BAB IV Model Matematika 25
4.2 Penurunan Persamaan Pembangun
4.2.4 Transformasi Variabel Tak Berdimensi 64
Pada pembentukan model matematika telah didapat persamaan model berdimensi. Persamaan pembangun dimensional yang telah diperoleh dikonstruksi kedalam Persamaan non-dimensional dengan menggunakan transformasi variabel non-dimensional. Variabel non-dimensional yang digunakan adalah sebagai berikut [9]:
x = x¯
a, y = Re12y¯
a , r(x) = ¯r(x)
a , t = U∞¯t a , u = u¯
U∞
, b =
¯b
a, v = Re12v¯ U∞
, p = p¯ ρU∞2, T =
T − T¯ ∞
Tw− T∞, N = Re12a ¯N U∞
, gx= −gsin
x¯ a
, gy = gcos
x¯ a
dengan
M = aσB02 ρU∞
α = Gr
Re
Gr = gβ(Tw− T∞)a3 ν2 P r = νρCp
c
φ = aµ
ρU∞K∗
K = κ
µ
dimana M adalah parameter magnetik, α adalah parameter konveksi, Gr adalah parameter grashof, P r adalah bilangan prandtl, ψ adalah parameter porositas, dan K merupakan
parameter micropolar. Selain itu persamaan pembangun juga dipengaruhi oleh Re = U∞νa yang merupakan bilangan Reynolds, ν merupakan viskositas kinematik yang ditulis sebagai ν = µρ dan γ = (µ + κ2) dengan = νc. Selanjutnya dilakukan substitusi variabel-variabel tak berdimensi diatas ke dalam persamaan pembangun yang telah didapatkan pada persamaan-persamaan sebelumnnya. Sehingga Persamaan Pembangun menjadi
a. Persamaan Kontinuitas
∂ru
∂x +∂rv
∂y = 0 (4.2.21)
b. Persamaan Momentum Momentum pada sumbu-x
∂u Momentum pada sumbu-y
1 c. Persamaan Momentum Angular
∂N d. Persamaan Energi
∂T
dengan kondisi batas variabel tak berdimensional yaitu : t < 0 : u = v = N = 0, T = 0 untuk setiap x, y t ≥ 0 : u = v = 0, N = −n∂u
∂y, T = 1 pada saat y = 0 u = ue(x), N = T = 0 pada saat y → ∞ 4.2.5 Pendekatan Lapisan Batas
Pada pendekatan lapisan batas diasumsikan bahwa Bilangan Reynolds Re → ∞ sehingga Re1 = 0 maka persamaan pembangun akan berubah menjadi sebagai berikut
a. Persamaan Kontinuitas
∂ru
∂x +∂rv
∂y = 0 (4.2.26)
b. Persamaan Momentum Momentum pada sumbu-x
∂u
∂t + u∂u
∂x + v∂u
∂y
= −∂p
∂x+ (1 + K)∂2u
∂y2 + αT sin(x) +K∂N
∂y + (M + φ)u (4.2.27) Momentum pada sumbu-y
0 = −∂p
∂y (4.2.28)
c. Persamaan Momentum Angular
∂N
∂t + u∂N
∂x + v∂N
∂y
=
1 +K
2
∂2N
∂y2
−K
2N + ∂u
∂y
(4.2.29)
d. Persamaan Energi
∂T
∂t + u∂T
∂x + v∂T
∂y
= 1 P r
∂2T
∂y2 (4.2.30) Pada persamaan momentum sumbu-y, nilai dari tekanan pada aliran p bebas dari y bernilai 0. Hal ini menunjukkan bahwa tekanan dari aliran p bergantung atau variasinya hanya pada x. Oleh karena itu pada persamaan momentum hanya ada persamaan dari sistem pada sumbu-x. Dengan memasukkan bahwa u = ue(x) maka evaluasi persamaan pada lapisan batas menjadi
∂ue
∂t + ue
∂ue
∂x + v∂ue
∂y = −∂p
∂x + (1 + K)∂2ue
∂y2 + αT sin(x) +K∂N
∂y + (M + φ)ue (4.2.31) Dengan menggunakan kecepatan aliran bebas ue = 32sinx maka
∂ue
∂t = ∂ 32sinx
∂t = 0
∂ue
∂y = ∂ 32sinx
∂y = 0
∂2ue
∂y2 = ∂2 32sinx
∂y2 = 0
∂N
∂y = 0 maka Persamaan (4.2.31) menjadi
ue∂ue
∂x = −∂p
∂x + αT sin(x) + (M + φ)ue (4.2.32)
Ketika T = 0 maka Persamaan (4.2.32) menjadi ue
∂ue
∂x = −∂p
∂x+ (M + φ)ue
−∂p
∂x = ∂ue
∂xue− (M + φ)ue (4.2.33) Dengan mensubstitusi Persamaan (4.2.33) ke Persamaan (4.2.27) maka
∂u
∂t + u∂u
∂x+ v∂u
∂y = ∂ue
∂xue− (M + φ)ue+ (1 + K)∂2u
∂y2 +αT sin(x) + K∂N
∂y + (M + φ)u
∂u
∂t + u∂u
∂x+ v∂u
∂y = ∂ue
∂xue+ (M + φ)(u − ue) + (1 + K)
∂2u
∂y2 + αT sin(x) + K∂N
∂y (4.2.34) 4.2.6 Fungsi Alir
Pada penelitian ini terdapat kecepatan u dan v yang terletak pada sumbu x dan y. Oleh karena itu dibutuhkan sebuah penghubung untuk menghubungkan dua sumbu kecepatan, salah satunya yaitu dengan menggunakan fungsi arus atau fungsi alir. Fungsi arus akan menyederhanakan Persamaan dan membuat komputasi dalam bentuk satu variabel. Berikut merupakan definisi dari fungsi alir
u = 1 r
∂ψ
∂y dan v = −1 r
∂ψ
∂x (4.2.35)
Substitusi Persamaan (4.2.35) ke dalam Persamaan (4.2.26), (4.2.34), (4.2.29) dan (4.2.30) sehingga diperoleh
a. Persamaan Kontinuitas
∂2ψ
∂x∂y = ∂2ψ
∂y∂x (4.2.36)
b. Persamaan Momentum
c. Persamaan Momentum Angular
∂N d. Persamaan Energi
∂T Dengan kondisi batas
t < 0 : ψ = ∂ψ 4.2.7 Persamaan Similaritas
Persamaan momentum, momentum angular, dan persamaan energi yang telah di rubah kedalam fungsi alir kemudian ditransformasikan kedalam bentuk variabel similaritas. Untuk mendapatkan persamaan similaritas
terdapat 2 tipe waktu yaitu, small time dan large time.
