Hubungan Levi-Civita

Dalam konteks matematika murni, suatu hubungan di LM dikatakan kom-patibel dengan medan metrik (secara umum Riemannian atau pseudo-Riemannian)

g di M jika semua turunan kovarian dari metrik itu lenyap. Dengan kata lain, jika ∇ menyatakan forma operator turunan yang dibangkitkan oleh hubungan itu, maka ∇g ≡ 0. Terdapat cara yang lebih memiliki signifikansi fisis tetapi ekivalen

se-cara matematis dalam mendefinisikan kompatibilitas itu. Suatu hubungan di LM dikatakan kompatibel dengan metrik g di M jika dan hanya jika sembarang kerang-ka linear yang orthonormal menurut metrik itu tetap orthonormal setelah dilakukerang-kan

pengangkutan sejajar dalam berbagai cara yang mungkin untuk hubungan itu. Hal ini berarti bahwa setelah reduksi LM menjadi F M(gL), semua operator untuk

pen-gangkutan sejajar seperti dalam (IV.34) membuat F M(gL) tetap invarian jika

opera-tor itu dibangkitkan oleh hubungan itu (Prugove˘cki,1995).

Di lain pihak, pada level fisis murni, kehadiran metrik Lorentzian g^L mengan-tarkan metrisasi kerangka klasik lokal yang diwakili oleh unsur-unsur dari USU LM. Metrisasi itu secara operasional menghasilkan reduksi LM menjadi F M(g^L)

mela-lui proses seleksi kerangka Lorentz lokal di antara semua kerangka klasik lokal di atas manifold ruang-waktu M. Dari sini, secara fisis maupun matematis lebih men-guntungkan untuk merumuskan suatu hubungan yang kompatibel dengan metrik gL

langsung di untingan F M(g^L) (Prugove˘cki,1995).

Pada tataran fisis, karena manifold Lorentzian (M, g^L) diasumsikan

tersam-bung, dan terorientasi ruang dan waktunya, maka M dapat diliput oleh kerangka bergerak yang terorientasi putar-kanan untuk sumbu ruangnya dan terorientasi ke masa depan untuk sumbu waktunya. Karena pengangkutan sejajar fisis terhadap kerangka Lorentz klasik tidak membalik orientasi sumbu-sumbu keruangan atau arah perjalanan jam standar, maka F M(gL) dapat dibatasi lagi menjadi F M₀(gL) yang

terdiri dari kerangka-kerangka orthonormal {e_i|i =, 0, 1, 2, 3} yang vektor e₀-nya menunjuk ke arah masa depan, dan tripel keruangan {e_a|a = 1, 2, 3} semuanya

putar-kanan. Grup struktur F M0(g^L) adalah subgrup SO0(3, 1) dari SO(3, 1). SO(3, 1)

terdiri dari matrik real 4 × 4 tak-singular yang melestarikan metrik Minkowski di

R⁴ dan memiliki determinan sama dengan satu sehingga merupakan subgrup dari

O(3, 1). Grup SO₀(3, 1) yang biasa disebut sebagai grup Lorentz wajar

orthokro-nus merupakan subgrup terbesar dari SO(3, 1) yang tidak memuat pembalikan ruang atau pun waktu. Grup ini memainkan peranan sebagai grup tera jenis pertama untuk USU F M₀(g^L).

40

Aljabar Lie so(3, 1) merupakan ruang vektor berdimensi enam yang dapat diidentikkan dengan ruang singgung di atas unsur identitas dari SO0(3, 1). Sekarang

akan ditinjau turunan kovarian untuk hubungan yang kompatibel dengan metrik gL

di M yang dinyatakan dalam basis so(3, 1). Basis itu terdiri dari enam pembangkit "rotasi" Lorentz untuk masing-masing bidang-(ij). Pers. (IV.28) sekarang berbentuk

ω(X) = ω^ij(X)Y_ij, Y_ij ∈ T_eSO₀(3, 1), j > i = 0, 1, 2, 3. (IV.50)

