BAB II TEORI BILANGAN
2. Sifat-sifat Keterbagian
Def inisi : Sebuah bilangan bul at a dikat akan membagi b (dit ul is a⎪b) j ika t erdapat bil angan bul at k sehingga b = a ⋅ k. Beberapa hal berkait an dengan pembagian adal ah sebagai berikut :
1. 1 Misal kan a, b, c, x dan y bil angan bul at , maka sif at -sif at di bawah ini berl aku : (1) a⏐a (semua bil angan bulat membagi dirinya sendiri)
(2) a⏐0 (semua bil angan bulat membagi 0) (3) 1⏐a (sat u membagi semua bil angan bulat ) (4) Jika a⏐1 maka a = ±1
(5) Jika a⏐b maka a⏐xb
(6) Jika ab⏐c maka a⏐c dan b⏐c (7) Jika a⏐b dan b⏐c maka a⏐c
(8) Jika a⏐b dan a⏐c maka a⏐(bx + cy) (9) Jika a⏐b maka xa⏐xb
(10) Jika a⏐b dan b ≠ 0 maka ⏐a⏐≤⏐b⏐ (11) Jika a⏐b dan b⏐a maka a = ±b
(12) Jika a⏐bc dan FPB(a, b) = 1 maka a⏐c (13) 0⏐a hanya j ika a = 0
1. 2 Jika suat u bilangan habis dibagi a dan j uga habis dibagi b, maka bil angan t ersebut akan habis dibagi ab dengan syarat a dan b rel at if prima. Berl aku sebaliknya.
Dua bil angan dikat akan prima rel at if , j ika f akt or persekut uan t erbesarnya (FPB) dua bil angan t ersebut sama dengan 1.
Cont oh : 36 habis dibagi 4 dan 3, maka 36 akan habis dibagi 12.
45 habis dibagi 15. Maka 45 j uga habis dibagi 3 dan 45 j uga habis dibagi 5.
12 habis dibagi 4 dan 12 j uga habis dibagi 6 t et api 12 t idak habis dibagi 4 ⋅ 6 = 24 sebab 4 dan 6 t idak rel at if prima, FPB (4, 6) = 2
1. 3 Bil angan yang dapat diubah menj adi perkal ian n bil angan bulat berurut an akan habis dibagi n! dengan t anda “ ! ” menyat akan f akt orial . n! = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅⋅⋅⋅⋅ n.
Cont oh : 3x4x5x6 = 360 merupakan perkal ian 4 bil angan bul at berurut an maka habis dibagi 4! = 24. 1. 4 Mengingat penj abaran pada dua persamaan berikut :
(i) (an− bn) = (a − b)(an-1 + an-2b + an-3b2 + ⋅⋅⋅ + abn-2 + bn-1) dengan n ∈ bil angan asl i (ii) (an + bn) = (a + b)(an-1− an-2b + an-3b2−⋅⋅⋅− abn-2 + bn-1) dengan n ∈ bil angan ganj il Maka (a − b) membagi (an− bn) unt uk semua a, b bul at dan n bil angan asl i
(a + b) membagi (an + bn) unt uk semua a, b bul at dan n bil angan ganj il
Cont oh 2 :
(OSN 2003 SMP/ MTs) Bukt ikan bahwa (n − 1)n(n3 + 1) senant iasa habis dibagi oleh 6 unt uk semua bil angan asl i n.
Sol usi :
Al t ernat if 1 :
Berdasarkan 1. 2 didapat bahwa j ika (n − 1)n(n3 + 1) habis dibagi 6 maka (n − 1)n(n3 + 1) habis akan dibagi 2 dan j uga habis dibagi 3. Jadi, j ika dapat dibukt ikan bahwa (n − 1)n(n3 + 1) habis dibagi 2 dan j uga habis dibagi 3 maka dapat dibukt ikan (n − 1)n(n3 + 1) senant iasa habis dibagi ol eh 6 unt uk semua bilangan asl i n.
(n − 1) dan n adal ah 2 bil angan bul at berurut an maka (n − 1)n akan habis dibagi 2. Berdasarkan 2. 1 poin (1) maka (n − 1)n(n3 + 1) habis dibagi 2.
Sebuah bil angan bul at dapat dikl asif ikasikan ke dal am salah sat u bent uk dari 3k, 3k + 1 at au 3k + 2. Jika n = 3k maka 3 membagi n sehingga 3⏐(n − 1)n(n3 + 1)
Jika n = 3k + 1 maka 3⏐(n − 1) sehingga 3⏐(n − 1)n(n3 + 1).