Berikut merupakan bentuk persamaan similaritas dengan menggunakan small time (t ≤ t∗) dengan sebarang nilai t∗ yaitu
Dengan menerapkan small time maka didapatkan persamaan similaritas sebagai berikut
a. Persamaan Momentum (1 + K)∂3f
b. Persamaan Momentum Angular
c. Persamaan Energi dengan kondisi batas, yaitu
t < 0 : f = ∂f
Sedangkan bentuk Persamaan Similaritas untuk large time dengan t∗ sebarang nilai yaitu
ψ = ue(x)r(x)F (x, Y, t) T = S(x, η, t)
Y = y
N = ue(x)H(x, Y, t)
sehingga didapat Persamaan Similaritas sebagai berikut a. Persamaan Momentum
(1 + K)∂3F
b. Persamaan Momentum Angular
c. Persamaan Energi
∂2S dengan kondisi batas yaitu
F = ∂F
∂Y = 0, H = −n∂2F
∂Y2, S = 1 ketika Y = 0
∂F
∂Y = 1, H = 0, S = 0 ketika Y → ∞
Pada Tugas Akhir ini bagian yang diteliti merupakan bagian pada titik stagnansi x ≈ 0 sehingga nilai dari ue(x) = 0 dan ∂u∂xe(x) = 32. Hal ini menyebabkan Persamaan (4.2.40) -(4.2.42) untuk small time menjadi :
a. Persamaan Momentum (1 + K)∂3f
b. Persamaan Momentum Angular c. Persamaan Energi
1 dengan kondisi batas, yaitu
t < 0 : f = ∂f
Sedangkan pada saat large time persamaan (4.2.43) -(4.2.46) menjadi :
a. Persamaan Momentum (1 + K)∂3F
∂t∂Y (4.2.49) b. Persamaan Momentum Angular
c. Persamaan Energi
∂2S
∂Y2 + 3
2P rF∂S
∂Y = P r∂S
∂t (4.2.51)
dengan kondisi batas yaitu F = ∂F
∂Y = 0, H = −n∂2F
∂Y2, S = 1 ketika Y = 0
∂F
∂Y = 1, H = 0, S = 0 ketika Y → ∞
Misalkan ∂f∂η = f0, ∂s∂η = s0, dan ∂h∂η = h0 maka persamaan untuk small time menjadi
a. Persamaan Momentum (1 + K)f000+η
2f00+ Kh0+ (M + φ)t f0− 1 +2 3αts +3
2t
1 − f02
+ f · f00
= t∂f0
∂t (4.2.52) b. Persamaan Momentum Angular
1 +K
2
h00+ η
2h0+ 1 2h + 3
2t f h0− hf0 = t∂h
∂t + Kt 2h + f00
(4.2.53) c. Persamaan Energi
1
2ηP rs0+ s00+3
2P rtf s0 = P rt∂s
∂t
(4.2.54) dengan kondisi batas, yaitu
t < 0 : f =∂f
∂η = h = s = 0 untuk setiap x, η t ≥ 0 : f = ∂f
∂η, h = −n∂2f
∂η2, s = 1 ketika η = 0
∂f
∂η = 1, h = 0, s = 0 ketika η → ∞
Sedangkan untuk large time dengan memisalkan ∂F∂Y = F0,
∂S
∂Y = S0, dan ∂H∂Y = H0 maka didapat persamaan a. Persamaan Momentum
(1 + K)F000+ (M + φ) F0− 1 + KH0+ 2 3αS +3
2 h
1 + F · F00− F02i
= ∂F0
∂t (4.2.55) b. Persamaan Momentum Angular
1 +K
2
H00+3
2 F H0− HF0 = ∂H
∂t + K 2H + F00
(4.2.56) c. Persamaan Energi
S00+3
2P rF S0 = P r∂S
∂t (4.2.57)
dengan kondisi batas yaitu
F = F0= 0, H = −nF ”, S = 1 ketika Y = 0 F0 = 1, H = 0, S = 0 ketika Y → ∞
Dengan mensubstitusi t = 0 kedalam Persamaan (4.2.52) -(4.2.54) dan menggunakan fungsi error f maka didapat kondisi awal sebagai berikut :
a. Kondisi Awal Persamaan Momentum f = η erf
"
η 2
s
1
1 + K(1 − n)+ 2
pπ(1 + K(1 − n))
e
−η2
4(1+K(1−n)) − 1
f0 = erf η
2p1 + K(1 − n)
f00 = 1
pπ(1 + K(1 − n))e
−η2 4(1+K(1−n))
b. Kondisi Awal Persamaan Mikro rotasi
h = −n
pπ(1 + K(1 − n))e
−η2 4(1+K(1−n))
h0 = nη
2(1 + K(1 − n))pπ(1 + K(1 − n))e
−η2 4(1+K(1−n))
c. Kondisi Awal Persamaan Energi s = −erfη
2
√ P r
+ 1 s0 = −
rP r π e
−1 4P rη2
PENYELESAIAN MODEL MATEMATIKA
Pada bab ini dijelaskan mengenai penyelesaian model matematika magnetohidrodinamik tak tunak dengan konveksi paksa pada fluida micropolar yang melalui bola berpori secara numerik dengan menggunakan skema Keller-Box.
Langkah pertama dalam penyelesaian skema Keller-Box dilakukan dengan memisalkan persamaan berorde tinggi menjadi persamaan orde pertama, kemudian langkah kedua dengan cara diskrititasi, selanjutnya dilakukan pelinearisasi dengan Metode Newton, dan langkah terkahir menyelesaikan hasil linearisasi dengan menggunakan emilinasi matriks blok tridiagonal. Simulasi menunjukkan pengaruh dari parameter magnetik, parameter micropolar, parameter prandtl, dan parameter porositas terhadap kecepatan aliran fluida, mikro rotasi, dan temperatur fluida.
