Kegiatan Belajar 1 : Homorfisma Grup Definisi 8.1

Kegiatan Belajar 1 : Homorfisma Grup

Definisi 8.1

Sebuah pemetaan 𝜙 dri grup G ke G’ disebut Homomorphisma jika untuk setiap a,b G, berlaku 𝜙 𝑎 ∗ 𝑏 = 𝜙 𝑎 ∗ 𝜙(𝑏)

Contoh 1:

Diberikan grup permutasi 𝑆3 dan grup bilangan rasional tanpa nol ℚ+. Didefinisikan suatu pemetaan 𝑓 ∶ 𝑆3 → ℚ+ oleh

𝑓 𝜎 = ^{1, bila} 𝜎 genap

−1, bila 𝜎 ganjil ^{, untuk setiap} 𝜎 ∈ 𝑆3

Bila 𝜎,𝜏 kedunya genap atau keduanya ganjil,maka 𝜎𝜏 genap oleh karena itu

𝑓 𝜎𝜏 = 1 = 1.1 =𝑓 𝜎 .𝑓(𝜏) atau

𝑓 𝜎𝜏 = 1 =−1.−1 =𝑓 𝜎 .𝑓(𝜏). Bila 𝜎 genap dan 𝜏 ganjil, maka 𝜎𝜏 ganjil oleh

karena itu 𝑓 𝜎𝜏 = −1 = 1. −1 =𝑓 𝜎 .𝑓(𝜏). Terlihat bahwa 𝑓 adalah

124

ker(𝑓) ⊲ 𝑆3 dan im 𝑓 = {1,−1} adalah subgrup dari ℚ+. Sedangkan 𝑓−1(−1) =

𝐴3𝜏 untuk setiap permutasi ganjil 𝜏 ∈ 𝑆3. Contoh 2:

Diberikan himpunan bilangan real , himpunan dan himpunan

.

Didefinisikan suatu pemetaan oleh dimana

dengan operasi perkalian di dan didapat

. Terlihat bahwa adalah suatu

homomorpisma grup dari ke dengan pada. Selanjutnya

. Contoh 3:

125

Diberikan himpunan bilangan kompleks , himpunan dan himpunan

. Didefinisikan suatu pemetaan oleh

dimana dengan operasi perkalian di dan didapat

. Terlihat bahwa adalah suatu

homomorpisma grup dari ke dengan pada. Selanjutnya

.

Contoh 4 :

Definisikan suatu pemetaan

oleh Pemetaan adalah satu-satu pada, sebab

dan adalah suatu homomorpisma, sebab

.

C0ontoh 5 :

a. Diketahui G = G’ = (Z , + )

Definisikan G G’ dengan (x ) = 2x. Periksa apakah merupakan Homomorphisma

126 Ambil x. y G sebarang

(x + y) = 2(x+ y) = 2(x + y) = 2x + 2y. Jadi merupakan homomophisma b. Diberikan G = (R⁺ , x ) dan G’ = (R , +)

Definisikan : G G’ dengan (x) = log x. Periksa apakah merupakan Homomorphisma Jawab:

Ambil x, y G sebarang

(x y) = log (x y) = log(x) + log (y) = (x) + (y) Jadi merupakan homomorphisma.

c. Diketahui G = (R\{0}, x) dan G’ = ({-1,1},x) : G G’ dengan

(x) =

Selidiki apakah merupakan homomorphisma Jawab :

Karena G terdiri dari bilangan positf dan bilangan negative, maka untuk melihat homomorfisma nya, akan dibagi beberapa kasus.

