.13 (Wilson, 2010)

Dua buah titik 𝑣₁ dan 𝑣₂ pada sebuah graf dikatakan bertetangga atau berdampingan (adjacent) jika terdapat sebuah sisi 𝑒₁ yang menghubungkan keduanya (𝑒₁ = (𝑣₁𝑣₂)).

Berikut akan diberikan contoh mengenai titik yang bertetangga atau berdampingan (adjacent).

Contoh 2.12

Diberikan graf seperti gambar dibawah ini.

Pada gambar 2.2, titik 𝑣₁ dan 𝑣₂ dapat dikatakan bertetangga karena memenuhi definisi 2.13 dimana terdapat sisi yang menghubungkan kedua

𝑣₁

𝑣₄ 𝑣₂

𝑣₃ 𝑒₂ 𝑒₁

𝑒₃ 𝑒₄

Gambar 2.2 Graf 𝐺₁(𝑉, 𝐸)

titik tersebut. Selain itu terdapat titik 𝑣₂ dan 𝑣₃ yang memenuhi definisi 2.13 juga. Sedangkan titik 𝑣₃ dan 𝑣₄ bukan merupakan titik yang bertetangga karena tidak ada sisi yang menghubungkan keduanya.

Berikut ini akan diberikan definisi mengenai sisi yang bersinggungan (incident).

Definisi 2.14 (Wilson, 2010)

Sisi 𝑒₁ dikatakan bersinggungan (incident) dengan titik 𝑣₁ dan 𝑣₂ jika 𝑒₁ = (𝑣₁𝑣₂).

Berikut ini akan diberikan contoh mengenai sisi yang bersinggungan (incident).

Contoh 2.13

Pada gambar 2.2, sisi 𝑒₁ dan 𝑒₂ bersinggungan (incident) dengan titik 𝑣₁ dan 𝑣₂. Sedangkan 𝑒₃ tidak bersinggungan dengan 𝑣₁.

Berikut ini akan diberikan definisi mengenai loop.

Definisi 2.15 (Wilson, 2010)

Loop adalah sisi yang menghubungkan sebuah titik 𝑣₁ dengan dirinya sendiri yakni 𝑣₁.

Berikut ini akan diberikan contoh mengenai loop.

Contoh 2.14

Pada gambar 2.2, sisi 𝑒₄ merupakan loop karena memenuhi definisi 2.15 dimana titik-titik ujung dari sisi 𝑒₄ merupakan titik yang sama, yakni 𝑣₃.

Selanjutnya akan diberikan definisi mengenai derajat sebuah titik (degree).

Definisi 2.16 (Wilson, 2010)

Derajat (deg(𝑣)) sebuah titik v adalah bilangan yang menyatakan jumlah sisi yang bersinggungan dengan v dan sisi suatu loop dihitung dua kali.

Berikut ini akan diberikan contoh mengenai derajat sebuah titik (degree).

Contoh 2.15 sehingga titik 𝑣₄ disebut titik terisolasi (isolated vertex).

Selanjutnya akan diberikan definisi dari sisi ganda.

Definisi 2.17 (Siang, 2011)

Sebarang dua sisi berbeda yakni 𝑒_𝑖 dan 𝑒_𝑗 dengan 𝑖 ≠ 𝑗 yang dihubungkan dengan titik ujung yang sama disebut sisi ganda.

Berikut ini akan diberikan contoh menegenai sisi ganda.

Contoh 2.16

Pada gambar 2.3, sisi 𝑒₅ dan 𝑒₆ merupakan sisi ganda karena memiliki titik ujung yang sama yakni titik 𝑣₁ dan 𝑣₄ sehingga memenuhi definisi 2.17

Selanjutnya akan diberikan definisi mengenai perjalanan (walk) dalam graf.

Definisi 2.18 (Wallis, 2001)

Perjalanan (walk) dalam graf G adalah barisan berhingga yang terdiri atas titik-titik dan sisi-sisi yang bergantian, dimana setiap sisi bersinggungan dengan titik terdekat, dengan diawali dan diakhiri pada suatu titik.

