BAB II LANDASAN TEORI
G. Garis dan Sudut
Menurut Leff (2009: 2), garis adalah himpunan titik-titik yang kontinu dan dapat diperpanjang di kedua arah (gambar 2.1). Menurut Leff (2009: 3), ruas garis adalah bagian dari garis yang terdiri dari 2 titik ujung yang disebut titik akhir dan himpunan semua titik diantaranya (gambar 2.2). Menurut Leff (2009: 4), sinar garis adalah bagian dari garis yang hanya memiliki satu titik ujung, dan himpunan semua titik pada ujung lainnya (gambar 2.3).
Gambar 2.1 Garis AB ( ⃡ ) Gambar 2.2 Ruas Garis AB ̅̅̅̅
Gambar 2.3 Sinar Garis AB
Menurut Smith (1956: 9),sudut adalah suatu daerah yang terbentuk dari dua garis lurus yang bertemu pada suatu titik. Titik itu disebut titik sudut dan garis-garis itu disebut sisi-sisi sudut.
Sudut dapat ditemukan di lingkungan sekitar seperti pada gambar sebuah tangga di bawah ini.
Gambar 2.4 Tangga � k l Gambar 2.5 Laptop k l � B A A B A B
Dari gambar di atas, sudut yang terbentuk dari garis k dan l adalah sudut
�.
Tangga tersebut dapat berdiri tegak karena adanya sudut yang terbentuk. Susunan pijakan kaki pada tangga tersebut juga membentuk sudut.
Hubungan Antara Titik, Garis dan Bidang
1. Letak suatu titik pada suatu garis lurus (Hadiwidjojo, 1973: 10-11)
Letak suatu titik pada suatu garis lurus ditentukan jika diambil suatu titik pada garis tersebut. Titik tertentu itu diberi nama titik asal. Suatu titik pada suatu garis lurus mempunyai satu koordinat yang disebut absis titik tersebut. Setiap titik pada garis menentukan suatu bilangan nyata yaitu absisnya, dan sebaliknya setiap bilangan nyata, menentukan letak suatu titik.
2. Letak suatu titik pada suatu bidang datar (Hadiwidjojo, 1973: 13-14)
Letak suatu titik pada suatu bidang datar akan tertentu, apabila diketahui jarak-jarak titik itu dari sumbu-sumbu koordinat. Jarak-jarak ini diambil sejajar dengan sumbu- sumbu koordinat. Setiap titik dalam bidang menentukan sepasang bilangan nyata berurutan dan sebaliknya setiap pasang bilangan nyata berurutan menentukan satu titik pada bidang.
3. Letak garis lurus terhadap bidang datar a. Garis terletak pada bidang
Menurut Hadiwidjojo (1973: 55), supaya suatu garis terletak dalam bidang, maka garis harus sejajar dengan bidang dan garis itu mempunyai titik yang terletak pada bidang tersebut.
b. Garis sejajar bidang
Menurut Hadiwidjojo (1973: 52), garis sejajar dengan bidang jika garis itu tegaklurus pada normal bidang. c. Garis memotong bidang
Menurut Hadiwidjojo (1973: 52), mencari koordinat- koordinat titik potong garis dan bidang itu sama saja dengan mencari nilai x, y dan z yang memenuhi ketiga persamaan tersebut. Misal diketahui persamaan garis
�
Dari persamaan tersebut diperoleh �,
, . Lalu dicari nilai
sedemikian hingga memenuhi persamaan suatu bidang
�
Koordinat-koordinat titik potong garis dan bidang itu dapat diperoleh jika � dan
.
4. Letak suatu garis lurus terhadap garis lurus lain
Menurut Hadiwidjojo (1973: 55), jika garis-garis lurus itu mempunyai persamaan-persamaan dan
, maka berlaku pernyataan di bawah ini.
