Misalkan a sebarang anggota dari grup < G, X >. Didefinisikan :
a1 = a a2 = a . a a3 = a . a . a
dan secara induksi, untuk sebarang bilangan bulat positif k, ak+1 = a . ak .
Definisi 5.2
Perjanjian bahwa a0 = e dan untuk sebarang integer positif n berlaku a-n = ( a-1 )n = ( a-1 )( a-1) …( a-1 )
sebanyak n faktor.
Dengan mudah dapat dibuktikan bahwa an am = am+n
(am)n= a mn.
74 Catatan :
Biasanya ( ab )n an bn. Jika a b = b a maka ( ab ) n = an bn Definisi 5. 3
Misalkan a sebarang anggota dari grup < G, + > Pergandaan n . a didefinisikan sebagai berikut : 1. a = a
2. a = a + a 3. a = a + 2 . a
dan secara induksi untuk sebarang integer positif k, ( k + 1 ) . a = a + k . a . Lebih jauh, 0 . a = 0 ( elemen identitas ) - n . a = n . ( -a ) = ( -a ) + (-a ) +…+ ( -a ) sebanyak n suku. Teorema 5.4
Misalkan < G , X> grup dan misalkan a sebarang anggota tertentu dari G. Jika < a > = { ak | k Z }
maka himpunan ( a ) merupakan subgrup dari G. Definisi 5.5
Sebuah grup ( G, x) disebut grup siklis jika terdapat a G sehingga setiap unsur di G dapat dinyatakan sebagai perpangkatan dari a. Dalam hal ini a disebut pembangun (generator) grup siklis G. Notasi G = < 𝑎> = 𝑎𝑛 𝑛 ∈ Z }.
Sebuah Grup ( G, +) disebut grup siklik jika terdapat a G sehingga setiap unsur dari G dapat dinyatakan sebagai kelipatan dari a. Notasi G = < 𝑎> = 𝑛𝑎 𝑛 ∈ Z }.
75 Contoh 1
Apakah (ℤ4, +) merupakan grup Siklik?
Untuk menjawabnya, maka harus dicari pembangun dari (ℤ4, +
ℤ4 = 0, 1, 2, 3 1) Untuk 𝑎= 0
i. 0 bukan generator dari ℤ4, karena kelipatannya tidak menghasilkan semua elemen di ℤ4. 2) Untuk 𝑎= 1 i. 1= 1 ii. 2= 1+ 1 iii. 3= 1+ 1+ 1 iv. 0= 1+ 1+ 1+ 1
v. Karena kelipatan dari 𝑎= 1 menghasilkan semua elemen ℤ4, maka 1 merupakan generator dari ℤ4.
3) Untuk 𝑎= 2 i. 2= 2 ii. 2+ 2 = 0 iii. 2+ 2+ 2 = 2 iv. 2+ 2+ 2+ 2= 0 v.
vi. dan seterusnya akan selalu menghasilkan sehingga bukan
generator dari .
4) Untuk
i. bukan merupakan generator dari karena kelipatannya tidak
menghasilkan semua elemen .
76
Dengan demikian merupakan grup Siklik.
Contoh 2
meruakan Grup siklik karena generatornya semua unsur kecuali unsur identitas Order grup dan order suatu unsur grup.
Misalkan suatu grup, order dari ditulis menyatakan banyaknya elemen dari himpunan .
Misalkan suatu grup dan . Order dari dinotasikan dengan yang menyatakan
bilangan bulat positif terkecil sehingga memenuhi dengan adalah elemen netral.
Bila tidak ada yang demikian maka .
Teorema 5.6
1. Bila , maka jika dan hanya jika kelipatan dari .
2. Bila dan , maka
Bukti
1. Bila , maka . Selanjutnya misalkan dan
andaikan dengan , maka
, kontradiksi dengan kenyataan .
Jadi haruslah atau .
2. diketahui . Misalkan maka ,
dimana . Jadi
77 maka didapat , oleh karena itu merupakan kelipatan dari . Jadi
merupakan kelipatan dari atau kelipatan dari .