5.1 Penyelelarasan Notasi
Langkah pertama dalam penyelesian dengan metode Keller-Box adalah dengan merubah persamaan orde tinggi menjadi persamaan orde pertama. Oleh karena itu perlu dilakukan pemisalan fungsi agar bisa diselesaikan secara numerik. Pemisalan yang dilakukan adalah sebagai berikut:
1. Small time dengan memisalkan :
f0 = u (5.1.1)
u0 = v (5.1.2)
h0 = p (5.1.3)
77
s0 = q (5.1.4) maka didapat persamaan momentum, momentum angular, dan energi masing-masing sebagai berikut :
a. Persamaan Momentum (1 + K)v0+η
2v + Kp + (M + φ)t (u − 1) +3
2
1 − (u)2+ f · v
+2
3αts = t∂u
∂t (5.1.5) b. Persamaan Momentum Angular
1 +K
2
p0+η
2p +1 2h + 3
2t (f p − hu) = t∂h
∂t
+Kt (2h + v) (5.1.6) c. Persamaan Energi
1
2ηP rq + q0+3
2P rtf q = P rt∂s
∂t
(5.1.7)
2. Large small dengan memisalkan
F0 = U (5.1.8)
U0 = V (5.1.9)
H0 = P (5.1.10)
S0 = Q (5.1.11)
maka didapat persamaan momentum, momentum angular, dan energi sebagai berikut :
a. Persamaan Momentum
(1 + K)V0+ (M + φ) (U − 1) + KP +3
2
1 + F · V − (U )2 +2
3αS = ∂U
∂t(5.1.12)
b. Persamaan Momentum Angular
1 +K
2
P0+3
2(F P − HU ) = ∂H
∂t
+K (2H + V ) (5.1.13) c. Persamaan Energi
Q0+3
2P rF Q = P r∂S
∂t (5.1.14)
5.2 Diskritisasi Model
Persamaan yang telah dirubah menjadi Persamaan orde pertama selanjutnya didiskrititasi dengan menggunakan metode numerik beda hingga dengan skema seperti yang terlihat pada gambar sebagai berikut
Gambar 5.1: Skema Beda Hingga Keller-Box
Beda hingga pusat akan digunakan untuk menyelesaikan Persamaan (5.1.1) - (5.1.4) dan Persamaan (5.1.8) - (5.1.11)
dengan menggunakan titik tengah
dan P2. Sedangkan untuk menyelesaikan Persamaan (5.1.5) - (5.1.7) dan Persamaan (5.1.12) - (5.1.14) akan digunakan titik tengah
ηj−1
2, tn−12
pada ruas P1, P2, P3 dan P4. 1. small time
Hasil dari diskritisasi Persamaan small time dengan menggunakan skema Keller-Box adalah
a. Persamaan Momentum
(1 + K)
− (M + φ)tn−1 b. Persamaan Momentum Angular
c. Persamaan Energi 1
2. Large time
Hasil dari diskritisasi Persamaan large time dengan menggunakan skema Keller-Box adalah
a. Persamaan Momentum
(1 + K)
b. Persamaan Momentum Angular c. Persamaan Energi
dimana lj menunjukkan step size dari η dan kn merupakan step size dari waktu.
5.3 Pelinieran Model
Pelinieran model matematik dilakukan dengan menggunakan metode Newton [23]. Iterasi dari metode
Newton diberikan sebagai berikut :
fj(i+1) = fj(i)+ δfj(i) u(i+1)j = u(i)j + δu(i)j v(i+1)j = vj(i)+ δv(i)j h(i+1)j = h(i)j + δh(i)j p(i+1)j = p(i)j + δp(i)j s(i+1)j = s(i)j + δs(i)j qj(i+1)= q(i)j + δq(i)j
Kemudian dilakukan substitusi iterasi Newton ke sistem Persamaan (5.2.1)-(5.2.14) sehingga diperoleh
1. small time
Hasil linearisasi dari Persamaan small time diberikan sebagai berikut :
(δfj − δfj−1) −lj
2 (δuj − δuj−1) = − fjn− fj−1n +lj 2 unj − unj−1
(5.3.1) (δuj− δuj−1) − lj
2 (δvj− δvj−1) = − unj − unj−1 +lj 2 vjn− vj−1n
(5.3.2) (δhj− δhj−1) −lj
2 (δpj − δpj−1) = − hnj − hnj−1 +lj 2 pnj − pnj−1
(5.3.3) (δsj− δsj−1) −lj
2 (δqj − δqj−1) = − snj − snj−1 +lj 2 qnj − qj−1n
(5.3.4)
dengan melakukan pemisalan pada Persamaan (5.3.1) - (5.3.4) menjadi
(r1)j = − fjn− fj−1n +lj
2 unj − unj−1 (r2)j = − unj − unj−1 +lj
2 vnj − vnj−1 (r3)j = − hnj − hnj−1 +lj
2 pnj − pnj−1 (r4)j = − snj − snj−1 +lj
2 qjn− qj−1n sehingga Persamaan (5.3.1) - (5.3.4) menjadi
(δfj− δfj−1) −lj
2 (δuj− δuj−1) = (r1)j (5.3.5) (δuj − δuj−1) −lj
2 (δvj − δvj−1) = (r2)j (5.3.6) (δhj− δhj−1) − lj
2 (δpj− δpj−1) = (r3)j (5.3.7) (δsj − δsj−1) −lj
2 (δqj− δqj−1) = (r4)j (5.3.8) Dengan cara yang sama yaitu melakukan pemisalan maka persamaan (5.2.5)-(5.2.7) menjadi
(r5)j = −(1 + K)
vnj − vnj−1
lj −ηj−1
2
2 vj−n 1 2
− Kpn
j−12
−(M + φ)tn unj−1
2
− 1
−3 2tn
1 −
unj−1
2
2
+fj−n 1 2
· vj−n 1 2
−2
3αtnsnj−1 2
+ 2tn−12 kn unj−1
2
−(1 + K)
vn−1j − vj−1n−1 lj
− ηj−1
2
2 vn−1
j−12 − Kpn−1
j−12
−(M + φ)tn−1
a. Persamaan Momentum
(a1)j = 3 4tnvj−n 1
2
(a2)j = (a1)j
(a3)j = −(M + φ) 2 tn− 3
2tnunj−1 2
− tn−12 kn (a4)j = (a3)j
(a5)j = (1 + K) lj
+ ηj−1
2
4 + 3 4tnfj−n 1
2
(a6)j = −(1 + K) lj +
ηj−1
2
4 +3 4tnfj−n 1
2
(a7)j = K 2 (a8)j = (a7)j
(a9)j = 1 3αtn
(a10)j = (a9)j (5.3.12)
b. Persamaan Momentum Angular
(b1)j = 1 +k2 lj
+ ηj−1
2
2 +3 2tnfj−n 1
2
(b2)j = − 1 +k2 lj
+ ηj−1
2
2 +3 2tnfj−n 1
2
(b3)j = 1 4− 3
2tnuj−1
2 − Ktn−tn−12 kn (b4)j = (b3)j
(b5)j = 3 4tnpnj−1
2
(b6)j = (b5) (b7)j = −3
4tnhnj−1 2
(b8)j = (b7)j
(b9)j = −Ktn 2
(b10)j = (b9)j (5.3.13)
c. Persamaan Energi (c1)j = 1
4ηj−1
2P r +3
4P rtnfj−n 1 2
+ 1 lj
(c2)j = 1 4ηj−1
2P r +3
4P rtnfj−n 1 2
− 1 lj (c3)j = 3
4P rtnqj−n 1 2
− 1 lj
(c4)j = (c3)j
(c5)j = −P rtn−12 kn
(c6)j = (c5)j (5.3.14)
Kemudian dengan mensubstitusi Persamaan (5.3.12) ke Persamaan (5.3.9), Persamaan (5.3.13) ke Persamaan (5.3.10), dan Persamaan (5.3.14) ke Persamaan (5.3.11) maka diperoleh bentuk Persamaan sebagai berikut
(a1)jδfj+ (a2)jδfj−1+ (a3)jδuj+ (a4)jδuj−1+ (a5)jδvj + (a6)jδvj−1+ (a7)jδpj+ (a8)jδpj−1+ (a9)jδsj + (a10)jδsj−1 = (r5)j (5.3.15) (b1)jδpj+ (b2)jδpj−1+ (b3)jδhj+ (b4)jδhj−1+ (b5)jδfj
+ (b6)jδfj−1+ (b7)jδuj+ (b8)jδuj−1+ (b9)jδvj
+ (b10)jδvj−1= (r6)j (5.3.16) (c1)jδqj+ (c2)jδqj−1+ (c3)jδfj+ (c4)jδfj−1+ (c5)jδsj
+ (c6)jδsj−1 (5.3.17)
Melihat pada kondisi batas maka dapat dinyatakan bahwa δf0 = 0, δu0= 0, δs0= 0, δuN = 0, δhN = 0 dan δsN = 0.
