BAB II DESKRIPSI TEORETIS, KERANGKA BERPIKIR DAN HIPOTESIS
A. Deskriptif Teoritis
2. Kemampuan Generalisasi Matematis
a. Pengertian Kemampuan Generalisasi Matematis
Generalisasi merupakan salah satu bagian dari penalaran. Menurut Sumarmo dalam Ira Wulandari menyatakan bahwa generalisasi merupakan bagian dari penalaran induktif.64 Penalaran induktif yaitu penarikan kesimpulan yang bersifat umum atau khusus berdasarkan pada data yang teramati. Sedangkan yang dimaksud dengan generalisasi adalah penarikan kesimpulan umum berdasarkan sejumlah data yang teramati.65 Selanjutnya Soekadijo mengatakan bahwa penalaran yang menyimpulkan suatu konklusi yang bersifat umum dari premis-premis yang berupa proposisi empirikitu disebut dengan generalisasi.66 Ira Wulandari mengungkapkan bahwa generalisasi matematis adalah menarik kesimpulan dengan memeriksa keadaan khusus menuju kesimpulan umum. Generalisasi tersebut mencangkup pengamatan contoh-contoh khusus dan menemukan pola.67 Berdasarkan beberapa pengertian mengenai generalisasi diatas dapat disimpulkan bahwa generalisasi merupakan proses membuat kesimpulan berdasarkan fakta –fakta yang ada dari keadaan khusus menuju kesimpulan umum yang menyangkut mengenai pola atau aturan tertentu.
Menurut Soekadijo generalisasi memuat beberapa syarat, diantaranya adalah :68
1) Generalisasi harus tidak terbatas secara numerik, artinya generalisasi tidak boleh terikat pada jumlah tertentu.
2) Generalisasi harus tidak terbatas secara spasio-temporal artinya tidak boleh terbatas dalam ruang dan waktu.
3) Generalisasi harus dapat dijadikan sebagai sumber pengandaian.
64
Ira Wulandari, “Peningkatan Kemampuan Generalisasi Matematis Siswa SMA melalui Metode Pembelajaran Penemuan Terbimbing”, Tesis pada Sekolah Pascasarjana UPI Bandung, Bandung, 2012, h.17, tidak dipublikasikan.
65
Sumarmo, op.cit., h.13.
66
Harry Dwi Putra, Pembelajaran Geometri dengan Pendekatan SAVI Berbantuan WINGEOM untuk Meningkatkan Kemampuan Generalisasi Matematis Siswa SMP, Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika STKIP Siliwangi Bandung, Vol.1, 2013, h. 419.
67
Wulandari, op.cit., h.17.
68
Soekandijo juga menyatakan faktor-faktor probabilitas yang berhubungan dengan generalisasi memiliki sifat-sifat berikut: (1) makin besar jumlah fakta yang dijadikan dasar penalaran, makin tinggi probabilitas konklusinya; (2) makin besar jumlah faktor kesamaan di dalam premis, makin rendah probabilitas konklusinya dan sebaliknya; (3) makin besar jumlah factor disanaloginya di dalam premis, makin tinggi probabilitasnya konklusinya dan sebaliknya; (4) semakin luas konklusinya semakin rendah probabilitasnya dan sebaliknya69. Dengan demikian generalisasi dibentuk berdasarkan pola atau kondisi berulang pada suatu kejadian yang diharapkan selalu terjadi juga pada kejadian yang berbeda yang memiliki pola atau kondisi yang sama. Semakin banyak fakta yang mewakili generalisasi yang diharapkan maka semakin tinggi probabilitas kebenaran konklusinya.
b. Indikator Kemampuan Generalisasi Matematis
NCTM mendefinisikan proses generalisasi adalah mencatat keteraturan dan memformulasikan konjektur. Selanjutnya Ward dan Hardgrove mendeskripsikan proses generalisasi yang meliputi: mengobservasi data, membuat hubungan yang mungkin, dan memformulasi konjektur.70 Sedangkan proses generalisasi menurut Mason meliputi empat tahapan berikut:71
a. perception of generality, siswa baru mengenal sebuah aturan/ pola; siswa juga telah mampu mempersepsi atau mengidentifikasi pola, dan mengetahui bahwa masalah yang disajikan dapat diselesaikan menggunakan aturan/pola.
b. ekspression of generality, siswa telah mampu menggunakan hasil identifikasi pola untuk menentukan struktur/ data/ gambar/ suku berikutnya; siswa juga telah mampu menguraikan sebuah aturan/ pola, baik secara numerik maupun verbal.
