Jenis Kesalahan - LANDASAN TEORI - Analisis kesalahan siswa dalam mengerjakan soal-soal limit f

BAB II LANDASAN TEORI

D. Jenis Kesalahan

1. Jenis Kesalahan Menurut Hadar

Hadar,dkk (1987) mengklasifikasikan kesalahan siswa dalam mengerjakan soal-soal matematika dalam enam tipe kesalahan sebagai berikut:

a. Penyalahgunaan data.

b. Kesalahan menginterpretasikan bahasa. c. Kesimpulan yang tidak tepat secara logika. d. Penyimpangan teorema atau definisi.

e. Penyelesaian yag tidak diteliti kebenarannya. f. Kesalahan teknis.

Adapun penjelasan dari tiap-tiap kategori kesalahan tersebut adalah sebagai berikut:

a. Penyalahgunaan Data

Kategori ini meliputi kesalahan-kesalahan yang dapat dihubungkan dengan ketidaksesuaian antara data yang diberikan dalam soal dengan data yang dikutip oleh siswa yang meliputi kesalahan-kesalahan berikut:

1) Menambahkan data yang tidak ada hubungannya dengan soal. 2) Mengabaikan data penting yang sudah ada dan menggantinya

dengan data yang tidak relevan.

3) Menguraikan syarat-syarat (dalam pembuktian, perhitungan, penemuan) yang sebenarnya tidak dikehendaki soal.

4) Mengartikan sebagian informasi tidak sesuai dengan teks yang sebenarnya.

5) Menggunakan syarat yang tidak sesuai dengan informasi yang diberikan.

6) Menggunakan angka pengganti suatu variabel untuk variabel yang lain.

7) Kesalahan menyalin soal dari lembar soal ke lembar jawab. b. Kesalahan menginterpretasikan data

Kategori ini meliputi kesalahan matematika yang berkaitan dengan ketidaktepatan menerjemahkan suatu pernyataan matematika yang dideskripsikan dalam suatu bahasa ke bahasa yang lain.

Kategori kesalahan ini meliputi kesalahan-kesalahan sebagai berikut:

1) Menerjemahkan pernyataan dalam bahasa sehari-hari ke dalam bahasa atau persamaan matematika dengan arti yang berbeda.

2) Menuliskan simbol dari suatu konsep dengan simbol lain yang artinya berbeda.

3) Kesalahan mengartikan grafik.

Pada umumnya yang termasuk dalam kategori ini adalah kesalahan-kesalahan dalam menarik kesimpulan dari suatu informasi yang diberikan atau dari kesimpulan sebelumnya, yaitu: 1) Dari pernyataan implikasi p→q, siswa menarik kesimpulan

sebagai berikut:

 Bila q diketahui terjadi maka p pasti terjadi.

 Bila p salah maka q juga salah.

2) Mengambil kesimpulan tidak benar, misalnya memberikan q sebagai akibat dari p tanpa dapat menjelaskan urutan pembuktian yang betul.

d. Kesalahan menggunakan definisi atau teorema

Kesalahan ini merupakan penyimpangan prinsip, aturan, teorema, atau definisi pokok yang khas. Kategori ini meliputi kesalahan-kesalahan sebagai berikut:

1) Menerapkan suatu teorema pada kondisi yang tidak sesuai, misalnya menerapkan aturan sinus, ^𝒂

𝐬𝐢𝐧 𝜶= ^𝒃 𝐬𝐢𝐧 𝜷;

2) Menerapkan sifat fungsi atau sifat operasi pada kondisi yang tidak sesuai. Misalnya:

 Sin (α+β) = sin α + sin β

 (𝒂 + 𝒃)^𝒏 = 𝒂^𝒏+ 𝒃^𝒏 c

Y

3) Tidak teliti atau tidak tepat dalam mengutip definisi, rumus, atau teorema. Misalnya:

 Fungsi yang grafiknya berbentuk parabola 𝑿_𝒎𝒊𝒏 = −^𝒂 𝒃

sebagai pengganti 𝑿_𝒎𝒊𝒏= − ^𝒂 𝟐𝒃

 (𝒂 + 𝒃)𝟐= 𝒂𝟐+ 𝟐𝒂𝒃 − 𝒃𝟐 e. Penyelesaian tidak diperiksa kembali

Kesalahan ini terjadi jika setiap langkah yang ditempuh oleh peserta tes benar, akan tetapi hasil akhir yang diberikan bukan penyelesaian dari soal tersebut dan siswa tidak menjawab sesuai dengan pertanyaan pada soal.

f. Kesalahan teknis

Kategori kesalahan teknis meliputi kesalahan-kesalahan berikut:

1) Kesalahan perhitungan

2) Kesalahan dalam mengutip data dari tabel.

3) Kesalahan dalam memanipulasi simbol-simbol aljabar dasar. 2. Kesalahan-Kesalahan yang Sering dilakukan Siswa dalam

Menyelesaikan Soal-Soal Aljabar

Siswa membutuhkan kemampuan tentang aljabar yang sudah dipelajari sejak SMP dalam mengerjakan soal-soal limit fungsi aljabar,. Maka untuk mendukung penelitian ini, peneliti akan membahas kesalahan yang dilakukan siswa dalam mengerjakan soal-soal aljabar.

a. Kesalahan-kesalahan berdasarkan Schechter (2002)

Schechter (dalam Nugraheni, 2009; 11-14) pada artikelnya mengemukakan beberapa kesalahan mahasiswa dalam mengerjakan soal-soal sebagai berikut:

1) Kesalahan tanda

Salah satu penyebab kesalahan ini adalah “kepercayaan bahwa tanda minus adalah tanda negatif”.

Apakah −𝒙 adalah bilangan negatif? Itu tergantung 𝒙.

 Ya, jika 𝒙 adalah bilangan positif.

 Tidak, jika 𝒙 adalah bilangan negatif.

