BAB V: IRISAN BIDANG
B. Menggambar Irisan Bidang Menggunakan Perpotongan Bidang Diagonal
Definisi: Bidang diagonal adalah suatu bidang yang melalui dua rusuk tegak yang tidak
berurutan.
Definisi tersebut memiliki akibat bahwa pada prisma segitiga tidak memiliki bidang diagonal sebab sebarang dua rusuk tegak yang dipilih pasti berurutan.
Perhatikan gambar pada prisma segilima ABCDE.FGHIJ, beberapa bidang diagonalnya adalah: ACHF,ADIF, BEJG. Lihat gambar!
Dalil :
Banyaknya diagonal prisma segi-n.
Banyaknya bidang diagonal prisma segi-n adalah ½ n(n-1).
Dalil tersebut merupakan perluasan banyaknya diagonal segi-n. Perlu kita ketahui bahwa setiap perpotongan dua bidang diagonal pada prisma merupakan suatu garis yang sejajar salah satu rusuk tegak. Pada gambar pada prisma ABCD.EFGH bidang diagonal ACGE dan bidang diagonal BDHF berpotongan menurut garis MN, maka garis MN // AE.
CONTOH:
Diketahui prisma ABCD.EFGH pada gambar
Titik P pada rusuk AE, titik Q pada rusuk BF, titik R pada rusuk DH. Bidang α melalui ketiga titik tersebut. Dengan pertolongan perpotongan bidang diagonal lukis irisan bidang α dengan prisma ABCD.EFGH.
Penyelesaian:
Langkah-langkah: (Perhatikan gambar)
a. Melukis garis MN yang merupakan perpotongan bidang diagonal ADGE dan bidang diagonal BDHF.
b. Menentukan titik tembus CG pada bidang irisan dengan cara:
Tentukan titik O merupakan perpotongan garis MN dengan garis QR, keduanya
pada bidang BDHF.
Perpanjangan garis PO memotong rusuk tegak CG di titik S. Titik S merupakan
titik tembus CG dengan bidang irisan. Dengan demikian bidang PQRS adalah bidang irisan, bidang α dengan prisma ABCD.EFGH.
Catatan
Dengan menggunakan pertolongan bidang diagonal memiliki keuntungan tidak memerlukan tempat yang luas. Cara ini memiliki kelemahan yaitu apabila prisma segi-n dan n cukup besar lukisan terlihat rumit.
C. Menggambar Irisan Bidang Menggunakan Perluasan Bidang Sisi
Prinsip utama dari cara ini adalah menentukan perpotongan dua bidang tegak prisma, masing-masing memuat minimal satu titik dan titik tersebut terletak pada bidang irisan. Contoh
Diketahui prisma ABCDE.FGHIJ
Titik K pada rusuk AF, titik L pada rusuk BG, titik M pada rusuk DI. Bidang α melalui ketiga titik tersebut. Dengan menggunakan perluasan bidang sisi tegak, lukis irisan bidang α dengan prisma ABCDE.FGHIJ.
Penyelesaian :
1) Lukis garis XY yang merupakan perpotongan bidang tegak ABGF dan CDIH dengan cara menentukan titik X yang merupakan perpotongan garis AB dan DC pada bidang alas. Menentukan titik Y yang merupakan perpotongan FG dan IH pada bidang atas. 2) Titik tembus CH pada bidang irisan ditentukan dengan cara menentukan titik S yang
merupakan perpotongan garis KL dengan XY. Menentukan titik N yang merupakan perpotongan garis SM dan rusuk CH.
3) Lukis garis UV yang merupakan perpotongan bidang tegak CBGH dan DEJI dengan cara menentukan titik U yang merupakan perpotongan garis BA dan DE pada bidang alas. Menentukan titik V yang merupakan perpotongan GF dan IJ pada bidang atas. 4) Titik tembus EJ pada bidang irisan ditentukan dengan cara menentukan titik T yang
merupakan garis LN dengan UV. Menentukan titik R yang merupakan perpotongan garis MT dan rusuk EJ.
Kesimpulan: KLNMR merupakan penampang irisan bidang α dengan prisma
ABCDE.FGHIJ.
Catatan : Perluasan bidang tegak tidak selalu berpotongan, yaitu apabila kedua bidang
tegak tersebut sejajar. Apabila dijumpai hal yang demikian dapat dipilih alternative penyelesaian berikut:
1. Digunakan perluasan bidang tegak yang sejajar.
2. bidang irisan memotong kedua bidang tegak yang sejajar, maka perpotongannya berupa dua garis sejajar.
Contoh:
Diketahui prisma ABCDE.FGHIJ pada gambar ! AB // ED.
