Kompetisi Matematika Kanada Terbuka

Perkumpulan Matematika Kanada bekerjasama dengan Pusat Kegiatan Pendidikan Matematika dan Komputasi Universitas Waterloo, Ontario

Soal Teks Bahasa Indonesia Rabu, 19 Nopember 2008 Waktu: 2,5 jam

Petunjuk

Lembar soal yang diberikan terdapat 15 pertanyaan, setiap jawaban yang benar diberikan nilai 5. Anda bisa mengisi jawaban pada kotak kosong yang diberikan. Tidak ada ralat untuk jawaban yang salah. Penggunaan kalkulator tidak diizinkan.

Kompetisi Matematika Kanada Terbuka

1. Berapakah nilai dari 1 1 1 1 1 1 1 1

2 3 4 5

 _  _  _  _ 

    

    ?

2. Jika 2a + b = 13 dan a + 2b = 11, berapa nilai dari (a + b)?

3. Jika a = 15 dan b = –9, berapa nilai dari (a2 + 2ab + b2)?

4. Tentukan nilai dari 102– 92 + 82– 72 + 62– 52 + 42– 32 + 22– 12. 5. Suatu fungsi f (x) diketahui sebagai:

a) f (1) = 1

b) f (2x) = 4f (x) + 6

c) f (x + 2) = f (x) + 12x + 12 Hitung nilai dari f (6)!

6. Jeff, Gareth and Ina mempunyai hari ulang tahun yang sama. Gareth satu tahun lebih tua dari Jeff, dan Ina dua tahun lebih tua dari Gareth. Pada tahun ini, jumlah umur ketiganya adalah 118. Berapa umur Gareth sekarang?

7. Dua buah bilangan yang berbeda dipilih secara acak dari {0, 1, 2, 3, 4}. Tentukan kemungkinan penjumlahan kedua buah bilangan tersebut lebih besar dari hasil perkaliannya?

8. Dalam segitiga PQR, F terletak diantara QR sehingga PF tegak lurus QR. Jika PR = 13, RF = 5, dan FQ = 9, berapa keliling ΔPQR?

Q R P

9 5

9. Operasi “Δ” didefiniskan sebagai (a Δ b) =1 a b

 , b0. Berapakah nilai dari

  

1 2  3 4



10.Urutan bilangan 9, 18, 27, 36, 45, 54, … memiliki faktor perkalian 9. Urutan ini kemudian dikalikan dengan –1 dengan urutan tertentu sehingga menghasilkan urutan bilangan yang baru yaitu –9, 18, –27, 36, –45, 54, ... . Jika penjumlahan n pertama menghasilkan nilai 180, tentukan nilai n!

11.Notasi n! digunakan untuk menjelaskan n n 1 n 2









    

3 2 1 . Sebagi contoh, 4! 4 3 2 1 .

   

Tentukan n dimana n!

    

215 36 53 72

  

11 13 !

12.Berapa banyak kemungkinan bilangan positif lima-digit yang perkalian digitnya menghasilkan angka 2000?

13.Dalam suatu segitiga, ΔABC suatu segitiga sama-sisi dan jari-jari lingkaran di dalamnya yaitu 1 satuan panjang. Lingkaran yang terluar digambarkan melingkupi persegi ABDE. Berapakah diameter lingkaran yang terluar?

A B D

E C

14.Tentukan semua bilangan nyata b pada



b 3 b 6







 14!

15.Bilangan 1, 2, 3, … , 9 ditempatkan dalam suatu kotak persegi. Penjumlahan tiga baris, penjumlahan tiga kolom, dan penjumlahan dua diagonal

dijumlahkan bersamaan membentuk “penjumlahan besar”, S.

Sebagai contoh, jika bilangan tersebut ditempatkan dalam urutan di bawah ini,

maka ”penjumlahan besar”-nya adalah:

1 4 7 2 5 8 3 6 9

S = penjumlahan baris + penjumlahan kolom + penjumlahan diagonal = 45 + 45 + 30

= 120

Tentukan kemungkinan nilai terbesar dari “penjumlahan besar” tersebut!

Perkumpulan Matematika Kanada bekerjasama dengan Pusat Kegiatan Pendidikan Matematika dan Komputasi Universitas Waterloo, Ontario

Soal dan Pembahasan Rabu, 19 Nopember 2008 Waktu: 2,5 jam

1. Berapakah nilai dari 1 1 1 1 1 1 1 1

2 3 4 5  _  _  _  _           ? Pembahasan: 1 1 1 1 3 4 5 6 1 1 1 1 2 3 4 5 2 3 4 5  _  _  _  _      _                     3 4 5 6 2 3 4 5              _{    }_ _ _ 6 2  3

2. Jika 2a + b = 13 dan a + 2b = 11, berapa nilai dari (a + b)? Pembahasan:

Dengan menambahkan dua persamaan tersebut akan memberikan 2a b 13 a 2b 11 3a 3b 24     _  

Jadi, nilai dari a b 8.