Siswa mengalami kebingungan dalam membaca “−𝒙” sebagai “𝒎𝒊𝒏𝒖𝒔 𝒙” atau sebagai “𝒏𝒆𝒈𝒂𝒕𝒊𝒇 𝒙”. Siswa kebanyakan membacanya sebagai negatif 𝒙. Cara membaca “−𝒙” sebagai “𝒏𝒆𝒈𝒂𝒕𝒊𝒇 𝒙” tentu saja belum tentu benar. Negatif digunakan sebagai suatu tanda sedangkan Minus digunakan sebagai suatu operasi. Cara membaca “−𝒙” sebaiknya “𝒏𝒆𝒈𝒂𝒕𝒊𝒇 𝒙”.

2) Kesalahan karena siswa memahami semua operasi adalah adititive seperti yang berlaku pada sifat suatu fungsi atau operasi 𝒇.

Suatu fungsi atau operasi 𝒇 disebut adititive jika fungsi atau operasi 𝒇 tersebut memenuhi 𝒇(𝒙 + 𝒚) = 𝒇(𝒙) + 𝒇(𝒚) untuk semua bilangan 𝒓𝒆𝒂𝒍. Hal ini benar untuk operasi-operasi tertentu, berikut contohnya:

 Limit dari suatu jumlah adalah jumlah dari limit-limitnya.

 Turunan dari suatu jumlah adalah jumlah dari turunan-turunannya.

 Integral dari suatu penjumlahan adalah penjumlahan dari integral-integralnya.

Tetapi ini tidak benar untuk operasi yang lain. Namun, siswa sering menggunakan aturan penjumlahan ini.

Contoh: 𝐬𝐢𝐧(𝒙 + 𝒚) = 𝐬𝐢𝐧 𝒙 + 𝐬𝐢𝐧 𝒚 , (𝒙 + 𝒚)𝟐 = 𝒙𝟐+ 𝒚𝟐 √𝒙 + 𝒚 = √𝒙 + √𝒚

3) Kesalahan dalam menggunakan sifat komutatif

Pada matematika tingkat atas dipelajari bahwa dua operasi bersifat komutatif dapat ditunjukkan jika salah satu dari kedua operasi tersebut dalam bentuk yang berbeda (operasi yang digunakan penjumlahan atau perkalian) akan mendapatkan hasil atau nilai yang sama.

Contoh kesalahan yang dilakukan siswa : 𝐥𝐨𝐠 √𝒙 = √𝐥𝐨𝐠 𝒙 𝒅𝒂𝒏 𝐬𝐢𝐧 𝟑𝒙 = 𝟑 𝐬𝐢𝐧 𝒙

4) Kesalahan dengan menghilangkan/menghapus variabel Diberikan dua fungsi 𝒇(𝒙) dan 𝒈(𝒙).

 𝒇(𝒙) =^{(𝟑𝒙+𝟕)(𝟐𝒙−𝟗)+(𝒙}^𝟐^+𝟏) (𝟑𝒙+𝟕)(𝒙𝟑+𝟔) =^{(𝟐𝒙−𝟗)+(𝒙}^𝟐^+𝟏) 𝒙𝟑+𝟔  𝒈(𝒙) =^{(𝟑𝒙+𝟕)[(𝟐𝒙−𝟗)+(𝒙}^𝟐^+𝟏)] (𝟑𝒙+𝟕)(𝒙𝟑+𝟔) = ^{(𝟐𝒙−𝟗)+(𝒙}^𝟐^+𝟏) 𝒙𝟑+𝟔

𝒇(𝒙) dan 𝒈(𝒙) adalah dua fungsi yang berbeda. Perhitungan pada 𝒇(𝒙) salah. Perhitungan pada 𝒈(𝒙) tepat. Beberapa siswa berpikir bahwa 𝒇(𝒙) dan 𝒈(𝒙) adalah fungsi yang sama. Mungkin dalam menyederhanakan mereka tidak cermat melihat pembilang 𝒇(𝒙). Suku-suku pada pembilang 𝒇(𝒙) tidak semuanya memiliki faktor (𝟑𝒙 + 𝟕). Perhitungan yang tepat untuk 𝒇(𝒙) sebagai berikut:

𝒇(𝒙) =(𝟑𝒙 + 𝟕)(𝟐𝒙 − 𝟗) + (𝒙𝟐+ 𝟏) (𝟑𝒙 + 𝟕)(𝒙𝟑+ 𝟔)

= (𝟐𝒙 − 𝟗) +^(𝒙_{𝟑𝒙 + 𝟕}^𝟐^{+ 𝟏)} 𝒙𝟑+ 𝟔

Kesalahan ini sering dilakukan siswa karena mereka tidak paham bahwa penghapusan (hukum kanselasi) hanya dilakukan pada saat pembilang dan penyebut memenuhi faktor yang sama. b. Kesalahan-kesalahan berdasarkan Scofield (2003)

Scofield (dalam Nugraheni,2009;14-17) pada artikelnya mendeskripsikan kesalahan-kesalahan yang paling banyak dilihat pada matematika di Universitas Calvin. Scofield (2003, dalam Nugraheni,2009) mengemukakan beberapa kesalahan siswa dalam mengerjakan soal-soal aljabar sebagai berikut:

1) Kesalahan yang berhubungan dengan sifat fungsi

Keanehan ini bermula saat siswa memperoleh sebuah bentuk persamaan 𝒇(𝒙) = 𝒎𝒙 dengan 𝒎 adalah konstanta (gradien). Bentuk ini memungkinkan siswa mengikuti sifat

“adititive”. Meskipun kecenderungan siswa untuk memperlakukan fungsi sebagai penjumlahan, fungsi lain tidak mempunyai sifat ini. Kesalahan yang dilakukan siswa meliputi:

 √𝟑𝒙𝟐+ 𝟐𝒙 = √𝟑𝒙𝟐+ √𝟐𝒙.  (𝒙 + 𝟐)^𝟑= 𝒙^𝟑+ 𝟖.  𝐥𝐧(𝟐𝒙 − 𝟏) = 𝐥𝐧(𝟐𝒙) − 𝐥𝐧 𝟏.  𝟏 𝒙+𝟓 =^𝟏 𝒙+^𝟏 𝟓

