4 , dengan nilai
C. Jenis-Jenis M atriks
Pada dasarnya jenis suat u m at r iks t ergant ung dari ordo dan unsur -unsurnya, berikut dijelaskan beberapa jenis-jenis m at riks.
1. M at riks baris adalah m at riks yang hanya t erdiri dari sat u baris, m at riks ini disebut juga vekt or baris, m isal:
2. M at riks kolom adalah m at riks yang hanya t erdiri dari sat u kolom , m at riks ini disebut juga vekt or kolom , m isal:
3. M at riks nol adalah mat riks yang mem iliki unsur nol sem ua, m isal:
4. M at riks negat if adalah m at riks yang sem ua unsurnya dikalikan dengan bilangan -1 at au sem ua unsurenya m erupakan bilangan negat if .
59
5. M at riks bujur sangkar adalah m at riks yang m em iliki ordo m xm at au mem iliki banyak baris dan kolom yang sam a, m at riks ini disebut juga m at riks persegi, m isal:
6. M at riks diagonal adalah m at riks bujur sangkar yang m em iliki sem ua unsur bilangan di at as dan di baw ah diagonal ialah 0, m at riks ini disim bolkan dengan huruf D, m isal:
7. M at riks skalar adalah m at riks diagonal yang mem iliki unsur bilangan yang sama pada diagonalnya, m isal:
8. M at riks ident it as adalah m at riks skalar yang set iap unsur bilangan pada diagonalnya ialah 1, m at riks ini disebut juga m at riks sat uan, m isal:
Suat u m at riks apabila dikalikan dengan m at riks sat uan m aka akan kem bali pada dirinya sendiri, m isal A.I=I.A=A
9. M at riks t ranspose adalah m at riks yang diperoleh dengan m enukarkan let ak unsur-unsur pada baris m enjadi let ak unsur-unsur pada kolom , dem ikian pula sebaliknya. Sim bol unt uk m enyat akan m at riks t ranspose dari m at riks A adalah
m isal:
10. M at riks sim et ris adalah m at riks bujur sangkar yang m emiliki sifat bahw a t ransposenya sam a dengan m at riks sem ula, m isal
11. M at riks singular adalah m at riks bujur sangkar yang m em iliki det erm inan 0 dan t idak m em iliki invers. Sebaliknya apabila m at riks bujur sangkar m em iliki det erm inan 0 dan m em iliki invers, m aka disebut m at riks non-singular.
60 D. Operasi dan Sifat -sifat M atriks
Sebelum m em bahas m engenai operasi dan sifat -sifat m at riks, akan lebih baik dipahami t erlebih dahulu t ent ang pengert ian dari kesam aan m at riks bahw a dua m at riks dikat akan sam a jika kedua m at riks t ersebut m em iliki ukuran yang sam a dan unsur-unsur yang bersesuaian pada kedua m at riks t ersebut sam a. Perhat ikan cont oh 5.3 berikut .
Contoh 5.3
Pada cont oh 5.3 mat riks A = B karena A dan B m em iliki ukuran yang sama dan unsur-unsur yang bersesuaian pun sam a. A karena m eski A dan C m em iliki ukuran yang sam a, nam un ada unsur bersesuaian yang t idak sam a yakni 7 dan 9. A karena t idak m em iliki ukuran yang sam a.
Operasi-operasi pada m at riks m enyebabkan kekhasan at au sifat -sifat pada m at riks yang dijelaskan sebagai berikut .
1. Penjum lahan m at riks
Jika A dan B adalah sebarang dua m at riks yang ukurannya sam a, m aka A
+ B m erupakan m at riks yang diperoleh dengan m enam bahkan unsur-unsur yang bersesuaian pada A dan B. Dalam hal ini art inya jika dua m at riks at au lebih m em iliki ukuran yang berbeda, maka m at riks-m at riks t ersebut t idak dapat dijum lahkan.
Contoh 5.4
Perhat ikan m at riks-m at riks
Sehingga
Namun A + C at au B + C t idak dapat dit ent ukan.