Titik P pada rusuk AF, titik Q pada rusuk BG, titik R pada rusuk EJ. Bidang α melalui ketiga titik tersebut. Dengan menggunakan perluasan bidang tegak, lukis irisan bidang α dengan prisma ABCDE.FGHIJ.
Penyelesaian:
Mengingat AB // ED, maka bidang ABGF // bidang EDIJ, sehingga perluasan kedua bidang tersebut tidak berpotongan. Oleh karena itu sebagai langkah pertama yang diperluas adalah bidang tegak yang lain yaitu: bidang sisi tegak AEJF dan BCHG yang berpotongan di XY. Cara melukis garis XY sebagai berikut.
1. Menentukan titik X yang merupakan garis EA dan CB pada bidang alas.
Menentukan titik Y yang merupakan perpotongan JF dan HG pada bidang atas.
2. Titik tembus CH pada bidang irisan ditentukan cara menentukan titik S yang merupakan perpotongan garis RP dengan XY. Menentukan titik N yang merupakan perpotongan garis SQ dan rusuk CH. Lihat gambar !
3. Lukis garis UV yang merupakan perpotongan bidang tegak ABGF dan DCHI dengan cara menentukan titik U yang merupakan perpotongan garis AB dan DC pada bidang alas. Menentukan titik V yang merupakan perpotongan FG dan IH pada bidang atas. 4. Titik tembus DI pada bidang irisan ditentukan dengan cara menentukan titik T yang
merupakan perpotongan garis PQ dengan UV. Menentukan titik K yang merupakan perpotongan garis TN dan rusuk DI.
Lihat gambar !
C. Menggambar Irisan Bidang Menggunakan Bidang Diagonal Pada Limas Definisi :
Bidang diagonal limas merupakan suatu bidang yang melalui puncak dan dua titik sudut pada alas yang tidak berurutan.
Definisi tersebut memiliki akibat bahwa limas segitiga tidak memiliki bidang diagonal sebab sebarang dua titik sudut yang dipilih pasti berurutan.
Dalil :
Banyaknya diagonal segi-n
Banyaknya bidang diagonal limas segi-n adalah(1/2)n(n-1).
Dalil tersebut merupakan perluasan banyaknya diagonal segi-n, bukti dari dalil tersebut dapat kita lihat kembali pada geometri datar.
Bagaimana melukis irisan bidang α dengan menggunakan pertolongan bidang diagonal? Perlu kita ketahui bahwa perpotongan dua bidang diagonal pada limas merupakan suatu garis. Pada gambar bidang diagonal TAC dan bidang diagonal TBD berpotongan menurut garis TM.
Contoh:
Diketahui limas T.ABCD pada gambar di bawah ini.
Titik R pada rusuk TA, Titik L pada rusuk TB, Titik M pada rusuk TC.
Bidang α melalui ketiga titik tersebut. Dengan pertolongan-pertolongan bidang diagonal lukis irisan bidang α dengan limas T.ABCD.
Penyelesaian:
Untuk menyelesaikan soal tersebut dikerjakan dengan langkah-langkah sebagai berikut: 1. Dilukis garis potong bidang diagonal TAC dengan bidang diagonal TBD yaitu garis PT
dengan cara sebagai berikut:
a. Titik P merupakan perpotongan garis AC dan BD pada alas.
b. Garis hubung P dengan T merupakan perpotongan kedua bidang diagonal.
2. Menentukan titik tembus TD pada bidang irisan dengan cara: a. Tentukan
titik O yang merupakan perpotongan garis KM dengan garis PT.
b. Perpanjangan garis LO memotong rusuk TD di titik N. Titik N merupakan titik tembus PD dengan bidang irisan. Dengan demikian bidang KLMN adalah bidang irisan pada limas. Cara ini tidak memerlukan tempat yang luas, tetapi terlihat rumit jika langkah-langkah yang dilukis menjadi satu.
E. Menggambar Irisan Bidang Menggunakan Perluasan Bidang Tegak
Prinsip utama dari cara ini adalah menentukan perpotongan dua bidang tegak limas, masing-masing memuat satu titik tersebut terletak pada bidang irisan.
Diketahui limas T.ABCD. Titik R pada rusuk TA, Titik L pada rusuk TB, Titik M pada rusuk TC. Bidang α melalui ketiga titik tersebut. Dengan pertolongan-perpotongan bidang diagonal lukis irisan bidang α dengan limas T.ABCD. Penyelesaian:
a. Lukis perpotongan bidang tegak TAB dan TCD dengan cara:
b. Titik tembus TD pada bidang irisan ditentukan dengan cara menentukan titik S yang merupakan garis LK dengan TR. Menentukan titik N yang merupakan titik perpotongan garis SM dan rusuk TD. Lihat gambar!