2) Kesalahan dalam menghapuskan variabel dan koefisien saat menyederhanakan pecahan bentuk aljabar

Hal ini berawal saat siswa di tingkat sekolah dasar menyederhanakan pecahan, seperti ^𝟓𝟐

𝟑𝟎=^{𝟐.𝟐𝟔} 𝟐.𝟏𝟓=^𝟐𝟔

𝟏𝟓. Tingkat sekolah menengah mengajarkan siswa untuk menghapus bentuk aljabar yang melibatkan variabel seperti dalam ^{(𝒙+𝟐)(𝒙+𝟒)}

(𝟐𝒙−𝟏)(𝒙+𝟐)= (𝒙+𝟐)(𝒙+𝟒)

(𝟐𝒙−𝟏)(𝒙+𝟐)= ^(𝒙+𝟒)

(𝟐𝒙−𝟏). Kesalahan siswa karena menghapuskan variabel dan koefisien saat menyederhanakan pecahan bentuk aljabar dapat dilihat dalam contoh sebagai berikut:

𝟑𝒙𝟐+ 𝟐𝒙 − 𝟏 𝟐𝒙 − 𝒙𝟐 = ^𝟑𝒙 𝟐+ 𝟐𝒙 − 𝟏 𝟐𝒙 − 𝒙𝟐 = ^{𝟐 + 𝟐𝒙} 𝟐𝒙 − 𝟏⁼ 𝟐 −𝟏 ^{= −𝟐} Siswa menghapuskan sembarang unsur pada pembilang dan penyebut. Kesalahan ini dilakukan oleh beberapa siswa yang tidak memahami bahwa penghapusan hanya dilakukan pada saat pembilang dan penyebut difaktorkan.

3) Kesalahan pada perkalian bentuk aljabar dengan mengabaikan sifat pemangkatan.

Pemangkatan merupakan perkalian berulang untuk bilangan yang sama. Sifat pemangkatan yang paling sering tidak dipahami siswa, yaitu (𝒂)𝒎(𝒃)𝒎= (𝒂𝒃)𝒎. Sifat ini dapat berlaku pada contoh berikut: 𝟒𝒙^𝟐= 𝟐^𝟐𝒙^𝟐 = (𝟐𝒙)^𝟐 dan 𝟑√𝒙 =

𝟗 𝟏 𝟐𝒙 𝟏 𝟐 = (𝟗𝒙) 𝟏

𝟐 = √𝟗𝒙 tetapi beberapa siswa mengabaikan sifat pemangkatan pada perkalian. Kesalahan yang dilakukan siswa dalam pemangkatan dapat dilihat dalam contoh berikut;

 𝟐𝒙^𝟏𝟐 = √𝟐𝒙

 −(𝟑𝒙)𝟐= 𝟗𝒙𝟐

 𝟑(𝒙 + 𝟏)^𝟐= (𝟑𝒙 + 𝟑)^𝟐

 ^𝟑

𝟐𝒙𝟐 = 𝟑(𝟐𝒙)^−𝟐

4) Kesalahan dengan menuliskan perkalian tanpa tanda kurung Saat menjumpai sebuah pernyataan yang mengandung penjumlahan dan perkalian di dalamnya, maka perkalian akan dikerjakan terlebih dulu, berikut contohnya:𝟐 + 𝟑 × 𝟓 adalah 17 bukan 30. Sesuatu yang terdapat dalam tanda kurung akan dikerjakan terlebih dulu sebelum mengerjakan yang di luar tanda kurung maka 2-(3-(2-6))=-5 sedangkan 2-(3-2-6)=7 dan 2-3-2-6=-13. Hal ini juga akan berlaku untuk pernyataan yang mengandung variabel, berikut contohnya: 𝒙 × 𝟐𝒙 − 𝟕 tidak

sama dengan 𝒙(𝟐𝒙 − 𝟕). Dalam perkalian (𝟑) dan (−𝟓𝒙)^𝟐 tanda kurung juga digunakan (𝟑)(−𝟓𝒙)𝟐 atau lebih sederhana −𝟏𝟓𝒙𝟐 namun siswa kebanyakan melakukan kesalahan dengan menuliskannya dalam 𝟑 × −𝟓𝒙𝟐 sehingga dapat menimbulkan kesalahan.

5) Kesalahan karena penggunaan tanda kurung berlebihan

Menurut Scofield (2003), sebenarnya ini bukan kesalahan yang fatal namun siswa yang tetap menggunakan tanda kurung lebih banyak daripada yang dibutuhkan menunjukkan bahwa mereka kurang memahami aturan pada operasi aljabar. Berikut contoh penggunaan tanda kurung yang berlebihan.

 (^(𝟐𝒙^𝟐^+𝟑𝒙)

(𝒙−𝟏) ) akan lebih sederhana jika ditulis ^(𝟐𝒙^𝟐^+𝟑𝒙) (𝒙−𝟏) .

c. Kesalahan-kesalahan berdasarkan Dawkins

Dawkins (2006, dalam Nugraheni,2009) menelusuri kesalahan – kesalahan yang sering dilakukan siswa berdasarkan artikel dari Schechter (2002) dan berdasarkan pengamatan atas kesalahan-kesalahan yang dilakukan para siswanya. Dawkins (2006, dalam Nugraheni,2009;17-22) mengemukakan beberapa kesalahan yang sering dilakukan siswa dalam mengerjakan soal-soal aljabar sebagai berikut:

Kesalahan yang sering dilakukan siswa dalam pembagian dengan bilangan nol yaitu menghitung ^𝟐

𝟎= 𝟎 atau 𝟐

𝟎= 𝟐. Pembagian dengan bilangan nol yang benar, yaitu ^𝟐 𝟎= 𝒕𝒊𝒅𝒂𝒌 𝒕𝒆𝒓𝒅𝒆𝒇𝒊𝒏𝒊𝒔𝒊𝒌𝒂𝒏.