2. Large time
Hasil linearisasi dari Persamaan large time diberikan sebagai
berikut :
(δFj− δFj−1) −lj
2 (δUj − δUj−1) = − Fjn− Fj−1n + lj
2 Ujn− Uj−1n (5.3.18) (δUj− δUj−1) −lj
2 (δVj− δVj−1) = − Ujn− Uj−1n +lj
2 Vjn− Vj−1n (5.3.19) (δHj − δHj−1) −lj
2 (δPj− δPj−1) = − Hjn− Hj−1n +lj
2 Pjn− Pj−1n (5.3.20) (δSj− δSj−1) −lj
2 (δQj− δQj−1) = − Sjn− Sj−1n +lj
2 Qnj − Qnj−1 (5.3.21) dengan melakukan pemisalan pada Persamaan (5.3.18) -(2.3.21) menjadi
(r1)j = − Fjn− Fj−1n +lj
2 Ujn− Uj−1n (r2)j = − Ujn− Uj−1n +lj
2 Vjn− Vj−1n (r3)j = − Hjn− Hj−1n +lj
2 Pjn− Pj−1n (r4)j = − Sjn− Sj−1n +lj
2 Qnj − Qnj−1 sehingga Persamaan (5.3.18) - (2.3.21) menjadi
(δFj− δFj−1) −lj
2 (δUj− δUj−1) = (r1)j (5.3.22) (δUj − δUj−1) −lj
2 (δVj− δVj−1) = (r2)j (5.3.23) (δHj− δHj−1) −lj
2 (δPj− δPj−1) = (r3)j (5.3.24) (δSj− δSj−1) −lj
2 (δQj − δQj−1) = (r4)j (5.3.25)
Dengan cara yang sama yaitu melakukan pemisalan maka persamaan (5.2.22)-(5.2.25) menjadi
(r5)j = −(1 + K)
−
Qn−1j − Qn−1j−1
lj −3
2P rFj−n−11 2
Qn−1j−1 2
−2P r Sn−1
j−12
kn (5.3.28)
dengan
a. Persamaan Momentum (a1)j = 3
4tnVj−n1 2
(a2)j = (a1)j (a3)j = −(M + φ)
2 − 3
4Uj−n 1 2
− 1 kn (a4)j = (a3)j
(a5)j = (1 + K) lj + 3
4Fj−n 1 2
(a6)j = −(1 + K) lj
+3 4Fj−n 1
2
(a7)j = K 2 (a8)j = (a7)j (a9)j = 1
3α
(a10)j = (a9)j (5.3.29) b. Persamaan Momentum Angular
(b1)j = 1 +K2 lj +3
2Fj−n 1 2
(b2)j = − 1 +K2 lj
+ 3 2Fj−n 1
2
(b3)j = −3 4Uj−1
2
− K − 1 kn
(b4)j = (b3)j (b5)j = 3
2Pj−n 1 2
(b6)j = (b5) (b7)j = −3
4Hj−n 1 2
(b8)j = (b7)j (b9)j = −K
2
(b10)j = (b9)j (5.3.30) c. Persamaan Energi
(c1)j = 3
2P rFj−n 1 2
+ 1 lj (c2)j = 3
2P rFj−n 1 2
− 1 lj
(c3)j = 3
2P rQnj−1 2
(c4)j = (c3)j
(c5)j = −P r 1 kn
(c6)j = (c5)j (5.3.31) Kemudian dengan mensubstitusi Persamaan (5.3.29) ke Persamaan (5.3.26), Persamaan (5.3.30) ke Persamaan (5.3.27), dan Persamaan (5.3.31) ke Persamaan (5.3.28) maka diperoleh bentuk Persamaan sebagai berikut
(a1)jδFj + (a2)jδFj−1+ (a3)jδUj + (a4)jδUj−1+ (a5)jδVj + (a6)jδVj−1+ (a7)jδPj + (a8)jδPj−1+ (a9)jδSj
+ (a10)jδSj−1= (r5)j (5.3.32) (b1)jδPj+ (b2)jδPj−1+ (b3)jδHj+ (b4)jδHj−1+ (b5)jδFj
+ (b6)jδFj−1+ (b7)jδUj+ (b8)jδUj−1+ (b9)jδVj
+ (b10)jδVj−1 = (r6)j (5.3.33) (c1)jδQj + (c2)jδQj−1+ (c3)jδFj+ (c4)jδFj−1+ (c5)jδSj
+ (c6)jδSj−1 (5.3.34)
Melihat pada kondisi batas maka dapat dinyatakan bahwa δF0= 0, δU0 = 0, δS0 = 0, δUN = 0, δHN = 0 dan δSN = 0.