1. Jika dan , maka kedua garis itu akan sejajar.
2. Jika dan , maka kedua garis itu akan berimpit. (1) � A � � (2) (3)
Gambar 2.6 Kedudukan garis k dan bidang �
Gambar 2.7 Garis dan merupakan garis yang sejajar
Gambar 2.8 Garis dan garis saling berimpit
3. Jika , maka kedua garis itu akan berpotongan.
B.Membagi sebuah ruas garis menjadi dua sama panjang (Smith: 1956: 5)
Misal diketahui garis AB, bagilah garis tersebut menjadi dua bagian sama panjang.
1. Titik A dan B sebagai pusat, buatlah busur yang saling memotong di titik C dan D dengan jari-jari jangka sepanjang garis AB.
2. Buatlah garis CD yang memotong garis AB di titik E. Sehingga AE = EB.
C.Membagi sudut menjadi dua bagian sama besar (Smith, 1956: 18)
Misal diketahui , bagilah sudut tersebut menjadi dua bagian sama besar.
Gambar 2.9 Garis dan saling berpotongan
1. Titik B sebagai pusat, buatlah busur yang memotong BC di titik D dan BA di titik E dengan jari-jari jangka kurang dari panjang BC dan BA.
2. Menggunakan jari-jari jangka yang sama, dengan titik D dan E sebagai pusat buatlah dua busur yang saling berpotongan di titik F. 3. Buatlah garis BG melalui titik B dan F. Garis
BG membagi dua .
D.Membuat sebuah sudut yang sama dengan sudut yang diketahui (Smith, 1956: 19)
Misal diketahui , buatlah sudut yang sama dengan .
1. Buatlah garis ED yang sesuai dengan sisi BA pada . E merupakan titik sudut dari sudut yang akan dibuat.
2. Titik B sebagai pusat, buatlah busur yang memotong BC di titik G dan BA di titik H dengan jari-jari jangka kurang dari panjang BC dan BA.
3. Menggunakan jari-jari jangka yang sama, dengan titik E sebagai pusat buatlah busur m yangmemotong ED di titik J. Gambar 2.11 Garis BG membagi dua Gambar 2.12 Langkah 1, 2 dan 3 Langkah 4 Langkah 5
4. Gunakan jari-jari jangka sepanjang titik H ke titik G, dengan J sebagai pusat buatlah busur yang memotong busur m di titik K.
5. Buatlah garis EF melalui titik E dan titik K. sama dengan .
E.Membuat sebuah garis yang tegak lurus dengan garis yang sudah diketahui pada sebuah titik di garis tersebut (Smith: 1956: 24-25)
Misal diketahui garis AB dengan titik C pada garis tersebut. Buatlah sebuah garis yang berpotongan tegak lurus terhadap garis AB di titik C.
1. Titik C sebagai pusat buatlah busur yang memotong AB di titik D dan E dengan jari-jari jangka kurang dari panjang CA dan CB.
2. Menggunakan jari-jari jangka yang sama, dengan titik D dan E sebagai pusat buatlah busur yang akan saling berpotongan di titik F. 3. Buatlah garis CG melalui titik C dan F.
̅̅̅̅ ̅̅̅̅ di titik C.
Gambar 2.13 ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ di titik C
Langkah 2 dan 3 Langkah 1
F. Mengukur besar sudut dengan busur derajat
Menurut Abbott (1959: 40), busur derajat digunakan untuk mengukur sudut. Busur derajat biasanya terbuat dari bahan yang transparan, sehingga ketika busur derajat ditempatkan di atas objek akan terlihat. Untuk mengukur sudut yang kaki sudutnya adalah QP dan QR (gambar 2.18), busur derajat ditempatkan dengan QR menunjuk skala 00. Jadi besar adalah 300. Tujuan dari dua set angka pada busur derajat (gambar 2.18) adalah memudahkan untuk membaca besar sudut dari kedua ujung S atau R.
G. Jenis-jenis sudut
1. Sudut lancip
Gambar 2.14 Sudut PQR diukur menggunakan busur derajat
P
Q
R S
Menurut Ariawan (2014: 9), sudut lancip merupakan sudut yang besar sudutnya lebih besar dari 00 dan kurang dari 900
( < < 9 ).
