Teorema 2.5 Teorema sudut luar (Walter Prenowitz dan Meyer Jordan, 1965:22)
5. Konsep Pembatasan
Program Geometrodynamics adalah untuk menyatukan fisika dan geometri, untuk mengurangi penjelasan fisika dan geometri. Dalam Teori Umum Einstein digantikan oleh kelengkungan ruang yang rumit. Jika program berhasil, maka tidak ada perbedaan antara geometri dan fisika, dan tidak banyak yang gagal. Begitu banyak dapat diberikan. Tapi program ini bukan fakta. Dan jika berhasil, geometrodynamics dapat sukses, kita tidak harus geometri, namun geometrodynamics. Kemungkinan account monistik dipresentasikan oleh Spinoza, dan penuh semangat yang dilakukan oleh fisikawan kontemporer. Jika pada kenyataannya, kita dapat menghasilkan perubahan dalam struktur konseptual dan perbedaan yang lama antara geometri dan fisika akan ditumbangkan. Tapi selama kita berbicara tentang geometri dan tidak geometrodynamics, ada kontras antara geometri dan fisika, dan keterbatasan konseptual yang kontras ini dapat dikenakan pada jenis geometri yang layak untuk diadopsi.
Menurut laporan Ortodoks, sebuah titik dan garis lurus hanya implisit didefinisikan oleh aksioma geometri dan benar-benar bebas untuk memilih setiap tafsiran yang konsisten dengan aksioma-aksioma. Secara khusus, di bidang geometri proyektif ganda 'titik' dan 'garis', dan kita dapat bertukar dengan mereka tanpa ada perubahan makna atau kebenaran: dengan demikian Lunch Club membuat perbedaan jika kita mengambil 'anggota' menjadi titik dan ‘Lunch’ menjadi garis, atau sebaliknya. Tapi ini tidak benar. Titik dan garis tidak hanya secara implisit didefinisikan oleh aksioma definisi lainnya telah diberikan atau
mencoba untuk menunjukkan link yang lain konseptual. Mari kita survei secara sistematis.
Kami memiliki beberapa perbedaan mereological pertama dan kategoris: 1. (i) titik tidak memiliki bagian (Pythagoras)
(ii) titik memiliki posisi tapi tidak besar, sementara ('i) bagian garis lurus
(ii')(a) garis lurus memiliki posisi dan arah
('ii)(b) garis lurus memiliki panjang tetapi tidak lebar,
Kita memiliki perbedaan kedua topologi antara titik dan garis (tidak selalu lurus):
2. (i)(a) titik tidak dapat memiliki batas, tetapi (b) dapat batas
(ii)(a)garis dapat memiliki titik sebagai batas, dan (b)dapat menjadi batas permukaan
(iii)(a)permukaan dapat memiliki garis sebagai batas dan (b)dapat menjadi batas volume
lebih umum, kita memiliki sejumlah definisi yang mungkin dari garis lurus. Sebuah garis lurus:
3 (i) adalah jarak terpendek antara dua titik (ii) panjang breadthless
(iii) adalah bagian dari sinar cahaya (iv) terlihat lurus
(v) tidak memiliki Kinks
(vi) terletak merata pada dirinya sendiri (vii) adalah sumbu rotasi tiga dimensi (viii) adalah persimpangan dari dua bidang (ix) adalah yang tengah meliputi penutup
Karakterisasi Pythagoras dari sebuah titik sebagai sesuatu yang tidak memiliki bagian yang menghubungkan konsep titik dengan "mereology" (dari kata Yunani (meros), bagian), studi dari bagian relasi. Bagian dari relasi adalah hubungan pemetaan, dan di bawah yang menunjukkan pesanan elemen minimum. Ini juga dikatakan bahwa tidak memiliki besaran yang dapat dipahami bahwa ukurannya adalah nol atau mengatakan bahwa pertanyaan "berapa banyaknya?" titik tidak bisa semua. Poin yang didefinisikan dalam cara yang kontra Anselmian. Anselmus mendefinisikan God sebagai id quo maius nequeat cogitari esse, tidak ada yang bisa dibayangkan lebih tinggi jika kita mendefinisikan sebuah titik yang tidak memiliki bagian atau besarnya adalah nol, kita katakan dalam efek itu adalah id quo maius nequeat cogitari esse, tidak ada yang bisa dibayangkan lebih kecil.
Poin tidak hanya entitas yang memenuhi aksioma dari beberapa teori geometris formal, tetapi terkait dengan mereology Aristoteles dan kategori kuantitas, "Berapa?"