5.4 Penyelesaian Sistem Persamaan Linier
Persamaan (5.3.5) - (5.3.8), (5.3.15) - (5.3.17), (5.3.22) - (5.3.25), dan (5.3.32) - (5.3.34) merupakan Persamaan sistem linier dan akan diselesaikan dengan menggunakan teknik eliminasi blok [9]. Pada penyelesaian numerik menggunakan skema Keller-Box elemen-elemen yang ada dalam blok tridiagonal merupakan sebuah matriks, sehingga diperlukan penentuan elemen-elemen untuk membentuk matrik. Persamaan yang didapat akan diselesaikan dengan menggunakan tiga kondisi yaitu pada saat j = 1, j = N − 1, dan j = N . Berikut merupakan penjabaran dari tiga kondisi yang dimaksud
1. Saat j = 1
Persamaan yang didapat ketika memasukkan nilai j = 1 pada Persamaan (5.3.5) - (5.3.8) dan Persamaan (5.3.15) - (5.3.22) adalah
(δf1− δf0) −l1
2 (δu1− δu0) = (r1)j (δu1− δu0) −l1
2 (δv1− δv0) = (r2)j
(δh1− δh0) −l1
2 (δp1− δp0) = (r3)j (δs1− δs0) −l1
2 (δq1− δq0) = (r4)j
(a1)1δf1+ (a2)1δf0+ (a3)1δu1+ (a4)1δu0+ (a5)1δv1 + (a6)1δv0+ (a7)1δp1+ (a8)1δp0+ (a9)1δs1
+ (a10)1δs0 = (r5)j
Berdasarkan sistem Persamaan diatas maka matrik yang dapat dibentuk adalah sebagai berikut
Matriks yang telah terbentuk pada saat j = 1 dapat ditulis dengan
[A1][δ1] + [C1][δ2] = [r1] 2. Saat j = N − 1
Persamaan yang didapat ketika memasukkan nilai j = N − 1 pada Persamaan (5.3.5) (5.3.8) dan Persamaan (5.3.15) -(5.3.22) adalah
(δfN −1− δfN −2) −lN −1
2 (δuN −1− δuN −2) = (r1)N −1 (δuN −1− δuN −2) − lN −1
2 (δvN −1− δvN −2) = (r2)N −1
(δhN −1− δhN −2) −lN −1
2 (δpN −1− δpN −2) = (r3)N −1 (δsN −1− δsN −2) −lN −1
2 (δqN −1− δqN −2) = (r4)N −1
(a1)N −1δfN −1+ (a2)N −1δfN −2+ (a3)N −1δuN −1 + (a4)N −1δuN −2+ (a5)N −1δvN −1+ (a6)N −1 δvN −2+ (a7)N −1δpN −1+ (a8)N −1δpN −2
+ (a9)N −1δsN −1+ (a10)N −1δsN −2= (r5)N −1
(b1)N −1δpN −1+ (b2)N −1δpN −2+ (b3)N −1δhN −1
+ (b4)N −1δhN −2+ (b5)N −1δfN −1+ (b6)N −1 δfN −2+ (b7)N −1δuN −1+ (b8)N −1δuN −2
+ (b9)N −1δvN −1+ (b10)N −1δvN −2= (r6)N −1 (c1)N −1δqN −1+ (c2)N −1δqN −2+ (c3)N −1δfN −1
+ (c4)N −1δfN −2+ (c5)N −1δsN −1
+ (c6)N −1δsN −2= (r7)N −1
Berdasarkan sistem Persamaan diatas maka matrik yang dapat dibentuk adalah sebagai berikut
Matriks yang telah terbentuk pada saat j = N − 1 dapat ditulis dengan
[Bj][δj−1] + [Aj][δj] + [Cj][δJ +1] = [rj] untuk setiap j = 1, 2, 3, ..., N − 1.
3. Saat j = N
Persamaan yang didapat ketika memasukkan nilai j = N pada Persamaan (5.3.5) (5.3.8) dan Persamaan (5.3.15) -(5.3.22) adalah
(δfN− δfN −1) −lN
+ (b8)nδuN −1+ (b9)NδvN + (b10)NδvN −1
= (r6)N
(c1)NδqN+ (c2)NδqN −1+ (c3)NδfN + (c4)NδfN −1 + (c5)NδsN + (c6)NδsN −1= (r7)N
Berdasarkan sistem Persamaan diatas maka matrik yang dapat dibentuk adalah sebagai berikut
Matriks yang telah terbentuk pada saat j = N dapat ditulis dengan
[Bj][δj−1] + [Aj][δj] = [rj]
untuk nilai j = 1, 2, 3, ..., N . Oleh karena itu secara sederhana untuk j = N dapat ditulis dengan
j = 1 : [A1][δ1] + [C1][δ2] = [r1]
j = 2 : [B2][δ1] + [A2][δ2] + [C2][δ3] = [r2]
... ...
j = N − 1 : [BN −1][δN −2] + [AN −1][δN −1] + [CN −1][δN −1]
= [rN −1]
j = N : [BN][δN −1] + [AN][δN] = [rN] dan dapat ditulis seperti beikut
Aδ = r (5.4.1)
dengan
A =
[A1] [C1] [B2] [A2] [C2]
. ..
. ..
. ..
BN −1 AN −1 CN −1 BN AN
δ =
[δ1] [δ2] ... [δN −1]
[δN]
dan
Pada Persamaan (5.4.1) diketahui bahwa matrik A merupakan matriks tridiagonal dan matriks non-singular.
Oleh sebab itu matriks A dapat diselesaikan dengan menggunakan teknik eliminasi blok dan dapat difaktorkan sebagai
dimana [I] merupakan matriks identitas dengan ukuran 7 x 7.
[αj] dan [τj] merupakan matriks yang berukuran 7 x 7 dengan elemen seperti berikut
[αj] = [A1] [A1] [τj] = [C1]
[αj] = [Aj] − [Bj][τj−1] dengan j − 2, 3, 4, ..., N
[αj] [τj] = [Cj]
dengan j = 2, 3, 4, ..., N − 1. Langkah selanjutnya adalah mensubstitusi Persamaan (5.4.2) ke Persamaan (5.4.1) sehingga didapat Persamaan sebagai berikut
LUδ = r (5.4.3)
dengan mendefinisikan bahwa
Uδ = W (5.4.4)
maka Persamaan (5.4.3) menjadi
LW = r (5.4.5)
dengan
W =
[W1] [W2]
... [WN −1]
[WN]
[Wj] merupakan matriks yang berukuran 7 x 1 dengan elemen-elemennya yaitu
[α1][W1] = [r1]
[αj] [Wj] = [rj] − [Bj][Wj−1], 2 ≤ j ≤ N
Setelah mendapatkan elemen dalam matriks W, kemudian akan dicari penyelesaian dari δ pada Persamaan (5.4.2) dengan menggunakan persamaan sebagai berikut
[δj] = [W1]
[δj] = [Wj] − [rj][δj+1], 1 ≤ j ≤ N
Nilai δ yang telah didapatkan digunakan untuk menyelesaikan Persamaan (5.3.1) dengan cara melakukan iterasi. Iterasi yang dilakukan akan berhenti apabila memenuhi kriteria konvergen. Kriteria konvergen yang dimaksud adalah dengan menggunakan v(0, t) maka iterasi berhenti pada saat
|δv(0, t)| < . Pada tugas akhir ini digunakan = 10−5. 5.5 Validasi model
Pada Tugas Akhir ini penulis melakukan modifikasi pada model. Modifikasi yang dilakukan adalah dengan merubah letak pemberian magnet dari fluida kedalam benda yang dilalui oleh fluida, dalam Tugas Akhir ini benda yang dimaksud adalah bola berpori. Oleh karena itu dilakukan validasi model untuk membuktikan bahwa model matematika yang didapatkan telah sesuai.