69 Ibid., h. 420 70 Wulandari., op.cit., h.16 71
c. symbolic ekspression of generality, siswa telah mampu menghasilkan sebuah aturan dan pola umum; mampu memformulasikan keumuman secara simbolis.
d. manipulation of generality, siswa telah mampu menggunakan hasil generalisasi untuk menyelesaikan masalah, dan mampu menerapkan aturan/ pola yang telah mereka temukan dalam berbagai persoalan.
Berdasarkan uraian mengenai tahapan proses generalisasi diatas maka indikator kemampuan generalisasi matematis yang digunakan dalam penelitian ini yaitu terbagi menjadi tiga yaitu:
• Siswa mampu melakukan proses identifikasi pola atau tahap perception of generality.
• Siswa dapat menggunakan hasil identifikasi pola untuk menentukan struktur atau data atau suku selanjutnya atau tahap ekspression of generality.
• Siswa mampu menggunakan menghasilkan aturan umum dan menggunakannya untuk menyelesaikan masalah (symbolic and manipulation of generality).
Pada penelitian ini indikator symbolic ekspression of generality dan manipulation of generality digabung menjadi satu yaitu menjadi indikator symbolic andmanipulation of generality
Contoh butir tes yang mengukur kemampuan generalisasi matematik siswa di SMP pada materi segiempat adalah sebagai berikut:
1. Perhatikan gambar berikut!
... Pola ke-1 ke-2 ke-3 ke-n
a. Berapa banyak persegi pada pola 1? Berapa luas total persegi pada pola ke-1?
b. Berapa banyak persegi pada pola 5? Berapa luas total persegi pada pola ke-5?
c. Bagaimana pola umum untuk menentukan luas persegi pada pola ke-n (n € bilangan asli)
d. Berapa luas total persegi pada pola ke-35?72
Dalam mengerjakan dan menjawab soal tersebut, siswa harus mengusai empat tahapan proses generalisasi. Tahap pertama yaitu perception of generality, pada tahap ini siswa harus mampu mengenali atau mengidentifikasi pola atau aturan apa yang terdapat dalam soal tersebut. Berdasarkanketerangan pada gambar diketahui bahwa banyak segiempat akan akan bertambah 2 buah dari jumlah pada pola sebelumnya. Maka jawaban untuk no.1a, banyak persegi pada pola pertama adalah 2 buah dan luasnya adalah 2�7��� 7 �� = 98��P
2
Selanjutnya setelah mengetahui dan memahami pola apa yang terdapat dalam soal tersebut maka siswa diharapkan mampu menggunakan hasil identifikasinya untuk menentukan pola atau struktrur selanjuntnya (expression of generality), yaitu pada soal 1b. Karena pada setiap pola selanjutnya segiempat bertambah 2 buah maka pola pertama 2 buah segimpat, pola kedua ada 4 buah segiempat pola ketiga ada 6 segiempat, pola keempat ada 8 buah segiempat, maka pola kelima ada 10 buah segiempat. Lalu untuk mencari luas pada pola kelima adalah 10�7��� 7 ��= 490��P
2
Lalu pada tahapan symbolic expression of generality, siswa harusmampu menghasilkan atau menentukan aturan atau pola umum untuk menentukan jumlah segiempat pada pola ke-n, yaitu pada soal no.1c.Sebelumnya telah diketahui bahwa banyak segiempat pada pola pertama hingga pola kelima adalah 2, 4, 6, 8, 10 maka untuk menentukan banyak segiempat pada pola ke-n yaitu 2�� atau 2n.
72
Nihal Nadia, Penerapan Model Pembelajaran Kooperatif Tipe Jigsaw dengan
Maka rumus untuk menentukan luas segiempat pada pola ke-n adalah 2�� 7��� 7��.
Terakhir adalah tahap manipulation of generality yaitu siswa mampu untuk menggunakan hasil generalisasi dan menerapkan pola atau aturan yang mereka temukan untuk menyelesaikan permasalahan yang ada yaitu pada no.1e. Siswa harus mampu menentukan luas total segiempat pada pola ke-35. Untuk mengerjakannya siswa dapat menggunakan rumus umum yang telah diketahui sebelumnya yaitu 2�� 7��� 7��, sehingga luas total segiempat pada pola ke-35 adalah 2 (35)� 7��� 7�� = 3430 ��P
2
.Saat siswa mampu mengerjakan soal tersebut dengan baik maka siswa telah memilki kemampuan generalisasi matematis