Walk disebut perjalanan tertutup jika titik awal sama dengan titik akhir.

Dalam hal lain disebut perjalanan terbuka.

Berikut ini akan diberikan contoh mengenai perjalanan (walk) dalam suatu graf mencakup perjalanan terbuka dan tertutup.

Contoh 2.17

𝐺𝑎𝑚𝑏𝑎𝑟 2.4 𝐺𝑟𝑎𝑓 𝐺₃

Pada Graf 𝐺₃ terdapat walk yaitu 𝑣₁, 𝑒₁, 𝑣₂, 𝑒₂, 𝑣₃, 𝑒₃, 𝑣₄, 𝑒₄, 𝑣₄ yang dapat disebut juga perjalanan terbuka. Sedangkan perjalanan tertutup adalah 𝑣₁, 𝑒₇, 𝑣₅, 𝑒₆, 𝑣₆, 𝑒₈, 𝑣₁.

Berikut ini akan diberikan definisi mengenai trail, path dan panjang lintasan.

Definisi 2.19 (Wallis, 2001)

Suatu walk yang tiap sisinya berbeda disebut trail. Dan suatu trail yang tiap titiknya berbeda disebut lintasan (path). Panjang lintasan adalah banyak sisi dalam lintasan tersebut.

Berikut ini akan diberikan definisi mengenai graf terhubung (connected graph).

Definisi 2.20 (Wilson, 2010)

Misalkan 𝐺 adalah suatu graf. Graf 𝐺 dikatakan terhubung (connected) jika untuk setiap dua titik 𝑣_𝑖 dan 𝑣_𝑗 dimana 𝑣_𝑖 ≠ 𝑣_𝑗 pada 𝐺 memiliki path yang menghubungkan kedua titik tersebut. Graf 𝐺 disebut graf tak terhubung (disconnected) jika ada pasangan titik di 𝐺 yang tidak

Berikut ini akan diberikan contoh mengenai graf terhubung (connected graph).

Contoh 2.19

Graf 𝐺4 Graf 𝐺5

𝐺𝑎𝑚𝑏𝑎𝑟 2.5 𝐺𝑎𝑚𝑏𝑎𝑟 𝐺𝑟𝑎𝑓 𝐺₄ 𝑑𝑎𝑛 𝐺𝑟𝑎𝑓 𝐺₅

Graf 𝐺₄ pada Gambar 2.5 merupakan graf tak terhubung karena tidak memenuhi definisi 2.20 dimana terdapat titik 𝑣₅ yang tidak memiliki sisi yang menghubungkannya dengan titik yang lainnya yaitu 𝑣₁, 𝑣₂, 𝑣₃, 𝑣₄. Sedangkan pada graf 𝐺₅ setiap pasangan titik memiliki path yang menghubungkan kedua sisi tersebut.

Berikut ini akan dijelaskan definisi mengenai sirkuit atau cycle.

Definisi 2.21 (Wilson, 2010)

Sirkuit atau cycle adalah suatu lintasan tertutup. Sirkuit dengan panjang k disebut Sirkuit-k atau k-Cycle.

Berikut ini akan diberikan contoh mengenai sirkuit atau cycle.

Contoh 2.20

Pada Gambar 2.5, Graf 𝐺₄ memiliki cycle yaitu 𝑣₁, 𝑒₁, 𝑣₂, 𝑒₂, 𝑣₃, 𝑒₃, 𝑣₄, 𝑒₄, 𝑣₁.

C. Jenis-Jenis Graf

Pada dasarnya graf dibedakan menjadi beberapa macam menurut sifat-sifatnya. Pengelompokkan graf dapat dipandang berdasarkan jenis sisinya, ada tidaknya loop atau sisi ganda dan berdasarkan banyaknya titik.

Berikut ini diberikan definisi dan contoh dari jenis-jenis graf berdasarkan sifatnya masing-masing.