2) Kesalahan dalam penggunaan tanda kurung

Kesalahan ini disebabkan karena siswa tidak paham pentingnya penggunaan tanda kurung atau siswa menganggap tanda kurung tidak diperlukan dalam langka-langkah tertentu. Contohnya:

a) Menguadratkan 𝟒𝒙

Benar Tidak benar

(𝟒𝒙)^𝟐 = (𝟒)^𝟐(𝒙)^𝟐= 𝟏𝟔𝒙^𝟐 (𝟒𝒙)^𝟐 = 𝟒𝒙^𝟐

Dalam kasus ini tanda kurung digunakan untuk meyakinkan bahwa yang dikuadratkan adalah 𝟒𝒙 bukan hanya 𝒙 saja. b) Menguadratkan -3

Benar

(−𝟑)𝟐= (−𝟑)(−𝟑) = 𝟗 Tidak benar

(−𝟑)^𝟐= −(𝟑)(𝟑) = −𝟗

Banyak siswa sebenarnya tahu bahwa secara teknik mereka harus menguadratkan -3, tetapi tanda kurung seakan terlupakan sehingga hasil pengerjaan menjadi -9.

Benar

𝒙𝟐+ 𝟑𝒙 − 𝟓 − (𝟒𝒙 − 𝟓) = 𝒙𝟐+ 𝟑𝒙 − 𝟓 − 𝟒𝒙 + 𝟓 = 𝒙𝟐− 𝒙

Tidak benar

𝒙^𝟐+ 𝟑𝒙 − 𝟓 − 𝟒𝒙 − 𝟓 = 𝒙^𝟐− 𝒙 − 𝟏𝟎

Kebanyakan siswa tidak memberikan tanda kurung pada 𝟒𝒙 − 𝟓 karena ketidaktahuan siswa bahwa tanda kurung diperlukan, sehingga hasil pada pengurangan ini menjadi tidak benar.

3) Kesalahan dalam mendistribusikan Contoh: a) Mengalikan 𝟒(𝟐𝒙𝟐− 𝟏𝟎) Benar 𝟒(𝟐𝒙^𝟐− 𝟏𝟎) = 𝟖𝒙^𝟐− 𝟒𝟎 Tidak benar 𝟒(𝟐𝒙^𝟐− 𝟏𝟎) = 𝟖𝒙^𝟐− 𝟏𝟎

Kesalahan yang dilakukan siswa karena hanya mengalikan 4 dengan 𝟐𝒙𝟐 saja.

b) Mengalikan −𝒂(𝒙 − 𝟏)

Benar Tidak benar

−𝒂(𝒙 − 𝟏) = −𝒂𝒙 + 𝟏 −𝒂(𝒙 − 𝟏) = −𝒂𝒙 + 𝟏 c) Mengalikan 𝟑(𝟐𝒙 − 𝟓)𝟐

𝟑(𝟐𝒙 − 𝟓)^𝟐 = 𝟑(𝟒𝒙^𝟐− 𝟐𝟎𝒙 + 𝟐𝟓) = 𝟏𝟐𝒙^𝟐− 𝟔𝟎𝒙 + 𝟕𝟓 Tidak benar

𝟑(𝟐𝒙 − 𝟓)^𝟐 = (𝟔𝒙 − 𝟏𝟓)^𝟐 = 𝟑𝟔𝒙^𝟐− 𝟏𝟖𝟎𝒙 + 𝟐𝟐𝟓 d) Kesalahan dalam mengasumsikan penjumlahan

Kesalahan ini terjadi saat siswa mengansumsikan bahwa sifat pada 𝟐(𝒙 + 𝒚) = 𝟐𝒙 + 𝟐𝒚 akan berlaku untuk semua bentuk aljabar yang mirip dengan bentuk tersebut. Berikut ini bentuk aljabar yang dianggap mempunyai sifat yang sama 𝟐(𝒙 + 𝒚) = 𝟐𝒙 + 𝟐𝒚 oleh siswa:

(𝒙 + 𝒚)^𝟐= 𝒙^𝟐+ 𝒚^𝟐, ^𝟏 𝒙 + 𝒚⁼ 𝟏 𝒙⁺ 𝟏 𝒚^{, 𝒅𝒂𝒏 √𝒙} 𝟐+ 𝒚𝟐 = 𝒙 + 𝒚

Pekerjaan di atas salah, karena:

(𝒙 + 𝒚)^𝟐≠ 𝒙^𝟐+ 𝒚^𝟐, ^𝟏 𝒙 + 𝒚^≠ 𝟏 𝒙⁺ 𝟏 𝒚^{, 𝒅𝒂𝒏 √𝒙} 𝟐+ 𝒚𝟐 ≠ 𝒙 + 𝒚

e) Kesalahan dalam mengerjakan soal dengan menghilangkan/menghapus variabel, koefisien, atau konstanta.

Kesalahan ini sering dilakukan siswa dalam menyederhanakan pecahan bentuk aljabar.

Contoh:

Menyederhanakan ^𝟑𝒙 𝟑−𝒙^𝟐

𝟑𝒙𝟑−𝒙𝟐

𝒙 = ^𝒙^𝟐^{(𝟑𝒙−𝟏)}

𝒙 = 𝒙(𝟑𝒙 − 𝟏)(benar) 𝟑𝒙^𝟑−𝒙^𝟐

𝒙 = 𝟑𝒙𝟐− 𝟏(tidak benar)

f) Kesalahan dalam menggunakan notasi pecahan

Kesalahan yang sering terjadi yaitu dalam menggunakan notasi ‘/’ untuk menunjukkan pecahan, contohnya 2/3. Notasi ini tidak masalah digunakan dalam menotasikan 2/3, tetapi akan menjadi masalah jika digunakan dalam menuliskan 𝟐/𝟑𝒙 karena 𝟐/𝟑𝒙 mempunyai dua makna yang berbeda, yaitu ^𝟐

𝟑𝒙 atau ^𝟐 𝟑𝒙, dalam hal ini siswa belum tentu mengerti pecahan mana yang dimaksud.