Sifat -sifat yang berlaku pada penjum lahan m at riks adalah a. A + B = B + A (sif at kom ut at if)
b. A + (B + C) = (A + B) + C (sif at asosiat if)
61 2. Pengurangan m at riks
Syarat operasi pengur angan sam a dengan operasi penjum lahan yakni ukuran m at riks yang dioperasikan harus sam a. Jika A dan B adalah sebarang dua m at riks yang ukurannya sam a, maka A - B m erupakan m at riks yang diperoleh dengan m engurangkan unsur -unsur yang bersesuaian pada A dengan
B.
Contoh 5.5
Pada cont oh 5.5 ini, kit a gunakan m at riks-m at riks pada cont oh 5.4 Sehingga
Namun A - C at au B - C t idak dapat dit ent ukan.
Berbeda dengan sifat -sifat yang berlaku pada penjum lahan m at riks, pada pengurangan m at riks t idak berlaku sifat kom ut at if dan sifat asosiat if. 3. Perkalian skalar dengan m at riks
Jika c adalah suat u skalar dan A adalah suat u m at riks A, m aka hasil kali
cA adalah m at riks yang diperoleh dengan mengalikan c pada set iap unsur A. Contoh 5.6
Perhat ikan m at riks berikut
Sehingga
Secar a int uit if, pada cont oh di at as dapat diperoleh inform asi bahw a jika A adalah sebarang m at riks m aka A m enyat akan (-1)A. Sert a, jika A dan B
adalah dua m at riks yang ukurannya sam a, m aka A B didefinisikan sebagai A + (-B) = A + (-1)B.
Sehingga sifat -sifat yang berlaku pada perkalian skalar dengan m at riks adalah
a. (-1)A = -A
b. A + (-B) = A + (-1)B
c. A + (-A) = A A = 0
62
e. (sif at dist r ibut if)
f. g.
h. (sif at asosiat if)
4. Perkalian m at riks dengan m at riks
Jika A adalah m at riks berordo m xn dan B adalah mat riks berordo nxr, Hasil kali A dan B adalah suat u m at riks (m isal C) yang m em iliki or do m xr. Set iap elem en dari C (m isal cij) diperoleh dari jum lah hasil kali unsur-unsur baris ke-i
dari A dengan unsur-unsur kolom ke-j dari B.
Dar i penjelasan t ersebut diket ahui bahw a syarat dua m at riks dapat dikalikan adalah banyak kolom m at riks pert am a harus sam a dengan banyak baris pada m at riks kedua, sehingga hasil perkalian t ersebut m em iliki ordo baru yakni banyak baris m at riks pert am a kali banyak kolom m at riks kedua.
Contoh 5.7
Perhat ikan m at riks berikut
Karena A adalah m at riks berordo 2x3 dan B adalah m at r iks beror do 3 x 3, m aka hasil perkalian A dan B adalah m at riks berordo 2x3 (m isal AB=C). Unt uk m endapat kan unsur-unsur C (cij), berikut perhitungannya
c11 = c12 = c13 = c21 = c22 = c23 = sehingga
Hasil kali A dan B di at as menghasilkan C, sekarang yang menjadi pert anyaan adalah apakah hasil kali B dan A m enghasilkan C? dengan kat a lain apakah perkalian m at riks dengan m at riks bersifat kom ut at if?. Perhat ikan bahw a B dan A t idak dapat dikalikan karena banyak kolom dari B t idak sama
63
dengan banyak bar is dari A. Sehingga perkalian m at riks dengan m at riks t idak bersifat kom ut at if at au .
Sifat -sifat yang berlaku pada perkalian m at riks dengan m at riks adalah sebagai berikut
a. (sif at asosiat if)
b. (sif at dist r ibut if)
c. d. e.
f. (m em iliki m at riks ident it as)
5. Perpangkat an m at riks
Perpangkat an m at riks An dengan n>1, n bilangan asli hanya dapat dilakukan jika A adalah m at riks bujur sangkar dan unsur -unsur hasil perpangkat an m at riks bukan m erupakan perpangkat an dari unsur -unsur A. Dengan dem ikian jika A m at riks bujur sangkar m aka berlaku A² = A.A ; A³=A².A dan set erusnya.
Contoh 5.8
Diberikan A adalah mat riks
Perhat ikan bahw a unsur-unsur yang bersesuaian pada bukan hasil kuadrat dari unsur-unsur pada A.
