BAB 4 : Geometri Dimensi Tiga
A. Kedudukan Titik, Garis, dan Bidang dalam Ruang
1. Kedudukan Garis terhadap Bidang
Di dalam ruang dimensi tiga, ada tiga kondisi untuk menentukan kedudukan garis terhadap bidang, yaitu:
(1) Garis terletak pada bidang Definisi 1.1:
Sebuah garis dikatakan terletak pada sebuah bidang, jika semua titik pada garis itu
terletak pada bidang tersebut.
l
α
(2) Garis sejajar bidang Definisi 1.2:
Sebuah garis dan sebuah bidang dikatakan sejajar, jika garis dan bidang tersebut tidak
memiliki titik persekutuan. l
α
Definisi 1.3:
Sebuah garis dikatakan menembus sebuah bidang, jika garis dan bidang itu mempunyai
sebuah titik persekutuan yang disebut titik tembus garis terhadap bidang. l
●
α
2. Kedudukan Dua Garis dalam Ruang (1) Dua garis saling sejajar
Definisi 1.4:
Dua buah garis dikatakan sejajar, jika dua garis tersebut terletak dalam satu bidang dan
tidak memiliki titik persekutuan.
m
l
α
(2) Dua garis saling berpotongan Definisi 1.5:
Dua buah garis dikatakan berpotongan, jika kedua garis itu terletak dalam satu bidang
dan mempunyai sebuah titik persekutuan.
l
m
α
(3) Dua garis saling bersilangan Definisi 1.6:
Dua buah bidang dikatakan bersilangan, jika kedua garis itu tidak terletak dalam satu
bidang dan tidak mempunyai sebuah titik persekutuan. l
m
α
(1) Dua bidang saling sejajar Definisi 1.7:
Dua buah bidang dikatakan sejajar, jika kedua bidang itu tidak mempunyai sebuah garis
persekutuan.
α
β
(2) Dua bidang saling berpotongan Definisi 1.5:
Dua buah bidang dikatakan berpotongan, jika kedua bidang itu mempunyai sebuah
garis persekutuan.
β
(α, β)
α
4. Beberapa teorema tentang kedudukan garis dan bidang dalam ruang Teorema 1.1:
Jika garis l sejajar garis m dan garis m terletak pada bidang α, maka garis l sejajar bidang α Diketahui: l // m dan m
αAkan dibuktikan : l // α
Bukti : (Coba dibuktikan sendiri)
Jika melalui sebuah titik P yang tidak terletak pada bidang α dibuat garis g yang tegak lurus bidang α dan memotong bidang α dititik P1 maka P1 disebut titik kaki gari stegak lurus yang dibuat melalui P pada bidang α.
Definisi 1.5 : Proyeksi sebuah titik pada sebuah bidang adalah titik kaki dari garis yang dibuat
melalui titik itu tegak lurus bidang tersebut.
Anda perhatikan Gambar 1.34 α disebut bidang proyeksi
P disebut titik yang diproyeksikan
P1 disebut titik hasil proyeksi atau proyeksi P pada bidang α
G disebut garis pemroyeksi
Kalau setiap bangun geometri dipandang sebagai himpunan titik-titik tertentu maka proyeksi suatu bangun pada sebuah bidang merupakan bangun lain yang terjadi dari himpunan proyeksi semua titik dari bangun itu pada bidang tersebut.
Pada gambar 1.35 ditunjukkan bahwa proyeksi dari sebuah kurva S adalah kurva S1.
S1 merupakan
himpunan proyeksi semua titik pada kurva S pada bidang α. Meskipun demikian untuk memperoleh proyeksi sebuah bangun pada sebuah bidang tidak harus dicari proyeksi dari semua
titiknya pada bidang tersebut. Antara lain, jika Anda harus menentukan proyeksi dari sebuah garis lurus.
Anda perhatikan lebih dahulu sifat dari proyeksi sebuah garis lurus pada sebuah bidang seperti yang dikemukakan dalam teorema berikut.
Teorema 1.3 : Proyeksi sebuah garis pada sebuah bidang pada umumnya merupakan sebuah
garis lagi
Diketahui : garis g dan bidang α
g1 merupakan proyeksi garis g pada bidang
Dibuktikan : g1 merupakan garis lurus
Bukti : Garis-garis pemroyeksi dari titik-titik yang terletak pada garis g merupakan garis-garis yang memotong garis g dan sejajar satu sama lain, semuanya terletak pada sebuah bidang, misalnya bidang β.
Bidang β memotong bidang menurut garis lurus (α, β). Garis potong (α, β) tidak lain
adalah garis g1. Dengan perkataan lain proyeksi dari garis g pada bidang α, yaitu g1, merupakan
garis lurus.
Karena sebuah garis lurus letaknya ditentukan oleh dua buah titiknya, maka mendasarkan pada teorema 1.3 untuk menentukan proyeksi sebuah gris pada sebuah bidang, Anda cukup memproyeksikan dua buah titiknya saja dari garis itu. Pada Gambar 1.37, titik P
Setelah Anda mengenal pengertian dari proyeksi dan sifat dari proyeksi sebuah garis lurus pada sebuah bidang, maka diharapkan Anda dapat memahami pengertian sudut antara garis dan bidang.
Definisi 1.5 : Jika sebuah garis tidak tegak lurus pada sebuah bidang, maka sudut antara garis itu dan bidang tersebut adalah sudut lancip antara garis itu dengan proyeksi garis itu pada bidang tersebut.