Kesalahan yang lain adalah menuliskan pecahan contohnya dalam bentuk berikut ^𝟐

𝟑𝒙. Siswa sering menuliskan pecahan seperti ini dengan maksud 𝒙 tidak termasuk sebagai penyebut.

Kesalahan yang terakhir dalam menggunakan notasi pecahan yaitu berkaitan kembali dengan penggunaan notasi ‘/’ untuk menunjukkan pecahan. Tetapi masalah yang ada berkaitan dengan masalah penggunaan tanda kurung. Pecahan yang dimaksud yaitu, ^𝒂+𝒃

𝒄+𝒅. Siswa sering menuliskan pecahan tersebut dengan menggunakan notasi ‘/’ dalam bentuk a+b/c+d. Siswa melihat pecahan yang dituliskannya

bermakna sama dengan pecahan ^𝒂+𝒃

𝒄+𝒅. Tetapi orang lain akan melihat berbeda, yaitu 𝒂 +^𝒃

𝒄+ 𝒅. Tentu bentuk ini berbeda dengan ^𝒂+𝒃

𝒄+𝒅. Jika akan menuliskan pecahan menggunakan notasi ‘/’ sebaiknya diberikan tanda kurung untuk pembilang dan penyebutnya. Pecahan yang dimaksud ditulis menjadi bentuk (a+b)/(c+d).

3. Kesalahan-Kesalahan yang Sering dilakukan Siswa dalam Menyelesaikan Soal-Soal Limit Fungsi Aljabar

Pratini (1991;55-67) mengklarifikasi kesalahan dalam mengerjakan soal Limit Fungsi Aljabar sebagai berikut:

a. Kesalahan dalam menghitung nilai limit fungsi konstan untuk sembarang titik limit

Kesalahan terdiri dari 3 macam:

1) Nilai limit fungsi konstan dianggap sama dengan titik limit itu sendiri. Contoh: i. 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝟎𝟕 = 𝟎 ii. 𝐥𝐢𝐦 𝒙→∞𝟓 = ∞

2) Nilai limit fungsi konstan dianggap sama dengan hasil kali nilai fungsi konstan dengan titik limitnya.

Contoh: i. 𝐥𝐢𝐦

ii. 𝐥𝐢𝐦

𝒙→∞𝟓 = 𝟓. ∞ = ∞

3) Nilai limit fungsi konstan dianggap sama dengan jumlah nilai fungsi konstan dengan titik limitnya.

Contoh: i. 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝟏𝟗 = 𝟗 + 𝟏 = 𝟏𝟎 ii. 𝐥𝐢𝐦 𝒙→−𝟏𝟏𝟎 = 𝟏𝟎 + (−𝟏) = 𝟏𝟎 − 𝟏 = 𝟗 iii. 𝐥𝐢𝐦 𝒙→−𝟏(−𝟏𝟐) = −𝟏𝟐 + (−𝟏) = −𝟏𝟑

b. Kesalahan dalam menghitung nilai limit fungsi monomial 𝑐𝑥^𝑛, 𝑛 = 1 untuk titik limit tak berhingga.

Kesalahan terdiri dari 2 macam:

1) Nilai limit fungsi monomial 𝑐𝑥^𝑛, 𝑛 = 1 dianggap sama dengan hasil kali nilai fungsi tersebut dengan titik limitnya.

Contoh: i. 𝐥𝐢𝐦 𝒙→∞𝟐𝒙 = 𝐥𝐢𝐦 𝟐𝒙. ∞ = ∞ ii. 𝐥𝐢𝐦 𝒙→−∞𝟑𝒙 = 𝐥𝐢𝐦 𝟑𝒙. (−∞) = −∞ iii. 𝐥𝐢𝐦 𝒙→∞(−𝟒𝒙) = 𝐥𝐢𝐦(−𝟒𝒙). ∞ = −∞

2) Nilai limit fungsi monomial 𝑐𝑥^𝑛, 𝑛 = 1 dianggap sama dengan hasil bagi fungsi tersebut dengan variabel fungsi.

Contoh: i. 𝐥𝐢𝐦 𝒙→∞𝟐𝒙 = 𝟎 = 𝐥𝐢𝐦 𝒙→∞ 𝟐𝒙 𝒙 = 𝟐 ii. 𝐥𝐢𝐦 𝒙→−∞𝟑𝒙 = 𝐥𝐢𝐦 𝒙→∞ 𝟑𝒙 𝒙 = 𝟑

c. Kesalahan dalam menghitung nilai limit fungsi pecah untuk titik limit tak berhingga.

Kesalahan yang dilakukan dengan membagi setiap suku pada pembilang dan penyebut dengan variabel berpangkat tertinggi kemudian mensubstitusikan titik limit ke variabel fungsi dan memberikan tak berhingga sebagai hasilnya.

Contoh: 1) 𝐥𝐢𝐦 𝒙→∞ 𝟔+𝟑𝒙 𝟕−𝟐𝒙= 𝐥𝐢𝐦 𝒙→∞ 𝟔 𝒙+^𝟑𝒙_𝒙 𝟕 𝒙−^𝟐𝒙_𝒙 = 𝐥𝐢𝐦 𝒙→∞ 𝟔 ∞+𝟑 𝟕 ∞−𝟐= ∞ 2) 𝐥𝐢𝐦 𝒙→∞ 𝒙^𝟐−𝒙+𝟐 𝒙𝟐+𝒙−𝟏= 𝐥𝐢𝐦 𝒙→∞ 𝒙𝟐 𝒙𝟐−^𝒙 𝒙𝟐+^𝟐 𝒙𝟐 𝒙𝟐 𝒙𝟐+^𝒙 𝒙𝟐−^𝟏 𝒙𝟐 = 𝐥𝐢𝐦 𝒙→∞ 𝟏−^𝟏 𝒙+^𝟐 𝒙𝟐 𝟏+^𝟏_𝒙−^𝟏 𝒙𝟐 = 𝐥𝐢𝐦 𝒙→∞ 𝟏−_∞^𝟏+_∞^𝟐 𝟏+_∞^𝟏−_∞^𝟏 = ∞ d. Kesalahan dalam menghitung nilai limit fungsi pecah untuk

sembarang titik limit.