Graf dibedakan menjadi dua berdasarkan jenis sisinya, yaitu : 1. Graf berarah (directed graph)

Rosen (2018) menjelaskan bahwa graf berarah atau biasa disebut digraf terdiri dari himpunan titik 𝑉 dan himpunan sisi 𝐸 yang terdiri dari pasangan terurut elemen 𝑉. Pada graf berarah, sisi dilambangkan dengan 𝑒_𝑖 = (𝑣_𝑗𝑣_𝑘) dimana 𝑒_𝑖 ∈ 𝐸 dan 𝑣_𝑗, 𝑣_𝑘 ∈ 𝑉 . Sisi (𝑣_𝑗𝑣_𝑘) dan (𝑣_𝑘𝑣_𝑗) menyatakan dua sisi yang berbeda.

2. Graf tak berarah (undirected graph)

Graf tak berarah atau biasa disebut graf saja merupakan graf yang sisinya tidak memiliki orientasi arah. Pada graf tak berarah, sisinya dilambangkan dengan 𝑒_𝑖 = (𝑣_𝑗𝑣_𝑘) dimana 𝑒_𝑖 ∈ 𝐸 dan 𝑣_𝑗, 𝑣_𝑘 ∈ 𝑉 dengan sisi (𝑣_𝑗𝑣_𝑘) dan (𝑣_𝑘𝑣_𝑗) menyatakan dua sisi yang sama. (Siang, 2011)

Berikut ini akan diberikan contoh mengenai graf berarah dan graf tidak berarah

Contoh 2.21

Graf 𝐺₆ Graf 𝐺₇

𝐺𝑎𝑚𝑏𝑎𝑟 2.6 𝐺𝑟𝑎𝑓 𝐺6 𝑑𝑎𝑛 𝐺7

Pada gambar 2.6, Graf 𝐺₆ merupakan graf tak berarah dan graf 𝐺₇ adalah graf berarah.

Selanjutnya graf dapat juga dibedakan berdasarkan ada tidaknya loop atau sisi ganda menjadi dua jenis, yaitu :

1. Graf sederhana (simple graph)

Suatu graf yang tidak memiliki loop maupun sisi ganda merupakan graf sederhana (Rosen, 2018).

2. Graf tak sederhana (unsimple graph)

Suatu graf yang memiliki loop atau sisi ganda merupakan graf tak sederhana. Terdapat dua macam graf tak sederhana, yaitu graf ganda (multigraph) dan graf semu (pseudograph). Graf ganda merupakan graf yang memiliki sisi ganda sedangkan graf semu adalah graf yang memiliki sisi ganda dan loop (Rosen, 2018).

Berikut ini akan disajikan contoh graf sederhana dan graf tak sederhana termasuk graf ganda dan graf semu.

Contoh 2.22

Graf 𝐺₈ Graf 𝐺₉ Graf 𝐺₁₀

Gambar 2.7 Graf 𝐺8, Graf 𝐺9, Graf 𝐺10

Pada Gambar 2.7 di atas Graf 𝐺₈ merupakan graf sederhana, Graf 𝐺₉ merupakan graf ganda, dan Graf 𝐺₁₀ merupakan graf semu.

Graf juga dapat dikelompokkan menjadi dua jenis berdasarkan banyak titik pada graf tersebut, yaitu :

1. Graf berhingga (finite graph)

Graf berhingga merupakan suatu graf yang memiliki jumlah titik dan sisi yang berhingga. Graf berhingga yang memiliki satu titik tanpa sisi (titik tunggal) disebut sebagai graf trivial.

2. Graf tak berhingga (infinite graph)

Graf tak berhingga merupakan graf yang banyak titiknya tidak berhingga.

Berikut ini akan diberikan contoh graf berhingga dan graf tak berhingga.