Validasi model adalah usaha untuk membuktikan bahwa model pada sistem dapat mewakili realitas yang dikaji sehingga model yang didapat valid. Sedangkan validasi adalah perbandingan hasil dari solusi numerik dengan hasil pada penelitian yang telah ada dan dinyatakan sesuai. Pada Tugas Akhir ini model matematika yang telah didapat pada bab 4 akan divalidasi dengan model matematika dari penelitian Rizky[8] yang berjudul ”Magnetohidrodinamika Fluida Mikrokutub yang Mengalir Melalui Bola Pejal di Bawah Pengaruh Medan Magnet”. Validasi dilakukan dengan menggunakan perbandingan pada kurva kecepatan dan mikro rotasi. Nilai dari parameter yang digunakan adalah M = 0,
K = 1, α = 0, φ = 0, dan P r = 0. Selain itu digunakan partisi η = 75, partisi waktu t = 35, ∇η = lj = 0.1, ∇t = kn = 0.5, t = 20, dan n = 0. Berikut merupakan validasi model matematika magnetohidrodinamik tak tunak dengan konveksi paksa pada fluida micropolar yang melalui bola berpori
Gambar 5.2: Validasi profil kecepatan
Berdasarkan gambar 5.2 didapat bahwa profil kecepatan fluida model matematika yang telah dimodifikasi berhimpit dengan model matematika pada penelitian terdahulu.
Sedangkan untuk profil mikro rotasi menunjukkan hasil yang sama. Hal ini dapat dilihat pada gambar 5.3. Dengan demikian maka model matematika pada Tugas Akhir ini dapat digunakan untuk mensimulasi permasalahan magnetohidrodinamik fluida micropolar yang melalui bola
berpori bermagnet dengan konveksi paksa. Parameter yang akan digunakan adalah parameter magnetik, parameter micropolar, parameter porositas, dan bilangan prandtl.
Berikut merupakan validasi profil mikro rotasi
Gambar 5.3: Validasi profil mikro rotasi
Pada gambar (5.2) dan (5.3) diketahui bahwa grafik hasil model yang diteliti dengan model sebelumnya berhimpit.
Berikut merupakan data dari validasi yang dilakukan:
Tabel 5.1: Data hasil simulasi numerik
η Kecepatan Kecepatan Temperatur Temperatur
(Rizky) (Via) (Rizky) (Via)
0 0 0 0 0
0, 5 0, 4408 0, 4408 0, 0843 0, 0843 1 0, 7250 0, 7250 0, 0815 0, 0815 1, 5 0, 8828 0, 8828 0, 0516 0, 0516 2 0, 9571 0, 9571 0, 0248 0, 0248 2, 5 0, 9866 0, 9866 0, 0094 0, 0094 3 0, 9964 0, 9964 0, 0029 0, 0029 3, 5 0, 9992 0, 9992 0, 0007 0, 0007 4 0, 9998 0, 9998 0, 0001 0, 0001
4, 5 0, 9999 0, 9999 0 0
5 1 1 0 0
6 1 1 0 0
7 1 1 0 0
5.6 Hasil Simulasi Numerik
Langkah selanjutnya adalah dengan menggunakan software Matlab akan didapatkan penyelesaian numerik dari sistem yang telah didapatkan. Simulasi Tugas Akhir ini menggunakan beberapa parameter dan dilakukan beberapa kali dengan percobaan yang terpisah. Berdasarkan hasil simulasi yang dilakukan didapat hubungan antara parameter magnetik (M ), parameter micropolar (K), parameter porositas (φ), dan bilangan prandtl (P r), terhadap kecepatan (f0), mikro rotasi (h), dan temperatur fluida (s). Berikut merupakan penjabaran dari masing-masing parameter.
5.6.1 Pengaruh Variasi Parameter Magnetik
Pada simulasi ini diperoleh keterkaitan antara variasi parameter magnetik dengan kurva kecepatan, mikro rotasi,
dan temperatur pada fluida. Berikut merupakan bahan-bahan yang digunakan untuk mendapatkan nilai dari parameter magnetik
Tabel 5.2: Nilai magnetik pada bahan
Bahan ρ (kg/m3) σ M
Zn / Zinc / Seng 7, 14 g/cm3 1, 68 · 107 2,3 Fe / Iron / Besi 7, 87 g/cm3 1, 04 · 107 1,3 Steel / Baja 7, 75 g/cm3 1, 61 · 107 2 Kobalt / Baja 8, 86 g/cm3 1, 6 · 107 1,8
Berikut merupakan hasil simulasi yang didapat
Gambar 5.4: Pengaruh variasi parameter magnetik terhadap kecepatan fluida
Variasi parameter magnetik yang digunakan adalah M = 0, 1.3, 1.8, 2. Parameter magnetik ditetapkan berdasarkan pemilihan bahan yang digunakan sebagai bola. Sebagaimana yang telah diketahui bahwa setiap bahan memiliki densitas dan kemampuan menghantarkan magnet yang berbeda-beda. Oleh karena itu untuk mengetahui pengaruh medan magnet digunakan variasi bahan seperti yang terlihat dalam tabel (5.2). Sedangkan untuk nilai parameter yang lainnya adalah K = 1, α = 0, φ = 1, dan P r = 1, selain itu digunakan banyaknya partisi η = 48, partisi waktu t = 20, ∆η = lj = 0.1, ∆t = kn = 0.05, t = 20, dan komsentrasi n = 0.
Hasil simulasi pada gambar 5.4 menunjukkan bahwa parameter magnetik mempengaruhi kurva kecepatan fluida yang mengalami peningkatan dari f0 = 0 sampai f0 ≈ 1.
Berdasarkan hasil simulasi yang telah didapat kecepatan fluida semakin menurun ketika nilai parameter bertambah.
Hal ini dapat dilihat ketika 0 ≤ η ≤ 4.4 pertambahan parameter mengakibatkan penurunan kecepatan hingga kemudian menuju satu titik yang sama. Berdasarkan rumus matematis dari parameter magnetik yaitu M = aσBρU 20
∞
diketahui bahwa parameter magnetik sebanding dengan B0 dan berbanding terbalik dengan densitas fluida (ρ).
B0 merupakan gaya Lorenz yang terdapat pada bola berpori bermagnet. Hal ini menunjukkan bahwa semakin bertambahnya nilai parameter magnetik yang diberikan, gaya Lorenz yang terdapat pada bola akan semakin meningkat.
