Kekongruenan

BAB II TEORI BILANGAN

6. Kekongruenan

Konsep kekongruenan bilangan dikembangkan berdasarkan konsep bahwa set iap bil angan bul at posit if dapat dinyat akan ke dal am bent uk N = pq + r at au N − r = pq dengan p, q, r adalah bil angan bulat dan r berada pada 0 ≤ r < p. Persamaan N = pq + r dengan p menyat akan pembagi, q menyat akan hasil bagi dan r menyat akan sisa.

Persamaan di at as sering pul a dit ul is N ≡ r (mod p)

Dari hal t ersebut didapat def inisi bahwa a ≡ b (mod m) j ika m⏐(a − b) unt uk bil angan bul at a, b dan m. Cont oh :

(1) 25 ≡ 1 (mod 4) sebab 4⏐24 (2) 1 ≡−3 (mod 4) sebab 4⏐4

Beberapa sif at berkait an dengan modul u adal ah sebagai berikut . Misal kan a, b, c, d dan m adalah bil angan-bil angan bul at dengan d > 0 dan m > 0, berl aku :

(i) a ≡ a (mod m)

(ii) Jika a ≡ b (mod m), maka b ≡ a (mod m)

(iii) Jika a ≡ b (mod m) dan b ≡ c (mod m) maka a ≡ c (mod m) (iv) Jika a ≡ b (mod m) dan d⏐m maka a ≡ b (mod d)

(v) Jika a ≡ b (mod m) maka ak≡ bk (mod m) unt uk semua k bil angan asl i (vi) Jika a ≡ b (mod m) dan f (x) = anx

n

+ an-1x n-1

+ ⋅⋅⋅ + ao maka f (a) ≡ f (b) (mod m)

(vii) Jika a ≡ b (mod m) dan c ≡ d (mod m) maka a + c ≡ b + d (mod m) (viii) Jika a ≡ b (mod m) dan c ≡ d (mod m) maka ac ≡ bd (mod m) (ix) (am + b)k≡ bk (mod m) unt uk semua k bil angan asli

(x) Dari sif at (viii) didapat (am + b)k⋅ (cm + d)n≡ bk⋅ dn (mod m) unt uk semua k dan n bil angan asl i (xi) Jika ca ≡ cb (mod m) dan FPB(c, m) = 1 maka a ≡ b (mod m)

(xii) Misal kan n ∈ N dan S(n) adal ah penj umlahan digit -digit dari n maka berl aku n ≡ S(n) (mod 9). (xiii) n5≡ n (mod 10) unt uk set iap n ∈ N.

Cont oh 14 :

(OSP 2004 SMP/ MTs) Unt uk bil angan bul at a dan b, <a, b> art inya bil angan bul at t ak negat if yang merupakan sisa a x b j ika dibagi ol eh 5. Bil angan yang dit unj ukkan ol eh <−3, 4> adal ah ⋅⋅⋅⋅⋅⋅

Sol usi :

Karena −3 x 4 = − 12 = 5 x (−3) + 3 maka <−3, 4> = 3 Jadi, <−3, 4> = 3.

Cont oh 15 :

(OSN 2003 SMP/ MTs) Unt uk menarik minat pel anggan, suat u rest oran penj ual makanan cepat saj i memberikan kupon berhadiah kepada set iap orang yang membeli makanan di rest oran t ersebut dengan nil ai l ebih dari Rp. 25. 000, -. Di balik set iap kupon t ersebut t ert era sal ah sat u dari bil angan-bilangan berikut : 9, 12, 42, 57, 69, 21, 15, 75, 24 dan 81. Pembel i yang berhasil mengumpul kan kupon dengan j uml ah bil angan di bal ik kupon t ersebut sama dengan 100 akan diberi hadiah berupa TV 21” . Kal au pemilik rest oran t ersebut menyediakan sebanyak 10 buah TV 21” , berapa banyak yang harus diserahkan kepada para pel anggannya ?

Sol usi :

Bil angan-bil angan 9, 12, 42, 57, 69, 21, 15, 75, 24 dan 81 semuanya habis dibagi 3.

Maka penj uml ahan bil angan-bil angan mana pun di ant ara 9, 12, 42, 57, 69, 21, 15, 75, 24 dan 81 akan menghasil kan suat u bil angan yang habis dibagi 3.

Tet api 100 j ika dibagi 3 akan bersisa 1. Maka t idak ada TV yang diserahkan.

Cont oh 16 :

Tent ukan angka sat uan dari .

7

7

7

Sol usi :

Dal am persoal an bent uk perpangkat an dengan modul u m sel al u diusahakan agar didapat suat u bil angan yang bersisa 1 at au −1 j ika dibagi dengan m agar memudahkan dal am perhit ungan sebab 1k = 1 sedangkan (−1)k sama dengan 1 at au −1 bergant ung dari parit as k unt uk k suat u bil angan bul at .

Angka sat uan merupakan sisa j ika suat u bil angan dibagi 10.

Al t ernat if 1 :

Perl u diingat bahwa 74 = 2401 yang bersisa 1 j ika dibagi 10.