2. Sudut tumpul
Menurut Ariawan (2014: 9), sudut tumpul merupakan sudut yang besar sudutnya lebih besar dari 900 dan kurang dari
1800 (9 < < ).
3. Sudut siku-siku
Menurut Ariawan (2014: 9), sudut siku-siku merupakan sudut yang besar sudutnya tepat 900 ( 9 ).
4. Sudut lurus
Gambar 2.16 Sudut tumpul
Gambar 2.18 Sudut lurus Gambar 2.17 Sudut siku-siku
Menurut Ariawan (2014: 9), sudut lurus merupakan sudut yang besar sudutnya tepat 1800 ( ).
5. Sudut refleks
Menurut Ariawan (2014: 9), sudut refleks merupakan sudut yang besar sudutnya lebih dari 1800 dan kurang dari
3600 < < 6 .
H. Hubungan Antar Sudut
a. Sudut berpelurus, berpenyiku dan bertolakbelakang
Menurut Ariawan (2014: 9), sudut dikatakan berpenyiku atau berkomplemen jika dan hanya jika jumlah besar kedua sudut 9 .
Contoh:
9
Menurut Ariawan (2014: 9), sudut dikatakan berpelurus atau bersuplemen jika dan hanya jika jumlah besar kedua sudut .
A
B
C
D
Gambar 2.20 Sudut berpenyiku Gambar 2.19 Sudut refleks
Contoh:
Menurut Ariawan (2014: 9), dua sudut yang bukan sudut lurus disebut saling bertolakbelakang jika titik sudut mereka sama dan kedua pasang kakinya membentuk sudut lurus. Berdasarkan teorema 1.2 (Ariawan, 2014: 11) sudut-sudut yang bertolak belakang sama besar. Contoh:
b. Hubungan sudut-sudut pada dua garis sejajar
C D A B O D C B A
Gambar 2.21 Sudut berpelurus
Gambar 2.22 Sudut bertolakbelakang
Gambar 2.23 Sudut-sudut yang dihasilkan dari 2 garis sejajar yang dipotong oleh garis lain 1 2 3 4 5 6 7 8 Daerah F Daerah E Daerah D Daerah C Daerah B Daerah A t
Menurut Ariawan (2014: 10), keterangan gambar diatas sebagai berikut.
(a) Daerah C dan Daerah D adalah daerah diantara kedua garis (di dalam garis)
(b) Daerah A, B, E dan F adalah daerah di luar kedua garis. (c) Daerah A, C dan E adalah daerah sepihak terhadap
transversal t. Begitu juga Daerah B, D dan F. (d) t disebut transversal.
(e) disebut sudut luar.
(f) 6 disebut sudut dalam.
(g) berseberangan dengan 6 � (begitu juga
.
(h) sepihak dengan � 6 begitujuga sepihak dengan 6
(i) sehadap dengan karena dan sepihak serta merupakan sudut luar dan merupakan sudut dalam. (j) dan adalah sudut bertolak belakang.
(k) dan adalah sudut dalam berseberangan. (l) dan 8 adalah sudut luar berseberangan.
(m) dan 6 adalah sudut-sudut yang berdampingan. Kedua sudut ini juga disebut saling berpelurus.
Menurut Ariawan (2014: 12), berikut ini merupakan beberapa teorema dasar dari dua garis sejajar dipotong oleh suatu garis.
1. Teorema 1.4
Jika dua garis sejajar dipotong oleh suatu garis, dua sudut sehadapnya sama besar.
Contoh: 6 2. Teorema 1.7
Jika dua buah garis sejajar dipotong oleh suatu garis, sudut dalam atau sudut luar berseberangannya sama besar.
Contoh sudut dalam berseberangan yaitu 6 dan sudut luar berseberangan yaitu . 3. Teorema 1.8
Jika dua buah garis sejajar dipotong oleh garis lain, sudut dalam sepihaknya berpelurus sesamanya.
Contoh: 6 4. Teorema 1.9
Jika dua buah garis sejajar dipotong oleh garis lain, sudut luar sepihaknya berpelurus sesamanya.
Contoh:
