Buku Ajar Matematika Dasar=

ii

BUKU AJAR

M ATEM ATIKA DASAR

M ohammad Faizal Amir, M .Pd.

Bayu Hari Prasojo, S.Si., M .Pd.

UM SIDA PRESS

iii

BUKU AJAR

M ATEM ATIKA DASAR

M ohammad Faizal Amir, M .Pd.

Bayu Hari Prasojo, S.Si., M .Pd.

Sidoarjo, 2016

iv

BUKU AJAR

M ATEM ATIKA DASAR

PENULIS

M ohammad Faizal Amir, M .Pd.

Bayu Hari Prasojo, S.Si., M .Pd.

Dit erbit kan Oleh:

UM SIDA PRESS

Jl. M ojopahit 666 B Sidoarjo

ISBN: 978-979-3401-38-6

Copyright© 2016.

1

KATA PENGANTAR

Puji syukur kehadirat Allah SWT at as segala anugerah dan rahm at -Nya, sehingga Buku Ajar M at em at ika Dasar unt uk Tingkat Perguruan Tinggi ini dapat t erselesaikan dengan baik.

Buku ajar M at em at ika Dasar ini t erdiri dari 8 Bab M at eri Perkuliahan, yang t erdiri dari (1) Sist em Bilangan Real; (2) Him punan; (3) Persam aan dan Pert idaksam aan Linear; (4) Fungsi; (5) M at riks; (6) Lim it dan Kekont inuan; (7) Turunan; (8) Int egral. M at eri ini m erupakan sat u kesat uan m at eri yang dipelajari oleh m ahasisw a secara m enyeluruh dan t ak t erpisahkan selam a sat u sem est er karena merupakan sat u kesat uan yang ut uh dalam Capaian Kom pet ensi di Rencana Pem belajaran Sem est er .

Tujuan dit erbit kan buku ini unt uk m em bant u m ahasisw a agar dapat m enguasai konsep m at em at ika dasar secara m udah, dan ut uh. Di sam ping it u pula, buku ini dapat digunakan sebagai acuan bagi dosen yang mengam pu m at a kuliah M at em at ika Dasar at aupun m at a kuliah m at em at ika yang lain. Isi buku ini m em uat 5 kom ponen ut am a yait u; pendahuluan, penyajian m at eri, rangkum an, lat ihan dan daft ar pust aka. Buku Ajar M at em at ika Dasar unt uk Tingkat Perguruan Tinggi ini dit erbit kan oleh UM SIDA Press. Buku Ajar ini m erupakan buku t erbit an edisi pert am a yang t ent unya masih but uh disem purnakan. Oleh karena it u, saran dan m asukan oleh para pengguna sangat kam i harapkan unt uk kesem purnaan isi buku ajar ini di m asa yang akan dat ang.

Semoga Buku Ajar ini dapat berm anfaat bagi mahasiswa, dosen dan siapa saja yang menggunakannya unt uk kem ajuan pendidikan di Universit as M uhamm adiyah Sidoarjo (UM SIDA) khususnya dan kem ajuan pendidikan di Indonesia pada um um nya.

Sidoarjo, Juni 2016

2 DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR

DAFTAR ISI ... 2

BAB I SISTEM BILANGAN REAL Pendahuluan ... 4

A. Him punan Bilangan ... 4

B. Bent uk Pangkat Akar dan Logarit m a ... 6

C. Rangkum an ... 14

D. Lat ihan ... 16

BAB II HIM PUNAN A. Pendahuluan ... 17

B. Pengert ian Him punan ... 17

C. Keanggot aan Him punan dan Bilangan ... 19

D. Penulisan Him punan ... 19

E. M acam -m acam Him punan ... 21

F. Relasi Ant ar Him punan ... 23

G. Oper asi Him punan ... 26

H. Sifat -sfat Operasi pada Him punan ... 29

I. Rangkum an ... 29

J. Lat ihan ... 33

BAB III PERSAM AAN DAN PERTIDAKSAM AAN LINIER A. Pendahuluan ... 35

B. Persam aan Linier Sat u Variabel ... 35

C. Persam aan Ekuivalen ... 37

D. Persam aan Linier Bent uk Pecahan Sat u Variabel ... 37

E. Pert idaksam aan Linier Sat u Variabel ... 38

F. Pert idaksam aan Linier Bent uk Pecahan Sat u Variabel ... 40

G. Rangkum an ... 41

H. Lat ihan ... 42

BAB IV FUNGSI A. Pendahuluan ... 43

B. Pengert ian Fungsi ... 43

C. Sifat Fungsi ... 44

D. Jenis Fungsi... 46

E. Rangkum an ... 53

F. Lat ihan ... 55

BAB V M ATRIKS A. Pendahuluan ... 57

B. Pengert ian M at riks ... 57

C. Jenis-jenis M at riks ... 58

D. Oper asi dan Sifat -sifat M at riks ... 60

E. Det erm inan ... 63

F. Invers M at riks ... 66

G. Rangkum an ... 68

H. Lat ihan ... 71

BAB VI LIM IT DAN KEKONTINUAN A. Pendahuluan ... 72

3

C. Sifat -sifat Lim it ... 73

D. Lim it Bent uk Tak Tent u ... 74

E. Lim it Bent uk Trigonom et ri ... 77

F. Kekont inuan ... 78

G. Rangkum an ... 79

H. Lat ihan ... 80

BAB VII TURUNAN A. Pendahuluan ... 81

B. Pengert ian Turunan ... 81

C. At uran-at uran Turunan ... 82

D. Turunan Trigonom et ri ... 85

E. spit al ... 86

F. At uran Rant ai ... 87

G. Turunan Tingkat Tinggi ... 89

H. Rangkum an ... 89

I. Lat ihan ... 91

BAB VIII INTEGRAL A. Pendahuluan ... 93

B. Int egral Sebagai Ant i Turunan ... 93

C. Rum us Dasar Int egral ... 94

D. Teknik Int egr al Subst it usi ... 98

E. Int egral Parsial ... 101

F. Int egral Tent u ... 103

G. Rangkum an ... 104

H. Lat ihan ... 105

DAFTAR PUSTAKA ... 107

INDEKS M ATERI ... 108

4 BAB I

SISTEM BILANGAN REAL

A. Pendahuluan

Dalam M at em at ika Dasar t er dapat konsep dari him punan obyek-obyek,

khususnya t ent ang konsep him punan dari bilangan-bilangan yang banyak sekali

dit erapkan unt uk m at em at ika lebih lanjut m aupun penerapan di bidang-bidang

yang lain. Him punan bilangan yang pent ing unt uk diket ahui adalah him punan

bilangan Asli, him punan bilangan Cacah, him punan bilangan Bulat , himpunan

bilangan Rasional, him punan bilangan Irrasional (t ak t erukur), dan him punan

bilangan Real. Sifat -sifat dari bilangan ini akan digunakan dalam Bent uk Pangkat ,

Penarikan Akar, dan Logarit m a.

Diharapkan mahasisw a dapat m em ahami konsep him punan bilangan yang

pent ing unt uk diket ahui dan m am pu menggunakan sifat-sifat dar i him punan

bilangan diant aranya yait u Bent uk Pangkat , Penarikan Akar, dan Logarit m a.

B. Himpunan Bilangan

Konsep dari him punan obyek-obyek yang paling pent ing dipelajari unt uk

m at em at ika lebih lanjut adalah konsep dari him punan bilangan-bilangan. Beber apa

konsep dari him punan bilangan-bilangan t ersebut diant aranya adalah him punan

bilangan Asli, him punan bilangan Cacah, him punan bilangan Bulat , himpunan

bilangan Rasional, him punan bilangan Irrasional (t ak t erukur), dan him punan

bilangan Real.

1. Him punan bilangan Asli at au disebut juga him punan bilangan bulat posit if dapat

dit ulis sebagai : N

2. Him punan bilangan Cacah dit ulis : W

3. Him punan bilangan Bulat dit ulis : I 3, 2, -4. Him punan bilangan Rasional / Terukur dit ulis :

0

Q

yait u bilangan yang dapat dinyat akan sebagai

5

Dengan dem ikian bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dit ulis dalam

bent uk pecahan

b

a

dengan a dan b bilangan bulat dan

b

0

. Adapun him punan bilangan rasional t erdiri dari bilangan bulat , bilangan pecahan m urni,

dan bilangan pecahan desim al.