Jika n = 3k + 2 maka n3 + 1 =(3k + 2)3 + 1 = 3(9k3 + 18k2 + 12k + 3) sehingga 3⏐(n3 + 1). Maka 3⏐(n − 1)n(n3 + 1).
Didapat bahwa (n − 1)n(n3 + 1) habis dibagi 2 dan j uga habis dibagi 3. Karena 2 dan 3 rel at if prima maka (n − 1)n(n3 + 1) habis dibagi 2 ⋅ 3 = 6.
Jadi, (n − 1)n(n3 + 1) habis dibagi 6.
Al t ernat if 2 :
(n − 1)n(n3 + 1) = (n − 1)n(n + 1)(n2− n + 1)
Karena n − 1, n dan n t iga bil angan asli berurut an maka (n − 1)n(n + 1)(n2− n + 1) habis dibagi ol eh 3! = 6. Jadi, (n − 1)n(n3 + 1) habis dibagi 6.
Cont oh 3 :
(OSK 2005 SMP/ MTS) Bil angan 43 dapat dinyat akan ke dal am bent uk 5a + 11b karena unt uk a = 13 dan b = −2, nilai dari 5a + 11b adal ah 43. Manakah dari t iga bil angan 37, 254 dan 1986 yang t idak dapat dinyat akan dal am bent uk 5a + 11b ?
A. 1983 B. 254 C. 254 dan 1986 D. semua E. t ak ada Sol usi :
Perhat ikan bahwa 1 dapat dinyat akan ke dal am bent uk 5a + 11b dengan a = −2 dan b = 1. Karena 1 membagi semua bil angan bul at maka semua bilangan dapat dinyat akan ke dal am bent uk 5a + 11b. (Jawaban : D)
Misal kan diinginkan 5a + 11b = k maka kesamaan akan t erj adi saat a = −2k dan b = k.
Cont oh 4 :
Bukt ikan bahwa 7, 13 dan 181 adal ah f akt or dari 3105 + 4105 Sol usi :
Karena 105 ganj il maka 3105 + 4105 habis dibagi 3 + 4 = 7. 3105 + 4105 = (33)35 + (43)35 = 2735 + 6435
Karena 35 ganj il maka 3105 + 4105 habis dibagi 27 + 64 = 91. Karena 91 = 7 ⋅ 13 maka 3105 + 4105 habis dibagi 13.
3105 + 4105 = (35)21 + (45)21 = 24321 + 102421
Karena 21 ganj il maka 3105 + 4105 habis dibagi 243 + 1024 = 1267. Karena 1267 = 7 ⋅ 181 maka 3105 + 4105 habis dibagi 181.
Cont oh 5 :
(OSK 2004 SMP/ MTS) Semua n sehingga n dan nn+−13 keduanya merupakan bil angan bul at adal ah ⋅⋅⋅⋅⋅ Sol usi :
Al t ernat if 1 :
Perhat ikan bahwa nn+−13
=
n−n1−+14=1+
n4−1Agar
1+
n4−1 merupakan bil angan bul at maka n − 1 harusl ah merupakan f akt or dari 4. Maka nil ai dari n − 1 adalah ±1, ±2 dan ±4.Nil ai n yang memenuhi adal ah −3, −1, 0, 2, 3 dan 5.
Al t ernat if 2 :
Sel ain dengan menggunakan sif at ket erbagian, soal t ersebut j uga bisa disel esaikan dengan memf akt orkan. Misalkan m = nn+−13 unt uk suat u bil angan bul at n dan m.
Persamaan di at as ekival en dengan n + 3 = mn − m
n − 1 harusl ah merupakan f akt or dari 4. Maka nil ai dari n − 1 adalah ±1, ±2 dan ±4.
Nil ai n yang memenuhi adal ah −3, −1, 0, 2, 3 dan 5.
Cont oh 6 :
(OSP 2005 SMP/ MTs) Semua pasangan bil angan asl i m dan n yang memenuhi 2
+
3=1
nm adal ah ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ Sol usi :
Persamaan pada soal ekival en dengan 2n + 3m = mn (m − 2)(n − 3) = 6
Dengan demikian m − 2 dan n − 3 keduanya merupakan f akt or dari 6. Karena m dan n bil angan asl i maka m − 2 > −2 dan n − 3 > −3
Maka m − 2 = 1, 2, 3 at au 6. Jadi m = 3, 4, 5 at au 8.
