Konsep Himpunan egiatan
2.1.1. Konsep Himpunan
Guru mengawali pembelajaran, dengan tanya jawab bahwa dalam kehidupan sehari-hari banyak kumpulan, kelompok, golongan, akan tetapi tidak semua kelompok termasuk himpunan. Guru memberikan beberapa contoh dan bukan contoh himpunan dalam kehidupan sehari-hari. Tujuan dari pembelajaran ini agar siswa dapat membedakan kelompok yang termasuk himpunan dan kelompok yang termasuk bukan himpunan.
Ayo
Kita Amati
Guru meminta siswa mengamati contoh dan bukan contoh himpunan dalam kehidupan sehari-hari yang ada dalam buku siswa. Jika perlu guru bisa meminta siswa untuk memberikan contoh himpunan dan bukan humpunan dalam kehidupan sehari-hari.
Ayo Kita
Menanya
?
?
Guru meminta siswa untuk mengajukan pertanyaan yang berkaitan dengan contoh dan bukan contoh himpunan dalam kehidupan sehari-hari, bila perlu guru memberikan bantuan dengan memberikan pancingan pertanyaan atau pertanyaan dalam bentuk lain agar siswa dapat mengajukan pertanyaan dari yang diamati.
Contoh pertanyaan siswa adalah:
1. Mengapa kumpulan siswa yang lahir pada bulan Agustus termasuk himpunan? 2. Mengapa kumpulan kota-kota besar di Indonesia bukan termasuk himpunan? 3. Apa perbedaan kumpulan yang termasuk himpunan dan kumpulan yang bukan
termasuk himpunan?
P roses
P embelajaran
Ayo Kita
Menggali Informasi
+
=+
Siswa yang sudah memahami kumpulan yang termasuk himpunan dan kumpulan yang bukan termasuk himpunan dengan memberikan contoh keduanya terutama yang berkaitan dengan simbol matematika.
Ayo Kita
Menalar
Guru meminta siswa untuk menyelesaiakan “Ayo Kita Menalar” dan memberikan bantuan secukupnya bagi siswa yang mengalami kesulitan.
Alternatif jawaban “Ayo Kita Menalar” adalah
1. Kumpulan siswa yang tingginya diatas 155 cm termasuk himpunan karena sudah ada batas yang jelas antara siswa yang mempunyai tinggi badan diatas 155 cm dan siswa yang mempunyai tinggi badannya kurang dari 155 cm. Siswa yang tinggi bukan himpunan karena kata “tinggi” tidak memberikan batasan yang jelas, berapa cm tingginya, dan menimbulkan penafsiran yang berbeda-beda, misalnya ada orang yang mengatakan bahwa tinggi badan 160 termasuk tinggi, tetapi ada orang yang mengatakan tidak tinggi.
2. Perbedaaan antara kumpulan yang termasuk himpunan dan kumpulan yang bukan himpunan adalah pada batasan yang jelas, dapat diukur, dan tidak menimbulkan penafsiran yang berbeda-beda.
3. Contoh kumpulan yang termasuk himpunan adalah: a. kumpulan nama siswa di kelas yang diawali huruf B. b. Kumpulan siswa yang memakai kacamata.
c. Kumpulan kendaraan roda empat.
Contoh kumpulan yang bukan termasuk himpunan adalah: a. Kumpulan gunung yang tinggi di Indonesia.
b. Kumpulan siswa yang pandai. c. Kumpulan makanan yang lezat.
. impunan adala kumpulan benda atau ob ek ang suda didefinisikan dengan jelas .
Ayo Kita
Berbagi
Guru meminta siswa untuk menukarkan hasil pekerjaan “Ayo Kita Menalar” dengan teman sebangkunya, mintalah mereka untuk berdiskusi apabila ada perbedaan jawaban “Ayo Kita Menalar”.
Selanjutnya guru memberikan penguatan tentang konsep himpunan dan memberikan contoh dan bukan contoh himpunan dan memberi kesempatan kepada siswa untuk bertanya jika masih ada hal yang belum dimengerti tentang konsep himpunan.
Ayo
Kita Amati
Untuk memperkuat pemahaman siswa tentang konsep himpunan, selanjutnya, guru meminta siswa untuk mengamati kelompok pedagang yang ada di pasar. Di pasar biasanya kelompok pedagang dikelompokkan berdasarkan jenis barang yang dijual. Misalnya kelompok pedagang sayur-sayuran, pedagang buah-buahan, pedagang ikan, dan pedagang bumbu dapar dan lain-lain.