Maka akan dibuat pangkat dari bilangan pokok 7 dinyat akan dalam modul u 4. 72≡ 1 (mod 4)

77 = (72)3⋅ 7 ≡ 13⋅ 7 (mod 4) ≡ 3 (mod 4)

Sehingga 77 = 4k + 3 unt uk suat u bil angan asl i k.

( )

4 3 3 4 7

7

7

7

7

7

=

k+

=

k

⋅

= (240 ⋅ 10 + 1)k⋅ (34 ⋅ 10 + 3) ≡ 1k⋅ 3 (mod 10) 7 7

7

≡ 3 (mod 10)

Jadi, angka sat uan dari adal ah 3.

7

7

7

Al t ernat if 2 :

72 = 49 yang bersisa −1 j ika dibagi 10.

Mngingat bahwa (−1)k bernil ai posit if hanya j ika k genap maka akan dibuat pangkat dari bilangan pokok 7 dinyat akan dal am modul u 4.

72≡ 1 (mod 4)

77 = (72)3⋅ 7 ≡ 13⋅ 7 (mod 4) ≡ 3 (mod 4)

Sehingga 77 = 4k + 3 unt uk suat u bil angan asl i k.

7

7

7

= 74k+3 = (72)2k⋅ 73≡ (5 ⋅ 10 − 1)2k⋅ (343) (mod 10) ≡ (−1)2k⋅ (3) (mod 10) ≡ 3 (mod 10) Jadi, angka sat uan dari adal ah 3.

7

7

7

Cara lain penyel esaian soal t ersebut adal ah dengan mel ihat pol a dari angka sat uan yang selal u berul ang. Cara ini t idak dibahas dalam cont oh ini dan dipersilakan kepada Pembaca unt uk menyel esaikannya. Cont oh 17 :

Tent ukan angka sat uan dari 20072009. Sol usi :

Mencari angka sat uan dari suat u bil angan sama dengan mencari sisa j ika bilangan t ersebut dibagi 10. 20072009 = (200 ⋅ 10 + 7)2009

20072009≡ 72009 (mod 10) (menggunakan sif at (ix)

Al t ernat if 1 :

20072009≡ (74)502⋅ 71 (mod 10)

20072009≡ (240 ⋅ 10 + 1)502⋅ 71 (mod 10)

20072009≡ 1502⋅ 7 (mod 10) (menggunakan sif at (x) 20072009≡ 7 (mod 10)

Jadi, angka sat uan 20072009 adal ah 7.

Al t ernat if 2 :

20072009≡ (72)1004⋅ 71 (mod 10) 20072009≡ (5 ⋅ 10 − 1)1004⋅ 71 (mod 10)

20072009≡ (−1)1004⋅ 7 (mod 10) (menggunakan sif at (x) 20072009≡ 7 (mod 10)

Cont oh 18 :

(OSK 2004 SMP/ MTs) Jika 213 dibagi dengan 13, maka akan memberikan sisa sama dengan ⋅⋅⋅⋅⋅ Sol usi :

Al t ernat if 1 :

213 = 8192 = 13 ⋅ 630 + 2

Maka sisa j ika 213 dibagi dengan 13 adalah 2.

Al t ernat if 2 :

Al t ernat if 1 bisa digunakan unt uk suat u bil angan-bil angan kecil. Tet api j ika pangkat dari 2 merupakan bil angan yang besar maka cara t ersebut t idak ef ekt if . Al t ernat if berikut bisa dipert imbangkan.

213 =(26)2⋅ 2 = (13 ⋅ 5 − 1)2⋅ 2 ≡ (−1)2⋅ 2 (mod 13) ≡ 2 (mod 13) Maka sisa j ika 213 dibagi dengan 13 adalah 2.

Cont oh 19 :

Tent ukan sisa pembagian 3 ⋅ 53 + 272010 ol eh 7. Sol usi :

53 = (8 ⋅ 7 − 3) ≡−3 (mod 7)

3 ⋅ 53 ≡ 3 (−3) (mod 7) ≡−9 (mod 7) ≡−2 (mod 7)

27 ≡−1 (mod 7) sehingga 272010≡ (−1)2010 (mod 7) ≡ 1 (mod 7) 3 ⋅ 53 + 272010≡−2 + 1 (mod 7) ≡−1 (mod 7) ≡ 6 (mod 7) Jadi, sisa pembagian 3 ⋅ 53 + 272010 ol eh 7 adal ah 6.

Cont oh 20 :

(MATNC 2001) N adal ah bilangan asli yang memenuhi N ≡ 2 (mod 3) dan N ≡ 1 (mod 2). Tent ukan sisanya j ika N dibagi 6.

Sol usi :

Al t ernat if 1 :

Karena N j ika dibagi 3 bersisa 2 maka N j ika dibagi 6 akan bersisa 2 at au 5. Karena N bersisa 1 j ika dibagi 2 maka t idak mungkin N akan berbent uk N = 6k + 2. Maka N = 6k + 5.

Jadi, j ika N dibagi 6 maka akan bersisa 5.