Perbedaan yang tersirat dalam cara yang garis dapat dan tidak dapat bagian menjadi lebih eksplisit dalam topologi. Topologi memberikan definisi induktif dimensi dalam hal batas. Set nol memiliki dimensi -1, titik-titik yang tidak memiliki batas, memiliki dimensi 0; garis batas poin yang memiliki dimensi 1; permukaan yang batas-batas garis, memiliki dimensi 2, dan seterusnya. Plato di jalur ini. Dalam Meno mendefinisikan bentuk bidang sebagai batas yang solid: (pir stereou einai skema). Ada banyak proto-topologi Plato dan Aristoteles. Meskipun kami menganggap Kant sebagai pendiri topologi, dan benar, kita harus mengenali lebih daripada yang mereka lakukan upaya pertama dalam hal ini dibuat oleh orang Yunani.
Karakterisasi topologi garis tidak berarti kebenaran. Sebuah garis lurus adalah jenis garis dan bentuk pilihan garis lurus dari orang lain adalah, sebagai pengamatan Hempel benar, bahwa perjalanan cahaya dalam garis lurus kecuali jika dipantulkan atau dibiaskan. Tapi ini bukan satu-satunya cara, juga bukan semata-mata fakta kontingen yang juga bisa menjadi sesuatu yang lain. Seringkali, memang benar bahwa kita bergantung pada fisika sinar cahaya, seperti ketika kita melihat ke bawah salah satu ujung Penguasa untuk melihat apakah sudah lurus. Tapi ini bukan pilihan yang sewenang-wenang pada bagian kami. Kita bisa melihat bahwa cahaya berjalan dalam garis lurus (ke dalam kisaran akurasi pengamatan) menghadapi sinar yang dipancarkan oleh matahari melalui lubang dalam rana atau ruangan berdebu di sebuah clerestory katedral di musim dingin. Kenyataan bahwa kita hidup untuk melihat cahaya baris berikut bahwa kita memiliki beberapa kriteria lain hanya kejujuran adalah jalan dari seberkas cahaya. Oleh karena itu dapat menjadi pilihan sewenang-wenang definisi bagi kita. Dan memang, jika mereka berharap pair, kita tidak harus melihat ke tepi penggaris untuk menilai kebenaran yang benar-benar menilai kebenaran sebuah tongkat untuk melihat bagaimana tampilannya ketika sebagian terendam dalam air. Juga adalah sumber daya satu-satunya untuk menentukan kelurusan cahaya. Jika lampu
tidak tersedia, atau percaya untuk dapat diandalkan, kita bisa mencoba aturan dengan rantai ketat. Sebuah garis lurus adalah jarak terpendek antara dua titik. Karakterisasi Âgeodesicâ adalah kelurusan dan sangat disukai dalam teori relativitas umum. Konsep-konsep tambahan, seperti âdistanceâ dan titik betweener âbeing, tetapi dapat didefinisikan setidaknya sebagian, tanpa mengasumsikan garis lurus. Sebuah pendekatan yang berbeda lagi adalah untuk memeriksa dua tepi lurus terhadap satu sama lain dengan menjalankan mereka satu sama lain. Jika Anda benar-benar lurus sesuai dengan nyaman bersama-sama sepanjang waktu kalau keduanya kusut bersama-sama, masuk dalam satu posisi, tetapi tidak pada orang lain. Dalam kasus ekstrim kita dapat melihat atau merasakan Kinks dan menolak garis lurus dari tangan. Lurus tidak termasuk Kinks, yang titik-titik singularitas. Dalam hal ini kita mengikuti definisi Euclid dari garis lurus sebagai salah satu bidang datar. Dalam jargon modern, garis lurus memiliki simetri yang sempurna dari terjemahan sepanjang itu. Ini juga memiliki simetri yang sempurna sekitar dirinya. Sebuah sumbu putar adalah garis lurus, dan aku bisa mencoba kebenaran batang tipis perlahan-lahan menyalakan mesin bubut.
Hal ini juga mencatat cara canggih di mana perencanaan dilakukan optical. Bidang datar optik harus sangat faktual dan penggiling lensa untuk menggiling dua yang pertama bersama-sama, rencana, maka masing-masing terhadap pihak ketiga dan kemudian terhadap satu sama lain dan seterusnya. Jelas, ketika dua pesawat adalah tanah terhadap satu sama lain tidak bisa memastikan mereka adalah datar, satu dapat sedikit cembung dan cekung Sejalan lainnya. Jika kedua adalah tanah terhadap pihak ketiga, setiap titik tanda kedua titik rendah dalam ketiga. Tapi ketika datang ke tanah terhadap titik rendah pertama akan dibandingkan dengan rendah tinggi tinggi dan sebaliknya, sehingga tanah tinggi turun lagi. Lebih matematis, jika ada bagian titik yang pertama adalah x berada di atas, titik x kedua yang sesuai akan turun, yaitu x-up dan ketiga adalah x diatas, yang cenderung untuk tinggi asli -x. Setiap operasi cenderung untuk mengubah x ke -x, yaitu dikalikan dengan -1. Jadi terhadap satu sama lain, efek keseluruhan adalah memperbanyak x ³ (-1). Situasi stabil hanya jika x =(-1)³ x, yaitu x = - x,
yang mungkin hanya ketika x = 0. Mengingat cara untuk menghasilkan optik datar, sangat lurus sehingga kita dapat menghasilkan perpotongan dua optical planes.