5. Him punan bilangan Irrasional (t ak t erukur) dit ulis :

Q

'

x

x

Q

yaitu bilangan yang t idak dapat dinyat akan sebagai hasil bagi ant ara dua bilangan

bulat (pecahan), t api dapat dinyat akan dengan bilangan desim al t ak t ent u at au

2

sebagainya.

6. Him punan bilangan Real (nyat a) dit ulis :

R

x

x

bilangan

Real

. Bilangan rasional dan Irrasional m erupakan him punan bilangan real.

Dengan dem ikian, him punan bilangan Asli adalah subset dari him punan

bilangan Cacah. Him punan bilangan Cacah adalah subset dari him punan bilangan

Rasional. Sedangkan him punan bilangan baik Rasional m aupun Irrasional disebut

him punan bilangan Real. Him punan bilangan yang t idak Real adalah him punan

bilangan Im aginer at aupun him punan bilangan Kom pleks. Him punan-him punan

bilangan di at as dapat dit ulis dalam bent uk subset sebagai berikut :

R

Q

I

W

N

Sifat Ket idaksam aan Bilangan Real

a. Sem barang bilangan Real a dan b, dapat t erjadi salah sat u dari t iga hal yait u : a <

b, b < a, at au a = b.

b. Jika a < b dan b < c m aka a < c .

c. Jika a < b, m aka a + c < b + c unt uk sem bar ang nilai c.

d. Jika a < b dan c > 0 m aka ac < bc.

e. Jika a < b dan c < 0 m aka ac > bc.

Sist em bilangan Real dibent uk at as dasar sist em bilangan Asli, di m ana sem ua

sifat -sifat nya dapat dit urunkan. Jika x, y, dan z adalah bilangan Real m aka sifat -sifat

bilangan Real adalah :

a. Sifat kom ut at if unt uk penjum lahan

6 b. Sifat kom ut at if unt uk perkalian

x.y = y.x

c. Sifat assosiat if unt uk penjum lahan

x + (y + z) = (x + y) + z

d. Sifat assosiat if unt uk perkalian

x (yz) = (xy) z

e. Sifat dist r ibut if

x (y + z) = xy + xz

f. Jika x dan y dua bilangan Real, m aka t erdapat suat u bilangan Real z sehingga x +

z = y. Bilangan z ini kit a nyat akan dengan y x dan disebut selisih dari y dan x.

Selisih x x kit a nyat akan dengan sim bol 0. Sim bol 0 ini selanjut nya disebut nol.

g. Terdapat paling sedikit sat u bilangan real x x dan y dua bilangan Real

dengan x z dem ikian sehingga x.z = y.

Bilangan z ini kit a nyat akan dengan

x

y

dan disebut hasil bagi dari y dan x. Hasil

bagi x dan x dinyat akan dengan sim bol 1, yang selanjut nya disebut sat u dan

t idak bergant ung pada x.

C. Bentuk Pangkat, Akar dan Logaritma 1. Bentuk Pangkat Bulat

Definisi

Fungsi not asi pangkat salah sat unya adalah unt uk m enyederhanakan penulisan

at au m eringkas penulisan. Cont oh, 10.000.000,- dapat dit ulis dengan not asi

pangkat 107. Not asi pangkat dapat m enghem at t em pat , sehingga not asi pangkat

banyak digunakan dalam perum usan dan penyederhanakan perhit ungan.

Pangkat Bulat Positif

Perkalian berulang dari suat u bilangan dapat dinyat akan dalam bent uk bilangan

berpangkat bilangan bulat posit if.

Cont oh:

2 = 21

2 . 2 = 22

2 . 2 . 2 = 23

7 2 . 2 . 2 . 2 . 2 = 25

2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 = 26

Bent uk 26 6 disebut bilangan berpangkat bulat

posit if. Bilangan 2 disebut bilangan pokok at au bilangan dasar dan bilangan 6

yang dit ulis agak di at as disebut pangkat at au eksponen. Secara um um bilangan

berpangkat dapat dit ulis :

Tent ukan nilai dar i persam aan berikut unt uk nilai variabel yang dit ent ukan.

1.

x

3

2

x

2

3

x

4

unt uk x = 2

Sifat-sifat Pangkat Bulat Positif

Pada bilangan berpangkat bulat posit if dapat dilakukan beberapa operasi aljabar

sepert i : perkalian, pem angkat an, dan pem bagian unt uk bilangan berpangkat

bulat posit if. Perhat ikan t eorem a-t eor em a unt uk bent uk perkalian,

pem angkat an, dan pem bagian dari bilangan berpangkat bulat posit if berikut :

8

Pangkat Bulat Negatif dan Nol

Jika pada bent uk perpangkat an pangkat dari bilangan dasar kurang dari sat u dan

nol m aka akan diperoleh pangkat bilangan bulat negat if dan nol.

Contoh 1.5

3-1 ; 3-2 ; 3-3 ; 3-4 ; 3-5 ; dan 30

a-1 ; a-2 ; a-3 ; a-4 ; a-5 a-n ; dan a0

Unt uk m endefinisikan an dengan a bilangan real dan n bilangan bulat negarif dan

nol, m aka dapat digunakan t eorem a-t eorem a perpangkat an pada bilangan bulat

9 dengan t anda akar disebut bent uk akar.

Contoh 1.6

1. Karena 52 = 25 m aka

25

5

2. Karena 82 = 64 m aka

64

8

Contoh 1.7

Bent uk-bent uk berikut merupakan cont oh bent uk akar :

21

Oper asi aljabar sepert i penjum lahan, pengurangan, perkalian, dan pem bagian dapat juga dilakukan t erhadap bent uk akar. Operasi t ersebut digunakan unt uk m erasionalkan penyebut yang dinyat akan dalam bent uk akar. Oper asi-operasi aljabar t ersebut adalah sebagai berikut :

10

M erasionalkan Pecahan Bentuk Akar

Suat u pecahan yang penyebut nya m engandung bent uk akar dapat disederhanakan bent uknya dengan cara m erasionalkan bent uk akar yang ada pada penyebut nya. Unt uk merasionalkan bent uk pecahan dar i penyebut t ersebut m aka pem bilang dan penyebut harus dikalikan dengan bent uk rasional dari bent uk akar yang ada pada penyebut nya. Di baw ah ini bent uk-bent uk rum usan unt uk penyederhanaan pecahan yang m engandung bent uk akar :

a.

Rasionalkan penyebut pecahan berikut :

11

bilangan berpangkat pecahan yait u

_b

n

1

hasilnya akan m erupakan bilangan Irrasional. Jika nilai realnya diperlukan m aka sebaiknya m enggunakan alat hit ung sepert i kalkulat or at au komput er.

12 harus posit if dan 1. Jika bilangan pokok bernilai 10, m aka bilangan pokok 10 ini biasanya t idak dit ulis. M isalkan 10log b = log b.

Jika bilangan pokoknya e at au bilangan euler dim ana e = 2,718281828 m aka nilai logar it m a dinyat akan dengan ln yait u singkat an dari logarit m a nat ural.

M isal : elog b = ln b

Sifat -sifat logarit m a digunakan unt uk menyederhanakan bent uk pernyat aan dalam logarit m a dan juga dapat mem bant u dalam penent uan nilai logarit m anya. Berikut ini adalah sifat -sifat logarit m a :

a. Logarit m a dari perkalian

a

log M N = alog M + alog N, dimana a > 0 1,M > 0dan N > 0 Contoh 1.12

13 c. Logarit m a dari perpangkat an

a

e. Perpangkat an dengan logarit m a

14 D. Rangkum an

1. Him punan bilangan Real (nyat a) dit ulis :

R

x

x

bilangan

Real

Bilangan rasional dan Irrasional m erupakan him punan bilangan real.

2. Sifat Ket idaksam aan Bilangan Real

a. Sem barang bilangan Real a dan b, dapat t erjadi salah sat u dari t iga hal yait u :

6. Oper asi aljabar pada bent uk akar

15

7. M erasionalkan pecahan bent uk akar

a.

