BAHAN AJAR (Hand Out)
B. Hukum dan aturan aljabar Boolean
Untuk dapat menggunakan aljabar Boolean dengn baik, ada beberapa peraturan dan hokum yang harus diikuti. Aturan-aturan dan hokum tersebut adalah aturan penjumlahan dan perkalian, hukum asosiasi pada penjumlahan dan perkaian, hukum distribusi dan 12 aturan dasar aljabara Boolean.
Hukum Aljabar Boolean
Hukum dasar aljabar Boolean adalah hukum komutatif dan asosiatif untuk penjumlahan dan perkalian serta hokum distributive sama seperti pada aljabar pada umumnya. Setiap hokum diilustrasikan dengan dua atau tiga variable, namun tidak ada batasan untuk jumlah variable untuk ini.
Hukum komutatif
Hukum komutatif penjumlahan untuk dua variable ditulis sebagai A + B = B + A
Hukum ini menyatakan bahwa urutan variable dalam operasi OR tidak berpengaruh terhadap hasil operasi. Gambar 5.3 mengilustrasikan hukum komutatif yang diaplikasikan pada gerbang OR dan tidak berpengaruh terhadap urutan pada masukan.
Gambar 5.3 Hukum komutatif pada penjumlahan (gerbang OR) Hukum komutatif untuk perkalian dua variable dapat ditulis sebagai
AB = BA
Urutan variable tidak akan berpengaruh terhadap kondisi keluaran atau hasil dari operasi gerbang AND. Aplikasi hokum komutatif ini dalam gerbang AND seperti ditunjukan dalam Gambar 5.4.
Gambar 5.4 Hukum komutatif pada perkalian (gerbang AND)
Hukum asosiasi
Untuk tiga variable hukum asosiasi penjumlahan dapat ditulis seperti A + (B + C) = (A + B ) + C
Hukum ini menyatakan penjumlahan variable lebih dari dua (operasi OR), hasil operasi akan sama untuk pengelompokan masukan yang berbeda.lustrasi penerapan huum ini pada gerbang Or seperti Gambar 5.5.
Gambar 5.5 Hukum asosiasi penjumlahan pada gerbang OR
Sementara itu, untuk perkalian hukum asosiasi menyatakan A(BC) = (AB)C
Dari persamaan ini dapat disimpulkan bahwa tidak ada perbedaan hasil akibat perubahan dalam pengelompokan variable. Dalam gerbang AND hokum ini dapat ditunjukan seperti pada Gambar 5.6.
Gambar 5.6 Hukum asosiasi perkalian pada gerbang AND
Hukum distribusi
Hukum distribusi penjumlahan untuk tiga variable dapat ditulis sebagai A (B + C) = AB + AC
Hukum ini menyatakan hasil operasi OR untuk dua atau lebih variable dan kemudian dilakukan operasi AND sama hasilnya dengan melakukan operasi AND satu variable terhadap satu atau dua variable lainya kemudian dilakukan operasi OR. Sebagai ilustrasi dari hukum ini dalam rangkaian logika dapat diperhatikan pada gambar 5.7.
Gambar 5.7 Penerapan hukum distribusi dala rangakain logika
Aturan Aljabar Boolean
Untuk menyederhanakan dan merubah ekspresi Boolean dapat digunakan 12 aturan dasar seperti terdapat dalam Tabel 5.1. Aturan 1 hingga 9 untuk penerapan pada
gerbang logika, sementara aturan 10 hingga 12 aturan dan hokum sederhana seperti yng telah diuraiakan sebelumnya.
Tabel 5.1 Dua belas aturan dasar
No Aturan No Aturan 1 A + 0 = A 7 A . A = A 2 A + 1 = 1 8 A . = 0 3 A . 0 = 0 9 = A 4 A . 1 = A 10 A + AB = A 5 A + A = A 11 A + B = A + B 6 A + = 1 12 (A+B)(A+C) = A + BC
Aturan 1. A + 0 = A
Sebuah variable di OR kan dengan 0 akan selalu sama dengan variable itu sendiri. Jika variable A bernilai 1 maka keluaran variable X adalah 1 atau sama dengan nilai A. Jika A nilainya 0 maka keluarannya akan sama dengan nilai A yaitu 0. Penerapan aturan ini dalam gerbang logika seperti Gambar 5.8 dimana salah satu masukan selalu bernilai 0.
Gambar 5.8 Aturan 1 dalam gerbang OR
Aturan 2. A + 1 = 1
Jika variable A di OR kan dengan 1 maka akan selalu memiliki keluaran 1. Aturan ini seperti diilustrasikan pada Gambar 5.9 dengan salah satu masukan dijaga bernilai 1.