Kesalahan yang dilakukan siswa dengan mensubsitusikan titik limit ke variabel fungsi padahal dengan substitusi tersebut mengakibatkan terjadinya bentuk tak tentu (^𝟎

𝟎 𝒂𝒕𝒂𝒖 ^∞ ∞). Contoh: 1) 𝐥𝐢𝐦 𝒙→∞ 𝟔+𝟑𝒙 𝟕−𝟐𝒙= 𝐥𝐢𝐦 𝒙→∞ 𝟔+𝟑.∞ 𝟕−𝟐.∞=^∞ ∞= ∞ 2) 𝐥𝐢𝐦 𝒙→∞ 𝒙𝟐−𝒙+𝟐 𝒙𝟐+𝒙−𝟏= 𝐥𝐢𝐦 𝒙→∞ 𝒙𝟐−𝒙+𝟐 𝒙𝟐+𝒙−𝟏= 𝐥𝐢𝐦 𝒙→∞ −𝒙+𝟐 𝒙−𝟏 = ^−∞+𝟐 ∞−𝟏 = ∞ 3) 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝟒 𝒙^𝟐−𝟏𝟔 𝒙−𝟒 = 𝐥𝐢𝐦^𝟒^𝟐^−𝟏𝟔 𝟎 = ^{𝟏𝟔−𝟏𝟔} 𝟎 =^𝟎 𝟎= 𝟎 4) 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝟎 𝟐𝒙^𝟑+𝟑𝒙^𝟐 𝒙𝟐−𝒙𝟑 = 𝐥𝐢𝐦^𝟐.𝟎^𝟑^+𝟑.𝟎^𝟐 𝟎𝟐−𝟎𝟑 = ^𝟎 𝟎= 𝟎

e. Kesalahan dalam menghitung nilai limit fungsi pecah untuk titik limit bilangan tertentu.

Kesalahan yang dilakukan siswa dengan menyederhanakan secara salah, kemudia mensubstitusikan titik limit ke variabel fungsi.

Ada 2 macam kesalahan, yaitu:

1) Membagi pembilang dan penyebut dengan variabel yang sama tetapi ada suku pada pembilang atau penyebut yang tidak dibagi dengan variabel tersebut.

Contoh: i. 𝐥𝐢𝐦 𝒙→−𝟒 𝟐𝒙−𝒙^𝟐 𝒙+𝟖 =^{𝒙(𝟐−𝒙)} 𝒙+𝟖 = ^𝟐−𝒙 𝟖 =^𝟐−𝟒 𝟖 =^−𝟐 𝟖 ii. 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝟑 𝟓𝒙^𝟐−𝟐𝒙 𝟏𝟎+𝟏𝟎 =^{𝒙(𝟓𝒙−𝟐)} 𝟏𝟎+𝒙 =^{𝟓𝒙−𝟐} 𝟏𝟎 =^{𝟓.𝟑−𝟐} 𝟏𝟎 = ^{𝟏𝟓−𝟐} 𝟏𝟎 =^𝟏𝟑 𝟏𝟎 iii. 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝟐 𝟔𝒙−𝟓𝒙𝟐 𝒙−𝟔 = ^{𝒙(𝟔−𝟓𝒙)} 𝒙−𝟔 =^{𝟔−𝟓𝒙} −𝟔 =^{𝟔−𝟓.𝟐} −𝟔 =^−𝟐 −𝟑

2) Membagi setiap suku pada pembilang dan penyebut dengan variabel berpangkat tertinggi padahal titik limitnya berhingga. Contoh: i. 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝟎 𝟐𝒙^𝟑+𝟑𝒙^𝟐 𝒙𝟐−𝒙𝟑 = 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝟎 𝟐𝒙𝟑 𝒙𝟑+^𝟑𝒙𝟐 𝒙𝟑 𝒙𝟐 𝒙𝟑−^𝒙𝟑 𝒙𝟑 = 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝟎 𝒙+𝟑𝒙 𝒙−𝟏 = 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝟎 𝟏 + 𝟑𝒙 −𝟏 ^{= 𝐥𝐢𝐦}𝒙→𝟎𝟑𝒙 = 𝟑. 𝟎 = 𝟎

ii. 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝟎 𝒙^𝟐−𝟏𝟎𝒙 𝒙𝟑+𝟐𝒙 = 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝟎 𝒙𝟐 𝒙𝟑−^𝟏𝟎𝒙 𝒙𝟑 𝒙𝟑 𝒙𝟑+^𝟐𝒙 𝒙𝟑 = 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝟎 𝒙−^𝟏𝟎𝒙 𝒙𝟑 𝟏−𝒙 = 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝟎 𝒙−^𝟏𝟎 𝒙𝟐 𝟏−𝒙 = 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝟎 𝟏−𝟏𝟎 𝟏−𝒙 = ^−𝟏𝟎 −𝒙 ⁼ −𝟏𝟎 −𝟎 ^{= 𝟏𝟎}

f. Kesalahan dalam menghitung nilai limit fungsi rasional untuk titik limit tak berhingga.

Kesalahan yang dilakukan siswa dengan mensubstitukan titik limit ke variabel fungsi, tetapi kemudian menganggap tak berhingga sama dengan nol.

Contoh: 1) 𝐥𝐢𝐦

𝒙→∞𝟐𝒙 = 𝟐. ∞ = 𝟐. 𝟎 = 𝟎 2) 𝐥𝐢𝐦

𝒙→−∞𝟑𝒙 = 𝟑(−∞) = 𝟑. 𝟎 = 𝟎

Berikut ini adalah contoh kategori kesalahan dalam mengerjakan soal Limit Fungsi Aljabar.