8. Logarit m a merupakan invers at au kebalikan dari eksponen at au perpangkat an. Jika an = b dengan a > 0dan 1makaalog b = p

9. Sifat -sifat Logarit m a a. Logarit m a dari perkalian

a

c. Logarit m a dari perpangkat an

16 e. Perpangkat an dengan logarit m a

M

a

alogM , dimana a > 0, a 1, M > 0

E. Latihan

1. Gam barkan dalam suat u skem a t ent ang pem bagian sist em bilangan real! 2. Selesaikan soal berikut :

a. 2-3 . 27

17 BAB II HIM PUNAN

A. Pendahuluan

Konsep him punan m erupakan suat u konsep yang t elah banyak m endasari perkem bangan ilm u penget ahuan, baik pada bidang m at em at ika it u sendiri m aupun pada disiplin ilm u lainnya. Perkem bangan pada disiplin ilm u lainnya t erut am a dalam hal pem bent ukan model diharuskan m enggunakan him punan / kelom pok dat a observasi dari lapangan. Dengan dem ikian t erlihat jelas begit u pent ing peran dari konsep him punan, dan sebagai aw al dari bahasan buku ajar ini akan dibahas pengert ian him punan, cara penyajian him punan, m acam -m acam him punan, relasi pada him punan dan operasi-operasi him punan.

Diharapkan m ahasisw a dapat m endeskripsikan pengert ian him punan, m enuliskan him punan dalam berbagai cara penulisan him punan, m enyebut kan m acam -m acam himpunan, m enent ukan relasi pada him punan dan m enggunakan operasi-operasi him punan.

B. Pengertian Himpunan

Ist ilah himpunan dalam m at em at ika berasal dar i kat a dalam bahasa Inggr is. Kat a lain yang sering digunakan unt uk m enyat akan himpunan ant ara lain kum pulan, kelas, gugus, dan kelom pok. Secar a sederhana, ar t i dari him punan adalah kumpulan objek-objek (real at au abst rak). Sebagai cont oh kum pulan buku-buku, kum pulan m at erai, kum pulan mahasisw a di kelasm u, dan sebagainya. Objek-objek yang dim asukan dalam sat u kelom pok haruslah m em punyai sifat -sifat t ert ent u yang sam a. Sifat t ert ent u yang sam a dari suat u him punan har us didefinisikan secara t epat , agar kit a t idak salah m engum pulkan objek-objek yang t erm asuk dalam him punan it u. Dengan kat a lain, him punan dalam pengert ian m at em at ika objeknya / anggot anya harus t ert ent u (w elldef ined), jika t idak ia bukan himpunan.

18

m at em at ika. Dem ikian juga dengan konsep him punan kosong dalam mat em at ika, t idak ada ist ilah t ersebut dalam pengert ian sehari-hari.

Cont oh kum pulan yang bukan him punan dalam pengert ian m at em at ika adalah kum pulan bilangan, kum pulan lukisan indah, dan kumpulan m akanan lezat

Pada cont oh di at as t am pak bahw a dalam suat u kum pulan ada objek. Objek t ersebut bisa abst rak at au bisa juga kongkrit . Pengert ian abst rak sendiri berart i hanya dapat dipikirkan, sedangkan pengert ian kongkrit selain dapat dipikirkan m ungkin ia bisa dilihat , dirasa, diraba, at au dipegang. Pada cont oh (1) objeknya adalah bilangan (abst rak). Objek t ersebut belum t ert ent u, sebab kit a t idak bisa m enent ukan bilangan apa saja yang t erm asuk dalam him punan t ersebut . Pada cont oh (2) dan (3), masing-m asing objeknya adalah lukisan dan m akanan, jadi ia kongkrit . Nam un dem ikian kedua objek t ersebut belum t ert ent u, sebab sifat indah dan lezat adalah relat if, unt uk set iap orang bisa berlainan.

Sekarang m arilah kit a pelajari cont oh kumpulan yang m erupakan him punan dalam pengert ian m at emat ika. M isal (1) kum pulan bilangan asli, (2) kumpulan bilangan cacah kur ang dari 10, (3) kum pulan w arna pada bendera RI, (4) kum pulan hew an berkaki dua, dan (5) kum pulan m anusia berkaki lim a

Pada kelim a cont oh di at as kum pulan t ersebut m em iliki objek (abst rak at au kongkrit ), dan sem ua objek pada him punan t ersebut adalah t ert ent u at au dapat dit ent ukan. Pada cont oh (1), (2), dan (3) objeknya abst rak, sedangkan pada cont oh (4) dan (5) objeknya kongkrit . Khusus unt uk cont oh (5) banyaknya anggot a 0 (nol), jadi ia t ert ent u juga. Unt uk hal yang t erakhir ini biasa disebut him punan kosong (empt y set), suat u konsep him punan yang didefinisikan dalam m at em at ika. Pem bicar aan lebih rinci m engenai him punan kosong akan dibahas pada bagian lain.

Terkait dengan pengert ian him punan, berikut adalah hal-hal yang harus anda cerm at i dan ingat , yait u objek-objek dalam suat u him punan m est ilah berbeda, art inya t idak t erjadi pengulangan penulisan objek yang sam a.

19 C. Keanggotaan Himpunan dan Bilangan Kardinal

Suat u him punan dinyat akan dengan huruf kapit al, sepert i A, B, C, D

unt uk m enyat akan himpunan it u sendiri dinot asikan dengan t anda kurung kuraw al (aqulade). Objek yang dibicarakan dalam him punan t ersebut dinam akan anggot a (elem en, unsur). Anggot a-anggot a dari suat u him punan dinyat akan dengan huruf kecil at au angka-angka dan berada di dalam t anda kuraw al. Tanda keanggot aan dinot asikan dengan , sedangkan t anda bukan anggot a dinot asikan dengan .

Jika x adalah anggot a dari A m aka dapat dit ulis x A, dan jika y bukan anggot a himpunan A m aka dit ulis dengan y A. Banyaknya anggot a dari suat u him punan disebut dengan kardinal (bilangan kardinal) him punan t ersebut . Jika A adalah suat u himpunan, m aka banyaknya anggot a dari A (bilangan kardinal A) dit ulis dengan not asi n(A A

Contoh 2.1

A = {a, b, c, d, e, f}, m aka n(A) = 6

D. Penulisan Himpunan

Ada em pat cara at au m et ode unt uk m enyat akan (m enuliskan) suat u himpunan, yait u :

1. Cara Tabulasi

Cara ini sering disebut juga dengan cara pendaft aran (rost er m et hod) at au enum erasi, yait u cara m enyat akan suat u him punan dengan m enuliskan anggot anya sat u per sat u. Unt uk m em bedakan anggot a yang sat u dengan yang lainnya digunakan t anda kom a (,). Jika banyaknya anggot a him punan it u cukup banyak at au t ak hingga, unt uk m enyingkat t ulisan biasanya digunakan t anda t it ik

dari himpunan it u bisa dit unjukan sat u persat u (diskrit ), m isal : (1) A = {0, 1, 2, 3, 4, ...}

(2) B = {0, 1, 4, 9, 16, ..., 100}

(3) C = {m erah, jingga, kuning, hijau, biru}

20

{0, 1, ...} unt uk cont oh (1) sebab belum t am pak polanya. Penulisan sepert i it u bisa m engandung int erpret asi lain, sehingga t idak sesuai dengan yang dimaksudkan. Pada cont oh (2), juga digunakan t anda t it ik t iga karena banyak anggot anya cukup banyak dan at uran bilangannya sudah t am pak, yait u kuadrat dari bilangan cacah. Kardinal dari set iap him punan di at as adalah n(A) = ~, n(B) = 11, dan n(C) = 5.

2. Cara Pencirian / Deskriptif

rule met hod

disebut juga m et ode pem bent uk him punan. Dalam m enggunakan m et ode deskripsi ini, anggot a dari suat u him punan t idak disebut kan sat u per sat u, t et api penyajian anggot a him punannya dilakukan dengan m endefinisikan suat u at uran / rum usan yang m erupakan bat asan bagi anggot a-anggot a him punan. Him punan yang anggot anya diskrit dapat disajikan dengan cara deskripsi ini, akan t et api suat u him punan yang anggot anya kont inu hanya bisa disajikan dengan cara deskripsi, dan t idak bisa disajikan dengan cara t abulasi.