Karena dan prima relatif, maka merupakan kelipatan dari . Berdasarkan teorema
sebelumnya, maka atau
Beberapa Catatan Order Unsur.
1. Bila dan , maka semuanya adalah berbeda, bila
tidak maka ada dan dengan , misalkan dalam hal ini sehingga
. Sehingga didapat . Jadi ada sehingga ,
bertentangan dengan .
2. Bila , maka semuanya berbeda satu dengan yang lainnya,
bila tidak demikian maka ada dengan , bertentangan bahwa
bilangan bulat positif terkecil yang memenuhi .
Contoh 3
• Z6 mempunyai orde 6 karena mengandung 6 anggota yaitu 0, 1, 2, 3, 4 dan 5. Secara umum Zn mempunyai orde n.
• Z mempunyai orde tak hingga karena Z mempunyai tak berhingga banyak anggota.
• Orde dari himpunan ( i ) = { i, -1, -i, 1 } adalah 4.
• Grup Zn untuk n 1 merupakan grup siklik karena Zn = (1) untuk n 2 sedangkan Z1
= (0). Teorema 5.7
Grup berhingga G yang berorde n siklik jika dan hanya jika G mengandung suatu anggota dengan orde n.
78 Teorema 5.8
Jika G grup siklik maka G abelian. Bukti:
Misalkan G grup siklik.
Karena G siklik maka G = ( a ) untuk suatu a G.
Misalkan G = {ak | k Z }
Akan ditunjukkan bahwa xy = yx untuk setiap x, y G. Ambil sebarang x, y dalam G.
Karena x, y dalam G maka x = am dan y = an untuk suatu m dan n dalam Z, sehingga
am an = a m+n dan
yx = an am= a n+m = a m+n = am an = xy.
Terbukti G grup abelian. Teorema 5.9
Jika G grup siklik maka setiap subgrup G merupakan grup siklik. Bukti
Misalkan , bila jelas siklik. Bila , maka ada bilangan bulat
79
keterurutan dari bilangan bulat , maka mempunyai elemen terkecil . Jadi .
Misalkan , maka untuk suatu . Terlihat bahwa
. Sebaliknya, misalkan , maka ada bilangan bulat sehingga .
Selanjutnya dengan menggunakan algorithma pembagian untuk bilangan bulat didapat
untuk beberapa dengan . Didapat .
Bilangan , sebab bila tidak, maka ada bilangan yang lebih kecil dari , yaitu
yang memenuhi . Hal ini bertentangan dengan . Jadi
. Terlihat bahwa .
Sehingga didapat .
Teorema 5.10
Misalkan a sebarang anggota Zn. Jika d merupakan pembagi persekutuan terbesar dari a dan n maka order dari a sama dengan n/d.
Contoh 4 :
Untuk menentukan orde dari 36 dalam Z135, pertama-tama ditentukan terlebih dulu pembagi persekutuan terbesar dari 36 dan 135.
Karena pembagi persekutuan terbesar dari 36 dan 135 adalah (36, 135) = (22. 32 ,33 .5 ) = 32 = 9.
Dengan menggunakan teorema di atas orde dari 36 sama dengan n/d = 135/9 = 15. Contoh 5 :
Himpunan Z3 = { 0, 1, 2 } grup terhadap penjumlahan modulo 3. Grup bagian dari Z3 yang dibangun oleh 0 adalah
(0) = { k. 0 | k Z } = { 0 } sehingga 0 mempunyai order 1 Sifat 4.11
80
Misalkan adalah grup siklik dan , maka dengan
. Bukti
Misalkan , karena (berhingga), maka untuk beberapa dengan
atau . Misalkan dan adalah elemen terkecil
di . Jelas bahwa . Dalam hal ini dapat ditunjukkan bahwa semua
elemen adalah berbeda. Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa
.
Misalkan , maka untuk suatu . Dengan menggunakan algoritma
pembagian untuk bilangan bulat didapat untuk beberapa dengan
.
Didapat . Jadi .
Karena , maka dan .
Catatan : Dari hasil sifat ini, terlihat bahwa elemen pembangun yaitu mempunyai sifat atau order dari elemen adalah yang ditulis (sebab bilangan bulat positif
terkecil yang memenuhi ).