Dengan demikian bidang KLMN adalah irisan bidang α dengan limas T.ABCD.
Catatan: Perpotongan perluasan dua bidang sisi tegak yang berupa garis lurus tidak selalu
menembus bidang alas. Kejadian demikian terjadi apabila rusuk alas yang termuat pada bidang tegak yang diperluas sejajar. Lihat gambar !
Perhatikan bahwa perluasan dua bidang tegak yang memuat rusuk alas sejajar perpotongannya merupakan suatu garis yang melalui puncak dan sejajar rusuk alas tersebut. Lihat gambar !
Contoh diketahui limas T.ABCD, alas ABCD berbentuk jajaran genjang. titik Q pada rusuk TA, titik Q pada rusuk TB, titik R pada rusuk TD.
Bidang α melalui ketiga titik tersebut. Dengan pertolongan perpotongan bidang diagonal lukis irisan bidang α dengan limas T.ABCD.
Langkah penyelesaian:
a. Lukis garis g melalui T dan sejajar AB atau DC, garis tersebut merupakan perpotongan dari perluasan bidang TAB dan TDC.
b. Tentukan titik tembus TC pada bidang α dengan cara menentukan titik S yang merupakan perpotongan garis QP dengan garis g. Selanjutnya garis hubungan SR akan memotong TC di N. Perhatikan gambar
LATIHAN
1. Sebuah prisma segilima ABCDE.FGHIJ, P pada ID, Q pada CH dan R pada BG. Bidang α melalui P,Q, dan R. Lukis penampang irisan bidang α prisma tersebut!
2. Pada prisma ABCDE.FGHIJ pada gambar ditentukan titik K, L dan M berturut K pada AF, L pada BG dan M pada DI. Tentukan irisan bidang α melalui K, L dan M dengan prisma ABCDE.FGHIJ.
3. Diketahui limas T.ABCDE!
Titik P pada rusuk TA, titik Q pada rusuk TC, titik R pada rusuk TD. Bidang α melalui ketiga titik tersebut. Lukis irisan bidang α dengan limas T.ABCDE!
4. Diketahui limas T.ABCDE!
Titik P pada rusuk TA, titik Q pada rusuk TB, titik R pada rusuk ED. Bidang α melalui ketiga titik tersebut. Lukis irisan bidang α dengan limas T.ABCDE!
5. Sebuah limas T.ABCDE dengan titik K pada rusuk TE. Titik H pada rusuk TC, dan titik R pada rusuk TD. Bidang α melalui ketiga titik tersebut. Lukis irisan bidang α dengan limas T.ABCDE!
DAFTAR PUSTAKA
Depdiknas. (2004). Bangun Ruang Sisi Datar. Jakarta: Direktorat PLP Depdiknas.
________. (2004). Bangun Ruang Sisi Lengkung. Jakarta: Direktorat PLP Depdiknas
Iswadi, Joko. (1993). Geometri Ruang. Jakarta: Depdikbud.
Murzaini, Raja Leni. 2005. Melukis Irisan Antara Bidang dan Bangun Ruang dengan
Menggunakan Sumbu Afinitas. http://leni.wordpress.com/bahan_ajar/irisan_made_leni/. Diakses tanggal 17 Februari 2007.
Rahayu. Budi Endah. (2003). Media Pembelajaran (Lukisan Dasar). Bahan Pelatihan
Terintegrasi Berbasis Kompetensi Guru Mata Pelajaran Matematika. Jakarta: Direktorat PLP Depdiknas.
Soewardi. (1984). Melukis Bentuk Geometri. Jakarta: PT Gramedia.
Sunardi & Haryanta. (1997). Matematika untuk Kelas II SLTP. Jakarta: Cempaka Putih.
Suwarsono. (2003). Media Pembelajaran (Geometri Dimensi Tiga). Bahan Pelatihan
Terintegrasi Berbasis Kompetensi Guru Mata Pelajaran Matematika. Jakarta: Direktorat PLP Depdiknas.
Tampomas, Husein. 1999. Seribu Pena Matematika SMU kelas 3. Jakarta: Erlangga.
Tim Penyusun. 2003. Panduan Materi SMA/MA (IPA). Jakarta: DEPDIKNAS.
Winarno. 2004. Bimbingan Pemantapan Matematika IPA. Bandung Yrama Widya.
Wirodikromo, Sartoto. (1995). Matematika untuk SMU Kelas 1 Caturwulan 2. Jakarta: Erlangga.