Contoh 2.2

1. A = adalah him puan bilangan cacah yang lebih dari 1 dan kurang dari 8. Him punan A, jika disajikan dengan cara t abulasi didapat :

A = {2, 3, 4, 5, 6. 7}

sedangkan jika disajikan dengan m enggunakan m et ode deskripsi didapat : A = {x | 1 < x < 8, x bilangan cacah}

2. B = {x | 1 < x < 8, x bilangan real}.

Him punan t ersebut t idak bisa disajikan dengan cara t abulasi, karena anggot anya kont inu.

Kedua him punan t ersebut m em iliki kardinalit as yang ber beda, yait u n(A) = 6 sedangkan n(B) = ~.

3. Simbol-simbol Baku

Beberapa him punan yang khusus dit uliskan dengan sim bol-sim bol yang sudah baku. Terdapat sejum lah sim bol baku yang m enyat akan suat u him punan, yang biasanya disajikan dengan m enggunakan huruf kapit al dan dicet ak t ebal. Berikut adalah cont oh-cont oh him punan yang dinyat akan dengan sim bol baku, yang sering kit a dijum pai, yait u :

21

P = him punan bilangan bulat posit if = {1, 2, 3, ...}

Z = him punan bilangan bulat {...,-2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}

Q = him punan bilangan rasional

R = him punan bilangan riil

C = him punan bilangan kom pleks

4. Diagram Venn

Dalam diagram venn, him punan sem est a S digam barkan dengan persegi panjang, sedangkan unt uk him punan lainnya digam barkan dengan lengkungan t ert ut up sederhana, dan anggot anya digambarkan dengan nokt ah. Anggot a dari suat u him punan digam barkan dengan nokt ah yang t erlet ak di dalam di dalam daerah lengkungan t ert ut up sederhana it u, at au di dalam persegi panjang unt uk anggot a yang t idak t erm asuk di dalam himpunan it u.

Contoh 2.3

S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} A = {1, 2, 5} ; B = {3, 4, 7, 8}

Gam bar 2.1

E. M acam-macam Himpunan

Beberapa konsep berkenaan dengan him punan yang didefinisikan dalam m at em at ika.

1. Himpunan kosong

Definisi

22

Pengert ian jika dan hanya jika A

n(A) = 0. Sebaliknya, jika n(A) = 0 m aka A adalah himpunan kosong.

Berikut disajikan beberapa cont oh t ent ang him punan kosong.

Contoh 2.4

1. A = himpunan m ahasisw a Jurusan Ekonom i dan Bisnis Um sida angkat an 2015/ 2016 yang mem punyai t inggi badan di at as 3 m et er.

2. B = {x | 6 < x < 7, x bilangan bulat } 3. C = {x | x bilangan prim a kelipat an 6} 4. D = {x | x2 < 0, x bilangan real}

2. Himpunan Semesta Definisi

Him punan sem est a S adalah him punan yang m em uat semua anggot a himpunan yang dibicar akan.

Jika anda cerm at i definisi di at as, t am pak bahw a suat u him punan t ert ent u m erupakan him punan sem est a bagi dirinya sendiri. Him punan semest a dari suat u him punan t ert ent u t idaklah t unggal, t et api m ungkin lebih dari sat u. Coba anda per hat ikan cont oh berikut :

M isalkan A = {a, b, c}, m aka him punan sem est a dari A ant ara lain adalah : S1 = {a, b, c}

S2 = {a, b, c, d}

S3 = {a, b, c, d, e}

S4 = {a, b, c, d, e, f}

Dar i cont oh di at as, jelas bahw a him punan sem est a dari suat u him punan t idaklah t unggal.

23

F. Relasi antar Himpunan 1. Himpunan yang sama

Definisi

Dua buah him punan A dan B dikat akan sam a, dilam bangkan A = B, jika dan hanya jika set iap anggot a di A m erupakan anggot a di B, dan juga set iap anggot a di B merupakan anggot a di A.

Pada definisi di at as, digunakan perkat aan jika dan hanya jika, ini m engandung art i bahw a :

a. jika him punan A sam a dengan B, m aka set iap anggot a di A m erupakan anggot a di B, dan

b. jika t erdapat dua him punan sedem ikian hingga set iap anggot a pada himpunan pert am a merupakan anggot a pada himpunan kedua dan set iap anggot a pada him punan kedua m erupakan anggot a pada him punan pert am a, m aka dikat akan bahw a kedua him punan it u sam a.

Contoh 2.5

A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} dan B = {x | x < 9, x bilangan cacah}

Him punan B jika dit uliskan dengan m et ode t abulasi maka di dapat B ={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}

Dengan m em perhat ikan anggot a-anggot a pada A dan B, m aka jelas bahw a A = B.

Contoh 2.6

M isalkan C = {a, b, c, d} dan D = {c, a, b}.

M eskipun set iap anggot a di D merupakan anggot a di C, akan t et api t idak set iap anggot a di C merupakan anggot a di D.

Dengan dem ikian C D.

2. Himpunan bagian

Definisi.

A dikat akan him punan bagian dari B, dilambangkan A B, jika dan hanya jika set iap anggot a di A m erupakan anggot a di B.

24 S

Gam bar 2.2 A B

Sebagai cont oh bahw a {a, b, c} {a, b, c, d} dan {2, 4, 6, 8} {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14}. Anda past inya juga set uju bahw a A B adalah ekivalen dengan B A. Penulisan B A lazim nya dimaknai sebagai B superset dari A.

Definisi.

A dikat akan him punan bagian sejat i (proper subset) dar i B, A B, jika dan hanya jika set iap anggot a di A m erupakan anggot a di B dan paling sedikit t erdapat sat u anggot a di B yang bukan merupakan anggot a A.

Sebagai cont oh, perhat ikan bahw a {1, 2, 3, 4, 5} {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} akan t et api {a, b, c} {c, a, b}.

3. Himpunan Lepas Definisi

A dan B dikat akan lepas (disjoint) jika dan hanya jika t idak t erdapat anggot a bersam a pada A dan B, at au dengan kat a lain A dan B dikat akan lepas jika

B

A

. Sim bol

A

B

m enyat akan irisan dari A dan B. Berikut adalah deskripsi dari A lepas dengan B.

Gam bar 2.3

A

B

Contoh 2.7

M isalkan A = {a, b, c, d, e} dan B = {f, h, i, j, k} m aka didapat kan bahw a

B

25

4. Himpunan Bersilangan Definisi

A bersilangan dengan B jika dan hanya jika

A

B

, at au dengan kat a lain irisan dari kedua him punan t ersebut t idak kosong. Berikut adalah deskripsi dari A bersilangan dengan B.

Gam bar 2.4

A

B

Contoh 2.8

M isalkan A = {a, b, c, d, e, f} dan B = {d, e, f, g, h, i} m aka didapat kan bahw a

B

A

= {d, e, f}. Karena

A

B

= {d, e, f m aka A dan B m erupakan himpunan yang bersilangan.

5. Himpunan Ekuivalen Definisi

A ekuivalen dengan him punan B, dilambangkan A~B, jika dan hanya jika banyaknya anggot a dari A sama dengan banyaknya anggot a B, at au n(A) = n(B).

Contoh 2.9

A = { 1, 3, 5, 7, 9, 11 } B = { a , b, c, d, e, f } n(A) = 6 dan n(B) = 6 M aka A ~ B

6. Himpunan Kuasa (Pow er Set) Definisi

Him punan Kuasa dari him punan A, dilam bangkan P(A), adalah suat u him punan yang anggot anya m erupakan sem ua him punan bagian dari A, t erm asuk himpunan kosong dan himpunan A sendiri.

Contoh 2.10

A = {a, b, c}.

26

G. Operasi Himpunan 1. Irisan (Intersection)

Definisi

Irisan dari A dan B, dilam bangkan

A

B

, adalah him punan yang anggot a-anggot anya m erupakan a-anggot a dari himpunan A dan sekaligus anggot a himpunan B.

B

x

A

x

x

B

A

dan

Gam bar 2.5

A

B

Contoh 2.11

M isalkan A = {a, b, c, d, e, f} dan B = {a, e, g} m aka

A

B

= {a, e}. Diagr am venn-nya adalah sebagai berikut .