Contoh 6:
Dalam bila
81 dan
Sehingga didapat dan
82
LATIHAN
1. Buktikan bahwa (a) = { ak | k Z } merupakan grup bagian dari grup G.
2. Buktikan bahwa setiap grup bagian dari suatu grup abelian merupakan grup abelian. 3. Buktikan bahwa Q tidak siklik.
4. Tentukan semua pembangkit (generator) dari grup siklik Zn di bawah operasi penjumlahan untuk n = 8, n = 10 dan n = 12
5. Diketahui G grup abelian. Misalkan S = { x dalam G | orde dari x merupakan kuasa dari p }dengan p bilangan prima tertentu.
Buktikan bahwa S grup bagian dari G.
6. Jika G merupakan suatu grup sehingga x2 = e untuk semua x dalam G. Buktikan bahwa G abelian.
7. Diketahui G grup abelian.
Jika T = { x dalam G | orde x berhingga }. Buktikan bahwa T grup bagian dari G.
83
Kegiatan Belajar 2 : GRUP PERMUTASI
Grup permutasi merupakan salah satu contoh grup tidak komutatif dan merupakan kajian yang menarik dalam pengkajian teori grup berhingga.
Definisi 5.12
Suatu permutasi dari himpunan didefinisikan sebagai pemetaan bijektif dari ke . Contoh 7
Jika maka permutasi dari himpunan antara lain :
Permutasi dan masing-masing dinotasikan dengan dan
Teorema 4.13
Misalkan himpunan tak kosong dan . Maka merupakan
grup terhadap komposisi fungsi. Bukti :
(i) Ambil sebarang .
Ditunjukkan .
84
Diperoleh dan .
Karena injektif dan maka .
Karena injektif dan maka .
Jadi .
Dengan demikian injektif.
Ambil sebarang .
Karena surjektif maka terdapat sehingga .
Karena dan surjektif maka terdapat sehingga .
Akibatnya .
Jadi untuk setiap terdapat sehingga .
Dengan demikian surjektif.
Jadi .
(ii)Komposisi fungsi bersifat asosiatif.
(iii)Misalkan dengan untuk setiap .
Jelas .
Ambil sembarang .
Diperoleh dan untuk
setiap .
Jadi untuk setiap .
Dengan demikian merupakan elemen netral di .
(iv)Ambil sebarang .
Misalkan untuk setiap .
Definisikan dengan apabila .
Diperoleh dan
untuk setiap .
Jadi .
85
Berdasarkan (i) s/d (iv) dapat disimpulkan bahwa merupakan grup terhadap komposisi
fungsi.
Definisi 5.14
Jika maka grup yang memuat semua permutasi dari dinamakan grup
simetri pada unsur dan disimbolkan dengan .
Grup simetri memuat elemen sebanyak . Terdapat
hubungan yang menarik antara dengan transformasi rotasi dan refleksi (pencerminan)
pada segi- beraturan. Perhatikan gambar berikut.
Misalkan : (i) adalah rotasi dengan pusat O dan besar sudut masing-masing
dan
(ii) masing-masing adalah refleksi terhadap garis dan .
Dengan menggunakan notasi permutasi dapat dituliskan :
86 Tabel 2
Kedua jenis permutasi tersebut (jenis rotasi dan jenis refleksi) membentuk grup dihedral ketiga yang disimbolkan dengan . Rotasi dan refleksi pada segi- beraturan
membentuk grup dihedral ke- dan disimbolkan dengan .
Definisi 5.15
Misalkan permutasi dari himpunan .
(i) Untuk orbit dari terhadap disimbolkan didefinisikan sebagai
(ii) untuk semua dinamakan orbit dari .
Contoh 8
Misalkan di .
(i)
(ii)Orbit dari adalah .
Definisi 5.16
Suatu permutasi dinamakan cycle apabila paling banyak mempunyai orbit yang memuat elemen lebih dari satu. Panjang cycle didefinisikan sebagai banyaknya elemen dalam orbit terbesar.