Tabel 2.1 Contoh kategori jenis kesalahan dalam mengerjakan soal-soal Limit Fungsi Aljabar.

No Jenis Kesalahan Contoh kesalahan

1. Penyalahgunaan Data

a. Menambahkan data yang tidak ada hubungannya dengan soal.

b. Mengabaikan data penting yang sudah ada dan menggantinya dengan data yang tidak relevan. c. Menguraikan syarat-syarat (dalam

pembuktian, perhitungan, penemuan) yang sebenarnya tidak dikehendaki soal.

d. Mengartikan sebagian informasi tidak sesuai dengan teks yang sebenarnya.

e. Menggunakan syarat yang tidak sesuai dengan informasi yang diberikan.

Soal: tentukan nilai limit berikut. 𝐥𝐢𝐦

𝒙→𝟐𝟐𝒙

Akan tetapi siswa menuliskan soal seperti berikut:

𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝟐𝟐𝒙 Kategori kesalahan:

Mengartikan sebagian informasi tidak sesuai dengan teks yang sebenarnya.

No Jenis Kesalahan Contoh kesalahan f. Menggunakan angka pengganti

suatu variabel untuk variabel yang lain.

g. Kesalahan menyalin soal dari lembar soal ke lembar jawab. 2. Kesalahan menginterpretasikan data

a. Menerjemahkan pernyataan dalam bahasa sehari-hari ke dalam bahasa atau persamaan matematika dengan arti yang berbeda.

b. Menuliskan simbol dari suatu konsep dengan simbol lain yang artinya berbeda.

c. Kesalahan mengartikan grafik.

3. Kesalahan menggunakan logika dalam menarik kesimpulan

a. Mengambil kesimpulan tidak benar, misalnya memberikan q sebagai akibat dari p tanpa dapat menjelaskan urutan pembuktian yang betul.

Soal : tentukan nilai limit berikut. 𝐥𝐢𝐦

𝒙→𝟐 𝒙 𝒙 − 𝟐^{= 𝟐}

Kategori : siswa mengambil kesimpulan yang tidak benar dan tidak dapat menjelaskan urutan pembuktian yang betul.

4. Kesalahan menggunakan definisi atau teorema

a. Menerapkan suatu teorema pada kondisi yang tidak sesuai.

b. Menerapkan sifat distributif untuk fungsi atau operasi yang bukan distributif.

c. Tidak teliti atau tidak tepat dalam mengutip definisi, rumus, atau teorema.

Soal : tentukan nilai limit berikut. 𝐥𝐢𝐦

𝒙→𝟐(𝒙 + 𝟐)𝟐 = 𝐥𝐢𝐦

𝒙→𝟐𝒙𝟐+ 𝟐𝟐 Kategori :

Menerapkan sifat distributif untuk fungsi atau operasi yang bukan distributif.

5. Penyelesaian tidak diperiksa kembali Soal: tentukan nilai limit berikut. 𝐥𝐢𝐦

𝒙→𝟏(𝒙𝟐+ 𝟐𝒙 − 𝟑) = 𝐥𝐢𝐦

𝒙→𝟏𝒙 + 𝟐. 𝒙 − 𝟑 = 𝟏 + 𝟐. 𝟏 − 𝟑 = 𝟎 15. Kesalahan yang dilakukan siswa dalam

penggunaan tanda kurung(Ashlock)

Soal: tentukan nilai limit berikut. 𝐥𝐢𝐦

𝒙→𝟐(𝟐𝒙𝟑)𝟐= 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝟐𝟐𝒙𝟓

Siswa salah mengubah (𝟐𝒙^𝟑)𝟐 menjadi 𝟐𝒙^𝟓. 16. Kesalahan tanda (Schechter) -

17. Kesalahan karena siswa memahami semua operasi adalah adititive seperti yang berlaku pada sifat suatu fungsi atau operasi 𝒇. (Schechter)

Soal : tentukan nilai limit berikut. 𝐥𝐢𝐦

𝒙→𝟕(𝒙𝟐+ 𝒙)𝟐= 𝐥𝐢𝐦

𝒙→𝟕𝒙𝟒+ 𝒙𝟐 Siswa salah dalam mengubah (𝒙𝟐+ 𝒙)𝟐 menjadi 𝒙𝟒+ 𝒙𝟐

18. Kesalahan dalam menggunakan sifat komutatif.

Soal : tentukan nilai limit berikut. 𝐥𝐢𝐦

𝒙→𝟎√𝒙𝟐− 𝟒 = 𝐥𝐢𝐦

𝒙→𝟎𝒙√𝟏 − 𝟒 Siswa salah dalam mengubah √𝒙𝟐− 𝟒 menjadi 𝒙√𝟏 − 𝟒

19. Kesalahan dengan

menghilangkan/menghapus variabel

Soal : tentukan nilai limit berikut. 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝟏 (𝟑𝒙 + 𝟕)(𝟐𝒙 − 𝟗) + (𝒙𝟐+ 𝟏) (𝟑𝒙 + 𝟕)(𝒙𝟐+ 𝟔) = 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝟏 (𝟐𝒙 − 𝟗) + (𝒙𝟐+ 𝟏) (𝒙𝟐+ 𝟔)

No Jenis Kesalahan Contoh kesalahan

Siswa salah dalam menghapus (𝟑𝒙 + 𝟕) 20. Kesalahan yang berhubungan dengan

sifat fungsi ( Scofield)

Contoh kesalahan sama dengan contoh kesalahan nomor 4.

21. Kesalahan dalam menghapuskan variabel dan koefisien saat menyederhanakan pecahan bentuk aljabar

Contoh kesalahan sama dengan contoh kesalahan nomor 19

22. Kesalahan pada perkalian bentuk aljabar dengan mengabaikan sifat pemangkatan

Soal : tentukan nilai limit berikut. 𝐥𝐢𝐦

𝒙→𝟑√𝟐𝒙 = 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝟑𝟐𝒙^𝟏𝟐

Siswa salah dalam mengubah √𝟐𝒙 menjadi 𝟐𝒙^𝟏𝟐.

23. Kesalahan dengan menuliskan perkalian tanpa tanda kurung

Contoh kesalahan sama dengan contoh kesalahan nomor 5

24. Kesalahan karena penggunaan tanda kurung berlebihan

- 25. Kesalahan dalam pembagian dengan

bilangan nol (Dawkins)

Soal : tentukan nilai limit berikut. 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝟎 𝟐 𝒙⁼ 𝟐 𝟎^{= 𝟐} 26. Kesalahan dalam penggunaan tanda

kurung

Contoh kesalahan sama dengan contoh kesalahan nomor 15

27. Kesalahan dalam mendistribusikan Soal : tentukan nilai limit berikut. 𝐥𝐢𝐦

𝒙→−𝟑𝒙𝟐= (−𝟑)𝟐= −(−𝟑)(−𝟑) = −𝟗 28. Kesalahan dalam mengasumsikan

penjumlahan

- 29. Kesalahan dalam mengerjakan soal

dengan menghilangkan/menghapus variabel, koefisien, atau konstanta

Contoh kesalahan sama dengan contoh kesalahan nomor 19

30. Kesalahan dalam menggunakan notasi pecahan

- 31. Kesalahan dalam menghitung nilai limit

fungsi konstan untuk sembarang titik limit (haniek)

a. Nilai limit fungsi konstan dianggap sama dengan titik limit itu sendiri. b. Nilai limit fungsi konstan dianggap

sama dengan hasil kali nilai fungsi konstan dengan titik limitnya. c. Nilai limit fungsi konstan dianggap

sama dengan jumlah nilai fungsi konstan dengan titik limitnya.

Contoh kesalahan : 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝟎𝟕 = 𝟎 𝐥𝐢𝐦 𝒙→∞𝟓 = ∞

32. Kesalahan dalam menghitung nilai limit fungsi monom berpangkat satu untuk titik limit tak berhingga

a. Nilai limit fungsi monom berpangkat satu dianggap sama dengan hasil kali nilai fungsi tersebut dengan titik limitnya.

b. Nilai limit fungsi monom berpangkat satu dianggap sama dengan hasil bagi fungsi tersebut dengan variabel fungsi. Contoh kesalahan : 𝐥𝐢𝐦 𝒙→∞𝟐𝒙 = 𝐥𝐢𝐦 𝟐𝒙. ∞ = ∞ 𝐥𝐢𝐦 𝒙→−∞𝟑𝒙 = 𝐥𝐢𝐦 𝟑𝒙. (−∞) = −∞ 𝐥𝐢𝐦 𝒙→∞(−𝟒𝒙) = 𝐥𝐢𝐦(−𝟒𝒙). ∞ = −∞

No Jenis Kesalahan Contoh kesalahan 33. Kesalahan dalam menghitung nilai limit

fungsi pecah untuk titik limit tak berhingga Contoh kesalahan : 𝐥𝐢𝐦 𝒙→∞ 𝒙𝟐− 𝒙 + 𝟐 𝒙𝟐+ 𝒙 − 𝟏 = 𝐥𝐢𝐦 𝒙→∞ 𝒙𝟐 𝒙𝟐−_𝒙^𝒙_𝟐+_𝒙^𝟐_𝟐 𝒙𝟐 𝒙𝟐+_𝒙^𝒙_𝟐−_𝒙^𝟏_𝟐 = 𝐥𝐢𝐦 𝒙→∞ 𝟏 −^𝟏_𝒙+_𝒙^𝟐_𝟐 𝟏 +^𝟏_𝒙− ^𝟏 𝒙𝟐 = 𝐥𝐢𝐦 𝒙→∞ 𝟏 −_∞^𝟏+_∞^𝟐 𝟏 +_∞^𝟏−_∞^𝟏 = ∞

34. Kesalahan dalam menghitung nilai limit fungsi pecah untuk sembarang titik limit

Contoh kesalahan : 𝐥𝐢𝐦 𝒙→∞ 𝒙𝟐− 𝒙 + 𝟐 𝒙𝟐+ 𝒙 − 𝟏^{= 𝐥𝐢𝐦}𝒙→∞ 𝒙𝟐− 𝒙 + 𝟐 𝒙𝟐+ 𝒙 − 𝟏 = 𝐥𝐢𝐦 𝒙→∞ −𝒙 + 𝟐 𝒙 − 𝟏 ⁼ −∞ + 𝟐 ∞ − 𝟏 = ∞

35. Kesalahan dalam menghitung nilai limit fungsi pecah untuk titik limit bilangan tertentu

a. Membagi pembilang dan penyebut dengan variabel yang sama tetapi ada suku pada pembilang atau penyebut yang tidak dibagi dengan variabel tersebut.

b. Membagi setiap suku pada pembilang dan penyebut dengan variabel berpangkat tertinggi padahal titik limitnya berhingga.

Contoh kesalahan : 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝟑 𝟓𝒙^𝟐− 𝟐𝒙 𝟏𝟎 + 𝟏𝟎 ⁼ 𝒙(𝟓𝒙 − 𝟐) 𝟏𝟎 + 𝒙 ⁼ 𝟓𝒙 − 𝟐 𝟏𝟎 =^{𝟓. 𝟑 − 𝟐} 𝟏𝟎 ⁼ 𝟏𝟓 − 𝟐 𝟏𝟎 =^𝟏𝟑 𝟏𝟎

36. Kesalahan dalam menghitung nilai limit fungsi rasional untuk titik limit tak berhingga

Contoh kesalahan : 𝐥𝐢𝐦

𝒙→−∞𝟑𝒙 = 𝟑(−∞) = 𝟑. 𝟎 = 𝟎

Dalam dokumen Analisis kesalahan siswa dalam mengerjakan soal-soal limit fungsi aljabar kelas XI IPA SMA Pangudi Luhur St. Vincentius Giriwoyo tahun ajaran 2014/2015 (Halaman 38-59)