Gambar 5.9 Aturan 2 dalam gerbang OR
Aturan 3. A . 0 = 0
Apabila sebuah variable di AND kan dengan 0 maka keluarannya akan selalu bernilai 0. Jika salah satu saja dri masukan gerbang AND bernilai 0 maka keluaranya akan bernilai 0. Ilustrasi aturan ini dapat diperhatikan dalam Gambar 5.10.
Gambar 5.10 Aturan 3 dalam gerbang AND
Aturan 4. A . 1 = A
Jika sebuah variable di AND kan dengan 1 maka keluaran akan sama dengan variable itu sendiri. Dalam gerbang AND salah satu masukanya dibuat tetap bernilai 1 seperti Gambar 5.11.
Gambar 5.11 Aturan 4 dalam gerbang AND
Aturan 5. A + A = A
Sebuah variable di OR kan dengan variable itu sendiri akan menghasilkan keluaran sama dengan variable tersebut. Gambar 5.12 manampilkan gerbang OR dengan kedua masukan terdiri atas variable yang sama.
Gambar 5.12 Aturan 5
Aturan 6. A + = 1
Sebuah variable di OR kan dengan komplemennya (lawannya) akan selalu sama dengan 1. Jika nilai A = 0 maka 0 + = 0 + 1 = 1. Dalam rangkain gerbang OR aturan ini terlihat seperti dalam Gambar 5.13.
Gambar 5.13 Aturan 6 dalam gerbang OR
Aturan 7. A . A = A
Jika sebuah variable di AND kan dengan variable itu sendiri maka keluaran akan sama dengan variable tersebut. Ilustrasi aturan ini dalam gerbang AND seperti terlihat dalam Gambar 5.14
Aturan 8. A . = 0
Sebuah varibel di AND kan dengan komplemenya akan menghasilkan keluaran sama dengan 0. Gambar 5.15 menampilkan rangkaian logika untu aturan 8.
Gambar 5.15 Rangkaian gerbang logika aturan 8
Aturan 9. = A
Komplemen dua kali dari suatu variable akan sama dengan variable itu sendiri. Aturan ini ditunjukan dalam rangakain logika pada Gambar 5.16.
Gambar 5.16 Rangkaian logika komplemen dua kali
Aturan 10. A + AB = A (1 + B )
Aturan ini menerapkan hukum distribusi, aturan 2 dan aturan 4. Secara aljabar Boolean dapat ditunjukan bahwa
A + AB = A (1+B) hokum distribusi = A.1 aturan 2 (1+B) = 1 = A aturan 4 A.1 = A
Rangkaian logika dan table kebenarannya dapat diperhatikan seperti pada Gambar 5.17 dan Tabel 5.2.
Tabel 5.2 Tabel kebenaran aturan 10
Gambar 5.17 rangkaian logika aturan 10
Aturan 11. A + B = A + B
Aturan ini dapat dibuktikan dengan beberapa aturan dan hokum seperti berikut
A + B = (A + AB) + B Aturan 10; A = A+AB
= (AA + AB) + B Aturan 7; A = AA
= AA + AB + A + B Aturan 8; penjumlahan = 0 = (A + )(A + B) Hukum distribusi
= 1. (A + B) Aturan 6; A + = 1
= A + B Aturan 4
Ilustrasi rangkaian gerbang logika dan table kebenaran dapat diperhatikan pada Gambar 5.18 dan Tabel 5.3
Gambar 5.18 Rangkaian logika aturan 11
Tabel 5.3 Table kebenaran aturan 11
Aturan 12. (A + B)(A + C) = A + BC
Pembuktian aturan ini dapat diperhatikan seperti uraian berikut
(A + B)(A + C) = AA + AC + AB + BC Hukum distributive = A + AC + AB + BC Aturan 7
= A (1+C) + AB + BC Hukum distributive = A.1 + AB + BC Aturan 2
= A(1+B) + BC Huum distribusi = A.1 + BC Aturan 2
= A + BC Aturan 4
Rangkaian logika dan table kebenaran seperti terlihat pada Gambar 5.19 dan Tabel 5.4.
Gambar 5.19 Rangkaian logika aturan 12
BAHAN AJAR (Hand Out)
Bahan Kajian : Elektronika Digital Kode : ...
SKS : 3
Program Studi : Fisika
Pertemuan ke : 6
Dosen : Yohandri, Ph.D
Learning Outcomes (Capaian Pembelajaran) bahan kajian terkait KKNI : Menganalisis rangkaian kombinasi logika.
Materi :
1. Rangkaian kombinasi logika dasar 2. Penerapan kombinasi logika
Uraian Materi
A. Rangkaian kombinasi logika dasar