87
Berdasarkan Definisi, suatu permutasi dinamakan cycle apabila :
(i) tidak mempunyai orbit yang memuat lebih dari satu elemen, atau (ii) hanya mempunyai satu orbit yang memuat lebih dari satu elemen. Contoh 9
(i) di mempunyai orbit . bukan cycle
karena terdapat dua orbit yang memuat lebih dari satu elemen yaitu dan .
(ii) di mempunyai orbit . merupakan cycle
karena tepat mempunyai satu orbit yang memuat lebih dari satu elemen yaitu .
(iii) di mempunyai orbit . merupakan cycle
karena tidak mempunyai orbit yang memuat lebih dari satu elemen.
Suatu cycle disimbolkan dengan yang berarti
. Pada contoh diatas bagian (ii), cycle
disimbolkan dengan yang berarti . Cycle
pada contoh diatas bagian (iii), disimbolkan dengan atau atau
atau . Cycle dalam suatu permutasi terbentuk dari orbit yang dihasilkan dari
permutasi tersebut. Karena di dalam cycle, urutan diperhatikan sedangkan pada orbit urutan
tidak diperhatikan, maka pada contoh diatas bagian (ii) orbit dan
seterusnya, tetapi cycle yang terbentuk dari permutasi tersebut adalah . Cycle
mempunyai arti yang sama dengan dan tetapi tidak dapat disimbolkan dengan
. Dua buah cycle dinamakan saling asing apabila berasal dari dua orbit yang saling asing.
88 Setiap permutasi dari himpunan berhingga dapat dinyatakan sebagai hasil kali cycle yang saling asing.
Bukti :
Misalkan adalah orbit-orbit dari .
Jelas apabila .
Dibentuk cycle dengan
Ditunjukkan .
Ambil sebarang .
Maka untuk tepat satu nilai .
Diperoleh
.
Jadi .
Karena saling asing maka merupakan cycle yang saling asing.
Pada umumnya, pergandaan (perkalian) permutasi tidak bersifat komutatif. Tetapi khusus cycle-cycle yang saling asing hasil perkaliannya bersifat komutatif. Dengan demikian, urutan
orbit-orbit yang kemudian membentuk cycle-cycle sebagaimana
dituliskan pada pembuktian Teorema diatas tidak diperhatikan. Definisi 5.17
Suatu cycle dengan panjang 2 dinamakan transposisi. Contoh 10
89
Sikel merupakan transposisi. Dalam
.
Setiap cycle dapat dinyatakan sebagai hasil kali transposisi-transposisi dengan aturan . Aturan tersebut berlaku karena pada ruas
kanan . Demikian pula pada ruas kiri
. Untuk cycle identitas dapat dinyatakan sebagai
dan sebagainya. Teorema 5.18
Misalkan dan transposisi di . Maka banyak orbit dari dan banyaknya orbit dari
berbeda 1. Bukti :
Misalkan .
Kasus 1 : dan berada pada orbit yang berlainan dari .
Misalkan terdapat orbit dari yang menghasilkan cycle saling asing .
Maka .
Karena perkalian cycle saling asing bersifat komutatif maka dapat dimisalkan
berada pada dan berada pada .
Dengan demikian
Diperoleh
90 Jadi banyaknya orbit dari dengan banyaknya orbit dari berbeda satu.
Kasus 2 : dan berada pada orbit yang sama dari .
Seperti pada kasus 1, misalkan .
Misalkan dan berada pada .
Maka .
Diperoleh .
. Jadi banyaknya orbit dari dengan banyaknya orbit dari berbeda satu.
Berdasarkan kasus 1 dan 2 dapat disimpulkan bahwa banyaknya orbit dari dan banyaknya orbit dari berbeda 1.
Berdasarkan teorema di atas dapat ditunjukkan bahwa setiap permutasi hanya dapat dinyatakan sebagai hasil kali sejumlah ganjil saja atau sejumlah genap saja transposisi. Selengkapnya mengenai hal tersebut dituangkan dalam teorema berikut.
91 Teorema 5.19
Tidak ada permutasi di yang dapat diekspresikan sebagai hasil kali sejumlah ganjil sekaligus sejumlah genap transposisi.