Guru dapat memberikan contoh lain yang relevan tentang kelompok yang termasuk himpunan dalam kehidupan sehari-hari.
Ayo Kita
Menanya
?
?
Guru meminta siswa untuk menuliskan pertanyaan yang berkaitan dengan pengamatan terhadap kelompok pedagang yang menjual sayur-sayuran, pedagang yang menjual buah-buahan, pedagang yang menjual ikan, dan pedagang yang menjual bumbu dapur. Contoh alternatif pertanyaan siswa adalah:
1. Sebutkan anggota dari himpunan pedagang bumbu dapur?
2. Mengapa nanas bukan anggota dari himpunan pedagang bumbu dapur?
3. Sebutkan jenis dagangan yang bukan anggota dari himpunan pedagang sayur-sayuran?
Ayo Kita
Menalar
Guru meminta siswa untuk menyelesaikan Ayo Kita Menalar dengan dengan mandiri, guru memantau dan memberikan bantuan bila ada siswa yang mengalami kesulitan. Alternatif jawaban Ayo Kita Menalar adalah sebagai berikut:
1. Mangga adalah anggota dari himpunan Buah-buahan, dapat dikatakan mangga adalah elemen dari himpunan buah-buahan dan dilambangkan dengan mangga ∈
Buah-buahan.
2. Tongkol bukan anggota dari himpunan bumbu dapur, dapat dikatakan Tongkol bukan elemen dari himpunan bumbu dapur dan dilambangkan dengan tongkol ∉
Bumbu dapur.
Ayo Kita
!
?!
?
Berlatih 2.1
Berikut penyelesaian Ayo Kita Berlatih 2.1
adalah elemen dari himpunan sayur-sayuran dan dilambangkan dengan buncis
∈ sayur-sayuran
Lele adalah bukan anggota dari himpunan bumbu dapur, dapat dikatakan lele bukan elemen dari himpunan bumbu dapur dan dilambangkan dengan lele ∉
bumbu dapur
Ayo Kita
Berbagi
Guru meminta siswa untuk mendiskusikan hasil kegiatan menalar dan guru dapat memberikan penguatan tentang anggota dan bukan anggota dari suatu himpunan termasuk lambangnya.
Guru dapat memberikan contoh lain dari anggota dan bukan anggota dari suatu himpunan.
Untuk mengukur pemahaman siswa, guru meminta siswa untuk mengerjakan soal latihan, dan berkeliling untuk memantau dan memberikan bantuan kepada siswa yang mengalami kesulitan dalam menyelesaikan soal latihan.
1. Diantara kumpulan berikut ini, manakah yang termasuk himpunan dan yang bukan termasuk himpunan dan berikan alasan
a. Kumpulan bintang yang berkaki dua (Himpunan)
b. Kumpulan siswa yang cerdas (bukan Himpunan)
c. Kumpulan buku yang tebal (bukan Himpunan)
d. Kumpulan siswa yang tingginya diatas 160 cm (Himpunan)
e. Kumpulan lukisan yang indah (bukan Himpunan)
2. Nyatakan pernyataan berikut ini benar atau salah
a. Kucing ∈ himpunan binatang (Benar)
b. 1 ∉ himpunan bilangan asli (Salah)
c. −4 ∈ himpunan bilangan cacah (Salah)
d.
1
3. 3 kelompok yang merupakan himpunan adalah a. Kelompok siswa yang memakai kacamata b. Kelompok siswa anggota OSIS
c. Kelompok bilangan antara 5 sampai 20 3 kelompok yang bukan merupakan himpunan a. Kelompok siswa yang pandai
b. Kelompok kota besar di Indonesia c. Kelompok makanan yang lezat 4. Tulislah anggota dari himpunan berikut
a. Anggota himpunan kendaraan roda empat adalah {mikrolet, mobil pribadi, mobil box, taksi }
b. Anggota warna lampu lau lintas adalah {hijau, kuning, merah} c. Anggota bilangan asli kurang dari 10 adalah {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} d. Anggota bilangan asli kurang dari 8 adalah {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
2.1.2. Penyajian Himpunan
Himpunan dapat disajikan dengan 3 cara, yaitu 1. Menyebutkan anggota Himpunan (enumerasi)
Suatu himpunan dapat dinyatakan dengan menyebutkan semua anggotanya yang dituliskan dalam kurung kurawal. Manakala banyak anggotanya sangat banyak,
ara menda tarkan ini biasan a dimodifikasi, aitu diberi tanda tiga titik
dengan pengertian “dan seterusnya mengikuti pola”. Contoh
A= {3, 5, 7} B= {2, 3, 5, 7} C= {a, i, u, e, o}
D , , , , , , , ,
2. Menuliskan sifat anggota Himpunan
Suatu himpunan dapat dinyatakan dengan menyebutkan sifat yang dimiliki anggotanya. Perhatikan himpunan pada Contoh 2.2 dan bandingkan dengan contoh di bawah ini.