Sedangkan densitas fluida akan semakin kecil. Berdasarkan persamaan momentum, medan magnet yang terdapat pada bola berpori memperlambat kecepatan fluida. Semakin dekat fluida dengan bola maka kecepatan fluida akan semakin lambat atau semakin menurun, karena bola berpori yang mengandung magnet menyebabkan gaya tolak terhadap aliran
fluida. Oleh karena itu semakin besar parameter magnetik yang diberikan, kecepatan fluida akan semakin menurun.
Gambar 5.5: Pengaruh variasi parameter magnetik terhadap mikro rotasi
Gambar 5.5 merupakan hasil simulasi dari mikro rotasi.
Grafik pada gambar 5.5 menunjukkan bahwa semakin bertambah parameter magnetik maka semakin meningkat pergerakan mikro rotasi. Hal ini dapat dilihat pada saat 0.5 ≤ η ≤ 2 dan 0 ≤ h0≤ 0.09, kurva pergerakan mikro rotasi semakin meningkat dari h = 0 menuju h = 0.1.
Pertambahan parameter magnetik mengakibatkan densitas fluida semakin menurun. Peningkatan parameter magnetik menyebabkan kerapatan molekul pada fluida semakin berkurang. Hal ini menyebabkan pergerakan partikel mikro yang terdapat pada fluida memiliki ruang yang semakin
luas sehingga pergerakan rotasi meningkat secara signifikan.
Oleh karena itu semakin bertambah parameter magnetik maka semakin meningkat pergerakan mikro rotasi karena kerapatan fluida semakin menurun. Ketika fluida mendekati titik stagnasi x ≈ 0 pergerakan mikro rotasi akan kembali menurun menuju 0.
Gambar 5.6: Pengaruh variasi parameter magnetik terhadap temperatur
Hasil simulasi pada gambar 5.6 menunjukkan bahwa temperatur fluida semakin meningkat seiring dengan peningkatan parameter magnetik. Kurva temperatur mengalami penurunan dari s = 1 sampai s ≈ 0. Ketika 0 ≤ η ≤ 3.4, temperatur semakin meningkat seiring dengan parameter magnetik yang semakin meningkat. Energi internal fluida menurun karena pengaruh medan magnet
dan densitas semakin berkurang yang diakibatkan oleh bertambahnya parameter magnetik. Karena energi internal menurun maka energi yang digunakan oleh fluida semakin menurun sehingga mengakibatkan temperatur pada fluida micropolar mengalami peningkatan.
5.6.2 Pengaruh Variasi Parameter Micropolar Pada subbab akan dibahas mengenai pengaruh parameter micropolar. Pemilihan parameter didasarkan pada porositas, tidak berdasarkan bentuk dari pori yang terdapat pada bola.
Gambar 5.7: Pengaruh variasi parameter micropolar terhadap kecepatan fluida
Pada simulasi ini diperoleh keterkaitan antara variasi parameter micropolar dengan kurva kecepatan, mikro rotasi,
dan temperatur pada fluida. Variasi parameter micropolar yang digunakan adalah K = 0.25, 0.5, 0.75, 1. Sedangkan untuk nilai parameter yang lainnya adalah M = 1, α = 0, φ = 1, dan P r = 1, selain itu digunakan banyaknya partisi η = 48, partisi waktu t = 20, ∆η = lj = 0.1, ∆t = kn = 0.05, t = 20, dan konsentrasi n = 0.
Hasil simulasi pada gambar 5.7 menunjukkan bahwa parameter micropolar mempengaruhi kurva kecepatan fluida yang mengalami peningkatan dari f0 = 0 sampai f0 ≈ 1.
Kecepatan fluida semakin menurun ketika nilai parameter bertambah. Hal ini dapat dilihat ketika 0 ≤ η ≤ 3.5 pertambahan parameter mengakibatkan penurunan kecepatan hingga kemudian menuju satu titik yang sama. Pada saat 3.5 < η ≤ 4.8 kecepatan fluida adalah stabil dengan nilai f0 ≈ 1. Akan tetapi ketika memasuki η = 3, 5 kecepatan fluida menjadi 0.9781, pada saat η = 3 kecepatannya adalah 0.9637, ketika η = 2.5 kecepatannya adalah 0.8375 dan terus mengalami penurunan hingga kemudian berhenti pada η = 0 dengan kecepatan 0 untuk pemberian nilai parameter micropolar K = 1. Berdasarkan rumus matematis dari parameter micropolar yaitu K = κµ diketahui bahwa parameter micropolar sebanding dengan pergerakan mikro rotasi (vortex ) κ dan berbanding terbalik dengan viskositas dinamik (µ). Artinya semakin besar nilai parameter micropolar yang diberikan maka nilai vortex akan semakin besar, sedangkan viskositas dinamik akan semakin kecil. Menurunnya viskositas dan adanya pengaruh magnet pada bola berpori mengakibatkan ketahanan fluida semakin menurun, sehingga semakin besar parameter micropolar yang diberikan, kurva kecepatan semakin menurun.
Gambar 5.8 merupakan hasil simulasi dari mikro rotasi.
Grafik pada gambar 5.8 menunjukkan bahwa semakin bertambah parameter micropolar maka semakin meningkat
pergerakan mikro rotasi. Hal ini dapat dilihat pada saat 0 ≤ η ≤ 4 seperti yang terlihat pada gambar
Gambar 5.8: Pengaruh variasi parameter micropolar terhadap mikro rotasi
Kurva pergerakan mikro rotasi semakin meningkat dari h = 0 menuju h ≈ 0.1 hingga kembali di h = 0. Peningkatan parameter micropolar menyebabkan pergerakan mikro rotasi pada fluida semakin meningkat. Seperti yang telah dijelaskan pada penjelasan sebelumnya, terjadi penurunan nilai viskositas dinamik ketika parameter micropolar semakin meningkat. Peristiwa tersebut menyebabkan pergerakan partikel mikro yang terdapat pada fluida memiliki ruang yang semakin luas sehingga pergerakan rotasi semakin meningkat.
Oleh karena itu semakin bertambah parameter micropolar maka semakin meningkat pergerakan mikro rotasi.
Hasil simulasi pada gambar 5.9 menunjukkan pengaruh parameter micropolar terhadap temperatur.
Gambar 5.9: Pengaruh variasi parameter micropolar terhadap temperatur
Hasil simulasi menunjukkan bahwa temperatur fluida semakin meningkat seiring dengan peningkatan parameter micropolar.
