Teorema 2.5 Teorema sudut luar (Walter Prenowitz dan Meyer Jordan, 1965:22)
3. Geometries Non Euclides
Geometri hiperbolik non-Euclidean adalah geometri yang ditemukan oleh Bolyai, seorang Hungaria dan oleh Lobachevsky, seorang Rusia di awal abad kesembilan belas. Playfair mendalilkan bahwa dari titik yang bukan pada garis hanya satu baris dapat ditarik sejajar dengan garis, didalilkan dari sudut tidak garis diberikan lebih dari satu, pada kenyataannya, tak terhingga banyak baris dapat ditarik sejajar dengan garis. Kemudian pada abad kesembilan belas mengubah Riemann paralel mendalilkan cara lain, sehingga bisa diambil bahkan garis paralel, ini memerlukan beberapa modifikasi lebih lanjut dari aksioma orang lain, tetapi dengan modifikasi ini diproduksi lain non-Euclidean geometri konsisten, yang “Elliptica” disebut geometri.
Geometri Non-Euclidean yang aneh, tapi tampak kurang jadi sekarang kita kenal dengan mereka daripada ketika pertama kali bertemu Saccheri mereka. Hal ini lebih mudah untuk memvisualisasikan geometri non-Euclidean memperhitungkan permukaan elips bola beberapa, seperti tanah atau jeruk. Sangat mudah untuk dilakukan jika lingkaran besar dianggap âlinesâ, tidak ada garis paralel dalam geometri eliptik. Mematuhi dengan dua lingkaran besar, pada kenyataannya, bertemu tidak hanya sekali tetapi dua kali, sebagai meridian memenuhi kedua Kutub Utara dan Kutub Selatan. (Yang disebut “parallels dari latitude” tidak paralel sama sekali, karena mereka tidak, di bawah interpretasi, garis lurus, tetapi sebaliknya, lingkaran.) Jika kita menganggap bahwa instrumen jeruk, atau segitiga permukaan Bumi bulat menandai meridian Greenwich, Ekuador dan 90° BB, kita melihat ia memiliki sudut yang tepat pada setiap titik,
sehingga jumlah sudut yang menambahkan hingga tiga sudut kanan 270°, bukan hanya dua sudut siku-siku 180°. Sebuah segitiga kecil akan jumlah sudut yang mendekati 180°, yang cenderung sebagai segitiga semakin kecil dan lebih kecil. Bahkan, jika kita tahu bagaimana sudut, kita dapat mengatakan apa yang seharusnya menjadi hanya sisi bulat segitiga dengan masing-masing sudut nya 90° adalah mereka yang sisi-sisinya adalah satu-seperempat dari keliling lingkaran besar.
Jauh lebih sulit untuk memberikan permukaan dengan lengkungan negatif. Permukaan kursi atau gunung, adalah salah satu contoh. Pada permukaan keliling lingkaran adalah 2 π, dan Sejalan kuadrat dari sisi miring lebih besar dari jumlah dari kuadrat kedua sisi lainnya. Hal ini kurang mudah untuk melihat bahwa jumlah sudut segitiga adalah kurang dari 180°, tetapi jika kita mempertimbangkan bagaimana sangat kecil perbedaan di jalur oneâs dalam melewati gunung dapat menyebabkan tempat yang terpisah, kita menerima bahwa segitiga bisa memiliki sudut yang menambahkan hingga kurang dari 180°. Jika kita mengambil segitiga fitur untuk membatasi, maka ada area minimum segitiga. Ini menunjukkan sekali lagi bagaimana asumsi kegagalan Saccheri Wallis non-Euclidean geometri. Hal ini juga menarik perhatian karakteristik lain dari non-Euclidean geometri. Geometri hiperbolik dan unit berbentuk bulat panjang telah ânatural, dalam geometri hiperbolik ada area minimum yang dapat memiliki segitiga, dan geometri eliptik ada panjang maksimum yang dapat memiliki sebuah baris. (Bahwa kita perlu untuk memodifikasi geometri geometri eliptik Euclid mendalilkan kelima tidak hanya tetapi yang kedua, yang mengasumsikan bahwa sebuah garis lurus dapat diperpanjang tanpa batas jauh.)