Untuk menaikkan dan menurunkan indeks serta untuk mengeksploitasi sifat antisimetri terhadap pertukaran indeks (ij) dari pembangkit-pembangkit itu digu-nakan komponen metrik Minkowski η_ij, sehingga (IV.50) dapat berbentuk

ω(X) = ¹

2^ωij(X)Y

ij, ω_ij = −ω_ji, i, j = 0, 1, 2, 3. (IV.51)

Sekarang ditinjau sembarang untingan vektor (E, π_E, M, F ) yang

terasosi-asi dengan untingan kerangka Lorentz terbatterasosi-asi F M0(g^L) oleh suatu wakilan U dari SO0(3, 1) di serat tipikal F . Sesuai definisi, suatu tera vierbein dapat ditentukan di F M₀(gL) dengan memilih suatu penampang s dari F M₀(gL). Dengan

menggu-nakan (IV.51), operator turunan kovarian di (IV.33) dalam tera s berbentuk

∇_X = ∂_X+ ¹ 2^ω

s

ij(X) ˆM^ij_s, M^ˆji_s = − ˆM^ij_s, (IV.52)

dengan ˆMij

s merupakan pembangkit infinitesimal dari transformasi Lorentz yang mem-berikan "rotasi infinitesimal" sumbu-sumbu (ij) dari kerangka Lorentz lokal u =

s(x) di atas titik x ∈ M tempat turunan kovarian itu dihitung.

Hubungan-hubungan di LM yang kompatibel dengan metrik g di M mem-bentuk suatu kelas, yang unsur-unsurnya sering disebut sebagai hubungan

Riemann-Cartan. Hubungan yang digunakan Einstein dalam merumuskan TRU merupakan hubungan Riemann-Cartan yang memenuhi suatu syarat tambahan, yakni bebas torsi (Prugove˘cki,1995). Syarat bebas torsi untuk hubungan Riemann-Cartan didefinisikan sebagai lenyapnya operator torsi yang berbentuk

T(X, Y ) = ∇_XY − ∇_YX − [X, Y ]. (IV.53)

Syarat ini, yang ekivalen dengan syarat

∇XY − ∇YX = [X, Y ] := XY − Y X, (IV.54)

bersama dengan syarat kompatibilitas ∇g ≡ 0 memberikan identitas Ricci

X(g(Y , Z)) = g(∇XY , Z) + g(Y , ∇XZ), (IV.55)

untuk sembarang X, Y dan Z yang nilainya diberikan di T M dan didefinisikan pada suatu domain bersama. Dari (IV.54) dan (IV.55) dapat diperoleh hasil berikut

g(∇_XY , Z) =¹

2^{[X(g(Y , Z)) + Y (g(X, Z)) − Z(g(X, Y ))]} +¹

2^{[g(Z, [X, Y ]) − g(X, [Y , Z]) − g(Y , [X, Z]).}

(IV.56)

Hasil di atas berimplikasi suatu lemma terkenal yang disebut sebagai lem-ma fundamental geometri (pseudo-) Rielem-mannian. Lemlem-ma ini menyatakan bah-wa untuk sembarang manifold pseudo-Riemannian (M, g) terdapat suatu hubungan tunggal pada untingan kerangka linear LM yang bebas torsi dan kompatibel dengan metrik g di M. Hubungan itu disebut sebagai hubungan Levi-Civita atau hubungan Riemannian di (M, g) (Prugove˘cki,1995).

42

X = e_i, Y = ej dan Z = ek ke dalam (IV.56), dengan u = (e0, e₁, e₂, e₃)

merupakan kerangka linear yang termasuk dalam kerangka bergerak (IV.30) terpilih di LM. Dari sini dapat diperoleh kaitan berikut

Γⁱ_jk = θⁱ(∇_eje_k) = g^ilg(e_l, ∇_eje_k), g_jk = g(e_j, e_k), g^ijg_jk = δⁱ_k. (IV.57)