Jadi, pasangan (m, n) yang memenuhi adal ah (3, 9), (4, 6), (5, 5), (8, 4).
LAT IHAN 2 :
1. (OSK 2002) Bil angan n t erbesar sehingga 8n membagi 4444 adal ah
2. (OSK 2002) Berapa banyak pasang bil angan bul at posit if (a, b) yang memenuhi 1a
+
1b=
61.3. (OSK 2003) Jika a dan b bil angan bul at sedemikian sehingga a2− b2 = 2003, maka berapakah nil ai dari a2 + b2 ?
(Diket ahui bahwa 2003 merupakan bilangan prima)
4. (AIME 1986) Tent ukan nil ai n t erbesar sehingga n + 10 membagi n3 + 100.
5. (MATNC 2001) Juml ah N bil angan kuadrat sempurna pert ama merupakan kelipat an 41. Tent uan nil ai minimal dari N.
6. (OSP 2009) Diket ahui k, m, dan n adal ah t i ga bilangan bul at posit if yang memenuhi
6
1
4
=
+
n
m
m
k
Bil angan m t erkecil yang memenuhi adal ah ⋅⋅⋅⋅⋅⋅
7. (AIME 1987/ OSP 2008) m dan n adal ah bil angan bulat yang memenuhi m2 + 3m2n2 = 30n2 + 517. Nilai dari 3m2n2 adal ah ⋅⋅⋅⋅⋅
8. (AIME 1989) Lima bil angan asli berurut an memenuhi bahwa j umlahnya merupakan bilangan kubik dan j uml ah t iga bil angan di t engah merupakan bil angan kuadrat . Tent ukan nil ai t erkecil dari bilangan yang di t engah.
9. Bil angan prima t erbesar kurang dari 100 yang merupakan f akt or dari 332− 232 adal ah ⋅⋅⋅⋅⋅⋅
10. (AIME 1989) Misal kan k ∈ N sehingga 36 + k, 300 + k, 596 + k adalah kuadrat dari t iga bilangan yang membent uk barisan arit mat ika. Tent ukan nil ai k.
11. (OSP 2002) Berapakah bilangan bul at posit if t erbesar yang membagi semua bil angan 15 −1, 25 −2, ⋅⋅⋅, n5−n, ⋅⋅?
12. Jika n adal ah bil angan bulat l ebih dari 1, bukt ikan bahwa n6− n2 habis dibagi 60.
13. Tunj ukkan bahwa 15 + 25 + 35 + ⋅⋅⋅ + 995 + 1005 habis dibagi 10100, namun t idak habis dibagi 3. 14. Banyaknya pasangan bil angan bul at posit if (a, b) yang sal i ng rel at if prima dan memenuhi
a b b a 9 14
+
merupakan bil angan bul at adal ah ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
15. (AIME 1993) Tent ukan banyaknya t upel bil angan bul at (a, b, c, d) yang memenuhi 0 < a < b < c < d < 500 dan a + d = b + c sert a bc − ad = 93.
16. Bukt ikan bahwa j ika a, b dan c bil angan asli dan b adal ah kel ipat an a, c adal ah kel ipat an b sert a a adal ah kel ipat an c maka a = b = c.
17. (AIME 2001) Tent ukan penj uml ahan semua bil angan asli dua angka yang habis dibagi ol eh masing- masing digit nya.
18. Bil angan bul at n dikat akan merupakan kel ipat an 7 j ika memenuhi n = 7k dengan k bil angan bul at . a. Jika p dan q bil angan bul at dan memenuhi 10p + q kel ipat an 7, bukt ikan bahwa p − 2q j uga
kel ipat an 7.
b. Jika c dan d bil angan bul at dan memenuhi 5c + 4d kel ipat an 7, bukt ikan bahwa 4c − d j uga kel ipat an 7.
19. Tent ukan bilangan bul at posit if t erbesar x yang memenuhi dua persyarat an berikut : a. x t idak habis dibagi 10
b. Jika dua angka t erakhir dari x2 dibuang maka bil angan t ersisa j uga merupakan bil angan kuadrat . 20. (Canadian MO 1971) Unt uk n bil angan bul at , t unj ukkan bahwa n2 + 2n + 12 bukan kel ipat an 121. 21. (ME V1N2) Juml ah dua bilangan bulat posit if adal ah 2310. Tunj ukkan bahwa hasil kal i keduanya t idak