(i). Jika , maka dan

(ii) Jika , maka

(iii) Jika maka

(iv) JIka , , maka dan

Dari ke empat kasus di atas dapat disimpulkan bahwa

Dengan demikian : G G’ dengan (x) = merupakan

127 Definisi 8.2:

Misalkan : G G’ homorphisma grup :

(i). dinamakan monomer phisma jika injektif ( pemetaan yang bersifat satu-satu) (ii). dinamakan epimorphisma jika surjektif ( pemetaan yang bersfat pada )

(iii). dinamakan isomorphisma jika bijektif ( pemetaan yang bersifat satu-satu dan pada)

(iv). dinamakan endomorphisma jika G=G’dan surjektif (v). dinamakan automorphisma jika G=G’ dan bijektif

Dalam teori grup automorfisma dapat digunakan untuk menghubungkan subgrup dari suatu grup G dengan subgrup yang lain dalam upaya menganalisis struktur dari grup G. Salah satu bentuk automorfisma yang penting adalah sebagai berikut: untuk setiap b dalam G terdapat suatu automorfisma fbyang membawa x ke konjugatnya yaitu b

-1

xb. Peta dari sebarang subgrup S dibawah automorfisma fb adalah b^-1Sb = { b^-1 s b | s dalam S }.

Dalam hal ini merupakan subgrup dari G yang isomorfis dengan S. Berbagai subgrup b^-1Sb dinamakan konjugat dari S.

Manfaat utama dari homomorfisma f : G  H yaitu dengan melihat sifat-sifat dari petanya (image) dapat disimpulkan sifat-sifat dari grup G.

Contoh 6:

Homomorfisma yang bersifat pada disebut epimorpisma

Misalkan G grup bilangan real tanpa nol di bawah operasi perkalian pada bilangan – bilangan real, dan G’ grup bilangan real dengan operasi penjumlahan pada bilangan -bilangan real.

Definisikan f : G →G’, dengan f(x) = ln x untuk setiap x ϵ G. Perhatikan bahwa G danG’ memiliki operasi biner yang berbeda.

Untuk menunjukkan bahwa f suatu homomorfisma, maka kita harus periksa bahwa untuk setiap a,b ϵ G. berlaku f (ab)= f(a) f(b), maka

128 f (ab)= ln ab= ln a + ln b = f (a) f (b)

Jadi f terbukti homomorfisma.

Jika f(x) = f(y) akibatnya ln x =ln y sehingga x=y. ini menunjukkan f adalah fungsi satu-satu.

Jika ln r ϵ G maka r ϵG’ , kemudian f(r) = ln r. Sehingga f bersifat pada

Teorema 8.3 :

Jika : G G’ epimorphisma dan G grup abelian maka G’ juga merupakan grup abelian

Bukti:

Ambil y1, y2 G’ sebarang.

Karena surjektif maka terdapat x1, x2 G sehingga (x1) = y1 dan (x2) = y2. Diperoleh y1y2 = (x1) (x2)= (x1x2) = (x2x1) = (x2) (x1) = y2y1

Jadi G’ grup abelian. Lemma 8.4 :

Misalkan G grup dan N subgroup normal di G . Definisikan : G G/N dengan (x) = Nx, maka merupakan homomorphisma pada dari G ke G/N.

Bukti :

1) Adt terdefinisi dengan baik

Ambil x, y G sebarang dengan x = y adt (x) = (y)

Karena N subgroup Normal di G , maka dapat dibentuk koset dari N di G. Karena x = y , maka Nx = Ny, jadi (x) = (y)

2) Adt merupakan homomorphisma

Ambil x, y G sebarang.

(xy) = Nxy = Nx Ny = (x) (y) Jadi merupakan homomorphisma.

3) Adt bersifat pada yaitu Nx G/N x G (x) = Nx

Ambil Nx G/N sebarang. Jelas bahwa x G, sehingga (x) = Nx. Jadi bersifat pada.

129

Kegiatan Belajar 2 : SIFAT-SIFAT HOMOMORPHISMA

Lemma 8.5:

Misalkan G G’ Hmomorphisma maka:

1). e) = e’ 2). (x^-1) = ( (x))^-1 Bukti :

1). Ambil a G sebarang.