Anselmus mendefinisikan Tuhan sebagai id quo maius nequeat cogitari esse, yang tidak bisa membandingkan dengan yang lain: jika kita mendefinisikan sebuah titik yang tidak memiliki bagian atau besarnya adalah nol, dapat dikatakan sebagai id quo minus nequet cogitari esse, tidak ada yang dapat membayangkan dengan yang lebih kecil. Titik bukan hanya susuatu yang benar-benar ada dan dipenuhi dalam beberapa aksioma dari teori geometri tetapi berhubungan dengan mereology dan kategori kuantitas kategori dari Aristoteles.
Jika kita menafsirkan dalam definisi, titik tidak memiliki besaran. Titik memiliki posisi, tetapi letak titik tersebut selalu dapat diketahui.
Perbedaan yang implisit dalam cara menjelaskan suatu garis dapat dan tidak dapat mempunyai beberapa bagian ini dibuat lebih eksplisit dalam topologi. Topologi memberikan definisi induktif dari dimensi dalam hal batasan-batasan. Himpunan nol memiliki dimensi -1; titik-titik, yang tidak memiliki batasan-batasan, memiliki dimensi 0; garis, dimana yang batasan-batasannya merupakan titik, memiliki dimensi 1; bidang, dimana batasan-batasannya yaitu garis, memiliki dimensi 2, dan seterusnya. Plato sudah mengetahui hal ini sebelumnya. Plato mendefinisikan suatu bidang sebagai batasan-batasan yang solid: (stereou peras schema einai). Ada banyak proto-topologi Plato dan Aristoteles. Meskipun kami menganggap Kant sebagai pendiri topologi, dan benar, tetapi kita harus tau bahwa yunani memegang peran penting dalam topologi.
Karakterisasi topologi dari garis bukan berarti suatu garis lurus. Sebuah garis lurus merupakan bagian tertentu dari garis, dan salah satu cara untuk menentukan suatu garis lurus, seperti yang telah Hempel katakan bahwa sinar membentuk suatu garis lurus. Dapat dikatakan suatu sinar merupakan garis lurus dengan mengamati pancaran sinar dari matahari yang melalui suatu lubang pada ruangan yang berdebu. Dari fakta diatas, dapat dsimpulkan bahwa suatu sinar merupakan suatu garis lurus, tetapi kita juga harus mempunyai kriteria lain dalam mendefinisikan suatu garis lurus, karena suatu jika didalam air maka cahayanya
akan mendekekati garis normal. Contoh yang lain dari garis lurus dalam kehidupan sehari-hari yaitu dapat berupa suatu mistar ataupun juga menggunakan benang. Suatu garis lurus merupakan jarak terpendek dari dua titik, yang merupakan bagian dari teori umum relatifitas, sehingga dapat mengetahui konsep lain seperti jarak dan gabungan dari dua titik, tetapi keduanya dapat didefinisikan secara berbeda. Untuk mengetahui dua garis dikatakan garis lurus, maka dapat digunakan dua benang yang ujung-ujungnya ditarik sehingga kedua benang tersebut berhimpitan.
Hal ini bermanfaat bukan hanya untuk penjelasan mengenai bidang optik, karena bidang datar optik membutuhkan sesuatu yang sangat tipis yaitu dengan cara mengasah bidang satu dengan bidang yang lain sampai seterusnya. Diketahui bahwa ketika dua bidang saling bergesekan (diasah), kita tidak dapat memastikan apakah keduanya tipis, karena bisa jadi keduanya menjadi cembung atau cekung. Jika yang kedua diasah terhadap ke tiga, manapun titik tinggi dari yang kedua akan berkorespondensi dengan titik rendah pada yang ke tiga. Tetapi, ketika ini di asah dengan yang pertama, titik rendah akan menjadi kebalikan dari titik rendah tersebut, dan kebalikan titik tinggi, dan demikian yang tinggi akan mengasah satu sama lain. Dalam matematika, dapat dimisalkan jika titik pertama yaitu x berada diatas bidang, maka titik yang kedua berada dibawah bidang yaitu –x, dan titik yang ketiga berada dibawah titik kedua yaitu x. Tiap-tiap operasi pengasahan akan mengubah x menjadi –x yang merupakan hasil perkalian dengan -1. Sehingga dengan tiga bidang maka akan menghasilkan suatu perkalian x dengan (-1)^3 dengan x ≠ 0. Dengan cara pembuatan bidang optik, kita dapat menghasilkan garis yang sangat lurus yang merupakan perpotongan dari dua bidang optik.