Kurva temperatur mengalami penurunan dari s = 1 sampai s ≈ 0. Ketika 0 ≤ η ≤ 3, temperatur semakin meningkat seiring dengan parameter micropolar yang meningkat. Energi internal fluida menurun karena pengaruh pergerakan mikro rotasi yang meningkat dan viskositas yang semakin berkurang. Besar kecilnya viskositas dipengaruhi oleh suhu pada fluida. Karena energi internal menurun maka energi yang digunakan oleh fluida semakin menurun sehingga mengakibatkan temperatur pada fluida micropolar
mengalami peningkatan seiring bertambahnya nilai parameter micropolar.
5.6.3 Pengaruh Variasi Parameter Porositas
Pada simulasi ini diperoleh keterkaitan antara variasi parameter porositas dengan kurva kecepatan, mikro rotasi, dan temperatur pada fluida. Variasi parameter micropolar yang digunakan adalah φ = 0.25, 0.5, 0.75, 1. Sedangkan untuk nilai parameter yang lainnya adalah M = 1, α = 0, K = 1, dan P r = 1, selain itu digunakan banyaknya partisi η = 48, partisi waktu t = 20, ∆η = lj = 0.1, ∆t = kn= 0.5, t = 20, dan komsentrasi n = 0.
Gambar 5.10: Pengaruh variasi parameter porositas terhadap kecepatan fluida
Hasil simulasi pada gambar 5.10 menunjukkan bahwa
parameter porositas mempengaruhi kurva kecepatan fluida yang mengalami peningkatan dari f0 = 0 sampai f0 ≈ 1.
Ketika 0 ≤ η ≤ 4 pertambahan parameter mengakibatkan penurunan kecepatan. Parameter porositas sebanding dengan viskositas dinamik µ dan berbanding terbalik dengan densitas fluida (ρ) dan U∞. Oleh karena itu simulasi menunjukkan bahwa semakin bertambahnya parameter porositas, viskositas dinamik pada aliran fluida semakin meningkat dengan densitas fluida semakin menurun dan kecepatan aliran bebas semakin menurun. Menurunnya densitas fluida serta parameter porositas yang semakin meningkat, bola bermagnet menolak fluida dan mengakibatkan kecepatan fluida menurun.
Gambar 5.11: Pengaruh variasi parameter porositas terhadap mikro rotasi
Grafik pada gambar 5.11 menunjukkan bahwa semakin bertambah parameter porositas maka semakin menurun pergerakan mikro rotasi. Hal ini dapat dilihat pada saat 0.6 ≤ η ≤ 0.8 dan 0.105 ≤ −∂h∂η ≤ 0.115. Selain itu terjadi peningkatan pergerakan mikro rotasi dari 0.8 < η ≤ 4.2 dengan adanya variasi parameter porositas. Peningkatan parameter porositas menyebabkan tegangan geser pada fluida semakin meningkat. Sedangkan densitas fluida semakin menurun. Hal ini menyebabkan pergerakan partikel mikro yang terdapat pada fluida memiliki ruang yang semakin luas sehingga pergerakan rotasi semakin meningkat. Oleh karena itu semakin bertambah parameter porositas maka semakin meningkat pergerakan mikro rotasi.
Gambar 5.12: Pengaruh variasi parameter porositas terhadap temperatur
Hasil simulasi pada gambar 5.12 menunjukkan bahwa temperatur fluida semakin meningkat seiring dengan peningkatan parameter porositas. Kurva temperatur mengalami penurunan dari s = 1 sampai s ≈ 0. Ketika 0 ≤ η ≤ 3, temperatur semakin meningkat ketika parameter porositas semakin meningkat. Densitas fluida berbanding terbalik dengan parameter porositas. Semakin tinggi nilai parameter porositas maka densitas akan semakin rendah.
Hal ini mengakibatkan molekul yang terdapat pada fluida semakin renggang, sehingga suhu pada fluida semakin cepat naik.
5.6.4 Pengaruh Variasi Parameter Bilangan Prandtl Pada simulasi ini diperoleh keterkaitan antara variasi bilangan prandtl dengan kurva kecepatan, mikro rotasi, dan temperatur pada fluida. Variasi bilangan Prandtl yang digunakan adalah P r = 0.72, 1, 1.5, 2.36. Sedangkan untuk nilai parameter yang lainnya adalah M = 1, α = 0, φ = 1, dan φ = 1, selain itu digunakan banyaknya partisi η = 48, partisi waktu t = 20, ∆η = lj = 0.1, ∆t = kn = 0.5, t = 20, dan komsentrasi n = 0.
Tabel 5.3: Pengaruh variasi bilangan prandtl terhadap kecepatan fluida
η P r = 0.72 P r = 1
0 0 0
0.5 0, 196997478037471 0, 196997478037471 1 0, 460029522593950 0, 460029522593950 1.5 0, 683663633035879 0, 683663633035879 2 0, 837534938168166 0, 837534938168166 2.5 0, 924122663340438 0, 924122663340438
3 0, 963774303963805 0, 963774303963805 3.5 0, 978147114598496 0, 978147114598496 4 0, 981766967276046 0, 981766967276046 4.5 0.981758305328015 0.98175830532801 4.8 0, 981226588930323 0, 981226588930323
Tabel 5.3 menunjukkan bahwa pemberian variasi bilangan prandtl tidak mempengaruhi kecepatan aliran fluida micropolar. Besarnya variasi bilangan prandtl yang diberikan menunjukkan nilai kecepatan yang sama pada masing-masing nilai. Hal ini ditunjukkan dari grafik masing-masing nilai yang berhimpit. Hal yang sama berlaku pada profil mikro rotasi. Berikut merupakan hasil simulasi dari profil mikro rotasi
Tabel 5.4: Pengaruh variasi bilangan prandtl terhadap mikro rotasi
η P r = 0.72 P r = 1
0 0 0
0.5 0, 0645871520267301 0, 0645871520267301 1 0, 0913866662400319 0, 0913866662400319 1.5 0, 0782364503829425 0, 0782364503829425 2 0, 0500578662791889 0, 0500578662791889 2.5 0, 0250003289909444 0, 0250003289909444 3 0, 00976245079821970 0, 00976245079821970 3.5 0, 00287665886344681 0, 00287665886344681 4 0, 000546989698845640 0, 000546989698845640 4.5 1, 95816009529352e − 05 1, 95816009529352e − 05
4.8 0 0
Gambar 5.13: Pengaruh variasi bilangan prandtl terhadap temperatur
Hasil simulasi pada gambar 5.13 menunjukkan bahwa temperatur fluida semakin menurun seiring dengan peningkatan bilangan prandtl. Kurva temperatur mengalami
Hasil simulasi pada gambar 5.13 menunjukkan bahwa temperatur fluida semakin menurun seiring dengan peningkatan bilangan prandtl. Kurva temperatur mengalami