Kemudian diperoleh

∇_eie_j = Γ^k_ije_k, ∇_eiθ^j = −Γ^j_ikθ^k, (IV.58)

sehingga koefisien hubungan di (IV.57) secara tunggal menentukan semua potensial tera yang terkait dalam (IV.45) dan (IV.46). Hal ini berarti bahwa hubungan Levi-Civita secara lengkap ditentukan oleh medan metrik g karena, pada kasus dimana kerangka bergerak terpilih merupakan vierbein (yakni terdiri dari kerangka Lorentz lokal), dari (IV.52) dan (IV.57) diperoleh (Prugove˘cki,1995)

ω_ik(e_j) = Γ_ijk= η_ilΓ^l_jk. (IV.59)

Hubungan forma-1 dalam suatu kerangka bergerak di LM dapat diperoleh dengan melakukan transformasi (IV.48).

MELALUI UNTINGAN KERANGKA ORTHONORMAL

1. AKU dan Untingan Kerangka Orthonormal

Akhir-akhir ini, AKU diidentikkan dengan invariansi difeomorfisme model TRU (Prugove˘cki,1995). Dua model TRU yang diformulasikan di atas manifold yang sama, atau bahkan di atas manifold berbeda M dan M⁰, secara fisis ekivalen jika terdapat difeomorfisme ψ : M → M⁰, sedemikian rupa sehingga metrik Lorentzian

gL, kumpulan semua medan tensor (materi dan radiasi) dan kumpulan semua garis dunia partikel uji yang mungkin {x_β(t)} di M terkait dengan obyek-obyek sejenis di M0oleh difeomorfisme itu, seperti yang berikut ini

g → ψ_∗g, {T_α} → {ψ_∗T_α}, {x_β(t)} → {ψ(x_β(t)}. (V.1)

Seperti yang telah disebutkan dalam BAB II, Einstein pernah memberikan keterangan tambahannya untuk AKU dalam TRU. Ia mengatakan bahwa jika medan gravitasi yang dinyatakan sebagai fungsi g_ik dihilangkan, maka ruang yang terjadi bukan merupakan ruang Minkowski dan bahkan bukan pula merupakan ruang topol-ogis. Ia juga mengungkapkan bahwa konsep "ruang kosong" yang demikian tidaklah ada (Prugove˘cki,1995).

Pernyataan Einstein itu akhirnya membawa J. Stachel pada suatu kesimpulan bahwa meskipun titik-titik pada manifold secara matematis dikaitkan dengan suatu sistem koordinat, tetapi secara fisis belum memiliki arti apa-apa sebelum dihadirkan suatu medan tensor metrik di manifold itu. Titik-titik pada manifold tidak mewakili suatu peristiwa, melainkan lebih tepat untuk mengatakan bahwa pemetaan dari suatu

44

titik pada penampang lokal pada untinganlah yang lebih memiliki signifikansi fisis (Prugove˘cki,1995). Petunjuk ini memberikan gambaran bahwa konsep akhir Einstein mengenai AKU lebih tepat terkait dengan konsep kerangka di atas suatu manifold

daripada konsep sistem koordinat di dalam manifold.

Suatu titik u(x) = {e0(x), e1(x), e2(x), e3(x)} ∈ LM dapat dipandang

se-bagai kerangka lokal yang terdiri dari tiga "tongkat tegar", masing-masing dilabeli dengan e1(x), e₂(x), e₃(x), dan sekumpulan "jam standar", dilabeli dengan e₀(x).

Salah satu ujung dari setiap tongkat itu saling disatukan dan di sekitar titik persatu-an tongkat itulah terdistribusi jam-jam stpersatu-andar. Tetapi seperti ypersatu-ang telah diungkap-kan Einstein, baik M maupun LM tidak memiliki signifidiungkap-kansi fisis tanpa kehadiran metrik Lorentzian g^L. Metrik Lorentzian sendiri sebenarnya merupakan suatu real-itas fisis di sekitar kita dan bukan merupakan pilihan yang dapat dipertimbangkan oleh seorang pengamat terkait dengan suatu kejadian fisis. Dengan hadirnya metrik Lorentzian itu maka UKL LM dapat direduksi menjadi suatu UKL orthonormal (UK-LO) F M(gL) atau sering disebut juga dengan nama untingan kerangka Lorentz

den-gan grup struktur O(3, 1). Hal ini dapat dilakukan denden-gan cara mengidentikkan seti-ap kerangka linear {e₀(x), e₁(x), e₂(x), e₃(x)} dengan komponen e₀(x)-nya

meru-pakan vektor bak-waktu dengan suatu kerangka acuan lokal. Sesuai dengan prosedur yang diungkapkan Einstein (1916), maka digunakan isyarat cahaya untuk menguji yang manakah di antara berbagai macam himpunan terurut "tongkat tegar" yang di-labeli dengan {e1(x), e₂(x), e₃(x)} yang benar-benar memiliki panjang satu satuan

dan kemudian menguji yang mana sajakah di antara himpunan terurut "tongkat tegar" dengan panjang satu satuan ini yang saling tegak lurus. Kemudian dengan menggu-nakan isyarat cahaya juga, harus diuji yang manakah dari himpunan terakhir ini yang memiliki "jam standar", dilabeli dengan e₀(x) dan terletak di sekitar "tongkat tegar",

Jika dilakukan pelabelan ulang terhadap semua kerangka, benda uji, dan medan, verifikasi fisis ini tidak dapat membedakan di antara berbagai macam pilihan la-bel matematis {e₀(x), e₁(x), e₂(x), e₃(x)} asalkan pelabelan ulang itu terkait

den-gan suatu difeomorfisme seperti pada (V.1). Kebebasan dalam pelabelan ulang ini memberikan invariansi difeomorfisme model TRU. Invariansi jenis ini terlihat cukup serupa dengan kebebasan dalam pemilihan label koordinat, yang mendasari formu-lasi asli Einstein (1916) mengenai AKU. Sehingga dari sini dapat disimpulkan bahwa ide fisis yang mendasari pemikiran Einstein mengenai kovariansi umum dilandaskan pada konsep kerangka (klasik) di atas suatu manifold daripada konsep chart di dalam manifold (Prugove˘cki,1995). Kini dapat dinyatakan bentuk lain dari AKU sebagai berikut

"Hukum-hukum alam yang umum harus dapat dinyatakan secara sama menu-rut semua kerangka acuan (orthonormal) lokal."

Perumusan AKU di atas tidak menggunakan pernyataan "sistem koordinat" secara langsung dan telah memanfaatkan kehadiran metrik Lorentzian di alam ini.

Proses mereduksi LM menjadi F M(gL) dengan memanfaatkan kehadiran

metrik gL sendiri dapat dilakukan secara langsung sebagai berikut. Proyeksi dalam

F M(g^L) diperoleh dari LM dengan cara hanya mengijinkan proyeksi π_LM untuk memetakan kerangka-kerangka orthonormal saja dengan e₀ merupakan vektor bak-waktu. Dari sini, sembarang serat π_{F M}⁻¹ (x) dari F M(g^L) hanya terdiri dari kerangka

Lorentz lokal di atas x ∈ M. Hal ini berimplikasi bahwa perubahan kerangka,

u · Λ = (e⁰₀, e⁰₁, e⁰₂, e⁰₃), e_i⁰ = e_jΛ^j_i, u, u⁰ ∈ π_{F M}⁻¹ (x) ⊂ F M(g^L), (V.2)

hanya akan dilakukan oleh matriks yang merupakan anggota grup O(3, 1) yang dise-but sebagai grup orthogonal semu. Grup ini bersifat melestarikan produk skalar Minkowski di R4. Di kalangan fisikawan, grup ini disebut sebagai grup Lorentz.

46

Karena pelestarian produk skalar Minkowski berlaku jika dan hanya jika

Λ_i^kη_klΛ_j^l= η_ij, Λ = Λⁱ_j ∈ O(3, 1), (V.3)

grup ortogonal semu juga dapat didefinisikan sebagai berikut

O(3, 1) = {Λ ∈ GL(4, R)|Λ^TηΛ = η}, η = kη_ijk , (V.4)

dengan η merupakan metrik Minkowski pada teori relativitas khusus. Jelas grup

O(3, 1) merupakan grup struktur dari F M(gL).