Al t ernat if 2 :

Karena N ≡ 1 (mod 2) maka N = 2p − 1 unt uk suat u bil angan bulat p. 2p − 1 ≡ 2 (mod 3) sehingga 2p ≡ 0 (mod 3)

Karena 2 dan 3 rel at if prima maka p ≡ 0 (mod 3) Maka didapat p = 3q unt uk suat u bil angan bul at q. N = 6q − 1 ≡−1 (mod 6) ≡ 5 (mod 6)

Jadi, sisanya j ika N dibagi 6 adalah 5.

Al t ernat if 3 :

Karena N ≡ 1 (mod 2) maka N = 2p + 1 unt uk suat u bil angan bulat p. 2p + 1 ≡ 2 (mod 3) sehingga 2p ≡ 1 (mod 3)

Karena 2 dan 3 rel at if prima maka p ≡ 2 (mod 3) Maka didapat p = 3q + 2 unt uk suat u bil angan bul at q. N = 2(3q + 2) + 1 ≡ 5 (mod 6)

Al t ernat if 4 :

Karena N ≡ 2 (mod 3) maka N = 3p + 2 unt uk suat u bil angan bulat p. 3p + 2 ≡ 1 (mod 2) sehingga 3p ≡ 1 (mod 2)

Karena 2 dan 3 rel at if prima maka p ≡ 1 (mod 2) Maka didapat p = 2q + 1 unt uk suat u bil angan bul at q. N = 3(2q + 1) + 2 ≡ 5 (mod 6)

Jadi, sisanya j ika N dibagi 6 adalah 5.

Cont oh 21 :

Tent ukan dua angka t erakhir dari 32009. Sol usi : 32009 = (35)400⋅ 39 = (243)400⋅ 39 32009≡ (43)400⋅ 39 (mod 100) 32009≡ (1849)200⋅ 39 (mod 100) 32009≡ (49)200⋅ 19683 (mod 100) 32009≡ (2401)100⋅ 83 (mod 100) 32009≡ (1)100⋅ 83 (mod 100) 32009≡ 83 (mod 100)

Jadi, dua angka t erakhir dari 32009 adal ah 83.

LAT IHAN 6 :

1. (OSK 2009) Jika 10999999999 dibagi ol eh 7, maka sisanya adalah ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

2. (MATNC 2001) N adal ah bil angan asl i yang memenuhi N ≡ 2 (mod 3) dan N ≡ 1 (mod 2). Tent ukan sisanya j ika N dibagi 6.

3. (OSK 2003) Misal kan N adalah bil angan bul at t erkecil yang bersif at : bersisa 2 j ika dibagi 5, bersisa 3 j ika dibagi oleh 7, dan bersisa 4 j ika dibagi 9. Berapakah hasil penj uml ahan digit -digit dari N ?

4. (MATNC 2001) Tent ukan angka pul uhan dari 7707.

5. (OSP 2002) Berapakah sisa pembagian

43

4343 ol eh 100 ?

6. (OSP 2003) Berapakah sisa pembagian 1 ⋅ 1! + 2 ⋅ 2! + 3 ⋅ 3! + ⋅⋅⋅ + 99 ⋅ 99! + 100 ⋅ 100! ol eh 101 ? 7. (MATNC 2001) Jika 10a ≡ 1 (mod 13) maka 17a j ika dibagi 13 akan bersisa ⋅⋅⋅⋅⋅

8. (OSK 2005) Mana di ant ara 5 ekspresi , , , dan yang angka t erakhirnya bert urut -t urut bukan 5, 6, 8, 9 at au 0 ?

5 5 5

5

6 6 6

6

8 8 8

8

9 9 9

9

10 10 10

10

9. (OSP 2011) Bil angan asl i n yang memenuhi (−2004)n− 1900n + 25n− 121n habis dibagi 2000 adal ah ⋅⋅⋅⋅ 10. (AIME 1989) Diberikan 1335 + 1105 + 845 + 275 = k5 dengan k bil angan bul at . Tent ukan nil ai k. 11. (MATNC 2001) Tent ukan sisanya j ika 5301 dibagi 8.

13. (AIME 1994) Fungsi f memenuhi f (x) + f (x − 1) = x2 unt uk semua bil angan real x. Diket ahui f (19) = 94. Tent ukan sisanya j ika f (94) dibagi 1000.

14. (MATNC 2001) Tent ukan sisanya j ika 337. 500. 000 dibagi 128.

15. (AIME 1994) Barisan 3, 15, 24, 48, ⋅⋅⋅⋅ adal ah barisan bil angan asl i yang merupakan kelipat an 3 dan kurang 1 dari suat u bil angan kuadrat . Tent ukan sisanya j ika suku ke-1994 dibagi 1000.

16. Berapakah sisanya j ika 1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅⋅⋅⋅⋅ 2005 dibagi 1000 ?

17. (OMITS 2011) Tent ukan sisanya j ika dibagi 14.

2011

2011

2011

18. Tent ukan semua kemungkinan sisa j ika N100 dibagi 125 dengan N adal ah bilangan bul at ?