E. Determinan
Suat u m at riks yang mem iliki det erm inan hanyalah m at riks bujur sangkar, det erm inan dapat didefinisikan sebagai jum lah semua hasil kali elem ent er. Yang dimaksud dengan hasil kali elem ent er adalah set iap hasil kali n unsur dari m at riks t ersebut .
M isal m at riks A merupakan m at riks bujur sangkar, biasanya fungsi det erm inan disimbolkan dengan det , jum lah sem ua hasil kali elem ent er dari A disimbolkan det (A) at au sering juga disim bolkan , sement ara jum lah det (A) m erupakan det erm inan A.
64 Jika A adalah m at riks dengan
M aka det erm inan A dengan m enggunakan hasil kali element er adalah
Contoh 5.9
Diberikan A adalah m at riks
Sehingga
Jika A adalah m at riks dengan
M aka det erm inan A dengan m enggunakan hasil kali element er adalah
Cara m enent ukan det erm inan m at riks ordo 3x3 di at as sering kali disebut dengan m et ode sarrus, met ode ini hanya dapat digunakan unt uk m at riks berordo 3x3. Cara kerja m et ode ini adalah m enem pat kan dua kolom per t ama dari det erm inan aw al, lalu m enjum lahkan hasil kali unsur pada t iap diagonal dari kiri at as ke kanan baw ah yang dikurangi dengan jum lah hasil kali unsur pada t iap diagonal dari kiri baw ah ke kanan at as.
Contoh 5.10
Diberikan A adalah m at riks, t ent ukan det (A) m enggunakan m et ode sarrus
Det erm inan m at riks berordo 4x4 at au lebih dapat dihit ung m elalui ekspansi kofakt or, sebet ulnya car a ini dapat digunakan unt uk mencari det erm inan pada sem ua m at riks bujur sangkar yang mem iliki berordo berapapun t erm asu k ordo 2x2
65
dan 3x3. Nam un secara um um , cara sepert i pada cont oh 5.9 dan cont oh 5.10 sebelum nya banyak dipandang lebih m udah dan efekt if unt uk digunakan.
Sebelum m enggunakan ekspansi kofakt or, kit a harus m em aham i t erlebih dahulu m inor dan kofakt or suat u m at riks. M inor unsur yang dinot asikan dengan adalah det erm inan sub mat riks set elah menghilangkan baris ke i dan kolom j
dari A. Sem ent ara it u kofakt or unsur adalah bilangan yang dinot asikan dengan .
Contoh 5.11 Diberikan
M inor unsur adalah
Sedangkan kofakt or adalah
Perhat ikan bahw a set iap kali m encari , m aka selalu m encar i dan yang m em bedakan nilanya adalah t anda at au t anda . Hal ini dikarenakan pangkat i
dan j dari perpangkat an , oleh karena it u apabila dibuat suat u pola pangkat bilangan ganjil at au genap sebagai t anda unt uk m engisi unsur-unsur pada m at riks. M aka dapat dibuat pola sebagai berikut
M encari det em inan dengan m enggunakan ekspansi kofakt or dilakukan dengan car a m enam bahkan set iap hasil kali dari unsur-unsur suat u baris dengan kofakt or-kofakt ornya. M isal A adalah m at riks yang berukuran m xm sert a dan
66
(ekspansi kofakt or sepanjang baris i) dan
(ekspansi kofakt or sepanjang kolom j) Contoh 5.12
Dengan m enggunakan A pada cont oh 5.11, hit unglah det (A).
M isal det (A) dicari dengan m enggunakan ekspansi kofakt or sepanjang kolom 3.
Perhat ikan bahw a nilai det (A) ini sam a dengan nilai det (A) pada cont oh 5.10. M anakah penyelesaian yang lebih m udah dan sederhana? Tent u hal ini diserahkan pada pem baca unt uk m em ilihnya sebagai suat u st rat egi. M enurut anda m engapa pada cont oh di at as m enggunakan ekspansi kofakt or pada kolom ke 3? Bukan pada kolom yang lain at au suat u baris?. Andaikan kolom yang dipilih bukan ke-3, maka perhit ungannya akan sedikit lebih lam a. M em ang st rat egi dalam mem ilih ekspansi
kolom at au baris at au adalah dengan cara
m em ilih kolom at au baris yang m em iliki bilangan nol paling banyak.