Melihat pada pernyataan Einstein mengenai ketidak-bermaknaan ruang tan-pa medan, konsep hubungan di LM menjadi tidak memiliki relevansi fisis atan-papun. Hadirnya metrik Lorentzian gLpada manifold dasar M di USU itu menginformasikan kerangka linear yang mana sajakah yang akan dipakai sebagai kerangka acuan lokal klasik. Oleh karena itu tidak ada hubungan di LM yang tidak melestarikan kualitas metrik itu di bawah parallel transport yang dapat memiliki relevansi fisis. Dengan ka-ta lain, supaya dapat menjadi kandidat sebagai suatu hubungan fisis, syarat yang harus dipenuhi oleh hubungan di LM adalah harus kompatibel dengan metrik Lorentzian
gL di M dan juga bebas torsi. Hubungan yang demikian disebut sebagai hubungan Levi-Civita dan telah diungkapkan pada bab sebelumnya.
48
Hubungan Levi-Civita pada untingan kerangka Lorentz terbatasi F M0(gL)
diberikan oleh (IV.57)-(IV.59) untuk sembarang manifold Lorentzian (M, gL).
Ji-ka M merupaJi-kan model klasik untuk ruang-waktu, maJi-ka kontak dengan fisiJi-ka rela-tivistik umum dapat dilakukan melalui postulat geodesik Einstein, yang menegaskan bahwa sembarang partikel titik netral (dengan massa tidak nol) mengikuti geodesik bak-waktu ketika sedang jatuh bebas dalam manifold ruang-waktu klasik (M, gL).
Sementara untuk sinar cahaya (atau "foton", yang dianggap sebagai partikel klasik bermassa nol) mengikuti geodesik null ketika sedang jatuh bebas.
Sesuai dengan definisinya, dalam suatu manifold dengan hubungan yang dibe-rikan di dalamnya, suatu geodesik merupakan sembarang kurva licin γ yang memi-liki sifat bahwa sembarang vektor singgung yang menyinggung kurva itu mengala-mi parallel transport sepanjang γ. Dalam konteks postulat geodesik, hal ini berarti bahwa jika v menyatakan medan kecepatan-4 yang tangensial terhadap garis dunia
γ = {x(τ )|τ ∈ I} suatu partikel massif dalam jatuh bebas (menyatakan kecepatan-4
partikel itu ketika τ menjangkau selang I ⊂ R1), maka terdapat suatu parameter τ (yang menyatakan waktu sejatinya) dalam sembarang chart (Mα, φα) yang
domain-nya memuat suatu segmen dari γ sedemikian rupa sehingga
∇vv = 0, v = ˙xµ∂µ, ˙xµ:= dxµ/dτ, x ∈ γ. (V.5)
Jika (IV.33) dikhususkan untuk hubungan Levi-Civita, yang koefisiennya diberikan oleh (IV.57) di dalam sembarang kerangka bergerak di LM, dari (V.5) diperoleh persamaan geodesik untuk segmen itu dalam bentuk terkenalnya,
¨
xλ+ Γλµν˙xµ˙xν = 0, x¨λ := d2xλ/dτ2, Γλµν = gλκg(∂κ, ∇∂µ∂ν), (V.6)
Di lain pihak, jika digunakan suatu tera vierbein, kecepatan-4 harus diekspansikan terhadap kerangka Lorentz dari F M0(gL) yang terkait dengan tera itu agar dapat
diperoleh dari (V.5) sistem persamaan
˙vi+ Γijkvjvk = 0, ˙vi = dvi/dτ, vi = λiµ˙xµ, Γijk = θi(∇ejek), (V.7)
untuk setiap segmen geodesik yang berada dalam domain bersama kerangka bergerak holonomik dan non-holonomik yang digunakan dalam (V.7).
Terdapat pilihan parameter affine τ sehingga persamaan geodesik dapat ber-bentuk (V.5) bahkan untuk geodesik null atau bak-ruang. Dari sini, menurut postulat geodesik persamaan ini berlaku juga untuk sinar cahaya. Tetapi dalam kasus ini tidak ada lagi konsep "waktu sejati" sehingga τ tidak lagi memiliki makna fisis secara lang-sung.
Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa ketika postulat geodesik diterapkan pa-da kerangka bergerak, maka akan terkait erat dengan rumusan asli Einstein mengenai AK. Sekarang ditinjau suatu kerangka bergerak yang diterapkan pada kurva licin γ di M dan mempunyai implikasi khusus pada koefisien hubungan Levi-Civita. Dalam hal ini kerangka bergerak yang dimaksud adalah suatu penampang s dari untingan kerangka linear LM untuk mana koefisien hubungan Levi-Civita Γijk di (IV.57) lenyap di semua titik x ∈ γ yang berada dalam domain Ms dari penampang itu. Sebagai contoh khusus dari kerangka bergerak itu adalah vierbein yang diterapkan pada γ, sehingga dinyatakan sebagai penampang s dari untingan kerangka Lorentz terbatasi F M0(gL) yang berimplikasi Γijk = 0 di semua x ∈ γ ∩ Ms.
Sekarang ditinjau suatu kasus ketika kerangka bergerak s diterapkan pada geodesik bak-waktu γ. Kerangka bergerak yang demikian disebut sebagai kerangka
50
bergerak inersial untuk geodesik γ, jika dalam subhimpunan
sγ = {(e0(x), e1(x), e2(x), e3(x))|x ∈ γ ∩ Ms} ⊂ s, (V.8)
yang berisi kerangka-kerangka yang berada di atas geodesik γ, semua unsur kerangka
e0(x) bertepatan dengan vektor singgung terhadap geodesik itu (untuk suatu
pemili-han parameter affin τ yang cocok) yang merupakan vektor kecepatan-4 dari partikel yang garis dunia jatuh bebasnya adalah γ. Jika sγorthonormal, maka s disebut seba-gai kerangka bergerak Lorentz inersial sepanjang γ.
Sebenarnya jika metrisasi di LM dilakukan seperti cara yang telah dijelaskan pada subbab sebelumnya, sedemikian rupa sehingga semua kerangka klasik keruan-gan yang dilabeli oleh tripel {e1(x), e2(x), e3(x)} dengan x ∈ γ ∩ Msdibangun dari tongkat-tongkat tegar, maka menurut postulat geodesik, bagian yang menandai titik asal O dari tiap kerangka lokal klasik itu akan mengikuti γ jika tetap berada dalam keadaan jatuh bebas. Dari sini, bersamaan dengan berlalunya waktu sejati, kerang-ka itu akerang-kan tetap mempertahankerang-kan relasi metriknya satu dengan lainnya dan dapat diidentikkan dengan unsur himpunan sγ di (V.8). Semua unsur dari himpunan itu menampilkan sifat berikut
gij(x) = g(ei(x), ej(x)) = ηij, e0(x) = v, x ∈ γ ∩ Ms, (V.9)
Γijk(x) = gilg(el(x), ∇ej(x)ek(x)) = 0, x ∈ γ ∩ Ms. (V.10)
Sifat-sifat ini secara matematis mengkarakteristikkan kerangka Lorentz klasik dalam jatuh bebas. Tetapi disini perlu ditekankan bahwa secara umum sifat ini hanya dipenuhi oleh unsur-unsur dari sγ dan tidak dapat diperluas untuk seluruh kerangka bergerak s jika gravitasi hadir dalam wilayah ruang-waktu yang terkait dengan Ms.
"Dalam sembarang kerangka bergerak Lorentz inersial sepanjang geodesik
bak-waktu γ, semua hukum fisika non-gravitasional yang dinyatakan dalam koordi-nat tensor terhadap kerangka bergerak inersial itu, disetiap titik sepanjang γ harus bertepatan dengan bentuk relativitas khususnya yang dinyatakan dalam koordinat tensor terhadap kerangka Lorentz global di ruang-waktu Minkowski."
Dengan perumusan yang tepat secara matematis maupun fisis, AK mencer-minkan konseptualisasi Einstein (1916) tentang keadaan fisis jatuh bebas yang di-ilustrasikan dengan percobaan gedankennya, dengan membayangkan percobaan itu dilakukan oleh pengamat yang terisolasi dalam elevator yang sedang jatuh bebas. Di lain pihak, perumusan AK di banyak buku mengenai TRU dilakukan dengan menggu-nakan koordinat daripada kerangka. Perumusan yang demikian membuat perbedaan antara hukum orde pertama dan orde kedua menjadi tidak jelas dengan mengaburkan perbedaan antara hukum "infinitesimal" yang berlaku pada suatu titik tunggal, dan hukum lokal yang berlaku pada suatu lingkungan dari suatu titik.