Bukti :
Misalkan terdapat yang dapat diekspresikan sebagai hasil kali dari sejumlah ganjil sekaligus sejumlah genap transposisi.
Maka terdapat transposisi sehingga :
(i) untuk suatu bilangan bulat positif , dan
(ii) untuk suatu bilangan bulat positif .
Karena setiap permutasi mempunyai invers maka dari (i) dan (ii) diperoleh : (a)
(b)
Dengan mengalikan (i) dan (b) diperoleh :
Hal ini menunjukkan bahwa dapat diekspresikan sebagai sejumlah ganjil transposisi. Dengan mengalikan kedua ruas dengan diperoleh :
Berdasarkan teorema di atas, banyaknya orbit dari dengan banyaknya orbit dari berbeda satu, sehingga mempunyai orbit sejumlah genap sekaligus sejumlah ganjil. Kontradiksi dengan banyaknya orbit dari adalah yang sudah dapat ditentukan ganjil atau genap.
92 Definisi 5.20
Suatu permutasi dari himpunan berhingga dikatakan :
(i) Permutasi genap apabila dapat diekspresikan sebagai hasil kali sejumlah genap transposisi.
(ii)Permutasi ganjil apabila dapat diekspresikan sebagai hasil kali sejumlah ganjil transposisi.
Contoh 11
Permutasi identitas di merupakan permutasi genap karena . Jika
maka tidak dapat diekspresikan sebagai perkalian transposisi, tetapi disepakati sebagai
permutasi genap. Permutasi di dapat dinyatakan sebagai
. Sehingga merupakan permutasi ganjil. Teorema 5.21
Jika maka banyaknya permutasi genap dan permutasi ganjil di sama.
Bukti :
Misalkan dan .
Ambil
Definisikan dengan untuk setiap .
Karena permutasi genap maka berdasarkan teorema 2.4.3, merupakan
permutasi ganjil. Dengan demikian jelas bahwa .
(i) Ambil sebarang dengan .
Maka .
Karena grup maka .
93
(ii)Ambil sebarang .
Berdasarkan Teorema 2.4.3, .
Diperoleh .
Jadi surjektif.
Berdasarkan (i) dan (ii) dapat disimpulkan bahwa bijektif sehingga terbukti dan mempunyai anggota yang sama banyak.
Karena hasil kali dua permutasi genap merupakan permutasi genap dan invers dari
permutasi genap juga merupakan permutasi genap maka membentuk subgrup. Selanjutnya
94
Latihan
Untuk soal nomor 1 sampai dengan 5, tentukan semua orbit dari permutasi yang diberikan :
1. .
2. .
3. dengan untuk setiap .
4. dengan untuk setiap
5. dengan untuk setiap
6. Tuliskan permutasi pada soal nomor 1 dan 2 sebagai hasil kali cycle saling asing. 7. Tentukan hasil kali cycle di berikut ini :
a. b.
8. Nyatakan permutasi berikut sebagai hasil kali transposisi dan tentukan apakah merupakan permutasi genap atau ganjil.
a. b.
9. Misalkan grup permutasi pada . Didefinisikan relasi pada dengan jika
dan hanya jika untuk suatu . Buktikan bahwa relasi tersebut
merupakan relasi ekivalen.
10.Misalkan grup dan . Tunjukkan bahwa dengan untuk
setiap merupakan permutasi pada .
11.Perhatikan soal nomor 10. Tunjukkan bahwa merupakan subgrup di
95
DAFTAR PUSTAKA
1. Fraleigh, John, 1988. A first Course In Abstract Algebra,Addison Wesley Company, Canada.
2. Gallian,Joseph, 2006. Contemporary Abstract Algebra, Houghton Mifflin Company, USA.
3. Judson,W.T, 2009.Abstract Algebra Theory and Application, Austin State University.
4. Herstein, I.N.,1975. Topics in Algebra. John Willey & Sons,New York. 5. Isnarto, 2002, Struktur Aljabar, Bahan Ajar,Universitas Negeri Semarang 6. Subiono, 2011, Aljabar I, Diktat Ajar, Institut Teknologi Surabaya.
96