Non-Euclidean geometri tetap orang asing. Bisakah kita membawa beberapa pengetahuan dari mereka dan melihat sampai batas tertentu, tetapi memiliki fitur yang tidak terbiasa dan mungkin tetap salah bahkan setelah persahabatan yang panjang, tetapi itu tidak berarti mereka tidak kompatibel. Dan sebenarnya non-Euclidean geometri konsisten.
Sangat mudah untuk mengatakan bahwa geometri konsisten dan sulit untuk membuktikan. Saccheri menyimpulkan bahwa sistem sedang diselidiki
adalah sebagai absurd tidak kompatibel, dan itu terbukti salah? Pada akhir Felix Klein telah terbukti salah, dengan bukti “relative consistency proof” yang telah menjadi sangat penting dalam dasar matematika. Klein model geometri hiperbolik dalam geometri Euclidean. Dianggap sebagai salah satu bagian yang diberikan oleh redescribing circle dalam bahwa lingkaran Euclidean plane khususnya menunjukkan bahwa di bawah deskripsi baru bertemu aksioma geometri hiperbolik. Lalu ia mengatakan bahwa jika mereka maka semua konsisten, untuk kemudian akan ada inkonsistensi pada bidang Euclidean, dan geometri Euclidean akan terlalu tidak konsisten. Jadi, contrapositively, geometri hiperbolik konsisten selalu geometri Euclid hiperbolik konsisten sehubungan dengan geometri Euclidean.
Klein’s itu sendiri adalah rumit. Kami menghargai dorongan dari argumennya jika kita menganggap bukan bukti konsistensi relatif model menggunakan telah diberikan. Aksioma geometri dua dimensi elips berkumpul di permukaan bola dengan titik dalam geometri eliptik diwakili oleh titik-titik pada permukaan bola dan garis-garis dalam geometri eliptik diwakili oleh lingkaran besar di permukaan bola. Jika aksioma dari geometri tidak kompatibel elips, maka kita bisa menghasilkan proofsequence, seperti yang ditunjukkan pada Tabel 2.3.3, di mana setiap baris (ditampilkan di sisi kiri meja) adalah sebuah formula yang well-formed geometri eliptik, adalah aksioma atau diikuti oleh satu atau lebih baris beberapa aturan inferensi sebelumnya dan baris terakhir adalah bentuk A ¬˄ A. Tapi sekarang pertimbangkan ini bukti-urutan bukan sebagai urutan formula juga terbentuk dari titik dan garis dalam geometri elips, tetapi juga membentuk formula dari titik dan lingkaran besar di ruang sub-dua-dimensi dari geometri Euclidean tiga-dimensi (ditampilkan di sisi kanan meja). Apa yang aksioma berdasarkan interpretasi sekarang proposisi sejati elips dan dapat dibuktikan dari aksioma geometri Euclidean diwakili oleh tiga-dimensi baris tambahan di bagian atas urutan uji di sebelah kanan. Geometri mengisi sehingga kami bisa naik di luar urutan uji kita untuk menguji aksioma Euclidean tiga dimensi geometri. Jika tes geometri eliptik berakhir dalam formula yang well-formed dari bentuk A ¬A, tes˄ dalam tiga-dimensi geometri Euclidean selesai dalam formula yang well-formed
dari bentuk A' ¬A', yang pada dasarnya membentuk A ¬A terlalu, dan tiga-˄ ˄ dimensi geometri Euclidean akan menjadi tidak konsisten. Sebagai tiga-dimensi geometri Euclidean tidak konsisten, geometri elips tidak konsisten, mengingat bahwa tiga-dimensi geometri Euclidean adalah konsisten, maka itu adalah geometri terlalu elips.
Non-Euclidean geometri begitu diklaim pada skor konsistensi. Dan dalam ketiadaan matematikawan inkoherensi lengkap dan mengucapkan sudah sulit sekali untuk membenarkan mengesampingkan alasan lain.