Maka (a) = (ae)

(a) = (a) (e)

(a)]^-1 (a) = (a)]^-1 (a) (e) e ‘ = e’ (e)

e ‘ = (e)

2). Diketahui e ‘ = (e) dan karena , dengan menggunakan sifat

homomorfisma diperoleh

Definis 8.6 :

Misalkan G G’ Homomorphisma .Ker( ; e’ identitas di

G’

Contoh 7 :

130 Definisikan G G’ dengan (x ) = 2x. merupakan Homomorphisma Ker( ; Ker( b. Diketahui G = (R\{0}, x) dan G’ = ({-1,1},x) : G G’ dengan (x) =

Karena merupakan Homomorphisma, maka

Ker( =

Teorema 8.7

Misalkan G G’ Homomorphisma , maka Ker( ) merupakan subgroup Normal

dari G

Bukti:

1). Adt Ker( ) subgroup dari G - adt Ker( )

Karena G grup maka terdapat e di G

Karena homomorphisma ,maka (e) = e’, jadi e Ker( ) Jadi Ker( )

-adt Ker( ) G

Jelas dari definisi Ker( ) -adt Ker( ) tertutup

Ambil x, y Ker( ) sebarang, maka (x) = e’ dan (y) = e’, adt xy Ker( ) (xy) = (x) (y) = e’e’ = e’, akibatnya xy Ker( )

Jadi Ker( ) tertutup

-adt Ker( mempunyai invers

Ambil x Ker( ) sebarang , maka (x) = e’, adt x^-1 Ker( ) (x^-1) = ( (x) )^-1= e’.

131 Ker( ) merupakan subgroup dari G.

2). Ambil sebarang, akan ditunjukkan

= = = = e’

Dengan demikian merupakan subgroup Normal dari G.

Akibat 8.8:

G G’ monomorphisma jika dan hanya jika Ker( ) = {e } Bukti :

( ) Diketahui G G’ monomorphisma. Adt Ker( ) = {e }

Ambil x Ker( ) sebarang, maka Di sisi lain . Akibatnya

, karena 1-1 maka x= e .

rena x diambil sebarang maka Ker( ) = {e }.

( ) Diketahui Ker( ) = {e }, adt 1-1

Ambil , G’ sebarang dengan = , adt x= y.

=

= e’ =

Ker ( )

Karena Ker( ) = {e }, berarti e atau y = x.

132 Definisi 8.9 :

Peta Im(f) atau f(G) dari homomorfisma grup f : G  H didefinisikan sebagai

Im(f) = f(G) = { f(g) | g  G }.

Peta dari homomorfisma f sama dengan H jika f surjektif atau f pada (onto) H Teorema 8.10

Jika f : G  H homomorfisma grup maka Im(f) subgrup dari H. Bukti

Akan dibuktikan bahwa f(G) tertutup.

Ambil sebarang f(a), f(b) dalam f(G). Karena f homomorfisma maka f(ab) = f(a) f(b). Tetapi a, b dalam G sehingga ab dalam G (sebab G grup).

Jadi f(a) f(b) = f(ab) dalam G dengan ab dalam G atau f(G)tertutup. Akan dibuktikan bahwa e dalam f(G)

e adalah identitas dalam H untuk membedakan dengan e dalam G. Misalkan f(b) sebarang anggota dalam Im(f).

Karena f(b) dalam Im(f) maka f(e) f(b) = f(eb) = f(b) = e f(b). Dengan menggunakan hukum kanselasi kanan didapat f(e) = e. Akan dibuktikan f(G) mempunyai invers dari anggota f(G). Misalkan f(x) dalam f(G).

f(x^-1) merupakan invers dari f(x) karena f(x) f(x^-1) = f(xx^-1) = f(e) = e. Dengan cara yang sama, didapat

133 f(x^-1) f(x) = e dan f(x^-1) invers (yang tunggal) dari f(x) dengan f(x^-1) dalam f(G). Jadi Im(f) subgroup dari H

Contoh 8:

Misalkan Z grup bilangan real dengan operasi penjumlahan. Definisikan f : Z → Z , dengan f(x) = 2a untuk setiap x ϵ Z.