Pada gambar 1.38 ditunjukan kepada Anda tentang sebuah garis g yang tidak tegak lurus pada
bidang α. Garis g1 adalah proyeksi garis g pada bidang α. Sehingga sudut antara garis g dan
bidang α adalah sudut lancip antara garis g dan g1, yaitu φ.
Proyeksi sebuah titik pada sebuah bidang adalah titik kali garis yang dibuat melalui titik itu dan tegak lurus pada bidang tersebut.
Proyeksi sebuah garis tidak tegak lurus pada sebuah bidang, maka yang dimaksud dengan sudut antara garis itu dan bidang tersebut adalah sudut lancip yang dibentuk oleh garis itu dengan proyeksinya pada bidang tersebut.
1. Proyeksi Titik Pada Bidang
Definisi : Jika dari titik T ditarik garis TT1 ( T1 pada bidang α ) yang tegak lurus pada bidang α,
maka T1 disebut proyeksi titik T pada bidang α.
T = titik yang diproyeksikan T1 = proyeksi
TT1 = garis pembuat proyeksi (proyektor)
2. Proyeksi Garis Pada Bidang
Proyeksi suatu bangun pada suatu bidang adalah himpunan proyeksi semua titik pada bangun itu ke bidang α.
Jika semua titik pada garis AB diproyeksikan ke bidang α, maka dapat dibuktikan bahwa semua proyektor terletak pada satu bidang yang disebut bidang proyektor. Dan semua proyeksinya terletak pada satu garis A1B1 disebut proyeksi garis AB pada bidang α (lihat gambar (a)).
Jika garis CD tegak lurus pada bidang α, maka proyeksinya pada bidang α berupa sebuah titik (gambar (b)).
Jika garis PQ memotong bidang α di titik Q,maka untuk melukis proyeksinya cukup
dilukiskan titik P1 yang merupakan proyeksi dari titik P. Garis P1Q adalah proyeksi garis PQ
pada bidang α (lihat gambar(c)).
Contoh soal:
Diketahui kubus dengan bidang alas ABCD dan rusuk-rusuk tegaknya AE,BF, CG, dan DH. a. Buktikan bahwa BC tegak lurus bidang ABFE
b. Buktikan bahwa CD tegak lurus AH
c. Tentukan proyeksi dari titik C pada bidang ADHE d. Tentukan proyeksi dari DE pada bidang ABCD e. Tentukan sudut antara CH dan bidang EFGH
Jawab :
Jika Gambar 1.39 menunjukkan kubus yang dimaksud, maka:
a. Karena ABCD sebuah kubus, maka:
< CBA siku-siku atau CB ┴ BA < CBF siku-siku atau CB ┴ BF
BA dan BF pada bidang ABF dan berpotongan CB ┴ bidang ABFE
b. CD ┴ DA
CD ┴ DH
CD ┴ bidang ADHE
AH pada bidang ADHE, menurut teorema 1.2, maka CD ┴ AH
c. Pada jawaban pertanyaan (b) dikemukakan bahwa CD ┴ bidang ADHE. Berarti bahwa
D adalah titik kaki dari garis yang melalui C dan tegak lurus bidang ADHE; jadi proyeksi titik C pada bidang ADHE adalah titik D.
d. Untuk memproyeksikan ruas garis DE pada bidang ABCD, ditetapkan dua titiknya, dan
dipilih ujung-ujungnya D dan E. Proyeksi dari titik D pada bidang ABCD adalah titik D sendiri.
e. Sudut antara CH dengan proyeksinya pada bidang EFGH adalah sudut antara CH dengan
proyeksinya pada bidang EFGH. Proyeksi CH pada bidang EFGH adalah GH. Jadi sudut antara CH dengan bidang EFGH adalah sudut antara CH dan GH; atau < CHG.
Latihan
1. Pada kubus ABCD.EFGH dengan AB = a cm, titik N adalah titik potong diagonal bidang atas EFGH dan garis CE memotong garis AN di titik K
a. Tentukan perbandingan antara panjang garis EK dan KC
b. Jika titik K’ adalah proyeksi titik K pada bidang ABCD, buktikan bahwa AK’ : K’C = EK : KC = 1 : 2
2. Diketahui limas T.ABCD. tentukan panjang proyeksi garis TA pada bidang ABCD dan
proyeksi garis TA pada bidang TBD. Jika panjang AB = 4 cm dan TA = 4 2cm.
3. Diketahui bidang empat T.ABC, dengan alas ΔABC, AB = BC = 10 cm, AC = 12 cm, dan TC = 8 cm. Garis TC tegak lurus bidang ABC. Panjang proyeksi garis TC pada bidang TAB adalah…………..
4. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan AB = 18 cm. titik P adalah titik tengah bidang EFGH. Dari titik P ditarik garis sejajar garis HB sehingga memotong rususk BF di titik Q. Panjang proyeksi garis GQ pada bidang ABCD adalah…………
5. Diketahui prisma tegak ABC.DEF, dengan AB = AC = 4 cm dan BC = AD = 4 2cm.
Melalui titik D dibuat bidang α yang sejajar dengan garis BC, membentuk sudut 450
dengan bidang ABC, dan memotong garis BE dan CF berturut-turut di titik P dan Q, sehingga:
a. BP : PE = 1 : 1