𝑣1 𝑣2

𝑣3

𝑣₄

𝑣₁ 𝑣₂

𝑣3

𝑣₄

𝑣1 𝑣2

𝑣₃ 𝑣4

Contoh 2.23

Gambar 2.8 Graf 𝐺11

Pada Gambar 2.7 Graf 𝐺₈, 𝐺₉ dan 𝐺₁₀ merupakan contoh dari graf berhingga, sedangkan graf 𝐺₁₁ pada Gambar 2.8 merupakan graf tak berhingga.

Selanjutnya akan dipaparkan beberapa jenis graf khusus beserta contoh dari masing-masing jenis.

1. Graf lengkap (complete graph)

Graf lengkap adalah graf sederhana yang tiap pasangan titik yang berbeda saling bertetangga. Graf lengkap disimbolkan dengan 𝐾_𝑛 dimana n adalah banyak titik yang dimilikki graf tersebut. Graf 𝐾_𝑛 memiliki sebanyak ¹

2𝑛(𝑛 − 1) sisi. Berikut ini akan diberikan contoh graf lengkap (Wilson, 2010).

Berikut ini akan diberikan contoh mengenai graf lengkap.

Contoh 2.24

Gambar 2.9 Graf 𝐾₄ dan 𝐾₅

Pada Gambar 2.9 Graf 𝐾₄ dan 𝐾₅ adalah graf lengkap karena setiap pasang titiknya yang berbeda saling bertetangga.

2. Graf sikel (cycle graph)

Graf sikel adalah graf terhubung yang setiap titiknya berderajat dua.

Simbol dari graf sikel dengan n titik adalah 𝐶_𝑛(Wilson, 2010).

Berikut ini akan diberikan contoh mengenai graf sikel.

…

…

…

…

…

…

… … …

… … …

Contoh 2.25

Gambar 2.10 Graf 𝐺12

Pada Gambar 2.10 Graf 𝐺₁₂ merupakan contoh dari graf cycle.

3. Graf Corona

Diberikan dua graf 𝐺 dengan order 𝑝 dan 𝐻 , operasi sederhana antara 𝐺 dengan 𝐻 disebut corona dan dinotasikan dengan 𝐺 ⊙ 𝐻 . Corona 𝐺 dengan 𝐻 diperoleh dengan mengambil satu graf 𝐺 dan 𝑝 graf 𝐻 yang kemudian setiap titik salinan 𝐻 adjacent satu persatu ke titik salinan 𝐺 (Frucht dan Harary, 1970).

Salah satu contoh dari corona adalah graf mahkota yang mengoperasikan graf sikel dengan graf 𝐾₁ (𝐶_𝑛 ⊙ 𝑚𝐾₁). Berikut ini akan diberikan contoh mengenai graf mahkota.

Contoh 2.26

Gambar 2.11 Graf 𝐶₄⊙ 4𝐾₁

Graf mahkota sering di sebut dalam penelitian lain sebagai graf sikel dengan tambahan 𝑛 anting atau graf sun. Dalam penelitian ini, akan digunakan istilah graf sun.

4. Graf Birpartit (bipartite graph)

Graf sederhana 𝐺 disebut graf bipartit jika himpunan 𝑉 dapat dipartisi menjadi dua himpunan terpisah 𝑉₁ dan 𝑉₂ sedemikian hingga setiap sisi dalam graf menghubungkan titik di 𝑉₁ dan 𝑉₂. (Rosen, 2018)

Berikut ini akan diberikan contoh mengenai graf bipartit.

Contoh 2.27

Gambar 2.12 Graf bipartit

5. Graf Bipartit Lengkap (complete bipartit graph)

Graf bipartit lengkap adalah graf bipartit dengan setiap titik di 𝑉₁ bertetangga dengan setiap titik di 𝑉₂. Graf bipartit lengkap atau 𝐾_𝑟,𝑠 memiliki 𝑟 + 𝑠 titik dan 𝑟𝑠 sisi (Wilson, 2010).

Berikut ini akan diberikan contoh mengenai graf bipartit lengkap.

Contoh 2.28

Gambar 2.13 Graf bipartit lengkap (𝐾2,3)