Untuk menunjukkan bahwa f suatu homomorfisma, maka kita harus periksa bahwa untuk setiap a,b ϵ Z n berlaku f (ab)= f(a) f(b), maka

f (a+b) = 2 (a+b) =2a +2b = f(a) f(b) Jadi f suatu homorfisma.

Dari definisi f(x) = 2a maka daerah hasil dari f = { 0, 2, 4, ………} = 2Z 2Z adalah subgrup dari Z.

Teorema 8.10 :

Misalkan f : G  H homografisma grup dengan peta f(g). Sifat-sifat berikut ini berlaku :

 Jika G berhingga maka orde dari f(G) membagi orde G.

 Jika G siklik maka f(G) siklik.

 Jika a  G mempunyai orde berhingga maka order dari f(a) membagi order a.

 Jika G abelian maka f(G) abelian.

Teorema 8.11

Misalkan f : G  H homomorfisma grup dengan inti Ker(f) dan peta f(G). Sifat-sifat berikut ini berlaku :

134

 Jika f injektif maka G isomorfis dengan f(G).

Contoh 9:

 Didefinisikan pemetaan f : Z  Z dengan aturan f(x) = 3x.

 Karena f(x+y) = 3(x+y) = 3x+3y = f(x) + f(y) maka f homomorfisma.

 Penyelesaian persamaan 3x = 0 adalah x = 0 sehingga Ker(f) = { 0 } atau f injektif.

 Dengan menggunakan teorema maka Z isomorfis dengan

Im(f) = { 3x | x dalam Z } = (3) yang merupakan grup bagian sejati dari Z.^■

Contoh 10 :

 Misalkan diketahui R himpunan bilangan real dan R* = R – {0}.

 Didefinisikan f : R*  R* dengan f(x) = x² Buktikan f homomorfisma tetapi f tidak injektif.

Jawab :

 Karena R* grup terhadap operasi perkalian maka f homomorfisma tetapi

Ker(f) = { x  R* | f(x) = x² = 1 } = { 1, -1 } ≠ { 1 } sehingga f tidak injektif

135

Latihan

Untuk soal-soal berikut, selidiki apakah pemetaan yang diberikn merupakan Homomorfisma, Jika Ya tentuan Kernel pemetaan nya !

1. Diketahui G = ( C, + ) dan G’= ( R, +)

a. : G G’ dengan ( a + ib ) = a² + b².

b. Periksa apakah merupakan homomorphisma.

2. Diketahui G = grup terhadap perkalian

matriks dan G’ = (R\{0}, x) .

a. Definisikan : G G’ dengan

b. Periksa apakah merupakan homorphisma.

3. Diketahui G = ( Z, +) dan G’ = ( R, +)

a. α : Z degan α(n) = |n | untuk setiap n Z

b. Periksa apakah α merupakan homorphisma

136

a. β : Sn Z2 dengan β( ) =

b. Periksa apakah β merupakan homomorphisma.

DAFTAR PUSTAKA

1. Fraleigh, John, 1988. A first Course In Abstract Algebra,Addison Wesley Company, Canada.

2. Gallian,Joseph, 2006. Contemporary Abstract Algebra, Houghton Mifflin Company, USA.

3. Judson,W.T, 2009.Abstract Algebra Theory and Application, Austin State University.

4. Herstein, I.N.,1975. Topics in Algebra. John Willey & Sons,New York. 5. Isnarto, 2002, Struktur Aljabar, Bahan Ajar,Universitas Negeri Semarang 6. Subiono, 2011, Aljabar I, Diktat Ajar, Institut Teknologi Surabaya.

137

MODUL 9