Gam bar 2.6

Daerah yang diarsir m enyat akan

A

B

Contoh 2.12

M isalkan A = {a, b, c, d, e, f} dan B = { g, h, i, j} maka

A

B

. Diagr am venn-nya adalah sebagai berikut

Gam bar 2.7

27

2. Gabungan (Union) Definisi

Gabungan ant ara him punan A dan him punan B dilam bangkan

A

B

, adalah himpunan yang anggot a-anggot anya merupakan anggot a him punan A at au anggot a him punan B.

B

x

A

x

x

B

A

atau

Gam bar 2.8

A

B

Contoh 2.13

M isalkan A = {a, b, c, d, e, f} dan B = {a, e, g} m aka

A

B

= {a, b, c, d, e, f, g}. Diagr am venn-nya adalah sebagai berikut .

Gam bar 2.9

Daerah yang diarsir m enyat akan

A

B

.

Contoh 2.14

M isalkan A = {a, b, c, d, e, f} dan B = { g, h, i, j} m aka

A

B

= {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j}. Diagram venn-nya adalah sebagai berikut .

Gam bar 2.10

28

3. Komplemen Definisi

Diberikan him punan universal (sem est a) S dan him punan A.

A

S

, kom plemen

dari A, dilam bangkan A S yang tidak t erm asuk

di A.

A

x

S

x

x

A

'

dan

Gam bar 2.11

Contoh 2.16

M isalkan S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} dan B = {1, 3, 5, 7, 9} maka B himpunan bilangan S selain B, yait u B

4. Selisih Himpunan

Selisih dari A dan B, dilam bangkan A B, adalah him punan yang anggot a-anggot anya m erupakan a-anggot a dari him punan A t et api bukan m erupakan anggot a dari him punan B.

B

x

A

x

x

B

A

dan

Gam bar 2.12

Contoh 2.17

M isalkan A = {a, b, c, d, e, f} dan B = {a, e, g} m aka A - B = {b, c, d, f}. Diagr am venn-nya adalah sebagai berikut .

Gam bar 2.13

29

H. Sifat-sifat Operasi pada Himpunan

1. Sifat Ident it as

5. Sifat Penyerapan

A

2. Penulisan Him punan.

Ada em pat m et ode dalam m enuliskan him punan : a. Cara Tabulasi

30

cukup banyak at au t ak hingga, unt uk m enyingkat t ulisan lazim nya dengan m enggunakan t anda t it ik t iga yang berart i dan set erusnya, asal at urannya sudah t am pak pada pernyat aan anggot a yang t elah dit uliskan.

b. Cara Pencirian / Deskript if

rule met hod at au disebut juga m et ode pem bent uk him punan. Dalam menggunakan m et ode deskripsi ini, anggot a dari suat u him punan t idak disebut kan sat u per sat u, t et api penyajian anggot a him punannya dilakukan dengan m endefinisikan suat u at uran/ rum usan yang m erupakan bat asan bagi anggot a-anggot a him punan. c. Simbol-sim bol Baku

Berikut adalah cont oh-cont oh him punan yang dinyat akan dengan sim bol baku, yang sering kit a dijum pai, yait u :

N = himpunan bilangan asli = {1, 2, 3, ...}

P = him punan bilangan bulat posit if = {1, 2, 3, ...}

Z = him punan bilangan bulat {...,-2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}

Q = him punan bilangan rasional

R = him punan bilangan riil

C = him punan bilangan kom pleks d. Diagr am Venn

Dalam diagram venn him punan sem est a S digam barkan dengan persegi panjang, sedangkan unt uk him punan lainnya digam barkan dengan lengkungan t ert ut up sederhana, dan anggot anya digam barkan dengan nokt ah. Anggot a dari suat u him punan digam barkan dengan nokt ah yang t erlet ak di dalam di dalam daer ah lengkungan t ert ut up sederhana it u, at au di dalam persegi panjang unt uk anggot a yang t idak t erm asuk di dalam himpunan it u.

3. Beberapa konsep m acam-m acam him punan : a. Him punan Kosong

31 b. Him punan Sem est a

Him punan sem est a S adalah himpunan yang m em uat semua anggot a himpunan yang dibicar akan

4. Relasi ant ar Him punan : a. Him punan yang sam a

Dua buah him punan A dan B dikat akan sam a, dilam bangkan A = B, jika dan hanya jika set iap anggot a di A merupakan anggot a di B, dan juga set iap anggot a di B merupakan anggot a di A.

b. Him punan Bagian

A dikat akan him punan bagian dari B, dilam bangkan A B, jika dan hanya jika set iap anggot a di A m erupakan anggot a di B.

c. Him punan Lepas

A dan B dikat akan lepas (disjoint) jika dan hanya jika t idak t erdapat anggot a bersam a pada A dan B, at au dengan kat a lain A dan B dikat akan lepas jika

B

A

d. Him punan Bersilangan

A bersilangan dengan B jika dan hanya jika

A

B

, at au dengan kat a lain irisan dari kedua him punan t ersebut t idak kosong

e. Him punan Ekuivalen

A ekivalen dengan him punan B, dilambangkan A~B, jika dan hanya jika banyaknya anggot a dari A sam a dengan banyaknya anggot a B, at au n(A) = n(B).

f. Him punan Kuasa (Pow er Set)

Him punan Kuasa dari him punan A, dilam bangkan P(A), adalah suat u himpunan yang anggot anya m erupakan sem ua him punan bagian dari A, t erm asuk him punan kosong dan him punan A sendiri.

5. Oper asi Him punan a. Irisan (Int ersect ion)

Irisan dari A dan B, dilambangkan

A

B

, adalah himpunan yang anggot a-anggot anya merupakan a-anggot a dari him punan A dan sekaligus anggot a himpunan B.

B

x

A

x

x

B

32

6. Sifat -sifat Oper asi pada Him punan a. Sifat Ident it as

e. Sifat Penyerapan

33

2. Dengan m enggunakan diagram venn t unjukkan bahw a :

a.

A

B

C

A

B

A

C

b.

A

B

C

A

B

A

C

3. Dar i 100 orang m ahasisw a, 60 m ahasisw a m engikut i kuliah Bahasa Inggr is, 50 m ahasisw a m engikut i kuliah St at ist ika, 30 m ahasisw a m engikut i kuliah M at em at ika Dasar, 30 mahasisw a m engikut i kuliah Bahasa Inggris dan St at ist ika, 16 m ahasisw a m engikut i kuliah Bahasa Inggris dan M at em at ika Dasar, 10 m ahasisw a mengikut i kuliah St at ist ika dan M at em at ika Dasar, dan 6 m ahasisw a m engikut i kuliah ket iga-t iganya. Berapa banyak mahasisw a yang m engikut i kuliah Bahasa Inggris, at au St at ist ika, at au M at emat ika Dasar?

34

a. {x |x nam a huruf vokal selain a, i, u, e, o di dalam alfabet l} b. {x |x2 = 9 dan 2x = 4}

c.

d. {x | x + 6 = 6, x bilangan asli}

5. M isalkan A = {1, 2, 3}, B = {0, 1, 2}, C = {3, 1, 2}, D = {a, b, c}, E = {1, 2}, F = {0, 1, 2, 3}, dan G = {bilangan cacah ant ara 0 dan 4}

a. Him punan m anakah yang sam a dengan A ? b. Him punan m anakah yang ekivalen dengan A ?

c. Jika H dan I adalah him punan, sedem ikian sehingga berlaku H = I, apakah H ~

I ? Jelaskan!

d. Jika J dan K adalah him punan, sedem ikian sehingga berlaku J ~ K, apakah J = K

? Jelaskan!

6. M isalkan A = {2, {4,5}, 4}. M anakah pernyat aan yang salah? Jelaskan! a. {4, 5} A

35

BAB III

PERSAM AAN DAN PERTIDAKSAM AAN LINEAR

A. Pendahuluan

Dasar dari suat u persam aan adalah sebuah pernyat aan m at em at ika yang t erdiri dari dua ungkapan pada ruas kanan dan ruas kir i yang dipisahkan oleh t anda

variabel. Dan sebuah penyelesaian dari suat u persam aan berupa nilai yang jika disubst it usikan pada variabel menghasilkan sebuah pernyat aan yang benar.

