Hasil Simulasi Numerik

BAB V PENYELESAIAN MODEL MATEMATIKA 77

5.6 Hasil Simulasi Numerik

Langkah selanjutnya adalah dengan menggunakan software Matlab akan didapatkan penyelesaian numerik dari sistem yang telah didapatkan. Simulasi Tugas Akhir ini menggunakan beberapa parameter dan dilakukan beberapa kali dengan percobaan yang terpisah. Berdasarkan hasil simulasi yang dilakukan didapat hubungan antara parameter magnetik (M ), parameter micropolar (K), parameter porositas (φ), dan bilangan prandtl (P r), terhadap kecepatan (f⁰), mikro rotasi (h), dan temperatur fluida (s). Berikut merupakan penjabaran dari masing-masing parameter.

5.6.1 Pengaruh Variasi Parameter Magnetik

Pada simulasi ini diperoleh keterkaitan antara variasi parameter magnetik dengan kurva kecepatan, mikro rotasi,

dan temperatur pada fluida. Berikut merupakan bahan-bahan yang digunakan untuk mendapatkan nilai dari parameter magnetik

Tabel 5.2: Nilai magnetik pada bahan

Bahan ρ (kg/m³) σ M

Zn / Zinc / Seng 7, 14 g/cm³ 1, 68 · 10⁷ 2,3 Fe / Iron / Besi 7, 87 g/cm³ 1, 04 · 10⁷ 1,3 Steel / Baja 7, 75 g/cm³ 1, 61 · 10⁷ 2 Kobalt / Baja 8, 86 g/cm³ 1, 6 · 10⁷ 1,8

Berikut merupakan hasil simulasi yang didapat

Gambar 5.4: Pengaruh variasi parameter magnetik terhadap kecepatan fluida

Variasi parameter magnetik yang digunakan adalah M = 0, 1.3, 1.8, 2. Parameter magnetik ditetapkan berdasarkan pemilihan bahan yang digunakan sebagai bola. Sebagaimana yang telah diketahui bahwa setiap bahan memiliki densitas dan kemampuan menghantarkan magnet yang berbeda-beda. Oleh karena itu untuk mengetahui pengaruh medan magnet digunakan variasi bahan seperti yang terlihat dalam tabel (5.2). Sedangkan untuk nilai parameter yang lainnya adalah K = 1, α = 0, φ = 1, dan P r = 1, selain itu digunakan banyaknya partisi η = 48, partisi waktu t = 20, ∆η = lj = 0.1, ∆t = kⁿ = 0.05, t = 20, dan komsentrasi n = 0.

Hasil simulasi pada gambar 5.4 menunjukkan bahwa parameter magnetik mempengaruhi kurva kecepatan fluida yang mengalami peningkatan dari f⁰ = 0 sampai f⁰ ≈ 1.

Berdasarkan hasil simulasi yang telah didapat kecepatan fluida semakin menurun ketika nilai parameter bertambah.

Hal ini dapat dilihat ketika 0 ≤ η ≤ 4.4 pertambahan parameter mengakibatkan penurunan kecepatan hingga kemudian menuju satu titik yang sama. Berdasarkan rumus matematis dari parameter magnetik yaitu M = ^aσB_ρU ²⁰

∞

diketahui bahwa parameter magnetik sebanding dengan B0 dan berbanding terbalik dengan densitas fluida (ρ).

B0 merupakan gaya Lorenz yang terdapat pada bola berpori bermagnet. Hal ini menunjukkan bahwa semakin bertambahnya nilai parameter magnetik yang diberikan, gaya Lorenz yang terdapat pada bola akan semakin meningkat.

Sedangkan densitas fluida akan semakin kecil. Berdasarkan persamaan momentum, medan magnet yang terdapat pada bola berpori memperlambat kecepatan fluida. Semakin dekat fluida dengan bola maka kecepatan fluida akan semakin lambat atau semakin menurun, karena bola berpori yang mengandung magnet menyebabkan gaya tolak terhadap aliran

fluida. Oleh karena itu semakin besar parameter magnetik yang diberikan, kecepatan fluida akan semakin menurun.

Gambar 5.5: Pengaruh variasi parameter magnetik terhadap mikro rotasi

Gambar 5.5 merupakan hasil simulasi dari mikro rotasi.

Grafik pada gambar 5.5 menunjukkan bahwa semakin bertambah parameter magnetik maka semakin meningkat pergerakan mikro rotasi. Hal ini dapat dilihat pada saat 0.5 ≤ η ≤ 2 dan 0 ≤ h⁰≤ 0.09, kurva pergerakan mikro rotasi semakin meningkat dari h = 0 menuju h = 0.1.

Pertambahan parameter magnetik mengakibatkan densitas fluida semakin menurun. Peningkatan parameter magnetik menyebabkan kerapatan molekul pada fluida semakin berkurang. Hal ini menyebabkan pergerakan partikel mikro yang terdapat pada fluida memiliki ruang yang semakin

luas sehingga pergerakan rotasi meningkat secara signifikan.