3. Jika a = 15 dan b = –9, berapa nilai dari (a2 + 2ab + b2)? Pembahasan:

Jika a = 15 dan b = –9, maka

    

2 2 2

4. Tentukan nilai dari 102– 92 + 82– 72 + 62– 52 + 42– 32 + 22– 12. Pembahasan: 102– 92 + 82– 72 + 62– 52 + 42– 32 + 22– 12



10 9 10 9



 

8 7 8 7



 

6 5 6 5



 

4 3 4 3



 

2 1 2 1





              



 



1 10 9 1 8 7 1 6 5 1 4 3 1 2 1           10 9 8 7 6 5 4 3 2 1           55 

5. Suatu fungsi f (x) diketahui sebagai: a) f (1) = 1

b) f (2x) = 4f (x) + 6

c) f (x + 2) = f (x) + 12x + 12 Hitung nilai dari f (6)!

Pembahasan:

Dengan menggunakan (b) dengan x = 1 akan menghasilkan

 

f 2 4f 1  6 4 1  6 10 dimana f (1) = 1.

Dengan menggunakan (b) dengan x = 2 akan menghasilkan

 

f 4 4f 2  6 4 10  6 46

Dengan menggunakan (c) dengan x = 4 akan menghasilkan

   

 

f 6 f 4 12 4 1246 48 12 106  

Pembahasan:

Misalkan umur Gareth sekarang G tahun. Kemudian umur Jeff adalah (G – 1) tahun dan umur Ina adalah (G + 2) tahun.

Diketahui jumlah umur mereka adalah 118 sehingga

G39

Jadi, umur Gareth sekarang adalah 39 tahun.

7. Dua buah bilangan yang berbeda dipilih secara acak dari {0, 1, 2, 3, 4}. Tentukan kemungkinan penjumlahan kedua buah bilangan tersebut lebih besar dari hasil perkaliannya?

Pembahasan:

Untuk memudahkan menyelesaikan soal ini, kita akan menggunakan tabel sebagai berikut.

Angka yang Dipilih Penjumlahan Hasil Perkalian

(0, 1) 1 0 (0, 2) 2 0 (0, 3) 3 0 (0, 4) 4 0 (1, 2) 3 2 (1, 3) 4 3 (1,4) 5 4 (2, 3) 5 6 (2, 4) 6 8 (3, 4) 7 12

Pada tabel tersebut terdapat 10 kemungkinan dua angka yang berbeda yang dipilih dan terdapat 7 kemungkinan penjumlahan 2 angka yang berbeda lebih besar daripada hasil perkaliannya.

Jadi, kemungkinan (peluang) penjumlahan kedua buah bilangan lebih besar

dari hasil perkaliannya adalah 7 . 10

8. Dalam segitiga PQR, F terletak diantara QR sehingga PF tegak lurus QR. Jika PR = 13, RF = 5, dan FQ = 9, berapa keliling ΔPQR?

Q R P F 9 5 12 Pembahasan:

Perhatikan gambar berikut ini!

Q R

9 5

Dengan menggunakan teorema Pythagoras dalam segitiga PFR, kita akan mendapatkan nilai PF yaitu:

2 2 2

PF PR FR

2 2 2

PF 13 5 144 PF 144 12cm

Dengan menggunakan teorema Pythagoras dalam segitiga PFQ, kita akan mendapatkan nilai PQ yaitu:

2 2 2

PQ QF PF

2 2 2

PQ 9 12 225 PQ 225 15cm

Jadi, sisi segitiga PQR adalah 13 cm, 14 cm, dan 15 cm sehingga keliling segitiga PQR adalah (13 + 14 + 15) cm = 42 cm.

9. Operasi “Δ” didefiniskan sebagai (a Δ b) =1 a b

 , b0.

Berapakah nilai dari

  

1 2  3 4



? Pembahasan:

Sesuai dengan definisi “Δ”, maka 1 1 1 2 1 2 2     3 1 3 4 1 4 4     Jadi,

  



1 1 1 ₂ 1 2 3 4 1 1 2 1 1 2 4 4        _{   }          

Pembahasan:

Bagian dari deret tersebut dipasangkan dengan mengkombinasikan setiap bilangan ganjil sebagai contoh, kita mengkombinasikan 1 dan 2, 3 dan 4, 5 dan 6, dan seterusnya.

Penjumlahan setiap pasangan bilangan tersebut adalah 9.

Jadi, kita memerlukan 20 pasangan bilangan ini untuk menghasilkan nilai 180 dimana 2 20 atau n = 40.

11.Notasi n! digunakan untuk menjelaskan n n 1 n 2









    

3 2 1 . Sebagi contoh, 4! 4 3 2 1 .

   

Tentukan n dimana n!

    

215 36 53 72

  

11 13 ! Pembahasan:

Misalkan n! mempunyai faktor bilangan prima 13, n harus kurang dari 13. Misalkan n! tidak mempunyai faktor bilangan prima 17, n harus kurang dari 17.

Dua pernyataan tersebut benar karena jika mn, maka m dapat membagi n! Misalkan n! mempunyai 53 sebagai faktor, maka n15, dimana kita perlu n! untuk mempunyai 3 faktor yang dikalikan dengan 5.

16! mempunyai 1 faktor pada 2 dari 2, 6, 10, dan 14 2 faktor pada 2 dari 4, 12

3 faktor pada 2 dari 8 4 faktor pada 2 dari 16

Akhirnya, kita memiliki 15 pasangan dimana bersesuaian pada n = 16.

12.Berapa banyak kemungkinan bilangan positif lima-digit yang perkalian digitnya menghasilkan angka 2000?

Pembahasan:

Misalkan bilangan positif lima-digit dalam bentuk a b c d e dimana 0a, b, c, d, e9, a0.

Jika hasil perkalian angka tersebut adalah 2000, maka kita harus mempunyai perkalian a b c d e = 2000 = 2453.

Jika hasil perkalian angka tersebut adalah 2000, maka 3 digit diantaranya haruslah 5. Dua digit yang dimaksud adalah hasil perkalian yaitu 16 atau 24. Kemungkinan 1

Kasus 1 Dengan menggunakan angka 5, 5, 5, 4, 4 terdapat 5! 10 3!2! kemungkinan bilangan

Kasus 2 Dengan menggunakan angka 5, 5, 5, 2, 8 terdapat 5! 20 3! kemungkinan bilangan

Jadi, banyaknya kemungkinan bilangan positif lima-digit yang perkalian digitnya menghasilkan angka 2000 adalah 10 + 20 = 30 kemungkinan.

A B D

E C

Pembahasan:

Perhatikan gambar berikut ini!

30° O

A P B

Misalkan O adalah pusat dari lingkaran kecil di dalam segitiga sama-sisi dan P merupakan titik tengah yang terdapat pada garis AB.

Kemudian kita hubungkan OP dan OB.

Diketahui bahwa OPB 90 dan OBP 30 dengan CBA 60 . Diketahui bahwa OP = 1 dan sudut-sudut segitiga BOP adalah 30°-60°-90°, kemudian OB = 2 dan BP = 3sehingga AB2 3.

Karena simetris, CO = OB = 2, maka CP = 3.

A B

2 3

Karena ABDE adalah persegi dan CP tegak lurus AB, maka AE = 3. Sekarang lihat pada persegi ABDE dan lingkaran terluarnya!

Karena ABDE adalah persegi, sudut EAB adalah 90°, maka BE adalah diameter lingkaran tersebut.

Dengan menggunakan rumus Pythagoras,

2 2 2

BE EA AB 32

 

2 3 2 21

Jadi, diameternya adalah 21 cm.

14.Tentukan semua bilangan nyata b pada



b 3 b 6







 14! Pembahasan:

Karena



b 3 b 6







 14, maka b23b 18  14 atau b23b 4 0. Dengan memfaktorkan, kita mendapatkan



b 4 b 1



 



sehingga b = 4 atau b = 1.

15.Bilangan 1, 2, 3, … , 9 ditempatkan dalam suatu kotak persegi. Penjumlahan tiga baris, penjumlahan tiga kolom, dan penjumlahan dua diagonal

dijumlahkan bersamaan membentuk “penjumlahan besar”, S.

Sebagai contoh, jika bilangan tersebut ditempatkan dalam urutan di bawah ini,

1 4 7 2 5 8 3 6 9

S = penjumlahan baris + penjumlahan kolom + penjumlahan diagonal = 45 + 45 + 30

= 120

Tentukan kemungkinan nilai terbesar dari “penjumlahan besar” tersebut!

Pembahasan:

Jika 9 angka tersebut ditempatkan pada susunan dalam pengaturan yang berbeda, maka penjumlahan dari penjumlahan baris adalah selalu 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45 karena setiap 9 bilangan tersebut terdapat dalam satu baris.

Hampir sama dengan dengan hal di atas, penjumlahan dari penjumlahan kolom adalah selalu 45 sebagai sembilan bilangan yang ada dalam satu kolomnya. Jadi, penjumlahan besar S adalah sama dengan 90 ditambah dengan jumlah penjumlahan diagonal dan tergantung pada input diagonal sebagai berikut: a g e c k Jadi, S = 90 + (a + e + k) + (c + e + g) = 90 + 2e + a + c + g + k. Untuk membuat S sebesar mungkin, kita harus membuat 2e + a + c + g + k sebesar mungkin.

Karena a, c, e, g, dan k dapat berupa angka dari 1 sampai 9, maka S adalah yang terbesar pada e = 9 dan a, c, g, dan k adalah 5, 6, 7, dan 8 dalam hal lainnya. Sebagai contoh,

5 2 7 1 9 4 6 3 8

Jadi, nilai maksimum yang mungkin untuk S adalah 90 + 2(9) + 8 + 7 + 6 + 5 = 90 + 44 = 134.

Dalam dokumen Cara Jitu Menguasai Olimpiade Matematika SD (Halaman 101-115)