Sem ent ara it u, ist ilah-ist ilah sepert i lebih dari, kurang dari, lebih besar, lebih kecil, lebih t inggi, lebih rendah, t idak sama sudah menjadi bahasa sehari-hari dalam m asyarakat . Ist ilah-ist ilah t ersebut digunakan unt uk m enent ukan nilai m aksimum at au nilai m inim um dari suat u perm asalahan at au pernyat aan yang dapat dimodelkan secara m at em at is.

Diharapkan m ahasisw a dapat menent ukan penyelesaian dari persam aan linear sat u variabel dan him punan penyelesaian dari pert idaksam aan linear sat u variabel.

B. Persamaan Linear Satu Variabel Definisi

Suat u persamaan yang m em uat sat u variabel berpangkat sat u.

Contoh 3.1

1. x = 9 2. 5x + 4 = 29 3. 3x 2 = x + 24

Sebuah penyelesaian unt uk suat u persam aan adalah sebarang bilangan yang m em buat persam aan it u benar jika bilangan it u disubst it usikan pada variabel.

Contoh 3.2

1. 3x = 21

36 2. 3x 2 = x + 24

Jika persamaan ini diselesaikan m aka m em punyai penyelesaian bilangan 13, karena 3(13) 2 = 13 + 24.

Prinsip Penjumlahan dan Perkalian

Ada dua prinsip yang diperbolehkan unt uk m enyelesaikan berm acam -m acam persam aan.

Pertama, Prinsip Penjumlahan

Unt uk sebar ang bilangan real a, b dan c, jika a = b m aka berlaku

a +c = b + c

a c = b c

Kedua, Prinsip Perkalian

37

.

16

8

1

8

8

1

x

kedua ruas dikali

8

1

x = - 2

C. Persamaan Ekuivalen Definisi

Persam aan Ekuivalen adalah persam aan yang m em punyai him punan penyelesaian yang sam a.

Contoh 3.5 (1) 2x = 12 (2) - 5x = - 30 (3) 3x + 5 = 23 (4) 2x 5 = x + 1

Keem pat persam aan t ersebut ekuivalen karena m em punyai him punan penyelesaian yang sam a yait u x = 4.

D. Persamaan Linear Bentuk Pecahan Satu Variabel

Yait u persam aan yang m em uat pecahan. Unt uk menyelesaikan persam aan pecahan ini digunakan perkalian dengan variabel.

Contoh 3.6

Tent ukan penyelesaian dari

5

1

3

5

2

x

x

.

38

E. Pertidaksamaan Linear Satu Variabel Definisi

Suat u pert idaksam aan yang hanya m empunyai sat u variabel dengan pangkat t ert inggi variabelnya sat u.

Contoh 3.7 1. x < 9 2. 5x + 4 > 29 3. 3x 2 < x + 24

Pada prinsipnya penyelesaian pert idaksam aan linear m irip dengan persam aan linear. Hal ini dapat dilihat pada t abel perbandingan berikut .

No Penyelesaian Persamaan Penyelesaian Pertidaksamaan 1.

40

Unt uk menyelesaikan soal ini m enggunakan dua langkah karena menyelesaikannya m enggunakan kom binasi pert idaksam aan.

Langkah I.

F. Pertidaksamaan Linear Bentuk Pecahan Satu Variabel

Yait u pert idaksam aan yang m emuat pecahan. Unt uk m enyelesaikan pert idaksam aan pecahan ini digunakan perkalian variabel.

Contoh 3.12

Tent ukan him punan penyelesaian dari

41 G. Rangkuman

1. Persam aan adalah sebuah pernyat aan m at em at ika yang t erdiri dari dua ungkapan pada ruas

sam a dengan)

2. Penyelesaian unt uk suat u persam aan adalah sebarang bilangan yang m em buat persam aan it u benar jika bilangan it u disubst it usikan pada variabel.

3. Unt uk set iap

a

,

b

,

c

R

Jika a = b m aka a + c = b + c

4. Unt uk set iap

a

,

b

,

c

R

Jika a = b m aka a . c = b . c

5. Unt uk set iap

a

,

b

,

c

R

Jika a = b m aka

,

c

0

c

b

c

a

Jika a . b = 0 m aka a = 0 at au b = 0 Jika a = 0 at au b = 0 m aka ab = 0

6. Persam aan-persamaan yang m em punyai him punan penyelesaian yang sama disebut persam aan ekuivalen

7.

8. Prinsip-prinsip unt uk m enyelesaikan pert idaksam aan :

a. Prinsip Penjum lahan, kedua ruas dit am bah dengan bilangan yang sam a. b. Prinsip Perkalian, kedua ruas dikalikan dengan bilangan yang sam a.

1) Jika dikalikan dengan bilangan posit if t anda pert idaksam aan t idak berubah.

42 H. Latihan

1. Tent ukan penyelesaian dari persamaan berikut : a. x 1 = x + 3

b. 19x 78 + 53x = 30 + 18x

c. (3x 2) 2(6 x) = 1

d. 3(7 2x) + (x 1) 5(2 x) = 2x + 1

2. Tent ukan penyelesaian dari persam aan berikut :

a.

3. Tent ukan him punan penyelesaian dari pert idaksam aan berikut : a. - 24x < 8

b. (3x 2) 2(6 x) > 1

c. 3(7 2x) + (x 1) 5(2 x x + 1

4. Tent ukan him punan penyelesaian dari pert idaksam aan berikut :

a.

1

5. Him punan penyelesaian dari pert idaksam aan

2

1

4

3

2

1

43 BAB IV FUNGSI

A. Pendahuluan

Salah sat u konsep dalam m at em at ika yang paling pent ing adalah konsep fungsi. Dengan konsep fungsi, para m at em at ikaw an m aupun para ahli di bidang yang lain dengan jelas dapat m enget ahui apakah suat u st rukt ur ident ik dengan st rukt ur yang lain. Dan ham pir sem ua cabang m at em at ika m enggunakan konsep fungsi dalam pengem bangannya.

Fungsi linear dan fungsi kuadrat merupakan salah sat u fungsi yang banyak digunakan dalam kehidupan. Banyak m asalah sehari-hari m enjadi lebih m udah diselesaikan dengan m enggunakan konsep fungsi linear dan fungsi kuadrat .

Diharapkan m ahasisw a dapat m enerapkan konsep fungsi baik fungsi linear m aupun fungsi kuadrat dalam berbagai permasalahan sehari-hari dan berbagai bidang pengem bangan ilmu yang lain

B. Pengertian Fungsi Definisi

Suat u fungsi f dari him punan A ke him punan B adalah suat u relasi yang m em asangkan set iap elemen dari A secara t unggal, dengan elem en pada B.

Apabila f m emet akan suat u elem en x A ke suat u y B dikat akan bahw a y

adalah pet a dari x oleh f dan pet a ini dinyat akan dengan not asi f(x), dan biasa dit ulis dengan f : x f(x), sedangkan x biasa disebut prapet a dari f(x).

Him punan A dinamakan daerah asal (dom ain) dari fungsi f , sedangkan himpunan B disebut daerah kaw an (kodom ain) sedangkan him punan dari sem ua pet a di B dinam akan daerah hasil (range) dari fungsi f t ersebut .

Contoh 4.1

44

Diagr am sebagaim ana pada Gam bar 1 di at as adalah fungsi karena pert am a, t erdapat relasi (yang m elibat kan dua him punan yakni A dan B) dan kedua, pem asangan set iap elem en A adalah secara t unggal.

Contoh 4.2

Gam bar 4.2

Diagr am 4.2 bukan m erupakan fungsi karena ada elem en A yang dipasangkan t idak secara t unggal dengan elem en pada B.

C. Sifat Fungsi

Dengan m em perhat ikan bagaim ana elemen-elem en pada m asing-m asing himpunan A dan B yang dir elasikan dalam suat u fungsi, m aka kit a m engenal t iga sifat fungsi yakni sebagai berikut :

1. Injektif (Satu-satu)

M isalkan fungsi f m enyat akan A ke B m aka fungsi f disebut suat u fungsi sat u-sat u (injekt if), apabila set iap dua elemen yang berlainan di A akan dipet akan pada dua elem en yang berbeda di B. Selanjut nya secara singkat dapat dikat akan bahw a f : A B adalah fungsi injekt if apabila a berakibat f(a f( ) at au ekuivalen, jika f(a) = f( ) maka akibat nya a = .