Untuk menggarisbawahi perbedaan penting ini, dan memberikan rumusan AK yang tepat secara matematis, diperkenalkan koordinat normal yang terkait dengan su-atu kerangka bergerak Lorentz inersial menurut cara berikut ini: Andaikan disu-atur
x0(τ ) = τ pada semua titik sepanjang geodesik bak-waktu γ, dan ditinjau pada tiap
titik x ∈ γ semua geodesik bak-ruang dengan vektor singgung dibentang oleh tripel keruangan {e1(x), e2(x), e3(x)} kerangka Lorentz yang terkait; jika X1, X2, dan X3
merupakan komponen dari vektor-vektor singgung itu, dalam suatu lingkungan dari
x(τ ) ∈ γ, disematkan koordinat (τ, X1, X2, X3) kepada setiap titik yang berada pada
salah satu dari geodesik ini pada jarak parametris affin satu satuan dari x(τ ). Koordi-nat ini didefinisikan dalam suatu tabung di sekitar γ, dan dalam tabung itu terbentuk
∂0 = e0(x) dan ∂α = eα(x), α = 1, 2, 3 pada tiap titik x ∈ γ. Koordinat yang baru
52
Dengan menggunakan koordinat normal ini, AK yang dirumuskan dalam ben-tuk koordinat berbunyi (Prugove˘cki,1995)
"Dalam sembarang kerangka bergerak Lorentz yang inersial untuk suatu
geode-sik bak-waktu γ, semua hukum figeode-sika non-gravitasional yang dinyatakan dalam koor-dinat normal yang terkait dengan kerangka inersial itu, pada tiap titik sepanjang γ harus sama, hingga suku orde pertama dalam koordinat itu, dengan bentuk relativi-tas khususnya yang dinyatakan dalam koordinat tensor yang terkait dengan kerangka Lorentz masing-masing."
Meskipun perumusan AK ini terlihat seperti mengakali, tetapi tepat dan telah mengatasi ambiguitas yang muncul dalam perumusan asli AK seperti yang telah dise-butkan di dalam BAB I. Dalam bentuk pernyataan matematis murni, ambiguitas ini berasal dari kenyataan bahwa turunan parsial bersifat rukun, sedang turunan kovarian tidak jika hadir kelengkungan tak-nol, yang berarti pula hadirnya gravitasi. Tetapi dalam pernyataan fisika, hal itu berasal dari pengabaian perbedaan antara hukum "in-finitesimal", yang hanya berlaku dalam suatu serat pada berbagai untingan tensor, dan hukum lokal yang berlaku pada suatu lingkungan dari suatu titik di manifold dasar dari untingan itu.
1. Kesimpulan
Penelusuran asas-asas teori relativitas umum melalui konsep untingan kerang-ka orthonormal memberikerang-kan kesimpulan sebagai berikut:
1. Bentuk asas kovariansi umum yang tidak melibatkan sistem koordinat secara langsung adalah sebagai berikut
" Hukum-hukum alam yang umum harus dapat dinyatakan secara sama oleh setiap pengamat di semua kerangka acuan (orthonormal) lokal."
2. Dengan menerapkan postulat geodesik Einstein pada tera vierbein di dalam untingan kerangka Lorentz (orthonormal) terbatasi, ungkapan asas kesetaraan yang tepat secara fisis maupun secara matematis dapat dinyatakan sebagai berikut
"Dalam sembarang kerangka bergerak Lorentz yang inersial untuk suatu geode-sik bak-waktu γ, semua hukum figeode-sika non-gravitasional yang dinyatakan dalam koordinat normal pada tiap titik sepanjang γ harus sama, hingga suku orde pertama dalam koordinat itu, dengan bentuk relativitas khususnya yang diny-atakan dalam koordinat tensor yang terkait dengan kerangka Lorentz masing-masing."
3. Melihat pada kesimpulan 1,maka setidaknya hukum-hukum fisika yang akan diterapkan dalam teori relativitas umum harus memiliki bentuk yang paling umum (kovarian umum). Tetapi lebih dari itu, jika semua kerangka dianggap berhak untuk melakukan pengukuran dan menyatakan hukum-hukum fisika, maka perumusan hukum-hukum fisika (orde-pertama) di dalam teori relativitas
54
khusus pun hendaknya dibiasakan untuk dirumuskan dalam bentuk kovarian umumnya meskipun terlihat terlalu berlebihan.