Oleh karena itu semakin bertambah parameter magnetik maka semakin meningkat pergerakan mikro rotasi karena kerapatan fluida semakin menurun. Ketika fluida mendekati titik stagnasi x ≈ 0 pergerakan mikro rotasi akan kembali menurun menuju 0.

Gambar 5.6: Pengaruh variasi parameter magnetik terhadap temperatur

Hasil simulasi pada gambar 5.6 menunjukkan bahwa temperatur fluida semakin meningkat seiring dengan peningkatan parameter magnetik. Kurva temperatur mengalami penurunan dari s = 1 sampai s ≈ 0. Ketika 0 ≤ η ≤ 3.4, temperatur semakin meningkat seiring dengan parameter magnetik yang semakin meningkat. Energi internal fluida menurun karena pengaruh medan magnet

dan densitas semakin berkurang yang diakibatkan oleh bertambahnya parameter magnetik. Karena energi internal menurun maka energi yang digunakan oleh fluida semakin menurun sehingga mengakibatkan temperatur pada fluida micropolar mengalami peningkatan.

5.6.2 Pengaruh Variasi Parameter Micropolar Pada subbab akan dibahas mengenai pengaruh parameter micropolar. Pemilihan parameter didasarkan pada porositas, tidak berdasarkan bentuk dari pori yang terdapat pada bola.

Gambar 5.7: Pengaruh variasi parameter micropolar terhadap kecepatan fluida

Pada simulasi ini diperoleh keterkaitan antara variasi parameter micropolar dengan kurva kecepatan, mikro rotasi,

dan temperatur pada fluida. Variasi parameter micropolar yang digunakan adalah K = 0.25, 0.5, 0.75, 1. Sedangkan untuk nilai parameter yang lainnya adalah M = 1, α = 0, φ = 1, dan P r = 1, selain itu digunakan banyaknya partisi η = 48, partisi waktu t = 20, ∆η = lj = 0.1, ∆t = kⁿ = 0.05, t = 20, dan konsentrasi n = 0.

Hasil simulasi pada gambar 5.7 menunjukkan bahwa parameter micropolar mempengaruhi kurva kecepatan fluida yang mengalami peningkatan dari f⁰ = 0 sampai f⁰ ≈ 1.

Kecepatan fluida semakin menurun ketika nilai parameter bertambah. Hal ini dapat dilihat ketika 0 ≤ η ≤ 3.5 pertambahan parameter mengakibatkan penurunan kecepatan hingga kemudian menuju satu titik yang sama. Pada saat 3.5 < η ≤ 4.8 kecepatan fluida adalah stabil dengan nilai f⁰ ≈ 1. Akan tetapi ketika memasuki η = 3, 5 kecepatan fluida menjadi 0.9781, pada saat η = 3 kecepatannya adalah 0.9637, ketika η = 2.5 kecepatannya adalah 0.8375 dan terus mengalami penurunan hingga kemudian berhenti pada η = 0 dengan kecepatan 0 untuk pemberian nilai parameter micropolar K = 1. Berdasarkan rumus matematis dari parameter micropolar yaitu K = ^κ_µ diketahui bahwa parameter micropolar sebanding dengan pergerakan mikro rotasi (vortex ) κ dan berbanding terbalik dengan viskositas dinamik (µ). Artinya semakin besar nilai parameter micropolar yang diberikan maka nilai vortex akan semakin besar, sedangkan viskositas dinamik akan semakin kecil. Menurunnya viskositas dan adanya pengaruh magnet pada bola berpori mengakibatkan ketahanan fluida semakin menurun, sehingga semakin besar parameter micropolar yang diberikan, kurva kecepatan semakin menurun.

Gambar 5.8 merupakan hasil simulasi dari mikro rotasi.

Grafik pada gambar 5.8 menunjukkan bahwa semakin bertambah parameter micropolar maka semakin meningkat

pergerakan mikro rotasi. Hal ini dapat dilihat pada saat 0 ≤ η ≤ 4 seperti yang terlihat pada gambar

Gambar 5.8: Pengaruh variasi parameter micropolar terhadap mikro rotasi

Kurva pergerakan mikro rotasi semakin meningkat dari h = 0 menuju h ≈ 0.1 hingga kembali di h = 0. Peningkatan parameter micropolar menyebabkan pergerakan mikro rotasi pada fluida semakin meningkat. Seperti yang telah dijelaskan pada penjelasan sebelumnya, terjadi penurunan nilai viskositas dinamik ketika parameter micropolar semakin meningkat. Peristiwa tersebut menyebabkan pergerakan partikel mikro yang terdapat pada fluida memiliki ruang yang semakin luas sehingga pergerakan rotasi semakin meningkat.

Oleh karena itu semakin bertambah parameter micropolar maka semakin meningkat pergerakan mikro rotasi.

Hasil simulasi pada gambar 5.9 menunjukkan pengaruh parameter micropolar terhadap temperatur.

Gambar 5.9: Pengaruh variasi parameter micropolar terhadap temperatur

Hasil simulasi menunjukkan bahwa temperatur fluida semakin meningkat seiring dengan peningkatan parameter micropolar.