Contoh 4.3

1. Fungsi f pada R yang didefinisikan dengan f(x) = x2 bukan suat u fungsi sat u-sat u sebab f(-2) = f(2).

2. Perhat ikan gam bar berikut .

45

Adapun fungsi pada A = {bilangan asli} yang didefinisikan dengan f(x) = 2x

adalah fungsi sat u-sat u, sebab kelipat an dua dari set iap dua bilangan yang berlainan adalah berlainan pula.

2. Surjektif (Onto)

M isalkan f adalah suat u fungsi yang m em et akan A ke B m aka daerah hasil

f(A) dari fungsi f adalah him punan bagian dari B, at au f(A) B. Apabila f(A) = B, yang berart i set iap elem en di B past i m erupakan pet a dari sekurang-kurangnya sat u elem en di A m aka kit a kat akan f adalah suat u fungsi

f m em et akan A Ont o B

Contoh 4.4

1. Fungsi f : R R yang didefinisikan dengan rum us f(x) = x2 bukan fungsi yang ont o karena him punan bilangan negat if t idak dim uat oleh hasil fungsi t ersebut .

2. Perhat ikan gam bar berikut .

Gam bar 4.4

M isal A = {a, b, c, d} dan B = {x, y, z} dan fungsi f : A B yang didefinisikan

dengan diagram panah adalah suat u f ungsi yang

surjekt if karena daerah hasil f adalah sam a dengan kodom ain dari f

(him punan B).

3. Bijektif (Korespondensi Satu-satu)

Suat u pem et aan f : A B sedem ikian rupa sehingga f m erupakan fungsi

f adalah fungsi yang

u-46 Contoh 4.5

1. Perhat ikan gam bar berikut .

Gam bar 4.5

Relasi dari him punan A = {a, b, c} ke him punan B = {p, q, r} yang didefinisikan sebagai diagr am di sam ping adalah suat u fungsi yang bijekt if.

2. Fungsi f yang m emasangkan set iap negara di dunia dengan ibu kot a negara-negara di dunia adalah fungsi korespondensi satu-sat u (fungsi bijekt if), karena t idak ada sat u kot apun yang menjadi ibu kot a dua negara yang berlainan.

D. Jenis Fungsi

Jika suat u fungsi f m em punyai daerah asal dan daerah kaw an yang sama, m isalnya D, m aka sering dikat akan fungsi f pada D. Jika daerah asal dari fungsi t idak dinyat akan m aka yang dim aksud adalah himpunan sem ua bilangan real (R). Unt uk fungsi-fungsi pada R kit a kenal beberapa fungsi ant ara lain sebagai berikut .

1. Fungsi Konstan Definisi

f : x C dengan C konst an disebut fungsi konst an (t et ap). Fungsi f m emet akan set iap bilangan real dengan C.

Contoh 4.6 Fungsi f : x

Gam bar 4.6

47 2. Fungsi Identitas

Definisi

Fungsi R R yang didefinisikan sebagai f : x x disebut fungsi ident it as.

Gam bar 4.7

f(1) = 1, f(2) = 2, f(3) = 3 3. Fungsi Linear

Definisi

Fungsi pada bilangan real yang didefinisikan f(x) = ax + b, a dan b konst an dengan a

Grafik fungsi linier berupa garis lurus. Unt uk m enggam bar grafik fungsi linier bisa dilakukan dengan dua cara yait u dengan mem buat t abel dan dengan m enent ukan t it ik pot ong dengan sum bu-x dan sum bu-y.

Contoh 4.7

Gam barlah gr afik fungsi y = 2x + 3 Penyelesaian :

Dengan membuat tabel :

y = 2x + 3

x -1 0 1

y 1 3 5

48

Dar i t abel diperoleh t it ik-t it ik berupa pasangan koordinat , kit a gambar t it ik t ersebut dalam bidang Cart esius kem udian dihubungkan, sehingga t am pak m em bent uk garis lurus.

Dengan menentukan titik-titik potong dengan sumbu-x dan sumbu-y

y = 2x + 3

Tit ik pot ong grafik dengan sumbu-x :

y x + 3

2x = 3

₂

3

x

sehingga t it ik pot ong grafik dengan sum bu x adalah

,

0

2

3

Tit ik pot ong grafik dengan sum bu-y :

x y = 2x + 3

y = 2.0 + 3

y = 0 + 3

y = 3

sehingga t it ik pot ong grafik dengan sum bu-y adalah (0,3) Kedua t it ik pot ong t ersebut digam bar dalam bidang Cart esius kem udian dihubungkan sehingga t ampak mem bent uk garis lurus.

49 Beberapa hal pent ing dalam Fungsi Linear a. Gradien

Gradien at au koefisien arah (m) adalah konst ant a yang m enunjukkan t ingkat kem ir ingan suat u garis.

Perhat ikan gam bar berikut ini :

Gambar 4.10

2 1

1 2

1 2

1

2

(

)

(

)

x

x

x

f

x

f

x

x

y

y

x

y

m

Persam aan garis y = m x + c, dengan m, c R, c adalah konst ant a, dengan m

m elam bangkan gradien / koefisien ar ah garis lurus. Pada gam bar di at as,

x) dan grafik fungsi linier dengan arah put aran berlaw anan arah dengan arah put aran jarum jam , m aka gradien dapat pula didefinisikan sebagai

tan

x

y

m

Cat at an :

1) Jika m = 0 m aka grafik sejajar dengan sum bu-x dan ini sering disebut sebagai fungsi konst an.

2) Jika m

3) Jika m

b. M enentukan Persamaan Garis melalui Satu Titik dan gradien m

M isalkan garis y = m x + c m elalui t it ik P (x1, y1), set elah nilai koordinat t it ik P

disubst it usikan ke persam aan garis t ersebut diperoleh:

50

y y1 = m (x x1)

Jadi per samaan garis m elalui t it ik P (x1, y1), dan bergradien m adalah

y y1 = m (x x1)

c. M enentukan Persamaan Garis melalui Dua Titik

Persam aan garis m elalui dua t it ik A (x1, y1) dan B (x2, y2) dapat dicar i dengan

langkah sebagai berikut :

Persam aan garis m elalui t it ik A (x1, y1) dengan m em isalkan gradiennya m

persam aan (ii) disubst it usikan ke persam aan (i) diperoleh

1

d. M enentukan Titik Potong antara Dua Garis

M isalkan dua garis g1 dan g2 saling berpot ongan di t it ik P (x, y) m aka nilai x

dan y harus mem enuhi kedua persam aan garis t ersebut . Tit ik pot ong dua garis dapat dicari dengan m et ode subst it usi, elim inasi, at au m em buat sket sa gr afiknya.

e. Hubungan Gradien dari Dua Garis

1) Garis g1 yang bergradien m1 dikat akan sejajar dengan garis g2 yang

bergradien m2 jika memenuhi m1 = m2.

2) Garis g1 yang bergradien m1 dikat akan t egak lurus dengan garis g2 yang

51 4. Fungsi Kuadrat

Definisi

Bent uk um um fungsi kuadrat adalah y = ax2 + bx + c dengan a, b, c R dan

a

parabola. Jika a > 0, parabola t erbuka ke at as sehingga m em punyai t it ik balik m inim um , dan jika a < 0 parabola t erbuka ke baw ah sehingga m em punyai t it ik balik m aksim um .

Langkah-langkah dalam menggam bar grafik fungsi kuadrat y = ax2 + bx + c

a. y = 0 at au f(x) = 0

Pem buat nol fungsi dari persamaan kuadrat y = ax2 + bx + c diperoleh jika

ax2+ bx + c = 0. Sehingga diperoleh nilai x yang m em enuhi ax2 + bx + c = 0. Nilai ini t idak lain adalah absis t it ik pot ong dengan sumbu-x, sedangkan unt uk m enent ukan t it ik pot ong dengan sum bu-y, dapat dilakukan dengan m ensubst it usikan nilai x t adi pada per samaan kuadrat sem ula.

b. Tent ukan sum bu sim et ri

a

b

x

2

c. Tent ukan t it ik puncak P (x, y) dengan

a

b

x

2

dan

a

D

y

4

, dengan nilai

ac

b

D

2

4

.

