4 , dengan nilai
F. Invers M atriks
Invers m at riks dari A adalah m at riks B sehingga AB = BA = I, hal ini berlaku jika A adalah m at riks bujur sangkar dan A dapat dibalik (invert ible). Not asi unt uk m enyat akan invers m at riks A adalah . Sement ara unt uk mencari dapat m enggunakan rum us
, Ket erangan:
adjoin m at riks A
diperoleh dari ment ranspose m at riks kofakt or (m at riks yang t erbent uk m elalui kofakt or -kofakt or yang bersesuaian)
67 Contoh 5.13
Apabila A adalah m at riks berordo 2x2 dan
Bagaim anakah yang t erbent uk.
Sebelum m encari kit a cari t erlebuh dahulu dan
, , , , sehingga m at riks kofakt or
Jadi M aka
Hasil akhir di at as dapat menjadi sebuah rumus prakt is yang digunakan unt uk m endapat kan invers suat u m at riks yang berordo 2x2.
Contoh 5.14
Dengan m enggunakan A pada cont oh 5.11, berapakah Sebelum nya t elah diperoleh bahw a
Dengan m enggunakan rum us diperoleh
Sehingga m at riks kofakt or
Jadi
68 G. Rangkuman
1. M at riks adalah susunan bilangan-bilangan dalam bent uk baris dan kolom yang m em bent uk suat u persegipanjang.
2. M at riks yang t erdiri dari m x n unsur (biasa disebut ordo mxn) dengan m enyat akan banyak baris dan n m enyat akan banyak kolom .
3. Jika A adalah suat u m at riks yang mem iliki unsur-unsur pada baris ke i dan unsur-unsur pada baris j, m aka bent uk umum m at riks A dit uliskan dengan
at au
Ket erangan:
A : M at riks A
: M at riks A berordo
: Unsur m at riks A pada baris 1 kolom 2 : Unsur m at riks A pada baris m kolom n
: M at riks A yang m em iliki i baris dan j kolom
4. Jenis-jenis m at riks diant aranya adalah m at riks baris, m at riks kolom , m at riks nol, m at riks negat if , m at riks bujur sangkar, m at r iks diagonal, m at riks skalar, m at riks ident it as, m at riks t ranspose, m at riks sim et ris, dan m at riks singular .
5. Dua m at riks dikat akan sam a jika kedua m at riks t ersebut m em iliki ukur an yang sam a dan unsur -unsur yang bersesuaian pada kedua m at riks t ersebut sam a. 6. Oper asi Penjum lahan M at riks
Jika A dan B adalah sebarang dua m at riks yang ukurannya sam a, m aka A + B
m erupakan m at riks yang diperoleh dengan menam bahkan unsur-unsur yang bersesuaian pada A dan B.
7. Sifat -sifat yang berlaku pada penjum lahan m at riks adalah a. A + B = B + A (sif at kom ut at if)
b. A + (B + C) = (A + B) + C (sif at asosiat if)
69 8. Oper asi Pengurangan M at riks
Jika A dan B adalah sebarang dua m at riks yang ukurannya sam a, m aka A - B m erupakan m at riks yang diperoleh dengan m engurangkan unsur -unsur yang bersesuaian pada A dengan B.
9. Pada operasi pengurangan t idak berlaku sifat kom ut at if dan sifat asosiat if . 10. Perkalian skalar dengan m at riks
Jika c adalah suat u skalar dan A adalah suat u m at riks A, m aka hasil kali cA adalah m at riks yang diperoleh dengan m engalikan c pada set iap unsur A.
11. Sifat -sifat yang berlaku pada perkalian skalar dengan m at riks adalah a. (-1)A = -A
b. A + (-B) = A + (-1)B
c. A + (-A) = A A = 0
d. (sif at kom ut at if)
e. (sif at dist r ibut if)
f. g.
h. (sif at asosiat if)
12. Perkalian m at riks dengan m at riks
Jika A adalah m at riks berordo mxn dan B adalah m at riks berordo nxr, Hasil kali A
dan B adalah suat u m at riks (m isal C) yang m em iliki ordo mxr. Set iap elem en dari
C (m isal cij) diperoleh dari jum lah hasil kali unsur-unsur baris ke-i dari A dengan unsur-unsur kolom ke-j dari B.
13. Sifat -sifat yang berlaku pada perkalian m at riks dengan m at riks adalah
a. (sif at asosiat if)
b. (sif at dist r ibut if)
c. d. e.
f. (m em iliki m at riks ident it as)
14. Perpangkat an m at riks
Jika A m at riks bujur sangkar m aka berlaku A² = A.A ; A³=A².A dan set erusnya 15. M isal m at riks A merupakan m at riks bujur sangkar, biasanya fungsi det erm inan
70
det (A) at au sering juga disim bolkan , sem ent ara jum lah det (A) m erupakan det erm inan A.
16. Det erm inan m at riks A berordo 2x2, dengan m enggunakan hasil kali elem ent er adalah
17. Det erm inan m at riks A berordo 3x3, dengan m enggunakan hasil kali elem ent er (m et ode sarrus) adalah
18. M inor unsur yang dinot asikan dengan adalah det erm inan sub m at riks set elah m enghilangkan baris ke i dan kolom j dari A. Sem ent ara it u kofakt or
unsur adalah bilangan yang dinot asikan dengan .
19. M isal A adalah m at riks yang berukuran m xm sert a dan , m aka berlaku
(ekspansi kofakt or sepanjang baris i) dan
(ekspansi kofakt or sepanjang kolom j)
20. Invers m at riks dari A adalah m at riks B sehingga AB = BA = I, hal ini berlaku jika A adalah m at riks bujur sangkar dan A dapat dibalik (invert ible). Not asi unt uk m enyat akan invers m at riks A adalah . Sement ara unt uk m encari dapat m enggunakan rum us
, Ket erangan:
adjoin m at riks A
diperoleh dari m ent ranspose m at riks kofakt or (m at riks yang t erbent uk m elalui kofakt or-kofakt or yang bersesuaian)
71 H. Latihan
1. Diberikan m at riks-m at riks
Hit unglah
a. c. e. g.
b. d. f. h.
2. Dengan m enggunakan skalar dan m at riks-mat riks pada nom or 1, t unjukkan hubungan-hubungan berikut
a. d.
b. e.
3. Apabila m erupakan unsur pada baris kolom dari m at riks , t ent ukan di baris dan kolom m ana akan m uncul pada m at riks ?
4. Dengan m enggunakan m at riks-m at riks pada nom or 1, car ilah a.
b.
5. Dengan m enggunakan m at riks-m at riks pada nom or 1, bukt ikan bahw a
hubungan-hubungan dan adalah berikut
benar?. Apakah hubungan t ersebut berlaku secara um um unt uk sebarang dua m at riks yang berukuran sam a?. Jelaskan pendapat anda.
6. M isal adalah m at riks yang dapat dibalik dan invers dari adalah
Tent ukan, m at riks
7. M elalui ekspansi kofakt or, hit unglah det erm inan dari m at riks-m at riks berikut