Kurva temperatur mengalami penurunan dari s = 1 sampai s ≈ 0. Ketika 0 ≤ η ≤ 3, temperatur semakin meningkat seiring dengan parameter micropolar yang meningkat. Energi internal fluida menurun karena pengaruh pergerakan mikro rotasi yang meningkat dan viskositas yang semakin berkurang. Besar kecilnya viskositas dipengaruhi oleh suhu pada fluida. Karena energi internal menurun maka energi yang digunakan oleh fluida semakin menurun sehingga mengakibatkan temperatur pada fluida micropolar

mengalami peningkatan seiring bertambahnya nilai parameter micropolar.

5.6.3 Pengaruh Variasi Parameter Porositas

Pada simulasi ini diperoleh keterkaitan antara variasi parameter porositas dengan kurva kecepatan, mikro rotasi, dan temperatur pada fluida. Variasi parameter micropolar yang digunakan adalah φ = 0.25, 0.5, 0.75, 1. Sedangkan untuk nilai parameter yang lainnya adalah M = 1, α = 0, K = 1, dan P r = 1, selain itu digunakan banyaknya partisi η = 48, partisi waktu t = 20, ∆η = lj = 0.1, ∆t = kⁿ= 0.5, t = 20, dan komsentrasi n = 0.

Gambar 5.10: Pengaruh variasi parameter porositas terhadap kecepatan fluida

Hasil simulasi pada gambar 5.10 menunjukkan bahwa

parameter porositas mempengaruhi kurva kecepatan fluida yang mengalami peningkatan dari f⁰ = 0 sampai f⁰ ≈ 1.

Ketika 0 ≤ η ≤ 4 pertambahan parameter mengakibatkan penurunan kecepatan. Parameter porositas sebanding dengan viskositas dinamik µ dan berbanding terbalik dengan densitas fluida (ρ) dan U∞. Oleh karena itu simulasi menunjukkan bahwa semakin bertambahnya parameter porositas, viskositas dinamik pada aliran fluida semakin meningkat dengan densitas fluida semakin menurun dan kecepatan aliran bebas semakin menurun. Menurunnya densitas fluida serta parameter porositas yang semakin meningkat, bola bermagnet menolak fluida dan mengakibatkan kecepatan fluida menurun.

Gambar 5.11: Pengaruh variasi parameter porositas terhadap mikro rotasi

Grafik pada gambar 5.11 menunjukkan bahwa semakin bertambah parameter porositas maka semakin menurun pergerakan mikro rotasi. Hal ini dapat dilihat pada saat 0.6 ≤ η ≤ 0.8 dan 0.105 ≤ −^∂h_∂η ≤ 0.115. Selain itu terjadi peningkatan pergerakan mikro rotasi dari 0.8 < η ≤ 4.2 dengan adanya variasi parameter porositas. Peningkatan parameter porositas menyebabkan tegangan geser pada fluida semakin meningkat. Sedangkan densitas fluida semakin menurun. Hal ini menyebabkan pergerakan partikel mikro yang terdapat pada fluida memiliki ruang yang semakin luas sehingga pergerakan rotasi semakin meningkat. Oleh karena itu semakin bertambah parameter porositas maka semakin meningkat pergerakan mikro rotasi.

Gambar 5.12: Pengaruh variasi parameter porositas terhadap temperatur

Hasil simulasi pada gambar 5.12 menunjukkan bahwa temperatur fluida semakin meningkat seiring dengan peningkatan parameter porositas. Kurva temperatur mengalami penurunan dari s = 1 sampai s ≈ 0. Ketika 0 ≤ η ≤ 3, temperatur semakin meningkat ketika parameter porositas semakin meningkat. Densitas fluida berbanding terbalik dengan parameter porositas. Semakin tinggi nilai parameter porositas maka densitas akan semakin rendah.

Hal ini mengakibatkan molekul yang terdapat pada fluida semakin renggang, sehingga suhu pada fluida semakin cepat naik.

5.6.4 Pengaruh Variasi Parameter Bilangan Prandtl Pada simulasi ini diperoleh keterkaitan antara variasi bilangan prandtl dengan kurva kecepatan, mikro rotasi, dan temperatur pada fluida. Variasi bilangan Prandtl yang digunakan adalah P r = 0.72, 1, 1.5, 2.36. Sedangkan untuk nilai parameter yang lainnya adalah M = 1, α = 0, φ = 1, dan φ = 1, selain itu digunakan banyaknya partisi η = 48, partisi waktu t = 20, ∆η = l_j = 0.1, ∆t = kⁿ = 0.5, t = 20, dan komsentrasi n = 0.

Tabel 5.3: Pengaruh variasi bilangan prandtl terhadap kecepatan fluida

η P r = 0.72 P r = 1

0 0 0

0.5 0, 196997478037471 0, 196997478037471 1 0, 460029522593950 0, 460029522593950 1.5 0, 683663633035879 0, 683663633035879 2 0, 837534938168166 0, 837534938168166 2.5 0, 924122663340438 0, 924122663340438

3 0, 963774303963805 0, 963774303963805 3.5 0, 978147114598496 0, 978147114598496 4 0, 981766967276046 0, 981766967276046 4.5 0.981758305328015 0.98175830532801 4.8 0, 981226588930323 0, 981226588930323

Tabel 5.3 menunjukkan bahwa pemberian variasi bilangan prandtl tidak mempengaruhi kecepatan aliran fluida micropolar. Besarnya variasi bilangan prandtl yang diberikan menunjukkan nilai kecepatan yang sama pada masing-masing nilai. Hal ini ditunjukkan dari grafik masing-masing nilai yang berhimpit. Hal yang sama berlaku pada profil mikro rotasi. Berikut merupakan hasil simulasi dari profil mikro rotasi

Tabel 5.4: Pengaruh variasi bilangan prandtl terhadap mikro rotasi

η P r = 0.72 P r = 1

0 0 0

0.5 0, 0645871520267301 0, 0645871520267301 1 0, 0913866662400319 0, 0913866662400319 1.5 0, 0782364503829425 0, 0782364503829425 2 0, 0500578662791889 0, 0500578662791889 2.5 0, 0250003289909444 0, 0250003289909444 3 0, 00976245079821970 0, 00976245079821970 3.5 0, 00287665886344681 0, 00287665886344681 4 0, 000546989698845640 0, 000546989698845640 4.5 1, 95816009529352e − 05 1, 95816009529352e − 05

4.8 0 0

Gambar 5.13: Pengaruh variasi bilangan prandtl terhadap temperatur

Hasil simulasi pada gambar 5.13 menunjukkan bahwa temperatur fluida semakin menurun seiring dengan peningkatan bilangan prandtl. Kurva temperatur mengalami penurunan dari s = 1 sampai s ≈ 0. Ketika 0 ≤ η ≤ 3.5, temperatur semakin meningkat ketika bilangan prandtl semakin menurun. Energi internal fluida meningkat karena pengaruh densitas dan viskositas kinematik semakin meningkat. Besar kecilnya viskositas dipengaruhi oleh suhu pada fluida. Karena energi internal meningkat maka energi yang digunakan oleh fluida semakin meningkat sehingga mengakibatkan temperatur pada fluida micropolar menurunan seiring bertambahnya nilai bilangan prandtl.

PENUTUP

Pada bab ini, diberikan kesimpulan yang diperoleh dari Tugas Akhir serta saran untuk penelitian selanjutnya.

6.1 Kesimpulan

Berdasarkan analisis dan pembahasan yang telah disajikan pada bab sebelumnya, dapat disimpulkan beberapa hal sebagai berikut :

1. Model matematika dari magnetohidrodinamik tak tunak dengan konveksi paksa pada fluida micropolar yang melalui bola berpori didapat dari persamaan kontinuitas, persamaan momentum, persamaan momentum angular, dan persamaan energi. Persamaan kontinuitas didapat dari hukum konservasi massa yang menyatakan bahwa laju perubahan massa terhadap waktu sama dengan nol. Persamaan momentum didapat dari Hukum II Newton yang menyatakan bahwa besarnya laju perubahan momentum sama dengan jumlah semua gaya yang bekerja pada sistem. Dalam persamaan momentum pemberian magnet pada bola menyebabkan persamaan pada gaya magnet bernilai negatif yang menunjukkan bahwa medan magnet menolak aliran fluida. Persamaan momentum angular didapat dari Hukum Kekekalan Momentum Angular dengan mengasumsikan bahwa semua torsi muncul dari gaya macroskopik. Sedangkan persamaan energi didapat dari Hukum Termodinamika

121

I. Persamaan Pembangun dimensional kemudian ditrasnformasikan kedalam bentuk non-dimensional, selanjutnya dilakukan pendekatan lapisan batas, fungsi alir, dan dirubah kedalam bentuk persamaan similaritas.

2. Penyelesaian numerik dari model matematika magnetohidrodinamik tak tunak dengan konveksi paksa pada fluida micropolar yang melalui bola berpori dilakukan dengan menyelaraskan notasi yaitu mengubah persamaan orde tinggi menjadi orde pertama.

Kemudian melakukan diskritisasi persamaan similaritas dengan menggunak skema Keller-Box beda hingga pusat, melakukan pelinieran model dengan Metode Newton, dan dilanjutkan pembentukan matriks blok tridiagonal.

3. Meningkatnya parameter magnetik mengakibatkan kecepatan fluida menurun pada saat fluida berada pada jarak 4, 4 dari bola, mikro rotasi meningkat pada saat aliran fluida berada pada jarak 2 sampai 0, 5 dari permukaan bola, dan temperatur meningkat pada saat aliran fluida berada pada jarak 3, 4 dari bola. Meningkatnya parameter micropolar mengakibatkan kecepatan fluida menurun pada saat berada 3, 5 dari titik stagnasi x = 0, mikro rotasi meningkat pada saat fluida berada pada jarak 4 dari bola hingga mendekati bola, dan temperatur meningkat pada saat aliran fluida berada pada jarak 3 sampai berada pada permukaan bola. Meningkatnya parameter porositas mengakibatkan kecepatan fluida meningkat pada saat fluida berada pada jarak 4 sampai mendekati permukaan bola, mikro rotasi meningkat pada saat fluida berjarak 4, 2 sampai dengan 0, 8

dari permukaan bola, dan temperatur meningkat saat aliran fluida berjarak 3 sampai mendekati permukaan bola. Sedangkan meningkatnya bilangan prandtl mengakibatkan temperatur menurun pada saat aliran fluida berjarak 3.5 dari permukaan bola, tetapi tidak berpengaruh terhadap kecepatan dan mikro rotasi pada aliran fluida.

6.2 Saran

Pada Tugas Akhir ini hanya dibahas mengenai aliran fluida pada titik stagnasi = 0. Oleh karena itu disarankan untuk mengembangan studi lapisan batas tidak pada titik stagnansi sehingga dapat mengamati dan membandingkan pengaruh medan magnet terhadap aliran fluida yang melewati bola berpori bermagnet.

Penulis mengucapkan terima kasih kepada Lembaga Penelitian dan Pengembangan Masyarakat(LPPM), Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya - Jawa Timur, Indonesia yang telah memberikan dana penelitian dengan nomor persetujuan 970/PKS/ITS/2018. Pemberian dana untuk penelitian ini diharapkan mampu untuk memberikan kontribusi dalam pengembangan penelitian maupun industri.

125

[1] Abbas, Z., dan Hayat, T. 2008. Radiation Effect on MHD flow in a porous space. International Journal of Heat and Mass Transfer. 51 (2008) 1024-1033.

[2] Khuzaimah, S.S., Yusof, Z.M., Aziz, A.S.A., dan Kechil, S.A. 2012. Magnetohydrodynamics Boundary Layer Flows over a Stretching Surface with Radiation Effeact and Embedded in Porous Medium. World Academy of Science, Engineering and Technology.

International Journal of Physical and Mathematical Sciences. Vol : 6, No: 8.

[3] Widodo, B., Khalimah, D.A., Zainal, F.D.S., dan Imron,C.. 2015a. Numerical Solution of Heat Transfer Unsteady Boundary Layer Magnetohydrodynamics in Micropolar Fluid Past A Sphere. International Journal of Far East Journal of Mathematical Sciences. Puspha Publishing House. India.

[4] Widodo, B. 2012. Pemodelan Matematika. ITSPress.

Surabaya.

[5] Kasim, A.R.M. 2014. ”Convective Boundary Layer Flow of Viscouselastic Fluid”. Universiti Technology Malaysia. Malaysia.

[6] Eringen, A.C. 1965. Teori of Micropolar Fluidas.

Technical Report. DTIC Document.

[7] Anggriani, I. 2016. ”Pengaruh Magnetohidrodinamik (MHD) pada Fluida Micropolar yang Melewati Bola

127

Berpori”. Tesis Magister. Institut Teknologi Sepuluh Nopember. Surabaya.

[8] Widodo, B., dan Imron, C., Verdyanto, Rizky P.

2017. Magnetohidrodinamika Fluida Mikrokutub yang Mengalir Melalui Bola Pejal di Bawah Pengaruh Medan Magnet. Prosiding Seminar Nasional dan Rapat Tahunan MIPAnet 2017. Institut Teknologi Sepuluh Nopember. Surabaya.

[9] Haque, MD. Z., Alam, MD. M., Ferdows, M., Postelnicu, A. 2011. ”Micropolar Fluid Behaviors On Steady MHD Free Convection And Mass Transfer Flow With Constant Heat And Mass Fluxes, Joule Heating And Viscous Dissipation”. journal of King Saud University Engineering Science 24, 71-84.

[10] Widodo, B., Imron, C., Asiyah, N., Siswono, Galuh O., Rahayuningsih, T., dan Purbandini.

(2016).Viscoelastic Fluid Flow Pass a Porous Circular Cylinder When the Magnetic Field Included, International Journal of Far East Journal of Mathematical Sciences. Puspha Publishing House.

India.

[11] Rahma, Nadya A. 2017. ”Konveksi Paksa Dari Aliran Fluida Magnetohirodinamik Tak Tunak Yang Melalui Bola Berpori”. Tesis Magister. Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya.

[12] Elseth, G. 2001. An Experimental Study of Oil/Water Flow in Horizontal Pipes. Tess Ph.D. Telemark University College. Norwegia.

[13] Fox, R.W., McDonald, A.T., dan Pritchard, P.J. 2011.

Introduction to Fluid Mechanics. 8th edition. John Wiley and Sons. United States Of America.

[14] Walujodjati, A. 2009. Pengaruh Kecepatan Fan Terhadap Temperatur Perpindahan Panas Aliran Udara dalam Pipa dengan Fluks Panas Permukaan Konstan. Momentum. Vol. 5, No. 2. hal. 46-49.

[15] Imron, C., Suhariningsih, Widodo, B., dan Yuwono, T.

2011. Solusi Nemerik dari Persamaan Navier-Stokes.

Jurnal Mathematics and Its Application. Vol.8, No.2.

[16] Hussanan, A., Ismail, Z., Khan, I., Hussein, A., dan Shafie, S. 2014. Unsteady Boundary Layer MHD Free Convection Flow in a Porous Medium with Constant Mass Diffusion and Newtonian Heating. The European Physical Journal Plus. hal. 1-16.

[17] Arber, T. 2003. Fundamental of Magnetohydrodynamics (MHD). Lecture handout:

University of Warwick. UK.

[18] Mohammad, N. F. 2014. Unsteady Magnetohydrodynamic Convective Boundary Layer Flow Past a Sphere In Viscous and Micropolar Fluids.

Thesis Doctor of Philosophy (Mathematics). Uiversiti Teknologi Malaysia. Malysia.

[19] Anderson, J. D. Jr. 1995. Computational Fluid Dynamics. Departement of Aerospace Engineering University of Maryland.

[20] Potter, M.C., Wiggert, D.C., dan Ramadan, B.H. 2015.

Mechanics of Fluids. 4^th Edition. Cengange Learning.

USA.

[21] White, M. F. 2015. Fluid Mechanics. 8^th Edition.

McGraw-Hill Education Publications. New York.

[22] Lienhard, J. H. 2002. Heat Transfer Textbook. Courier Dover Publications.

[23] Leal, L. 1992. Laminar Flow and Convective Transport Processes: Scaling Principles and Asymptotic Analysis.

Butterworth-Heinemann.

Penurunan Persamaan Tegangan

Pada penurunan Persamaan tegangan terdapat 2 jenis tegangan yaitu tegangan normal dan tegangan geser. Berikut merupakan penurunan Persamaan tegangan.

untuk i = j = x maka

dengan menggunakan Persamaan Kontinuitas maka didapat

= 2(λ + µ) ∂²v

= 2(λ + µ) ∂²w

dengan demikian maka Persamaan (4.1.26) menjadi

∇T = −∂p

= −∂p

dengan menggunakan Persamaan kontinuitas dimana ∇·u = 0 maka

∇T = −(∇p) + (µ + κ)∇ × ∇ × u + κ(∇ × N)

Kecepatan Aliran Bebas

Pada koordinat bola kecepatan aliran bebas didefinisikan sebagai

U_r = −U_∞cosθ (2.0.1)

U_θ = U∞sinθ (2.0.2)

U_∅ = 0 (2.0.3)

Menurut (John, 2010) Streamline dapat ditulis sebagai U = ∇ϕ

⇐⇒ U = µ

2φ cosθ

r³ er+ µ 4φ

sinθ

r³ e_θ+ 0e_∅ (2.0.4) Kemudian mensubstitusikan Persamaan (2.0.1), (2.0.2), dan (2.0.3) ke Persamaan (2.0.4) maka didapat

U_r = −U_∞cosθ + µ 2φ

cosθ r³

⇐⇒ U_r = −



U∞− µ 2φr³



cosθ (2.0.5) U_θ = U∞sinθ + µ

4φ sinθ

r³

⇐⇒ U_θ =



U∞+ µ 4φr³



sinθ (2.0.6)

U_∅ = 0 (2.0.7)

Dalam menentukan titik stagnasi maka diberikan Ur = U_θ = 0. Karena U_θ = 0 nilai dari sinθ = 0 dengan θ menunjukkan

137

titik stagnasi x = 0. Pada Persamaan (2.0.5) dengan U_r = 0 maka dapat diperoleh :

U∞− µ

2πR³ = 0 (2.0.8)

dimana R menunjukkan jari-jari dari titik stagnasi. Dari persamaan (2.0.8) maka diperoleh

R =

 µ

2πU∞



(2.0.9) dengan mensubstitusi Persamaan (2.0.9) ke Persamaan (6.0.5) maka diperoleh :

U_r = −

U∞− µ

2πR³cosθ

⇐⇒ U_r = −



U∞− µ 2π

 2πU∞

µ



cosθ

⇐⇒ U_r = −(U_∞− U_∞)coθ

⇐⇒ U_r = 0 (2.0.10)

Dari Persamaan (2.0.10) diketahui bahwa U_r = 0 ketika r = R untuk setiap θ dan ∅. Pada permukaan bola berpori dengan r = R kecepatan tangensial didefinisikan sebagai berikut

U_θ=

U∞+ µ 4πr³



sinθ (2.0.11)

dimana

µ = 2πR³U∞ (2.0.12)

dengan mensubstitusikan Persamaan (2.0.12) ke Persamaan (2.0.11) maka diperoleh

U_θ =



U_θ+ 1 4π

2πR³U∞

R³

 sinθ U_θ = 3

2U∞sinθ (2.0.13)

Transformasi Persamaan Pembangun ke Persamaan non-Dimensional

Persamaan Kontinuitas

∂ ¯r ¯u

∂ ¯x +∂ ¯r¯v

∂ ¯y = 0

∂ (rauU∞)

∂(xa) +

∂

ravU∞Re⁻¹²

∂

yaRe⁻¹² = 0 aU∞

a

∂ (ru)

∂x + aU∞Re⁻¹² aRe⁻¹²

∂ (rv)

∂y = 0 U∞

∂ (ru)

∂x + U∞

∂ (rv)

∂y = 0 U∞

 ∂ (ru)

∂x +∂ (rv)

∂y



= 0

∂ru

∂x +∂rv

∂y = 0 Momentum pada sumbu-x adalah

ρ ∂ ¯u

∂¯t + ¯u∂ ¯u

∂ ¯x + ¯v∂ ¯u

∂ ¯y



= −∂ ¯p

∂ ¯x + (µ + κ) ∂²u¯

∂ ¯x² +∂²u¯

∂ ¯y²

 + ρβ ¯T − T∞
g sinx¯

a



+ κ∂ ¯N

∂ ¯y + σB₀²u +¯ µ

K^∗u¯ 139

Ruas Kiri

Ruas Kanan

−∂ ¯p

= −ρU_∞²

Menyelesaikan ruas kiri dan kanan ρU_∞²

 ∂u

dengan menggunakan

 ∂u Pada arah sumbu-y adalah

ρ ∂¯v Ruas Kiri

ρ ∂¯v

∂¯t + ¯u∂ ¯v

∂ ¯x + ¯v∂ ¯v

∂ ¯y



= ρ

Ruas Kanan

−∂ ¯p

= −ρU_∞² Re¹² Menyelesaikan ruas kiri dan kanan ρ U_∞²

+Re∂²v

Kedua Ruas dibagai Re 1 Persamaan momentum angular

ρ ∂ ¯N penyelesaian ruas kiri

= ρν

vU∞

Penyelesaian Ruas kanan

γ ∂²N¯

Menyelesaikan ruas kiri dan kanan

− K

Persamaan Energi ρCp ∂ ¯T

Penyelesaian ruas kiri ρCp ∂ ¯T

Penyelesaian ruas kanan

Menyelesaikan ruas kiri dan kanan ρCpU∞(T_w− T_∞)

∂T

∂t + u∂T

∂x + v∂T

∂y = c

ρCpν

 1 Re

∂²T

∂x² + ∂²T

∂y²



∂T

∂t + u∂T

∂x + v∂T

∂y = 1

P r

 1 Re

∂²T

∂x² + ∂²T

∂y²



∂T

∂t + u∂T

∂x + v∂T

∂y = 1

P r 1 Re

∂²T

∂x² + 1 P r

∂²T

∂y²

Fungsi Alur Persamaan Kontinuitas

∂ru Persamaan Momentum

∂u Penyelesaian Ruas kiri

∂u

= 1 Penyelesaian ruas kanan

∂u_e

+αT sin(x) + K∂N

∂y Penyelesaian ruas kiri dan kanan

1 Momentum Angular

∂N

Penyelesaian ruas kiri

∂N Penyelesaian ruas kanan



Penyelesaian ruas kiri dan kanan

∂N

Persamaan Energi

∂T

∂t + u∂T

∂x + v∂T

∂y = 1

P r

∂²T

∂y²

∂T

∂t + 1 r

∂ψ

∂y

∂T

∂x −1 r

∂ψ

∂x

∂T

∂y = 1

P r

∂²T

∂y²

Persamaan Similaritas

Small time (t ≤ t^∗) dengan t^∗ sebarang nilai ψ = t¹²u_e(x)r(x)f (x, η, t) T = s(x, η, t)

η = y

t¹²

N = t⁻¹²ue(x)h(x, η, t) sehingga

∂η

∂y = ∂

∂y

 y t¹²



= 1

t¹²

∂η

∂t = ∂

∂t

 y t¹²



= −y 2t⁻³²

= −1 2

y t¹²

1 t

= −1 2 η

t

∂ψ

∂y = ∂ψ

∂η ·∂η

∂y

= ∂(t¹²ue(x)r(x)f (x, η, t))

∂η · 1

t¹²

= t¹²u_e(x)r(x) t¹²

∂f (x, η, t)

∂η 155

= u_e(x)r(x)∂f (x, η, t)

∂η

∂ψ

∂x = ∂(t¹²ue(x)r(x)f (x, η, t))

∂x

= t¹²∂(u_e(x)r(x)f (x, η, t))

∂x

= t¹² ∂(u_e(x)r(x))

∂x f (x, η, t) + u_e(x)r(x)∂f (x, η, t)

∂x



= t¹² ∂u_e(x)

∂x r(x) + ue(x)∂r(x)

∂x



f (x, η, t) +ue(x)r(x)∂f (x, η, t)

∂x



∂ψ

∂x = t¹²r(x)∂ue(x)

∂x f (x, η, t) + t¹²ue(x)f (x, η, t)∂r(x)

∂x +t¹²u_e(x)r(x)∂f (x, η, t)

∂x

∂²ψ

∂t∂y = ∂

∂t

 ∂ψ

∂y



= ∂

∂t



u_e(x)r(x)∂f (x, η, t)

∂η



= ∂

∂η



ue(x)r(x)∂f (x, η, t)

∂η

 ∂η

∂t + ue(x)r(x)

∂²f (x, η, t)

∂t∂η

= u_e(x)r(x)∂²f (x, η, t)

∂η²



−1 2 η

t



+ u_e(x)r(x)

∂²f (x, η, t)

∂t∂η

= −u_e(x)r(x) 2t

∂²f (x, η, t)

∂η² + u_e(x)r(x)∂²f (x, η, t)

∂t∂η

∂²ψ

= ∂

= ue(x) −t⁻³²

= 1 Persamaan Momentum

1 Penyeleaian ruas kiri

1

+1 Penyelesaian ruas kanan

u_e∂u_e

+αT sin(x) + Ku_e Menyelesaikan ruas kiri dan kanan

−u_eη Kedua ruas dibagi ^u_t^e sehingga diperoleh

−η

= (M + φ)t ∂f

αt sin(x)s

Momentum Angular

∂N

Ruas kiri

∂N

= ue Penyelesaian ruas kanan

 Menyelesaiakan ruas kiri dan kanan

u_e

+ t∂ue Persamaan Energi

∂T Kedua ruas dikali P rt sehingga

−1

1 2ηP r∂s

∂η +∂²s

∂η² + P rtf∂ue

∂x

∂s

∂η = P rt ∂s

∂t + ue

 ∂f

∂η

∂s

∂x

−f1 r

∂r

∂x

∂s

∂η− ∂f

∂x

∂s

∂η



Large time (t ≥ t^∗) dengan t^∗ sebarang nilai ψ = u_e(x)r(x)F (x, Y, t) T = S(x, η, t)

Y = y

N = ue(x)H(x, Y, t) sehingga

∂Y

∂y = 1

∂Y

∂t = 0

∂Y

∂y = ∂ψ

∂Y ·∂Y

∂y

= ∂(ue(x)r(x)F (x, Y, t))

∂Y

= u_e(x)r(x)∂F (x, Y, t)

∂Y

∂ψ

∂x = ∂(ue(x)r(x)F (x, Y, t))

∂x

= ue(x)r(x)∂F (x, Y, t)

∂x +∂(u_e(x)r(x))

∂x F (x, Y, t)

= u_e(x)r(x)∂F (x, Y, t)

∂x + ∂u_e(x)

∂x r(x) + u_e(x)∂r(x)

∂x

 F (x, Y, t)

∂ψ

= ∂

∂Y



ue(x)r(x)∂F (x, Y, t)

∂Y

 ∂Y

∂y

= ue(x)r(x)∂²F (x, Y, t)

∂η²

∂³ψ

∂y³ = ∂

∂y

 ∂²ψ

∂y²



= ∂

∂y



u_e(x)r(x)∂²F (x, Y, t)

∂Y²



= ∂

∂Y



u_e(x)r(x)∂²F (x, Y, t)

∂Y²

 ∂Y

∂y

= ue(x)r(x)∂³F (x, Y, t)

∂Y³

∂N

∂y = ∂N

∂Y ·∂Y

∂y

= ∂ (u_e(x)H(x, Y, t))

∂Y

= ue(X)∂H(x, Y, t)

∂Y

∂N

∂x = ∂ (u_e(x)H(x, Y, t))

∂x

= ∂ue(x)

∂x H(x, Y, t) + ue(x)∂H(x, Y, t)

∂x

∂N

∂t = ∂ (u_e(x)H(x, Y, t))

∂t

= ∂ (Ue(x)H(x, Y, t))

∂Y ·∂Y

∂t +∂ (Ue(x)H(x, Y, t))

∂t

= u_e(x)∂H(x, Y, t)

∂t

∂²N

∂y² = ∂

∂y

 ∂N

∂y



= ∂

∂y



ue(x)∂H(x, Y, t)

∂Y



= ∂

Persamaan Momentum

1

Penyeleaian ruas kiri Penyelesaian ruas kanan

ue

Menyelesaikan ruas kiri dan kanan Kedua ruas dibagi ue sehingga diperoleh

∂²F

+ αt sin(x)s + K∂H Momentum Angular

∂N

Ruas kiri

∂N

= ue Penyelesaian ruas kanan

 Menyelesaikan ruas kiri dan kanan

u_e

− 2Kth + Kt∂²f Persamaan Energi

∂T Kedua ruas dikali P rt sehingga

−1

−1 2ηP r∂s

∂η − P rtf∂ue

∂x

∂s

∂η + P rt ∂s

∂t + ue

 ∂f

∂η

∂s

∂x

−f1 r

∂r

∂x

∂s

∂η −∂f

∂x

∂s

∂η



= ∂²s

∂η² 1

2ηP r∂s

∂η + ∂²s

∂η² + P rtf∂u_e

∂x

∂s

∂η = P rt ∂s

∂t+ u_e ∂f

∂η

∂s

∂x − f1 r

∂r

∂x

∂s

∂η −∂f

∂x

∂s

∂η