52 Catatan :

Persam aan Kuadrat ax2 + bx + c = 0 dapat dicari akar-akarnya dengan: 1) Pem fakt oran

2) M elengkapi bent uk kuadrat sem purna

3) Rum us abc :

a

ac

b

b

x

2

4

2 2

.

1

Contoh 4.8

Gam barlah sket sa grafik fungsi y = x2 6x + 5 Penyelesaian :

a.

M enent ukan pem buat nol fungsi, dengan pem fakt oran diperoleh

x2 6x + 5 = 0 (x 1) (x 5) = 0

x = 1 at au x = 5

b.

M enent ukan sum bu sim et ri

3

)

1

(

2

6

2

a

b

x

c.

M enent ukan t it ik puncak P (x, y)

Karena nilai x sudah diperoleh m aka t inggal m encari nilai y dengan subst it usi

x = 3 pada fungsi sem ula

y = 32 6 (3) + 5 = 9 18 + 8 = 4

53 E. Rangkuman

1. Pengert ian fungsi

Suat u fungsi f dari him punan A ke him punan B adalah suat u relasi yang m em asangkan set iap elemen dari A secara t unggal, dengan elem en pada B.

2. Sifat -sifat Fungsi a. Injekt if (Sat u-sat u)

f : A B adalah fungsi injekt if apabila a berakibat f(a f( ) at au ekuivalen, jika f(a) = f( ) maka akibat nya a = .

b. Surjekt if (Ont o)

f adalah suat u fungsi yang m emet akan A ke B m aka daerah hasil

f(A) dari fungsi f adalah him punan bagian dari B, at au f(A) B. Apabila f(A) = B, yang berart i set iap elem en di B past i merupakan pet a dari sekurang-kurangnya sat u elemen di A m aka kit a kat akan f adalah suat u fungsi

f m em et akan A Ont o B

c. Bijekt if (Korespondensi sat u-sat u)

f : A B sedem ikian rupa sehingga f merupakan fungsi

yang injekt if dan surjekt if sekaligus, m aka dikat akan f adalah fungsi yang

A dan B berada dalam korespondensi sat u-3. Jenis Fungsi

a. Fungsi Konst an

Fungsi f : x C dengan C konst an disebut fungsi konst an (t et ap). Fungsi f

m em et akan set iap bilangan real dengan C. b. Fungsi Ident it as

Fungsi R R yang didefinisikan sebagai f : x x disebut fungsi ident it as. c. Fungsi Linear

Fungsi pada bilangan real yang didefinisikan f(x) = ax + b, a dan b konst an dengan a

d. Fungsi Kuadrat

Bent uk um um fungsi kuadrat adalah y = ax2 + bx + c dengan a, b, c R dan

a m aka sering juga disebut

54 4. Beberapa hal pent ing dalam fungsi linear

a. Gradien

Gradien at au koefisien arah (m) adalah konst ant a yang m enunjukkan t ingkat kem ir ingan suat u garis.

b. M enent ukan Persam aan Garis m elalui Sat u Tit ik dan gradien m

Persam aan garis m elalui t it ik P (x1, y1), dan bergradien m adalah

y y1 = m (x x1)

c. M enent ukan Persam aan Garis m elalui Dua Tit ik

Persam aan garis melalui dua t it ik A (x1, y1) dan B (x2, y2) adalah

e. Hubungan Gradien dari Dua Garis

55

c.

Tent ukan t it ik puncak P (x, y) dengan

a

b

x

2

dan

a

D

y

4

, dengan

nilai

D

b

2

4

ac

F. Latihan

56

2. Suat u fungsi f : R R dit ent ukan oleh f(x) = x2 - 2 a. Tent ukan f(-1), f(a), dan f(1).

b. Tent ukan a jika f(a) = 23

c. Anggot a m anakah dari daerah asal yang mem punyai pet a 34 ?

3. M anakah yang merupakan fungsi injekt if, surjekt if, at au bijekt if dari fungsi dengan dom ain {1, 2, 3, 4}, yang didefinisikan sebagai berikut ?

a. R = {(1, 1), (2, 3), (3, 5), (4, 7); jika kodom ainnya {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} b. R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 1); jika kodomainnya {1, 2, 3}

c. R = {(1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1); jika kodom ainnya {1, 2, 3, 4} d. R = {(1, 1), (2, 2), (3, 2), (4, 4); jika kodom ainnya {1, 2, 3, 4, 5, 6} 4. Tent ukan persamaan garis yang melalui :

a. t it ik M (1, 2) dan N(-1, 6)

b. t it ik (-2, 3) dan m em bent uk sudut 45° t erhadap sum bu x posit if

5. Diket ahui gradien garis g adalah ½ . Jika garis t ersebut m elalui t it ik A (2, 3) dan B(k, 6), t ent ukan nilai k !

6. Tent ukan persam aan garis l yang m elalui R (3, 1) dan t egak lurus garis AB

57 BAB V M ATRIKS A. Pendahuluan

M at riks dalam m at em at ika digunakan unt uk m enyat akan bilangan-bilangan ke dalam jajaran em pat persegipanjang, t erbent uknya suat u m at riks dapat diperoleh m elalui suat u sist em persam aan linier, dem ikian pula sebaliknya bahw a suatu sist em persam aan linier dapat diperoleh m elalui suat u m at riks. Dalam kehidupan sehari-hari penggunaan mat riks dapat m em perm udah penyajian suat u dat a dari t abel sekaligus operasi-operasi bilangan yang t erkandung di dalamnya. Oleh karena it u, pemaham an m engenai m at riks ini sangat pent ing unt uk diperoleh.

M elalui bab ini, m ahasisw a diharapkan mem aham i pengert ian m at riks, jenis-jenis m at riks, operasi dan sifat -sifat m at riks, det erm inan, dan inver s, sert a dapat m enggunakannya dalam pem ecahan m asalah.

B. Pengertian M atriks

M at riks adalah susunan bilangan-bilangan dalam bent uk baris dan kolom yang m em bent uk suat u persegipanjang. Penulisan susunan t ersebut dibat asi oleh kur ung siku at au kurung biasa. Bilangan-bilangan dalam m at riks bisa ber upa bilangan real

at aupun bilangan kom pleks. Nam un dalam buku ini pem bahasan m at riks hanya dibat asi pada bilangan real, lihat cont oh 5.1.

Contoh 5.1

Suat u m at riks dit ent ukan oleh banyak bar is (m isal m baris) dan kolom (m isal n

kolom ), sehingga suat u mat riks yang t erdiri dari m x n unsur (biasa disebut ordo

mxn). Not asi m at riks menggunakan huruf kapit al, sem ent ara not asi unt uk m enyat akan unsur-unsurnya m enggunakan huruf kecil. Sepert i cont oh 5.2.

Contoh 5.2

58

Jika A adalah suat u m at riks, m aka sim bol unt uk m enyat akan unsur -unsur pada baris i dan unsur-unsur pada kolom j adalah . Sehingga m at riks A pada cont oh 5.2 dapat dit ulis dengan

Jadi bent uk um um suat u m at riks A yang m em iliki unsur-unsur pada baris ke i

dan unsur-unsur pada kolom j adalah

at au

Ket erangan:

A : M at riks A

: M at riks A berordo

: Unsur m at riks A pada baris 1 kolom 2 : Unsur m at riks A pada baris m kolom n

: M at riks A yang m em iliki i baris dan j kolom dengan i =

C. Jenis-Jenis M atriks

Pada dasarnya jenis suat u m at r iks t ergant ung dari ordo dan unsur -unsurnya, berikut dijelaskan beberapa jenis-jenis m at riks.

1. M at riks baris adalah m at riks yang hanya t erdiri dari sat u baris, m at riks ini disebut juga vekt or baris, m isal:

2. M at riks kolom adalah m at riks yang hanya t erdiri dari sat u kolom , m at riks ini disebut juga vekt or kolom , m isal:

3. M at riks nol adalah mat riks yang mem iliki unsur nol sem ua, m isal: