Analisis kesalahan siswa dalam mengerjakan soal-soal limit fungsi aljabar kelas XI IPA SMA Pangudi Luhur St. Vincentius Giriwoyo tahun ajaran 2014/2015

PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI. ANALISIS KESALAHAN SISWA DALAM MENGERJAKAN SOAL-SOAL LIMIT FUNGSI ALJABAR KELAS XI IPA SMA PANGUDI LUHUR ST. VINCENTIUS GIRIWOYO TAHUN AJARAN 2014/2015. SKRIPSI Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Pendidikan Program Studi Pendidikan Matematika. Disusun Oleh: Danang Teleswara NIM. 111414073. PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA 2016.

PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI. ANALISIS KESALAHAN SISWA DALAM MENGERJAKAN SOAL-SOAL LIMIT FUNGSI ALJABAR KELAS XI IPA SMA PANGUDI LUHUR ST. VINCENTIUS GIRIWOYO TAHUN AJARAN 2014/2015. SKRIPSI Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Pendidikan Program Studi Pendidikan Matematika. Disusun Oleh: Danang Teleswara NIM. 111414073. PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA 2016. i.

PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI. SKRIPSI. ANALISIS KESALAHAN SISWA DALAM MENGERJAKAN SOAL-SOAL LIMIT FUNGSI ALJABAR KELAS XI IPA SMA PANGUDI LUHUR ST. VINCENTIUS GIRIWOYO TAHUN AJARAN 2014/2015. Oleh:. Danang Teleswara NIM: 111414073. Telah disetujui oleh:. Pembimbing. Dr. Y. Marpaung. Tanggal, ii.

PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI. SKRIPSI. ANALISIS KESALAHAN SISWA DALAM MENGERJAKAN SOAL-SOAL LIMIT FUNGSI ALJABAR KELAS XI IPA SMA PANGUDI LUHUR ST. VINCENTIUS GIRIWOYO TAHUN AJARAN 2014/2015 Dipersiapkan dan ditulis oleh: Danang Teleswara NIM: 111414073 Telah dipertahankan di depan Panitia Penguji pada tanggal 20 Januari 2016 dan dinyatakan memenuhi syarat. Susunan Panitia Penguji Nama Lengkap. Tanda tangan. Ketua. Dr. Marcellinus Andy Rudhito, S.Pd.. .............................. Sekretaris. Dr. Hongki Julie, M.Si.. .............................. Anggota. Dr. Yansen Marpaung. .............................. Anggota. Beni Utomo, M.Sc.. .............................. Anggota. Febi Sanjaya, M.Sc.. ............................. Yogyakarta, 20 Januari 2016 Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan Universitas Sanata Dharma Dekan,. Rohandi, Ph.D. iii.

PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI. HALAMAN PERSEMBAHAN. Dengan penuh syukur kupersembahkan skripsiku ini untuk: Tuhan Yesus Kristus yang selalu memberkati Bapak dan Ibuku Keluarga Besar dan Teman-temanku Margareta Aprilia Husadani yang selalu memberi semangat Sahabat-sahabatku P.Mat 2011 dan Cantus Firmus 2011 Terimakasih atas segala doa, dukungan, dan cinta untukku. iv.

PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI. PERNYATAAN KEASLIAN KARYA. Saya menyatakan dengan sesungguhnya bahwa skripsi yang saya tulis ini tidak memuat karya atau bagian karya orang lain, kecuali yang disebutkan dalam kutipan dan daftar pustaka, sebagaimana layaknya karya ilmiah.. Yogyakarta, Penulis,. Danang Teleswara. v.

PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI. LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA ILMIAH UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS. Yang bertanda tangan di bawah ini, saya mahasiswa Universitas Sanata Dharma: Nama. : Danang Teleswara. Nomor Induk Mahasiswa. : 111414073. Demi Pengembangan ilmu pengetahuan, saya memberikan kepada Perpustakaan Universitas Sanata Dharma karya ilmiah yang berjudul: “ANALISIS KESALAHAN SISWA DALAM MENGERJAKAN SOAL-SOAL LIMIT FUNGSI ALJABAR KELAS XI IPA SMA PANGUDI LUHUR ST. VINCENTIUS GIRIWOYO TAHUN AJARAN 2014/2015” Dengan demikian saya memberikan kepada Perpustakaan Universitas Sanata Dharma hak untuk menyimpan, untuk mengalihkan dalam bentuk median lain, mengelolanya dalam bentuk pangkalan data, mendistribusikan secara terbatas, dan mempublikasikannya di internet atau media lain untuk kepentingan akademis, tanpa perlu minta ijin dari saya maupun memberikan royalti kepada saya selama tetap mencantumkan nama say sebagai penulis. Demikian ini pernyataan yang saya buat dengan sebenarnya.. Dibuat di Yogyakarta Pada tanggal: Yang menyatakan. Danang Teleswara. vi.

PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI. ABSTRAK Danang Teleswara. 2015. Analisis Kesalahan Siswa dalam Mengerjakan Soal-soal Limit Fungsi Aljabar Kelas XI IPA SMA Pangudi Luhur St. Vincentius Giriwoyo Tahun Ajaran 2014/2015. Skripsi. Yogyakarta: Pendidikan Matematika, Jurusan Pendidikan Matematika dan IPA, Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan. Matematika bersifat abstrak, hal ini menyebabkan sebagian siswa kesulitan mempelajarinya terutama dalam penelitian ini adalah limit fungsi aljabar, sehingga berpengaruh terhadap nilai evaluasi pembelajaran. Kesalahan dalam menyelesaikan soal perlu diperbaiki dengan mengadakan analisis kesalahan. Penelitian dalam skripsi ini, bertujuan untuk mengetahui jenis kesalahan apa saja yang dihadapi siswa dalam pokok bahasan limit fungsi aljabar dan faktorfaktor penyebab kesalahan tersebut. Penelitian ini menggunakan metode deskriptif kualitatif. Data dikumpulkan melalui dua tahap, tahap pertama dengan memberikan tes diagnostik yang terdiri dari 5 butir soal dan tahap kedua dengan wawancara terhadap subyek yang terpilih. Jenis data yang dianalisis adalah data kualitatif berupa angka, kata atau kalimat hasil tes diagnostik dan hasil wawancara. Analisis data kualitatif dalam penelitian ini menggunakan metode analisis kesalahan, yaitu dengan mengidentifikasi kesalahan yang pertama kali muncul dan tampak dalam langkah-langkah penyelesaian pada jawaban tertulis siswa. Kesalahan tersebut kemudian digolongkan berdasarkan rumusan kategori kesalahan. Hasil penelitian menunjukkan bahwa (1) kesalahan-kesalahan yang dilakukan siswa antara lain: kesalahan data, kesalahan menggunakan logika untuk menarik kesimpulan, kesalahan menggunakan definisi atau teorema, penyelesaian yang tidak diperiksa kembali, dan kesalahan teknis. (2) faktor penyebabnya adalah siswa belum menguasai materi-materi prasyarat, siswa belum memahami konsepkonsep pada topik limit fungsi aljabar, siswa tidak tahu langkah yang harus digunakan dalam menyelesaikan soal matematika, siswa terburu-buru dalam mengerjakan soal, siswa merasa takut kalau jawabannya salah, siswa bingung dengan materi limit fungsi aljabar dan siswa tidak yakin. Kata kunci: Analisis Kesalahan, Limit Fungsi Aljabar, Jenis Kesalahan, Faktor Penyebab Kesalahan.. vii.

PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI. ABSTRACT Danang Teleswara. 2015. The error analysis of students in doing assignment on the limit of algebra function class XI Science in Pangudi Luhur St. Vincentius Giriwoyo Senior High School on School Year 2014/2015. Thesis. Yogyakarta: Mathematics Education, Department of Mathematics and Science Education, Faculty of Teacher Training and Education, Sanata Dharma University. Mathematic is abstract and causes difficulties for a lot of students to work on it. One of the difficulties, as what is studied in this research, is the limit of algebra function, so it affects the grade of student’s learning evaluation. Error in resolving the problem needs to be fixed with the error analysis.In this thesis, the research aims to find out what type of error encountered by students in the subject matter of the limit of algebra function and factors causes the error. This research uses the qualitative descriptive method. The data are collected by two steps. The first step is by giving 5 numbers of diagnostics tests and the second step is by interviewing the students. The result of diagnostics test and the interview which are in the form of numbers and sentences are analysed using errors method by identifying the errors which appear in the first time they answer the questions in written form. Those errors are grouped based on the category of kinds of errors. The results showed that (1) the mistakes committed by the students include: data error, error in using logic to draw conclusions, error in using definition or theorem, not checking back, and technical errors. (2) Contributing factors are students have not mastered the material prerequisites, students have not yet understand the concepts on the topic of the limit of algebra function, students do not know the steps that should be used in solving math problems, students rush in working on the problem, students feel afraid that the answer is wrong, the students are confused with the material limit of algebra function, and students are not sure. Keywords: Error Analysis, Limit of Algebra Function, The Type of Error, The Error Cause Factors.. viii.

PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI. KATA PENGANTAR. Puji dan syukur penulis haturkan kepada Tuhan Yang Maha Esa atas rahmat, kasih, dan karunia-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini dengan baik. Skripsi ini diajukan untuk memenuhi salah satu syarat memperoleh gelar sarjana pendidikan program studi pendidikan matematika. Selama pembuatan skripsi ini, banyak pihak yang telah membantu dan membimbing penulis. Oleh karena itu, melalui kesempatan ini penulis mengucapkan terima kasih kepada: 1. Bapak Rohandi, Ph.D., selaku Dekan Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan, Universitas Sanata Dharma Yogyakarta. 2. Bapak Dr. Hongki Julie, M.Si., selaku Ketua Program Studi Pendidikan Matematika, Jurusan Pendidikan Matematika dan IPA, Fakultas Keguruan. dan. Ilmu. Pendidikan,. Universitas. Sanata. Dharma. Yogyakarta. 3. Ibu Elisabet Ayunika Permata Sari, M.Sc., selaku dosen pembimbing akademik semester 1-5 dan Bapak Dominikus Arif Budi Prasetyo, M.Si., selaku dosen pembimbing akademik semester 6-9 yang telah memberikan bimbingan dan dukungan. 4. Bapak Dr. Yansen Marpaung selaku dosen pembimbing yang telah bersedia menyediakan waktu, tenaga, dan pikiran untuk memberikan bimbingan kepada penulis. Terima kasih atas segala motivasi, saran, dan kritik selama penyusunan skripsi ini.. ix.

PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI. 5. Segenap dosen dan seluruh staff sekretariat Jurusan Pendidikan Matematika dan IPA yang telah membantu dalam proses administrasi. 6. Bapak Drs. Br. Arnoldus Masdiharjo, M.Si., FIC selaku Kepala SMA Pangudi Luhur St. Vincentius Giriwoyo yang telah memberikan izin pelaksanaan penelitian. 7. Ibu Th. Ari Dwi Utami, M.Pd., selaku guru matematika kelas XI IPA SMA Pangudi Luhur St. Vincentius Giriwoyo yang telah membantu dalam pelaksanaan penelitian. 8. Bapak Priyo Tri Mursito, Ibu Nuri Prasetyowati, Kakak Nikolaus Novendra dan Adik Anggun Krismonika selaku keluarga penulis yang telah memberikan doa, dukungan, dan semangat. 9. Teman-teman Pendidikan Matematika 2011 yang telah memberikan dukungan dan semangat. 10. Semua pihak yang tidak dapat disebutkan satu per satu yang telah membantu dalam pembuatan skripsi ini. Semoga skripsi ini bermanfaat bagi kemajuan pendidikan dan pembaca. Yogyakarta, Penulis,. Danang Teleswara. x.

PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI. DAFTAR ISI. Halaman HALAMAN JUDUL................................................................................................ i HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING ..................................................... ii HALAMAN PENGESAHAN ................................................................................ iii HALAMAN PERSEMBAHAN ............................................................................ iv PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ................................................................. v LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA ILMIAH UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS .............................................................. vi ABSTRAK ............................................................................................................ vii ABSTRACT ......................................................................................................... viii KATA PENGANTAR ........................................................................................... ix DAFTAR ISI .......................................................................................................... xi DAFTAR TABEL ................................................................................................ xiv DAFTAR GAMBAR ............................................................................................ xv DAFTAR LAMPIRAN ....................................................................................... xvii BAB I PENDAHULUAN ....................................................................................... 1 A. Latar Belakang Masalah ............................................................................... 1 B. Identifikasi Masalah ..................................................................................... 4 C. Rumusan Masalah ........................................................................................ 5 D. Tujuan Penelitian ......................................................................................... 5 E. Pembatasan istilah ........................................................................................ 6 1. Analisis ................................................................................................... 6 2. Kesalahan ............................................................................................... 6 3. Limit Fungsi Aljabar .............................................................................. 6 F.. Manfaat Penelitian ....................................................................................... 7 1. Bagi Guru ............................................................................................... 7 2. Bagi Peneliti ........................................................................................... 7. BAB II LANDASAN TEORI ................................................................................. 8. xi.

PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI. A. Limit Fungsi Aljabar .................................................................................... 8 B. Faktor Penyebab Kesalahan ....................................................................... 16 1. Faktor Kognitif ..................................................................................... 16 2. Faktor Non Kognitif ............................................................................. 16 C. Metode Penyelesaian Menurut George Polya (1957) ................................ 17 D. Jenis Kesalahan .......................................................................................... 20 1. Jenis Kesalahan Menurut Hadar ........................................................... 20 2. Kesalahan-Kesalahan yang Sering dilakukan Siswa dalam Menyelesaikan Soal-Soal Aljabar ........................................................ 23 3. Kesalahan-Kesalahan yang Sering dilakukan Siswa dalam Menyelesaikan Soal-Soal Limit Fungsi Aljabar................................... 34 E. Keabsahan Data .......................................................................................... 41 BAB III METODE PENELITIAN........................................................................ 43 A. Waktu dan Tempat Pengambilan Data ....................................................... 43 B. Jenis Penelitian ........................................................................................... 43 C. Subyek dan Objek Penelitian ..................................................................... 43 D. Variabel Penelitian ..................................................................................... 45 E. Metode Pengumpulan Data ........................................................................ 45 F.. Instrumen Penelitian................................................................................... 46 1. Tes Diagnostik ...................................................................................... 46 2. Wawancara ........................................................................................... 47. G. Rencana Analisis Data ............................................................................... 47 H. Teknik Analisis Data .................................................................................. 51 1. Tes Diagnostik ...................................................................................... 51 2. Wawancara ........................................................................................... 51 I.. Validitas dan Reliabilitas ........................................................................... 52 1. Validitas................................................................................................ 52 2. Reliabilitas ............................................................................................ 53. J.. Keabsahan Data .......................................................................................... 54. K. Prosedur Pelaksanaan Penelitian ................................................................ 54 BAB IV ANALISIS HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN ................... 56. xii.

PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI. A. Pelaksanaan Penelitian ............................................................................... 56 B. Analisis Uji Coba Instrumen ...................................................................... 56 1. Validitas .............................................................................................. 57 2. Reliabilitas ............................................................................................ 58 3. Kesalahan Data ..................................................................................... 59 4. Kesalahan Menggunakan Logika dalam Menarik Kesimpulan............ 59 5. Kesalahan Menggunakan Definisi atau Teorema ................................. 60 6. Kesalahan Penyelesaian Tidak Diperiksa Kembali. ............................. 61 7. Kesalahan Teknis ................................................................................. 62 C. Deskripsi Data Penelitian ........................................................................... 65 D. Analisis Data Penelitian ............................................................................. 67 1. Kesalahan Data ..................................................................................... 67 2. Kesalahan Menggunakan Logika dalam Menarik Kesimpulan............ 69 3. Kesalahan Menggunakan Definisi atau Teorema ................................. 71 4. Kesalahan Penyelesaian Tidak Diperiksa Kembali .............................. 76 5. Kesalahan Teknis ................................................................................. 77 E. Faktor Penyebab Kesalahan ..................................................................... 119 BAB V PENUTUP .............................................................................................. 122 A. Kesimpulan .............................................................................................. 122 B. Saran ......................................................................................................... 124 DAFTAR PUSTAKA ......................................................................................... 125 LAMPIRAN ........................................................................................................ 127. xiii.

PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI. DAFTAR TABEL. Tabel 2.1 Contoh kategori jenis kesalahan dalam mengerjakan soal-soal Limit Fungsi Aljabar. ......................................................................................................38 Tabel 3.1 Kisi-kisi Soal Berdasarkan Indikator ....................................................46 Tabel 3.2. Pedoman Wawancara ............................................................................47 Tabel 3.3. Tabel Kategori Jenis Kesalahan ............................................................48 Tabel 3.4. Tabel Koefisien Reliabilitas ..................................................................54 Tabel 4.1 Pelaksanaan Penelitian ...........................................................................56 Tabel 4.2 Validitas soal Uji Coba instrumen .........................................................57 Tabel 4.3 Kesalahan data dalam Uji Coba .............................................................59 Tabel 4.4 Kesalahan menggunakan logika dalam menarik kesimpulan dalam Uji Coba .......................................................................................................................60 Tabel 4.5 Kesalahan menggunakan definisi atau teorema dalam Uji Coba ...........61 Tabel 4.6. Kesalahan penyelesaian tidak diperiksa kembali dalam Uji Coba .......62 Tabel 4.7 Kesalahan tipe 5.c dalam Uji Coba ........................................................63 Tabel 4.8 Kesalahan tipe 5.d dalam Uji Coba........................................................63 Tabel 4.9 Kesalahan tipe 5.h dalam Uji Coba ........................................................64 Tabel 4.10 Kesalahan tipe 5.j dalam Uji Coba.......................................................64 Tabel 4.11 Ringkasan Hasil Uji Coba dan Kontribusi bagi penelitian ..................65 Tabel 4.12 Rekapitulasi kesalahan siswa pada Tes Diagnostik ...........................114 Tabel 4.13 Persentase Kesalahan Siswa dalam Tes Diagnostik Berdasarkan Kategori Jenis Kesalahan .....................................................................................118. xiv.

PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI. DAFTAR GAMBAR. Gambar 4.1 Jawaban S2 untuk soal nomor 4 .........................................................68 Gambar 4.2 Jawaban S9 untuk soal nomor 4 .........................................................68 Gambar 4.3 Jawaban S17 untuk soal nomor 4 .......................................................69 Gambar 4.4 Jawaban S8 untuk soal nomor 2 .........................................................69 Gambar 4.5 Jawaban S16 untuk soal nomor 5 .......................................................70 Gambar 4.6 Jawaban S15 untuk soal nomor 3 .......................................................71 Gambar 4.7 Jawaban S10 untuk soal nomor 2, 4, dan 5 ........................................73 Gambar 4.8 Jawaban S8 untuk soal nomor 5 .........................................................74 Gambar 4.9 Jawaban S13 untuk soal nomor 5 .......................................................75 Gambar 4.10 Jawaban S7 untuk soal nomor 3 .......................................................75 Gambar 4.11 Jawaban S12 untuk soal nomor 2 .....................................................76 Gambar 4.12 Jawaban S3 untuk soal nomor 4 .......................................................77 Gambar 4.13 Jawaban S22 untuk soal nomor 4 .....................................................78 Gambar 4.14 Jawaban S4 untuk soal nomor 2 dan nomor 3 ..................................79 Gambar 4.15 Jawaban S1 untuk soal nomor 4 .......................................................81 Gambar 4.16 Jawaban S9 untuk soal nomor 5 .......................................................82 Gambar 4.17 Jawaban S8 untuk soal nomor 4 .......................................................83 Gambar 4.18 Jawaban S10 untuk soal nomor 3 .....................................................83 Gambar 4.19 Jawaban S12 untuk soal nomor 3 dan nomor 5 ................................84 Gambar 4.20 Jawaban S14 untuk soal nomor 2 dan nomor 3 ................................85 Gambar 4.21 Jawaban S15 untuk soal nomor 4 .....................................................87 Gambar 4.22 Jawaban S16 untuk soal nomor 2 .....................................................89 Gambar 4.23 Jawaban S13 untuk soal nomor 4 .....................................................90 Gambar 4.24 Jawaban S20 untuk soal nomor 3 .....................................................91 Gambar 4.25 Jawaban S3 untuk soal nomor 5 .......................................................91 Gambar 4.26 Jawaban S4 untuk soal nomor 5 .......................................................92. xv.

PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI. Gambar 4.27 Jawaban S13 untuk soal nomor 2 .....................................................94 Gambar 4.28 Jawaban S18 untuk soal nomor 5 .....................................................95 Gambar 4.29 Jawaban S1 untuk soal nomor 5 .......................................................95 Gambar 4.30 Jawaban S7 untuk soal nomor 4 .......................................................97 Gambar 4.31 Jawaban S17 untuk soal nomor 3 .....................................................98 Gambar 4.32 Jawaban S21 untuk soal nomor 4 .....................................................99 Gambar 4.33 Jawaban S22 untuk soal nomor 2 .....................................................99 Gambar 4.34 Jawaban S3 untuk soal nomor 2 .....................................................101 Gambar 4.35 Jawaban S9 untuk soal nomor 2 .....................................................101 Gambar 4.36 Jawaban S17 untuk soal nomor 2 ...................................................102 Gambar 4.37 Jawaban S4 untuk soal nomor 4 .....................................................102 Gambar 4.38 Jawaban S5 untuk soal nomor 4 .....................................................104 Gambar 4.39 Jawaban S9 untuk soal nomor 4 .....................................................105 Gambar 4.40 Jawaban s14 untuk soal nomor 4 dan nomor 5 ..............................105 Gambar 4.41 Jawaban S4 untuk soal nomor 1 .....................................................107 Gambar 4.42 Jawaban S9 untuk soal nomor 1 .....................................................108 Gambar 4.43 Jawaban S1 untuk soal nomor 1 .....................................................109 Gambar 4.44 Jawaban S10 untuk soal nomor 1 ...................................................110 Gambar 4.45 Jawaban S14 untuk soal nomor 1 ...................................................110 Gambar 4.46 Jawaban S16 untuk soal nomor 1 ...................................................112 Gambar 4.47 Jawaban S22 untuk soal nomor 1 ...................................................112 Gambar 4.47 Persentase Kesalahan siswa dalam Tes Diagnostik ......................119. xvi.

PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI. DAFTAR LAMPIRAN. LAMPIRAN A LAMPIRAN A1 SOAL TES UJI COBA ...........................................................128 LAMPIRAN A2 KUNCI JAWABAN TES UJI COBA .....................................129 LAMPIRAN A3 DAFTAR NILAI TES UJI COBA ..........................................131 LAMPIRAN A4 SOAL TES DIAGNOSTIK .....................................................132 LAMPIRAN A5 KUNCI JAWABAN TES DIAGNOSTIK ..............................133 LAMPIRAN B VALIDITAS DAN REABILITAS SOAL TES UJI COBA ......135 LAMPIRAN C LAMPIRAN C1 HASIL PEKERJAAN S1, S4, S14, S15, DAN S22 .................137 LAMPIRAN C2 TRANSKRIP WAWANCARA ................................................145 LAMPIRAN D LAMPIRAN D1 DOKUMENTASI ....................................................................172 LAMPIRAN D2 SURAT IJIN PENELITIAN ...................................................173 LAMPIRAN D3 SURAT MELAKSANAKAN PENELITIAN .........................174. xvii.

PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI. BAB I PENDAHULUAN. A. Latar Belakang Masalah Matematika sebagai salah satu mata pelajaran yang wajib diajarkan di seluruh sekolah Indonesia, mempunyai posisi yang sangat penting. Seperti yang diungkapkan oleh Suherman et al. (2002), siswa memerlukan Matematika untuk memenuhi kebutuhan praktis dan memecahkan masalah dalam kehidupan sehari-hari. Namun ironisnya, penguasaan Matematika di Indonesia masih belum cukup kuat. Berdasarkan survei kemampuan anak di usia 15 tahun dan 16 tahun dibidang matematika yang dilakukan sebuah organisasi dalam naungan Organization Economic Cooperation and Development (OECD) yang bernama Program for International Student Assessment (PISA) pada tahun 2012 terhadap 65 negara di dunia, Indonesia menempati urutan ke-64 dari 65 negara (OECD, 2012). Sedangkan hasil survei yang dilakukan oleh Trends International Mathematics and science Study (TIMMS) di tahun 2007, Indonesia menempati urutan 36 dari 49 negara untuk rata-rata skor prestasi matematika siswa kelas VIII. Ada beberapa materi yang dijadikan acuan untuk mengukur tingkat kemampuan pemecahan masalah matematika. Hasil studi PISA tahun 2012 yaitu siswa yang mampu menjawab soal dengan benar pada geometri sebesar 47,5%, statistik sebesar 61,9%, aljabar sebesar 41,4%, dan bilangan. 1.

PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI. 2. sebesar 53,7%. Dari hasil studi PISA tahun 2009 menunjukkan bahwa tingkat kesulitan yang dihadapi oleh siswa yaitu pada soal aljabar. Hal ini ditunjukkan dari hasil secara keseluruhan yaitu hanya 41,4% siswa yang dapat menjawab benar. Sangat kecil dibandingkan dengan soal pada materi yang lain (Aini, 2014). Rendahnya pencapaian hasil belajar tersebut menandakan bahwa siswa. mengalami. kesulitan. mempelajari. Matematika.. Kesulitan. mempelajari Matematika disebabkan karena Matematika bukanlah obyek yang. konkret.. Sumardyono. (2004:30). mengemukakan. beberapa. karakteristik umum matematika yaitu: (1) memiliki obyek kajian yang abstrak, berupa fakta, operasi (atau relasi), konsep, dan prinsip, (2) bertumpu pada kesepakatan atau konvensi, baik berupa simbol-simbol dan istilah maupun aturan-aturan dasar (aksioma), (3) berpola deduktif, (4) konsisten dalam sistemnya, (5) memiliki simbol yang kosong dari arti, serta (6) memperhatikan semesta pembicaraan. Menyelesaikan. soal-soal. dalam. Matematika,. tidak. hanya. membutuhkan keterampilan berhitung, tetapi membutuhkan kemampuan pemahaman. konseptual. dan. prosedural. serta. kreativitas. dalam. menyelesaikannya. Guru sering mengeluh tentang sulitnya siswa dalam menyelesaikan soal matematika dan siswa akan menghadapi masalah dalam belajar matematika jika kesalahan dalam menyelesaikan soal tidak diperbaiki. Kesalahan yang dilakukan siswa perlu diidentifikasi dan.

PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI. 3. informasi tentang kesalahan dalam menyelesaikan soal dapat digunakan untuk meningkatkan mutu kegiatan pembelajaran Matematika. Limit Fungsi Aljabar merupakan pokok bahasan yang termasuk dalam aspek materi Limit dan Turunan Fungsi yang diajarkan di Kelas XI IPA semester II. Untuk mempelajari Limit Fungsi Aljabar, siswa harus memahami materi Aljabar yang telah diajarkan saat SMP. Penguasaan Limit Fungsi Aljabar sangat penting, alasannya adalah: 1. Konsep Limit Fungsi Aljabar mendasari Kalkulus yang diperlukan dalam mempelajari Matematika lanjut, karena konsep limit digunakan untuk mendefinisikan pengertianpengertian dasar Kalkulus, seperti: kontinuitas, diferensial, dan integral, serta mendasari pengertian-pengertian konvergensi dan divergensi deret tak hingga (Susilo, dalam Haniek Sri Pratini,1991;3) 2. Konsep Limit Fungsi Aljabar juga mendasari konsep-konsep dalam Fisika, seperti: Kecepatan, percepatan, usaha, dan sebagainya (Pratini,1991;3). 3. Bila dibandingkan antara Limit Fungsi Aljabar dengan Limit Fungsi Trigonometri yang diajarkan di SMA, maka topik Limit Fungsi Aljabar memuat metode perhitungan yang lebih beragam dari pada Limit Fungsi Trigonometri, sehingga banyak hal yang dapat diteliti (Pratini,1991;3)..

PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI. 4. Peneliti melakukan wawancara dengan guru matematika SMA Pangudi Luhur St. Vincentius giriwoyo untuk mengetahui gambaran pemahaman siswa dalam materi Limit Fungsi Aljabar di tahun sebelumnya. Berdasarkan wawancara yang dilakukan peneliti dengan guru matematika SMA Pangudi Luhur St. Vincentius Giriwoyo, diketahui bahwa banyak siswa yang tidak memahami materi Limit Fungsi Aljabar. Hal tersebut berakibat pada nilai hasil ulangan yang belum mencapai ketuntasan pada sebagian besar siswa. Guru dapat membantu siswa yang mengalami kesulitan belajar Matematika, dengan mengetahui letak kasalahan belajar siswa, khususnya pada pokok bahasan Konsep Limit Fungsi Aljabar, dengan cara memperbaiki metode mengajarnya atau dapat juga dengan merencanakan pelajaran remidi terutama bagi siswa yang mengalami kesulitan belajar. Oleh karena itu, penelitian analisis kesalahan siswa dalam mengerjakan soal-soal pada Konsep Limit Fungsi Aljabar dirasa perlu dilakukan.. B. Identifikasi Masalah Berdasarkan latar belakang masalah di atas, maka peneliti dapat mengidentifikasi beberapa masalah sebagai berikut : 1. Pemahaman siswa terhadap konsep Matematika kurang kuat. 2. Konsep-konsep Matematika bersifat abstrak..

PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI. 5. 3. Limit Fungsi Aljabar merupakan materi penting untuk dipelajari karena sebagai dasar untuk bisa memahami materi selanjutnya dan mendasari konsep-konsep Fisika. 4. Belum tercapainya ketuntasan belajar pada sebagian besar siswa merupakan gejala bahwa masih banyak siswa yang belum memahami Limit Fungsi Aljabar dan melakukan kesalahan dalam mengerjakan soal-soal yang diberikan.. C. Rumusan Masalah Berdasarkan identifikasi masalah, maka rumusan masalah yang diajukan sebagai berikut: 1. Kesalahan apa saja yang dilakukan siswa ketika menyelesaikan soalsoal Limit Fungsi Aljabar? 2. Jenis kesalahan apa saja yang dilakukan siswa dalam menyelesaikan soal Limit Fungsi Aljabar? 3. Faktor apa saja yang menyebabkan siswa mengalami kesalahan dalam menyelesaikan Limit Fungsi Aljabar?. D. Tujuan Penelitian Tujuan penelitian yang ingin dicapai melalui penelitian ini adalah: 1. Mendeskripsikan kesalahan siswa dalam mengerjakan soal-soal Limit Fungsi Aljabar..

PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI. 6. 2. Mendeskripsikan faktor-faktor yang menyebabkan siswa salah dalam menyelesaikan soal-soal Limit Fungsi Aljabar.. E. Pembatasan istilah Istilah-istilah yang dibatasi oleh peneliti adalah sebagai berikut: 1. Analisis Analisis adalah penyelidikan suatu peristiwa (karangan, perbuatan, dsb) untuk mengetahui keadaan yang sebenarnya (sebabmusabab, duduk perkara, dsb). Analisis yang dimaksud dalam penelitian ini adalah penyelidikan kesalahan pada jawaban siswa yang terdapat dalam tes diagnostik dan faktor penyebab kesalahan melalui wawancara. 2. Kesalahan Kesalahan adalah hasil tindakan yang tidak tepat atau menyimpang dari aturan atau norma-norma tertentu. Kesalahan yang dimaksud dalam penelitian ini adalah kesalahan yang terlihat pada hasil pekerjaan tertulis siswa dalam menyelesaikan soal-soal Limit Fungsi Aljabar (Tes diagnostik). Soal-soal Limit Fungsi Aljabar yang digunakan akan disusun oleh peneliti. 3. Limit Fungsi Aljabar Limit Fungsi Aljabar merupakan salah satu pokok bahasan yang diajarkan di kelas XI IPA semester 2..

PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI. 7. F. Manfaat Penelitian 1. Bagi Guru Hasil penelitian ini diharapkan dapat memberikan gambaran kepada guru tentang jenis-jenis kesalahan siswa dalam menyelesaikan soal-soal Limit Fungsi Aljabar. Guru akan lebih mudah membuat program bantuan yang tepat untuk siswa dan strategi mengajar untuk mengantisipasi kemungkinan siswa mengalami kesulitan dengan mengetahui jenis kesalahan siswa dalam mengerjakan soal Limit Fungsi Aljabar. 2. Bagi Peneliti Penelitian ini digunakan untuk memenuhi tugas akhir sebagai salah satu syarat memperoleh gelar Sarjana Pendidikan. Selain itu, dari penelitian ini peneliti juga memperoleh pengetahuan dan gambaran tentang. kesalahan-kesalahan. yang. dilakukan. menyelesaikan soal-soal Limit Fungsi Aljabar.. siswa. dalam.

PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI. BAB II LANDASAN TEORI. A. Limit Fungsi Aljabar Berikut ini adalah penjelasan materi limit fungsi berdasarkan Purcell (1987): 1. Pendahuluan Limit Perkataan limit dipergunakan dalam bahasa sehari-hari seperti misalnya seseorang berkat, “saya mendekati batas kesabaran saya.” Pemakaian yang demikian mempunyai hubungan dengan kalkulus, tetapi tidak banyak. PEMAHAMAN SECARA INTUISI. Pandang fungsi yang ditentukan oleh rumus 𝒇(𝒙) =. 𝒙𝟑 − 𝟏 𝒙−𝟏. Perhatikan bahwa fungsi tersebut tidak terdefinisikan pada x=1 karena 𝟎. di titik ini 𝒇(𝒙) berbentuk 𝟎, yang tanpa arti. Tetapi masih dapat menanyakan apa yang terjadi pada 𝒇(𝒙) bilamana 𝒙 mendekati 1. Dapat dilihat hasil perhitungan beberapa nilai 𝒇(𝒙) untuk 𝒙 dekat 1, menunjukkan nilai-nilai ini dalam sebuah diagram skematis dan mensketsakan grafik 𝒚 = 𝒇(𝒙). 8.

PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI. 9. Kesimpulannya adalah 𝒇(𝒙) mendekati 3 bilamana 𝒙 mendekati 1. Dalam lambang matematis, ditulis 𝐥𝐢𝐦. 𝒙𝟑 −𝟏. 𝒙→𝟏 𝒙−𝟏. = 𝟑. Ini dibaca “limit dari. (𝒙𝟑 − 𝟏)/(𝒙 − 𝟏) untuk 𝑥 mendekati 1 adalah 3.” Definisi (Pengertian limit secara intuisi). Untuk mengatakan bahwa 𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙) = 𝑳 berarti bahwa bilamana 𝒙 dekat tapi berlainan dari 𝒄, 𝒙→𝒄. maka 𝒇(𝒙) dekat ke 𝑳. LIMIT-LIMIT SEPIHAK. Bilamana suatu fungsi mempunyai lompatan, maka limit tidak ada pada setiap titik lompatan. Untuk fungsi-fungsi yang demikian, adalah wajar untuk memperkenalkan limit-limit sepihak. Andaikan lambang 𝒙 → 𝒄+ berarti bahwa 𝒙 mendekati 𝒄 dari kanan, dan andaikan lambang 𝒙 → 𝒄− berarti bahwa 𝒙 mendekati 𝒄 dari kiri. Definisi (Limit kiri dan limit kanan). Untuk mengatakan bahwa 𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙) = 𝑳 𝒙→𝒄. berarti bahwa bilamana 𝒙 dekat tetapi pada sebelah kanan 𝑐, maka 𝒇(𝒙) adalah dekat ke 𝑳. Serupa, untuk mengatakan bahwa.

PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI. 10. 𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙) = 𝑳 berarti bahwa bilamana 𝒙 dekat tetapi pada sebelah kiri 𝒙→𝒄. 𝒄, maka 𝒇(𝒙) adalah dekat ke 𝑳.. Teorema A 𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙) = 𝑳 jika dan hanya jika 𝐥𝐢𝐦− 𝒇(𝒙) = 𝑳 dan 𝐥𝐢𝐦+ 𝒇(𝒙) = 𝑳 𝒙→𝒄. 𝒙→𝒄. 𝒙→𝒄. Gambar di bawah ini seharusnya memberikan tambahan yang jelas.. 2. Pengkajian Mendalam Tentang Limit Berikut definisi yang lebih baik sedikit, tetapi masih tetap tak formal, dengan menyusun kembali susunan kata-kata dari definisi tersebut. Untuk mengatakan bahwa 𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙) = 𝑳 berarti bahwa selisih 𝒙→𝒄. antara 𝒇(𝒙) dan 𝑳 dapat dibuat sekecil mungkin dengan mensyaratkan bahwa 𝒙 cukup dekat tetapi tidak sama dengan 𝒄. MEMBUAT DEFINISI PERSIS. Pertama, ikuti sebuah tradisi panjang dalam memakai huruf yunani ε (epsilon) dan δ (delta) untuk menggantikan bilangan-bilangan kecil positif. Bayangkan ε dan δ sebagai bilangan-bilangan kecil positif. Mengatakan bahwa 𝒇(𝒙) berbeda dari 𝑳 lebih kecil dari ε sama saja dengan mengatakan.

PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI. 11. |𝒇(𝒙) − 𝑳| < 𝜺 𝑳 − 𝜺 < 𝒇(𝒙) < 𝑳 + 𝜺 Ini berarti bahwa 𝒇(𝒙) terletak dalam selang terbuka (𝑳 − 𝜺, 𝑳 + 𝜺) seperti yang diperlihatkan pada grafik di bawah ini.. Selanjutnya, ucapan bahwa 𝒙 cukup dekat tetapi berlainan dengan 𝒄 sama saja dengan mengatakan bahwa untuk suatu δ, 𝒙 terletak dalam dalam selang terbuka (𝒄 − 𝜹, 𝒄 + 𝜹) dengan 𝒄 tidak diikutkan. Barangkali cara terbaik untuk mengatakan ini adalah dengan menuliskan 𝟎 < |𝒙 − 𝒄| < 𝜹 Perhatikan bahwa |𝒙 − 𝒄| < 𝜹 akan memberikan selang 𝒄 − 𝜹 < 𝒙 < 𝒄 + 𝜹, sedangkan 𝟎 < |𝒙 − 𝒄| mensyaratkan bahwa 𝒙 = 𝒄 dikecualikan. Selang dengan pengecualian yang diuraikan tersebut diperlihatkan pada gambar di bawah ini..

PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI. 12. Definisi (Pengertian persis tentang limit). Mengatakan bahwa 𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙) = 𝑳 𝒙→𝒄. berarti bahwa untuk setiap 𝜺 > 𝟎 yang diberikan (betapapun kecilnya), terdapat 𝜹 > 𝟎 yang berpadanan sedemikian sehingga |𝒇(𝒙) − 𝑳| < 𝜺 asalkan bahwa 𝟎 < |𝒙 − 𝒄| < 𝜹; yakni, 𝟎 < |𝒙 − 𝒄| < 𝜹 → |𝒇(𝒙) − 𝑳| < 𝜺. Gambar-gambar di bawah ini dapat kiranya membantu menyerap definisi ini.. LIMIT-LIMIT SATU-PIHAK, tidak memerlukan banyak imajinasi untuk memberikan definisi ε, δ atau aturan limit kanan dan limit kiri..

PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI. 13. Definisi Mengatakan 𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙) = 𝑳 berarti bahwa untuk tiap 𝜺 > 𝟎, terdapat 𝒙→𝒄. 𝜹 > 𝟎 yang berpadanan sedemikian sehingga 𝟎 < |𝒙 − 𝒄| < 𝜹 → |𝒇(𝒙) − 𝑳| < 𝜺 3. Teorema Limit. Teorema A (Teorema Limit Utama). Andaikan 𝒏 bilangan bulat positif, 𝒌 konstanta, dan 𝒇 dan 𝒈 adalah fungsi-fungsi yang mempunyai limit di 𝒄. Maka a. 𝐥𝐢𝐦 𝒌 = 𝒌 𝒙→𝒄. b. 𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙) = 𝒇(𝒂) 𝒙→𝒄. c. 𝐥𝐢𝐦 𝒌. 𝒇(𝒙) = 𝒌 𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙) 𝒙→𝒄. 𝒙→𝒄. d. 𝐥𝐢𝐦[𝒇(𝒙) + 𝒈(𝒙)] = 𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙) + 𝐥𝐢𝐦 𝒈(𝒙) 𝒙→𝒄. 𝒙→𝒄. 𝒙→𝒄. e. 𝐥𝐢𝐦[𝒇(𝒙) − 𝒈(𝒙)] = 𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙) − 𝐥𝐢𝐦 𝒈(𝒙) 𝒙→𝒄. 𝒙→𝒄. 𝒙→𝒄. f. 𝐥𝐢𝐦[𝒇(𝒙) × 𝒈(𝒙)] = 𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙) × 𝐥𝐢𝐦 𝒈(𝒙) 𝒙→𝒄. 𝒙→𝒄. 𝒇(𝒙). 𝒙→𝒄. 𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙). 𝒙→𝒄 g. 𝐥𝐢𝐦 𝒈(𝒙) = 𝐥𝐢𝐦 , dengan syarat 𝐥𝐢𝐦 𝒈(𝒙) ≠ 𝟎 𝒈(𝒙). 𝒙→𝒄. 𝒙→𝒄. 𝒙→𝒄. 𝒏. h. 𝐥𝐢𝐦(𝒇(𝒙))𝒏 = (𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙)) 𝒙→𝒄. 𝒙→𝒄. i. 𝐥𝐢𝐦 𝒏√𝒇(𝒙) = 𝒏√𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙) , 𝑎𝑠𝑎𝑙𝑘𝑎𝑛 𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙) > 𝒙→𝒄 𝒙→𝒄 𝒙→𝒄 𝟎 𝑏𝑖𝑙𝑎𝑚𝑎𝑛𝑎 𝒏 𝑔𝑒𝑛𝑎𝑝. Teorema B (Teorema Substitusi). Jika 𝒇 suatu fungsi polinom atau fungsi rasional, maka 𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙) = 𝒇(𝒄) 𝒙→𝒄. Asalkan dalam kasus fungsi rasional nilai penyebut di 𝒄 tidak nol..

PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI. 14. BUKTI TEOREMA A (FAKULTATIF) Bukti pernyataan 1 dan 2 pernyataan ini merupakan hasil dari 𝐥𝐢𝐦(𝒎𝒙 + 𝒃) = 𝒎𝒄 + 𝒃, pertama dengan memakai 𝒎 = 𝟎 dan 𝒙→𝒄. kemudian 𝒎 = 𝟏, 𝒃 = 𝟎. Bukti pernyataan 3 jika 𝒌 = 𝟎, hasilnya jelas, sehingga kita andaikan 𝒌 ≠ 𝟎. Andaikan diberikan 𝜺 > 𝟎. Menurut hipotesis, 𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙) ada, 𝒙→𝒄. sebut nilainya 𝑳. Menurut definisi limit, terdapat suatu bilangan 𝜹 sedemikan sehingga 𝟎 < |𝒙 − 𝒄| < 𝜹 → |𝒇(𝒙) − 𝑳| <. 𝜺 |𝒌|. Sekarang dengan telah ditetapkannya 𝜹, kita dapat menyatakan bahwa 𝟎 < |𝒙 − 𝒄| < 𝜹 berarti |𝒌𝒇(𝒙) − 𝒌𝑳| = |𝒌||𝒇(𝒙) − 𝑳| < |𝒌|. 𝜺 =𝜺 |𝒌|. Ini menunjukkan bahwa 𝐥𝐢𝐦 𝒌. 𝒇(𝒙) = 𝒌 𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙) 𝒙→𝒄. 𝒙→𝒄. Bukti pernyataan 4 Andaikan 𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙) = 𝑳 dan 𝐥𝐢𝐦 𝒈(𝒙) = 𝑴. Jika 𝜺 𝒙→𝒄. 𝒙→𝒄. 𝜺. sebarang bilangan positif yang diberikan, maka 𝟐 adalah positif. Karena 𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙) = 𝑳, maka terdapat suatu bilangan positif 𝜹𝟏 sedemikian 𝒙→𝒄. sehingga 𝟎 < |𝒙 − 𝒄| < 𝜹𝟏 → |𝒇(𝒙) − 𝑳| <. 𝜺 𝟐. Karena 𝐥𝐢𝐦 𝒈(𝒙) = 𝑴, terdapat suatu bilangan positif 𝜹𝟐 sedemikian 𝒙→𝒄. sehingga 𝟎 < |𝒙 − 𝒄| < 𝜹𝟐 → |𝒈(𝒙) − 𝑳| <. 𝜺 𝟐. Pilih 𝜹 = 𝒎𝒊𝒏{𝜹𝟏 , 𝜹𝟐 }; yaitu pilih 𝜹 sebagai yang terkecil di antara 𝜹𝟏 dan 𝜹𝟐 . Maka 𝟎 < |𝒙 − 𝒄| < 𝜹 menunjukkan |𝒇(𝒙) + 𝒈(𝒙) − (𝑳 − 𝑴)| = |[𝒇(𝒙) − 𝑳] + [𝒈(𝒙) − 𝑴]| ≤ |𝒇(𝒙) − 𝑳| + |𝒈(𝒙) − 𝑴|.

PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI. 15. 𝜺 𝜺 + =𝜺 𝟐 𝟐 Dalam rangkaian ini, ketaksamaan yang pertama adalah ketaksamaan <. segitiga; yang kedua sebagai hasil dari pilihan 𝜹. Baru saja memperlihatkan bahwa 𝟎 < |𝒙 − 𝒄| < 𝜹 → |𝒇(𝒙) + 𝒈(𝒙) − (𝑳 − 𝑴)| < 𝜺 Jadi 𝐥𝐢𝐦[𝒇(𝒙) + 𝒈(𝒙)] = 𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙) + 𝐥𝐢𝐦 𝒈(𝒙) 𝒙→𝒄. 𝒙→𝒄. 𝒙→𝒄. Bukti pernyataan 5 𝐥𝐢𝐦[𝒇(𝒙) − 𝒈(𝒙)] = 𝐥𝐢𝐦[𝒇(𝒙) + (−𝟏)𝒈(𝒙)] 𝒙→𝒄. 𝒙→𝒄. = 𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙) + 𝐥𝐢𝐦(−𝟏)𝒈(𝒙) 𝒙→𝒄. 𝒙→𝒄. = 𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙) + (−𝟏)𝐥𝐢𝐦 𝒈(𝒙) 𝒙→𝒄. 𝒙→𝒄. = 𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙) − 𝐥𝐢𝐦 𝒈(𝒙) 𝒙→𝒄. 𝒙→𝒄. TEOREMA APIT Pernahkah mendengar seseorang berkata, “saya terjebak di antara batu dan tempat yang keras?” Inilah yang yang terjadi pada 𝑔 dalam teorema berikut (lihat gambar di bawah ini)..

PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI. 16. Teorema C (Teorema Apit) Andikan 𝒇, 𝒈 𝒅𝒂𝒏 𝒉 adalah fungsi-fungsi yang memenuhi 𝒇(𝒙) ≤ 𝒈(𝒙) ≤ 𝒉(𝒙) untuk semua 𝒙 dekat 𝒄, kecuali mungkin di 𝒄. Jika 𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙) = 𝐥𝐢𝐦 𝒉(𝒙) = 𝐥𝐢𝐦 𝒈(𝒙) = 𝑳 𝒙→𝒄. 𝒙→𝒄. 𝒙→𝒄. B. Faktor Penyebab Kesalahan Faktor Penyebab kesalahan secara umum dapat dibedakan menjadi dua macam, yaitu faktor kognitif dan faktor non kognitif. 1. Faktor Kognitif Menurut Suwarsono (1982), faktor kognitif adalah segala sesuatu yang berhubungan dengan kemampuan intelektual siswa dalam memproses atau mencerna materi matematika ke dalam pikiran. 2. Faktor Non Kognitif Menurut Burton (dalam M. Entang, 1984:13-14), kesulitan belajar yang membuatnya melakukan kesalahan adalah faktor yang terdapat dalam diri siswa dan faktor yang terletak di luar diri siswa. 1) Faktor-faktor yang terdapat dalam diri siswa antara lain kelemahan secara fisik (suatu pusat susunan syaraf tidak berkembang secara sempurna, luka atau cacat, atau sakit), sehingga sering membawa gangguan emosional, yang menghambat usaha-usaha belajar secara optimal. Kelemahan-kelemahan secara mental (baik kelemahan yang dibawa sejak lahir maupun karena pengalaman) yang sukar diatasi oleh individu yang bersangkutan dan juga oleh pendidikan, misalnya taraf kecerdasannya memang kurang atau sebenarnya.

PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI. 17. hanya kurang minat, kebimbangan, kurang usaha, aktivitas yang tidak terarah, kurang semangat dan sebagainya, juga kurang menguasai ketrampilan dan kebiasaan fundamental dalam belajar. Kelemahan-kelemahan emosional, misalnya penyesuaian yang salah (adjusment) terhadap orang-orang, situasi dan tuntutan-tuntutan tugas dan lingkungan. Kelemahan yang disebabkan oleh karena kebiasaan dan sikap-sikap yang salah, antara lain: malas belajar atau sering bolos atau tidak mengikuti pelajaran. Tidak memiliki ketrampilan-ketrampilan dan pengetahuan dasar yang diperlukan seperti ketidakmampuan membaca, berhitung, kurang menguasai pengetahuan dasar untuk suatu bidang studi yang sedang diikutinya secara sekuensial (meningkat dan beruntun). 2) Faktor-faktor yang terletak di luar diri siswa, antara lain : kurikulum yang seragam (uniform), bahan dan buku-buku (sumber) yang tidak sesuai dengan tingkat-tingkat kematangan dan perbedaan-perbedaan individu : ketidaksesuaian standar administratif (sistem pengajaran, penilaian, pengelolaan kegiatan dan pengalaman belajar mengajar, dan sebagainya); terlalu banyak kegiatan di luar jam pelajaran sekolah atau terlalu banyak terlibat dalam kegiatan ekstrakurikuler.. C. Metode Penyelesaian Menurut George Polya (1957) Polya (1957; 6-16) dalam bukunya yang berjudul “How to Solve It” tentang metode penyelesaian dalam mengerjakan soal matematika,.

PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI. 18. menjelaskan langkah-langkah yang perlu dilakukan dalam menyelesaikan suatu masalah matematika. Ada 4 langkah yang perlu dilakukan yaitu, memahami masalah, memikirkan suatu rencana, melaksanakan rencana, dan mengecek jawaban. Keempat langkah tersebut mempunyai penjelasan sebagai berikut: 1. Memahami Masalah (understanding the problem) Langkah pertama ini meliputi: a. Membaca soal dengan teliti sehingga dapat memahami apa yang ditanyakan, data yang diketahui, dan memahami apa saja syaratnya. b. Merencanakan apa yang akan dilakukan. c. Mengidentifikasi data yang penting. 2. Memikirkan Suatu Rencana (devising a plan) Langkah kedua meliputi: a. Mengumpulkan semua data yang ada. b. Memikirkan beberapa tindakan yang mungkin, antara lain: . Mencari pola,. . Menggambar sketsa,. . Membuat daftar yang teroganisir,. . Menyederhanakan masalah,. . Menebak dan memeriksa (Guess and check),. . Membuat tabel,. . Menulis beberapa kalimat, dan. . Mengecek kebenaran data yang diberikan..

PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI. 19. 3. Melaksanakan Rencana (carrying out the plan) Langkah ketiga ini meliputi: a. Melaksanakan rencana penyelesaian masalah. b. Mengecek tiap-tiap langkah apakah sudah tepat. c. Meninjau kembali atau mengubah rencana bila diperlukan. d. Membuat rencana baru jika perlu. 4. Melihat Kembali (looking back) Pada langkah ini, dilakukan pengecekan kembali penyelesaian yang diperoleh, antara lain: a. Pastikan bahwa telah menggunakan semua informasi penting. b. Menentukan ya atau tidaknya jawaban masuk akal. c. Mengecek apakah semua syarat yang diberikan soal telah dipenuhi. Masing-masing langkah tersebut sangat penting untuk menentukan suatu penyelesaian. Namun, yang biasanya terjadi adalah siswa memperoleh suatu penyelesaian dengan tanpa berpikir, atau mengabaikan keempat langkah tersebut. Hal yang paling buruk juga dapat terjadi ketika siswa memulai perhitungan, atau penafsiran tanpa memahami masalah. Banyak kesalahan yang dapat dihindari jika siswa melaksanakan rencana dan mengecek masing-masing langkah..

PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI. 20. D. Jenis Kesalahan 1. Jenis Kesalahan Menurut Hadar Hadar,dkk (1987) mengklasifikasikan kesalahan siswa dalam mengerjakan soal-soal matematika dalam enam tipe kesalahan sebagai berikut: a. Penyalahgunaan data. b. Kesalahan menginterpretasikan bahasa. c. Kesimpulan yang tidak tepat secara logika. d. Penyimpangan teorema atau definisi. e. Penyelesaian yag tidak diteliti kebenarannya. f. Kesalahan teknis. Adapun penjelasan dari tiap-tiap kategori kesalahan tersebut adalah sebagai berikut: a. Penyalahgunaan Data Kategori ini meliputi kesalahan-kesalahan yang dapat dihubungkan dengan ketidaksesuaian antara data yang diberikan dalam soal dengan data yang dikutip oleh siswa yang meliputi kesalahan-kesalahan berikut: 1) Menambahkan data yang tidak ada hubungannya dengan soal. 2) Mengabaikan data penting yang sudah ada dan menggantinya dengan data yang tidak relevan. 3) Menguraikan syarat-syarat (dalam pembuktian, perhitungan, penemuan) yang sebenarnya tidak dikehendaki soal..

PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI. 21. 4) Mengartikan sebagian informasi tidak sesuai dengan teks yang sebenarnya. 5) Menggunakan syarat yang tidak sesuai dengan informasi yang diberikan. 6) Menggunakan angka pengganti suatu variabel untuk variabel yang lain. 7) Kesalahan menyalin soal dari lembar soal ke lembar jawab. b. Kesalahan menginterpretasikan data Kategori ini meliputi kesalahan matematika yang berkaitan dengan. ketidaktepatan. menerjemahkan. suatu. pernyataan. matematika yang dideskripsikan dalam suatu bahasa ke bahasa yang lain. Kategori kesalahan ini meliputi kesalahan-kesalahan sebagai berikut: 1) Menerjemahkan pernyataan dalam bahasa sehari-hari ke dalam bahasa atau persamaan matematika dengan arti yang berbeda. 2) Menuliskan simbol dari suatu konsep dengan simbol lain yang artinya berbeda. 3) Kesalahan mengartikan grafik. c. Kesalahan menggunakan logika dalam menarik kesimpulan.

PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI. 22. Pada umumnya yang termasuk dalam kategori ini adalah kesalahan-kesalahan dalam menarik kesimpulan dari suatu informasi yang diberikan atau dari kesimpulan sebelumnya, yaitu: 1) Dari pernyataan implikasi p→q, siswa menarik kesimpulan sebagai berikut: . Bila q diketahui terjadi maka p pasti terjadi.. . Bila p salah maka q juga salah.. 2) Mengambil kesimpulan tidak benar, misalnya memberikan q sebagai akibat dari p tanpa dapat menjelaskan urutan pembuktian yang betul. d. Kesalahan menggunakan definisi atau teorema Kesalahan ini merupakan penyimpangan prinsip, aturan, teorema, atau definisi pokok yang khas. Kategori ini meliputi kesalahan-kesalahan sebagai berikut: 1) Menerapkan suatu teorema pada kondisi yang tidak sesuai, 𝒂. 𝒃. misalnya menerapkan aturan sinus, 𝐬𝐢𝐧 𝜶 = 𝐬𝐢𝐧 𝜷; α c. a. Y Y Y Y Y Y β. γ. b 2) Menerapkan sifat fungsi atau sifat operasi pada kondisi yang tidak sesuai. Misalnya: . Sin (α+β) = sin α + sin β. . (𝒂 + 𝒃)𝒏 = 𝒂𝒏 + 𝒃𝒏.

PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI. 23. 3) Tidak teliti atau tidak tepat dalam mengutip definisi, rumus, atau teorema. Misalnya: . 𝒂. Fungsi yang grafiknya berbentuk parabola 𝑿𝒎𝒊𝒏 = − 𝒃 𝒂. sebagai pengganti 𝑿𝒎𝒊𝒏 = − 𝟐𝒃 . (𝒂 + 𝒃)𝟐 = 𝒂𝟐 + 𝟐𝒂𝒃 − 𝒃𝟐. e. Penyelesaian tidak diperiksa kembali Kesalahan ini terjadi jika setiap langkah yang ditempuh oleh peserta tes benar, akan tetapi hasil akhir yang diberikan bukan penyelesaian dari soal tersebut dan siswa tidak menjawab sesuai dengan pertanyaan pada soal. f. Kesalahan teknis Kategori kesalahan teknis meliputi kesalahan-kesalahan berikut: 1) Kesalahan perhitungan 2) Kesalahan dalam mengutip data dari tabel. 3) Kesalahan dalam memanipulasi simbol-simbol aljabar dasar. 2. Kesalahan-Kesalahan yang Sering dilakukan Siswa dalam Menyelesaikan Soal-Soal Aljabar Siswa membutuhkan kemampuan tentang aljabar yang sudah dipelajari sejak SMP dalam mengerjakan soal-soal limit fungsi aljabar,. Maka untuk mendukung penelitian ini, peneliti akan membahas kesalahan yang dilakukan siswa dalam mengerjakan soal-soal aljabar..

PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI. 24. a. Kesalahan-kesalahan berdasarkan Schechter (2002) Schechter (dalam Nugraheni, 2009; 11-14) pada artikelnya mengemukakan beberapa kesalahan mahasiswa dalam mengerjakan soal-soal sebagai berikut: 1) Kesalahan tanda Salah satu penyebab kesalahan ini adalah “kepercayaan bahwa tanda minus adalah tanda negatif”. Apakah −𝒙 adalah bilangan negatif? Itu tergantung 𝒙. . Ya, jika 𝒙 adalah bilangan positif.. . Tidak, jika 𝒙 adalah bilangan negatif.. Siswa mengalami kebingungan dalam membaca “−𝒙” sebagai “𝒎𝒊𝒏𝒖𝒔 𝒙” atau sebagai “𝒏𝒆𝒈𝒂𝒕𝒊𝒇 𝒙”. Siswa kebanyakan membacanya sebagai negatif 𝒙. Cara membaca “−𝒙” sebagai “𝒏𝒆𝒈𝒂𝒕𝒊𝒇 𝒙” tentu saja belum tentu benar. Negatif digunakan sebagai suatu tanda sedangkan Minus digunakan sebagai suatu operasi. Cara membaca “−𝒙” sebaiknya “𝒏𝒆𝒈𝒂𝒕𝒊𝒇 𝒙”. 2) Kesalahan karena siswa memahami semua operasi adalah adititive seperti yang berlaku pada sifat suatu fungsi atau operasi 𝒇. Suatu fungsi atau operasi 𝒇 disebut adititive jika fungsi atau operasi 𝒇 tersebut memenuhi 𝒇(𝒙 + 𝒚) = 𝒇(𝒙) + 𝒇(𝒚) untuk semua bilangan 𝒓𝒆𝒂𝒍. Hal ini benar untuk operasi-operasi tertentu, berikut contohnya:.

PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI. 25. . Limit dari suatu jumlah adalah jumlah dari limit-limitnya.. . Turunan dari suatu jumlah adalah jumlah dari turunanturunannya.. . Integral dari suatu penjumlahan adalah penjumlahan dari integral-integralnya. Tetapi ini tidak benar untuk operasi yang lain. Namun,. siswa sering menggunakan aturan penjumlahan ini. Contoh: 𝐬𝐢𝐧(𝒙 + 𝒚) = 𝐬𝐢𝐧 𝒙 + 𝐬𝐢𝐧 𝒚 , (𝒙 + 𝒚)𝟐 = 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 √𝒙 + 𝒚 = √𝒙 + √𝒚 3) Kesalahan dalam menggunakan sifat komutatif Pada matematika tingkat atas dipelajari bahwa dua operasi bersifat komutatif dapat ditunjukkan jika salah satu dari kedua operasi tersebut dalam bentuk yang berbeda (operasi yang digunakan penjumlahan atau perkalian) akan mendapatkan hasil atau nilai yang sama. Contoh kesalahan yang dilakukan siswa : 𝐥𝐨𝐠 √𝒙 = √𝐥𝐨𝐠 𝒙 𝒅𝒂𝒏 𝐬𝐢𝐧 𝟑𝒙 = 𝟑 𝐬𝐢𝐧 𝒙 4) Kesalahan dengan menghilangkan/menghapus variabel Diberikan dua fungsi 𝒇(𝒙) dan 𝒈(𝒙). . 𝒇(𝒙) =. . 𝒈(𝒙) =. (𝟑𝒙+𝟕)(𝟐𝒙−𝟗)+(𝒙𝟐 +𝟏) (𝟑𝒙+𝟕)(𝒙𝟑 +𝟔). =. (𝟑𝒙+𝟕)[(𝟐𝒙−𝟗)+(𝒙𝟐 +𝟏)] (𝟑𝒙+𝟕)(𝒙𝟑 +𝟔). (𝟐𝒙−𝟗)+(𝒙𝟐 +𝟏). =. 𝒙𝟑 +𝟔 (𝟐𝒙−𝟗)+(𝒙𝟐 +𝟏) 𝒙𝟑 +𝟔.

PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI. 26. 𝒇(𝒙) dan 𝒈(𝒙) adalah dua fungsi yang berbeda. Perhitungan pada 𝒇(𝒙) salah. Perhitungan pada 𝒈(𝒙) tepat. Beberapa siswa berpikir bahwa 𝒇(𝒙) dan 𝒈(𝒙) adalah fungsi yang sama. Mungkin dalam menyederhanakan mereka tidak cermat melihat pembilang 𝒇(𝒙). Suku-suku pada pembilang 𝒇(𝒙) tidak semuanya memiliki faktor (𝟑𝒙 + 𝟕). Perhitungan yang tepat untuk 𝒇(𝒙) sebagai berikut: 𝒇(𝒙) =. (𝟑𝒙 + 𝟕)(𝟐𝒙 − 𝟗) + (𝒙𝟐 + 𝟏) (𝟑𝒙 + 𝟕)(𝒙𝟑 + 𝟔). =. (𝒙𝟐 + 𝟏) 𝟑𝒙 + 𝟕 𝒙𝟑 + 𝟔. (𝟐𝒙 − 𝟗) +. Kesalahan ini sering dilakukan siswa karena mereka tidak paham bahwa penghapusan (hukum kanselasi) hanya dilakukan pada saat pembilang dan penyebut memenuhi faktor yang sama. b. Kesalahan-kesalahan berdasarkan Scofield (2003) Scofield (dalam Nugraheni,2009;14-17) pada artikelnya mendeskripsikan kesalahan-kesalahan yang paling banyak dilihat pada matematika di Universitas Calvin. Scofield (2003, dalam Nugraheni,2009) mengemukakan beberapa kesalahan siswa dalam mengerjakan soal-soal aljabar sebagai berikut: 1) Kesalahan yang berhubungan dengan sifat fungsi Keanehan ini bermula saat siswa memperoleh sebuah bentuk persamaan 𝒇(𝒙) = 𝒎𝒙 dengan 𝒎 adalah konstanta (gradien). Bentuk ini memungkinkan siswa mengikuti sifat.

PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI. “adititive”.. Meskipun. kecenderungan. siswa. 27. untuk. memperlakukan fungsi sebagai penjumlahan, fungsi lain tidak mempunyai sifat ini. Kesalahan yang dilakukan siswa meliputi: . √𝟑𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 = √𝟑𝒙𝟐 + √𝟐𝒙.. . (𝒙 + 𝟐)𝟑 = 𝒙𝟑 + 𝟖.. . 𝐥𝐧(𝟐𝒙 − 𝟏) = 𝐥𝐧(𝟐𝒙) − 𝐥𝐧 𝟏.. . 𝟏. 𝟏. 𝟏. =𝒙+𝟓 𝒙+𝟓. 2) Kesalahan dalam menghapuskan variabel dan koefisien saat menyederhanakan pecahan bentuk aljabar Hal ini berawal saat siswa di tingkat sekolah dasar menyederhanakan pecahan, seperti. 𝟓𝟐 𝟑𝟎. 𝟐.𝟐𝟔. 𝟐𝟔. = 𝟐.𝟏𝟓 = 𝟏𝟓. Tingkat. sekolah menengah mengajarkan siswa untuk menghapus bentuk aljabar yang melibatkan variabel seperti dalam (𝒙+𝟐)(𝒙+𝟒) (𝟐𝒙−𝟏)(𝒙+𝟐). (𝒙+𝟐)(𝒙+𝟒) (𝟐𝒙−𝟏)(𝒙+𝟐). =. (𝒙+𝟒). = (𝟐𝒙−𝟏). Kesalahan siswa karena menghapuskan. variabel dan koefisien saat menyederhanakan pecahan bentuk aljabar dapat dilihat dalam contoh sebagai berikut: 𝟑𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 − 𝟏 𝟑𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 − 𝟏 𝟐 + 𝟐𝒙 𝟐 = = = = −𝟐 𝟐 𝟐 𝟐𝒙 − 𝒙 𝟐𝒙 − 𝒙 𝟐𝒙 − 𝟏 −𝟏 Siswa menghapuskan sembarang unsur pada pembilang dan penyebut. Kesalahan ini dilakukan oleh beberapa siswa yang tidak memahami bahwa penghapusan hanya dilakukan pada saat pembilang dan penyebut difaktorkan..

PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI. 28. 3) Kesalahan pada perkalian bentuk aljabar dengan mengabaikan sifat pemangkatan. Pemangkatan merupakan perkalian berulang untuk bilangan yang sama. Sifat pemangkatan yang paling sering tidak dipahami siswa, yaitu (𝒂)𝒎 (𝒃)𝒎 = (𝒂𝒃)𝒎. Sifat ini dapat berlaku pada contoh berikut: 𝟒𝒙𝟐 = 𝟐𝟐 𝒙𝟐 = (𝟐𝒙)𝟐 dan 𝟑√𝒙 = 𝟏. 𝟏. 𝟏. 𝟗𝟐 𝒙𝟐 = (𝟗𝒙)𝟐 = √𝟗𝒙 tetapi beberapa siswa mengabaikan sifat pemangkatan pada perkalian. Kesalahan yang dilakukan siswa dalam pemangkatan dapat dilihat dalam contoh berikut; 𝟏. . 𝟐𝒙𝟐 = √𝟐𝒙. . −(𝟑𝒙)𝟐 = 𝟗𝒙𝟐. . 𝟑(𝒙 + 𝟏)𝟐 = (𝟑𝒙 + 𝟑)𝟐. . 𝟑 𝟐𝒙𝟐. = 𝟑(𝟐𝒙)−𝟐. 4) Kesalahan dengan menuliskan perkalian tanpa tanda kurung Saat menjumpai sebuah pernyataan yang mengandung penjumlahan dan perkalian di dalamnya, maka perkalian akan dikerjakan terlebih dulu, berikut contohnya:𝟐 + 𝟑 × 𝟓 adalah 17 bukan 30. Sesuatu yang terdapat dalam tanda kurung akan dikerjakan terlebih dulu sebelum mengerjakan yang di luar tanda kurung maka 2-(3-(2-6))=-5 sedangkan 2-(3-2-6)=7 dan 2-3-26=-13. Hal ini juga akan berlaku untuk pernyataan yang mengandung variabel, berikut contohnya: 𝒙 × 𝟐𝒙 − 𝟕 tidak.

PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI. 29. sama dengan 𝒙(𝟐𝒙 − 𝟕). Dalam perkalian (𝟑) dan (−𝟓𝒙)𝟐 tanda kurung juga digunakan (𝟑)(−𝟓𝒙)𝟐 atau lebih sederhana −𝟏𝟓𝒙𝟐 namun siswa kebanyakan melakukan kesalahan dengan menuliskannya dalam 𝟑 × −𝟓𝒙𝟐 sehingga dapat menimbulkan kesalahan. 5) Kesalahan karena penggunaan tanda kurung berlebihan Menurut Scofield (2003), sebenarnya ini bukan kesalahan yang fatal namun siswa yang tetap menggunakan tanda kurung lebih banyak daripada yang dibutuhkan menunjukkan bahwa mereka kurang memahami aturan pada operasi aljabar. Berikut contoh penggunaan tanda kurung yang berlebihan. . (𝟐𝒙𝟐 +𝟑𝒙). (. (𝒙−𝟏). ) akan lebih sederhana jika ditulis. (𝟐𝒙𝟐 +𝟑𝒙) (𝒙−𝟏). .. c. Kesalahan-kesalahan berdasarkan Dawkins Dawkins. (2006,. dalam. Nugraheni,2009). menelusuri. kesalahan – kesalahan yang sering dilakukan siswa berdasarkan artikel dari Schechter (2002) dan berdasarkan pengamatan atas kesalahan-kesalahan yang dilakukan para siswanya. Dawkins (2006, dalam Nugraheni,2009;17-22) mengemukakan beberapa kesalahan yang sering dilakukan siswa dalam mengerjakan soal-soal aljabar sebagai berikut: 1) Kesalahan dalam pembagian dengan bilangan nol.

PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI. Kesalahan. yang. sering. dilakukan. siswa. pembagian dengan bilangan nol yaitu menghitung 𝟐. 𝟐 𝟎. 30. dalam. = 𝟎 atau. = 𝟐. Pembagian dengan bilangan nol yang benar, yaitu 𝟎. 𝟐 𝟎. =. 𝒕𝒊𝒅𝒂𝒌 𝒕𝒆𝒓𝒅𝒆𝒇𝒊𝒏𝒊𝒔𝒊𝒌𝒂𝒏. 2) Kesalahan dalam penggunaan tanda kurung Kesalahan ini disebabkan karena siswa tidak paham pentingnya penggunaan tanda kurung atau siswa menganggap tanda kurung tidak diperlukan dalam langka-langkah tertentu. Contohnya: a) Menguadratkan 𝟒𝒙 Benar. Tidak benar. (𝟒𝒙)𝟐 = (𝟒)𝟐 (𝒙)𝟐 = 𝟏𝟔𝒙𝟐 (𝟒𝒙)𝟐 = 𝟒𝒙𝟐 Dalam kasus ini tanda kurung digunakan untuk meyakinkan bahwa yang dikuadratkan adalah 𝟒𝒙 bukan hanya 𝒙 saja. b) Menguadratkan -3 Benar (−𝟑)𝟐 = (−𝟑)(−𝟑) = 𝟗 Tidak benar (−𝟑)𝟐 = −(𝟑)(𝟑) = −𝟗 Banyak siswa sebenarnya tahu bahwa secara teknik mereka harus menguadratkan -3, tetapi tanda kurung seakan terlupakan sehingga hasil pengerjaan menjadi -9. c) Mengurangkan 𝟒𝒙 − 𝟓 dari 𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 − 𝟓.

PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI. 31. Benar 𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 − 𝟓 − (𝟒𝒙 − 𝟓) = 𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 − 𝟓 − 𝟒𝒙 + 𝟓 = 𝒙𝟐 − 𝒙 Tidak benar 𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 − 𝟓 − 𝟒𝒙 − 𝟓 = 𝒙𝟐 − 𝒙 − 𝟏𝟎 Kebanyakan siswa tidak memberikan tanda kurung pada 𝟒𝒙 − 𝟓 karena ketidaktahuan siswa bahwa tanda kurung diperlukan, sehingga hasil pada pengurangan ini menjadi tidak benar. 3) Kesalahan dalam mendistribusikan Contoh: a) Mengalikan 𝟒(𝟐𝒙𝟐 − 𝟏𝟎) Benar 𝟒(𝟐𝒙𝟐 − 𝟏𝟎) = 𝟖𝒙𝟐 − 𝟒𝟎 Tidak benar 𝟒(𝟐𝒙𝟐 − 𝟏𝟎) = 𝟖𝒙𝟐 − 𝟏𝟎 Kesalahan yang dilakukan siswa karena hanya mengalikan 4 dengan 𝟐𝒙𝟐 saja. b) Mengalikan −𝒂(𝒙 − 𝟏) Benar. Tidak benar. −𝒂(𝒙 − 𝟏) = −𝒂𝒙 + 𝟏. −𝒂(𝒙 − 𝟏) = −𝒂𝒙 + 𝟏. c) Mengalikan 𝟑(𝟐𝒙 − 𝟓)𝟐 Benar.

PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI. 32. 𝟑(𝟐𝒙 − 𝟓)𝟐 = 𝟑(𝟒𝒙𝟐 − 𝟐𝟎𝒙 + 𝟐𝟓) = 𝟏𝟐𝒙𝟐 − 𝟔𝟎𝒙 + 𝟕𝟓 Tidak benar 𝟑(𝟐𝒙 − 𝟓)𝟐 = (𝟔𝒙 − 𝟏𝟓)𝟐 = 𝟑𝟔𝒙𝟐 − 𝟏𝟖𝟎𝒙 + 𝟐𝟐𝟓 d) Kesalahan dalam mengasumsikan penjumlahan Kesalahan ini terjadi saat siswa mengansumsikan bahwa sifat pada 𝟐(𝒙 + 𝒚) = 𝟐𝒙 + 𝟐𝒚 akan berlaku untuk semua bentuk aljabar yang mirip dengan bentuk tersebut. Berikut ini bentuk aljabar yang dianggap mempunyai sifat yang sama 𝟐(𝒙 + 𝒚) = 𝟐𝒙 + 𝟐𝒚 oleh siswa: (𝒙 + 𝒚)𝟐 = 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 ,. 𝟏 𝟏 𝟏 = + , 𝒅𝒂𝒏 √𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 𝒙+𝒚 𝒙 𝒚. =𝒙+𝒚 Pekerjaan di atas salah, karena: (𝒙 + 𝒚)𝟐 ≠ 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 ,. 𝟏 𝟏 𝟏 ≠ + , 𝒅𝒂𝒏 √𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 𝒙+𝒚 𝒙 𝒚. ≠𝒙+𝒚 e) Kesalahan. dalam. mengerjakan. menghilangkan/menghapus. variabel,. soal koefisien,. dengan atau. konstanta. Kesalahan ini sering dilakukan siswa dalam menyederhanakan pecahan bentuk aljabar. Contoh: Menyederhanakan. 𝟑𝒙𝟑 −𝒙𝟐 𝒙.

PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI. 𝟑𝒙𝟑 −𝒙𝟐 𝒙 𝟑𝒙𝟑 −𝒙𝟐 𝒙. =. 𝒙𝟐 (𝟑𝒙−𝟏) 𝒙. 33. = 𝒙(𝟑𝒙 − 𝟏)(benar). = 𝟑𝒙𝟐 − 𝟏(tidak benar). f) Kesalahan dalam menggunakan notasi pecahan Kesalahan. yang. sering. terjadi. yaitu. dalam. menggunakan notasi ‘/’ untuk menunjukkan pecahan, contohnya 2/3. Notasi ini tidak masalah digunakan dalam menotasikan 2/3, tetapi akan menjadi masalah jika digunakan. dalam. menuliskan. 𝟐/𝟑𝒙. karena. mempunyai dua makna yang berbeda, yaitu. 𝟐 𝟑. 𝟐/𝟑𝒙. 𝒙 atau. 𝟐 𝟑𝒙. ,. dalam hal ini siswa belum tentu mengerti pecahan mana yang dimaksud. Kesalahan yang lain adalah menuliskan pecahan 𝟐. contohnya dalam bentuk berikut 𝟑𝒙. Siswa sering menuliskan pecahan seperti ini dengan maksud 𝒙 tidak termasuk sebagai penyebut. Kesalahan yang terakhir dalam menggunakan notasi pecahan yaitu berkaitan kembali dengan penggunaan notasi ‘/’ untuk menunjukkan pecahan. Tetapi masalah yang ada berkaitan dengan masalah penggunaan tanda kurung. 𝒂+𝒃. Pecahan yang dimaksud yaitu, 𝒄+𝒅. Siswa sering menuliskan pecahan tersebut dengan menggunakan notasi ‘/’ dalam bentuk a+b/c+d. Siswa melihat pecahan yang dituliskannya.

PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI. 34. 𝒂+𝒃. bermakna sama dengan pecahan 𝒄+𝒅. Tetapi orang lain akan 𝒃. melihat berbeda, yaitu 𝒂 + 𝒄 + 𝒅. Tentu bentuk ini berbeda dengan. 𝒂+𝒃 𝒄+𝒅. . Jika akan menuliskan pecahan menggunakan. notasi ‘/’ sebaiknya diberikan tanda kurung untuk pembilang dan penyebutnya. Pecahan yang dimaksud ditulis menjadi bentuk (a+b)/(c+d). 3. Kesalahan-Kesalahan yang Sering dilakukan Siswa dalam Menyelesaikan Soal-Soal Limit Fungsi Aljabar Pratini. (1991;55-67). mengklarifikasi. kesalahan. dalam. mengerjakan soal Limit Fungsi Aljabar sebagai berikut: a. Kesalahan dalam menghitung nilai limit fungsi konstan untuk sembarang titik limit Kesalahan terdiri dari 3 macam: 1) Nilai limit fungsi konstan dianggap sama dengan titik limit itu sendiri. Contoh: i. ii.. 𝐥𝐢𝐦 𝟕 = 𝟎 𝒙→𝟎. 𝐥𝐢𝐦 𝟓 = ∞. 𝒙→∞. 2) Nilai limit fungsi konstan dianggap sama dengan hasil kali nilai fungsi konstan dengan titik limitnya. Contoh: i.. 𝐥𝐢𝐦 𝟕 = 𝟕. 𝟎 = 𝟎 𝒙→𝟎.

PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI. ii.. 35. 𝐥𝐢𝐦 𝟓 = 𝟓. ∞ = ∞. 𝒙→∞. 3) Nilai limit fungsi konstan dianggap sama dengan jumlah nilai fungsi konstan dengan titik limitnya. Contoh: i. ii. iii.. 𝐥𝐢𝐦 𝟗 = 𝟗 + 𝟏 = 𝟏𝟎 𝒙→𝟏. 𝐥𝐢𝐦 𝟏𝟎 = 𝟏𝟎 + (−𝟏) = 𝟏𝟎 − 𝟏 = 𝟗. 𝒙→−𝟏. 𝐥𝐢𝐦 (−𝟏𝟐) = −𝟏𝟐 + (−𝟏) = −𝟏𝟑. 𝒙→−𝟏. b. Kesalahan dalam menghitung nilai limit fungsi monomial 𝑐𝑥 𝑛 , 𝑛 = 1 untuk titik limit tak berhingga. Kesalahan terdiri dari 2 macam: 1) Nilai limit fungsi monomial 𝑐𝑥 𝑛 , 𝑛 = 1 dianggap sama dengan hasil kali nilai fungsi tersebut dengan titik limitnya. Contoh: i. ii. iii.. 𝐥𝐢𝐦 𝟐𝒙 = 𝐥𝐢𝐦 𝟐𝒙. ∞ = ∞. 𝒙→∞. 𝐥𝐢𝐦 𝟑𝒙 = 𝐥𝐢𝐦 𝟑𝒙. (−∞) = −∞. 𝒙→−∞. 𝐥𝐢𝐦 (−𝟒𝒙) = 𝐥𝐢𝐦(−𝟒𝒙). ∞ = −∞. 𝒙→∞. 2) Nilai limit fungsi monomial 𝑐𝑥 𝑛 , 𝑛 = 1 dianggap sama dengan hasil bagi fungsi tersebut dengan variabel fungsi. Contoh: i. ii.. 𝐥𝐢𝐦 𝟐𝒙 = 𝟎 = 𝐥𝐢𝐦. 𝒙→∞. 𝐥𝐢𝐦 𝟑𝒙 = 𝐥𝐢𝐦. 𝒙→−∞. 𝟐𝒙. 𝒙→∞ 𝒙 𝟑𝒙. 𝒙→∞ 𝒙. =𝟐. =𝟑.

PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI. 36. c. Kesalahan dalam menghitung nilai limit fungsi pecah untuk titik limit tak berhingga. Kesalahan yang dilakukan dengan membagi setiap suku pada pembilang dan penyebut dengan variabel berpangkat tertinggi kemudian mensubstitusikan titik limit ke variabel fungsi dan memberikan tak berhingga sebagai hasilnya. Contoh: 𝟔+𝟑𝒙. 1) 𝐥𝐢𝐦. 𝒙→∞ 𝟕−𝟐𝒙. 𝟔 𝟑𝒙 + 𝒙 𝟐𝒙 𝒙→∞ − 𝒙 𝒙. = 𝐥𝐢𝐦 𝒙𝟕. 𝒙𝟐 −𝒙+𝟐. 𝟔. 𝒙→∞. 𝒙𝟐 𝒙 𝟐 − + 𝒙𝟐 𝒙𝟐 𝒙𝟐 𝟐 𝒙→∞ 𝒙 + 𝒙 − 𝟏 𝒙𝟐 𝒙𝟐 𝒙𝟐. 2) 𝐥𝐢𝐦 𝒙𝟐 +𝒙−𝟏 = 𝐥𝐢𝐦 𝒙→∞. +𝟑. = 𝐥𝐢𝐦 ∞𝟕. −𝟐. =∞. ∞. = 𝐥𝐢𝐦. 𝟏. 𝟐. 𝟏. 𝟏. 𝟏− + 𝟐 𝒙 𝒙. 𝒙→∞ 𝟏+ − 𝟐 𝒙 𝒙. 𝟏 𝟐 ∞ ∞ 𝟏 𝟏 𝒙→∞ 𝟏+ − ∞ ∞. = 𝐥𝐢𝐦. 𝟏− +. =∞. d. Kesalahan dalam menghitung nilai limit fungsi pecah untuk sembarang titik limit. Kesalahan yang dilakukan siswa dengan mensubsitusikan titik limit ke variabel fungsi padahal dengan substitusi tersebut 𝟎. mengakibatkan terjadinya bentuk tak tentu (𝟎 𝒂𝒕𝒂𝒖. ∞ ∞. ).. Contoh: 𝟔+𝟑𝒙. 𝟔+𝟑.∞. ∞. 1) 𝐥𝐢𝐦 𝟕−𝟐𝒙 = 𝐥𝐢𝐦 𝟕−𝟐.∞ = ∞ = ∞ 𝒙→∞. 𝒙→∞. 𝒙𝟐 −𝒙+𝟐. 𝒙𝟐 −𝒙+𝟐. 2) 𝐥𝐢𝐦 𝒙𝟐 +𝒙−𝟏 = 𝐥𝐢𝐦 𝒙𝟐 +𝒙−𝟏 = 𝐥𝐢𝐦 𝒙→∞. 3) 𝐥𝐢𝐦. 𝒙→𝟒 𝒙−𝟒. 4) 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝟎. 𝒙→∞ 𝒙−𝟏. 𝒙→∞. 𝒙𝟐 −𝟏𝟔. = 𝐥𝐢𝐦. 𝟐𝒙𝟑 +𝟑𝒙𝟐 𝒙𝟐 −𝒙𝟑. 𝟒𝟐 −𝟏𝟔. = 𝐥𝐢𝐦. −𝒙+𝟐. 𝟎. =. 𝟏𝟔−𝟏𝟔. 𝟐.𝟎𝟑 +𝟑.𝟎𝟐 𝟎𝟐 −𝟎𝟑. 𝟎. 𝟎. = =𝟎 𝟎. 𝟎. =. =𝟎=𝟎. −∞+𝟐 ∞−𝟏. =∞.

PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI. 37. e. Kesalahan dalam menghitung nilai limit fungsi pecah untuk titik limit bilangan tertentu. Kesalahan yang dilakukan siswa dengan menyederhanakan secara salah, kemudia mensubstitusikan titik limit ke variabel fungsi. Ada 2 macam kesalahan, yaitu: 1) Membagi pembilang dan penyebut dengan variabel yang sama tetapi ada suku pada pembilang atau penyebut yang tidak dibagi dengan variabel tersebut. Contoh: i.. 𝐥𝐢𝐦. 𝟐𝒙−𝒙𝟐. 𝒙→−𝟒 𝒙+𝟖. ii.. 𝐥𝐢𝐦. iii.. 𝐥𝐢𝐦. 𝟓𝒙𝟐 −𝟐𝒙. 𝒙→𝟑 𝟏𝟎+𝟏𝟎. 𝒙→𝟐. 𝟔𝒙−𝟓𝒙𝟐 𝒙−𝟔. = = =. 𝒙(𝟐−𝒙) 𝒙+𝟖. =. 𝒙(𝟓𝒙−𝟐) 𝟏𝟎+𝒙 𝒙(𝟔−𝟓𝒙) 𝒙−𝟔. 𝟐−𝒙. = =. 𝟖. =. 𝟓𝒙−𝟐 𝟏𝟎 𝟔−𝟓𝒙 −𝟔. 𝟐−𝟒 𝟖. = =. =. −𝟐 𝟖. 𝟓.𝟑−𝟐 𝟏𝟎 𝟔−𝟓.𝟐 −𝟔. =. 𝟏𝟓−𝟐 𝟏𝟎. 𝟏𝟑. = 𝟏𝟎. −𝟐. = −𝟑. 2) Membagi setiap suku pada pembilang dan penyebut dengan variabel berpangkat tertinggi padahal titik limitnya berhingga. Contoh: i.. 𝐥𝐢𝐦. 𝟐𝒙𝟑 +𝟑𝒙𝟐. 𝒙→𝟎 𝒙𝟐 −𝒙𝟑. = 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝟎. 𝟐𝒙𝟑 𝟑𝒙𝟐 + 𝟑 𝒙𝟑 𝒙 𝒙𝟐 𝒙𝟑 − 𝒙𝟑 𝒙𝟑. = 𝐥𝐢𝐦. 𝒙+𝟑𝒙. 𝒙→𝟎 𝒙−𝟏. 𝟏 + 𝟑𝒙 = 𝐥𝐢𝐦 𝟑𝒙 = 𝟑. 𝟎 = 𝟎 𝒙→𝟎 −𝟏 𝒙→𝟎. = 𝐥𝐢𝐦.