Contoh
A adalah himpunan semua bilangan ganjil yang lebih dari 1 dan kurang dari 8. B adalah himpunan semua bilangan prima yang kurang dari 10.
C adalah himpunan semua huruf vokal dalam abjad Latin. D adalah himpunan bilangan bulat.
3. Notasi pembentuk Himpunan
Suatu himpunan dapat dinyatakan dengan menuliskan syarat keanggotaan himpunan tersebut. Notasi ini biasanya berbentuk umum {x|P(x)} dimana x mewakili anggota dari himpunan, dan P(x) menyatakan syarat yang harus dipenuhi oleh x agar bisa menjadi anggota himpunan tersebut. Simbol x bisa diganti oleh variabel yang lain, seperti y, z, dan lain-lain.
Misalnya A = {1, 2, 3, 4, 5}.
Bisa dinyatakan dengan notasi pembentuk himpunan, yaitu A={x|x < 6, dan x ∈ Asli}. Lambang {x|x < 6, dan x ∈ Asli} ini bisa dibaca sebagai “Himpunan x, demikian sehingga x kurang dari 6 dan x adalah elemen bilangan asli}. Tetapi, kalau kita sudah memahami dengan baik, lambang ini biasanya cukup dibaca dengan “Himpunan bilangan asli kurang dari 6”
Contoh
A = {x | 1 < x < 8, x adalah bilangan ganjil}
(dibaca: A adalah himpunan yang anggotanya semua x, demikian sehingga x lebih dari 1 dan x kurang dari 8, serta x adalah bilangan ganjil).
B = {y | y < 10, y adalah bilangan prima}. C = {z | z adalah huruf vokal dalam abjad Latin}.
Ayo
Kita Amati
Guru meminta siswa untuk membaca dan mencerrnati cara menyajikan himpunan dengan 3 cara, termasuk contoh penyajian himpunan. Disarankan guru tidak memberikan penjelasan apapun, agar siswa mencoba memahami cara penyajian himpunan dengan mengkontruksi sendiri pemahamannya.
Ayo Kita
Menanya
?
?
Setelah membaca dan mencermati 3 model penyajian himpunan, tentu ada hal yang belum dipahami dan belum dimengerti siswa, Guru meminta siswa untuk menyampaikan pertanyaan yang berkaitan dengan hal yang masih belum dipahami dan belum mengerti. Alternatif pertanyaan yang diharapkan adalah:
1. Apakah semua himpunan dapat disajikan dengan 3 cara tersebut?
2. Apakah himpunan yang disajikan cara 1 dapat dapat disajikan dengan cara 2 dan 3 secara tunggal? bagaimana caranya?
3. Apakah himpunan yang disajikan cara 2 dapat disajikan dengan cara 1 dan 2, secara tunggal? bagaimana caranya?
4. Apakah himpunan yang disajikan cara 3 dapat disajikan dengan cara 1 dan 2 secara tunggal? bagaimana caranya?
Apabila pertanyaan siswa masih belum mengarah pada alternatif pertanyaan tersebut, berilah pertanyaan pancingan dan berilah sedikit penjelasan agar pertanyaan sesuai dengan yang diharapakan guru.
Ayo Kita
Menggali Informasi
+
=+
Agar informasi pemahaman konsep penyajian himpunan pada siswa lebih lengkap, siswa diminta untuk mencoba menyelesaikan Ayo Kita Menggali Informasi. Guru memberikan bantuan secukupnya bagi siswa yang membutuhkan. Alternatif Jawaban Ayo Kita Menggali Informasi adalah:
1. Himpunan A = {bilangan cacah kurang dari 5}, jika disajikan dengan menyebutkan anggotanya maka A = {0, 1, 2, 3, 4} dan jika disajikan dengan notasi pembentuk himpunan maka A = {x|x < 5, x ∈ bilangan bulat}.
Himpunan B ={x x < 3, x ∈ bilangan bulat}, jika disajikan dengan menyebutkan anggotanya, maka B , , , dan jika disajikan dengan men ebutkan si at
keanggotaannya adalah B bilangan bulat lebi dari dan kurang .
Himpunan C = {2, 4, 6, 8} jika disajikan dengan menyebutkan sifat keanggotaannya adalah C = {bilangan asli genap yang kurang dari } atau C = {bilangan cacah genap yang kurang dari 10} atau C = {empat bilangan genap asli yang pertama} dan jika disajikan dengan notasi pembentuk himpunan adalah C ={x|1 < x < 9, x ∈ bilangan bulat genap}, atau C ={x x , x ∈ bilangan asli genap}.
Himpuan bilangan real, tidak bisa dinyatakan dengan penyajian menyebutkan anggota dari suatu himpunan, tetapi bisa disajikan dengan notasi pembentuk himpunan dan disajikan dengan menyebutkan sifat yang dimiliki anggotanya.
Ayo Kita
Menalar
Guru meminta siswa untuk mengerjakan Ayo Kita Menalar dengan cara berdiskusi
kelompok ang terdiri dari sis a.
Alternatif jawaban Ayo Kita Menalar adalah sebagai berikut
1. Penyajian himpunan P dengan notasi pembentuk himpunan adalah P = {x|x < 8, x ∈
bilangan prima}. Penyajian himpunan P dengan cara menuliskan sifat keanggotaannya adalah P = {empat bilangan prima yang kurang dari 10}.
2. Ya, himpuan yang disajikan dengan menyebutkan anggotanya dapat disajikan dengan beberapa cara menyajikan himpunan dengan menuliskan sifat keanggotaannya, contohnya seperti pada bagian 1 dan tidak berlaku sebaliknya, himpunan yang disajikan dengan menuliskan sifat keanggotaannya hanya dapat disajikan dengan satu cara dengan menyebutkan anggotanya.
3. Ya, himpuan yang disajikan dengan menuliskan notasi pembentuk himpunan, hanya bisa disajikan dengan satu cara dengan menyebutkan anggotanya. Tidak, himpunan yang disajikan dengan cara menyebutkan anggotanya dapat disajikan dengan beberapa cara menuliskan sifat keanggotaannya,
Contoh
A = {1, 2, 3, 4} dapat disajikan dengan beberapa cara dengan menuliskan sifat keanggotaannya, yaitu A = {x|x < 5, x ∈ bilangan asli} atau A = {x|0 < x < 5, x ∈
bilangan cacah} atau {x x , x ∈ bilangan asli}.
Tidak, misalnya himpunan bilangan real tidak dapat dinyatakan dengan menyebutkan anggotanya.
Ayo Kita
Berbagi
Guru meminta siswa untuk menukarkan hasil jawaban Ayo Kita Menalar dan membahasnya bersama-sama dengan siswa. Guru memberikan penguatan tentang konsep menyajikan himpunan dengan 3 cara, bila perlu memberikan contoh lain yang berbeda tentang cara menyajikan himpunan dengan 3 cara.
Guru meminta siswa untuk mengerjakan soal latihan 2, boleh dikerjakan semua atau
bole memili beberapa saja atau bole juga ditamba dengan kreatifitas guru ang
disesuaikan dengan kebutuhan.
Ayo Kita
!
?!
?
Berlatih 2.2
Alternatif penyelesaian Ayo Kita Berlatih 2.2
1. Tulislah anggota-anggota dari himpunan berikut a. A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} b. B = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15} c. C = {2} d. D = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} e. E , , , , , , , , , , , , , , f. F = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
2. Diketahui A = {bilangan ganjil yang habis dibagi 3 dan kurang dari 30} a. A = {x|x < 30, x ∈ bilangan asli kelipatan 3}
b. {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27} 3. Lengkapilah tabel berikut ini
No Dinyatakan dengan menyebutkan anggotanya Dinyatakan dengan menuliskan sifat keanggotaannya Dinyatakan dengan notasi pembentuk himpunan 1 P = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} P = {bilangan asli yang kurang dari 9} atau P = {delapan bilangan asli pertama}
P = {x|x < 9, x ∈
bilangan asli} atau P = {x|0 < x < 9, x ∈
bilangan cacah} 2 K = {2, 3, 5, 7, 11, 13} K = {bilangan prima
kurang dari 15} atau K = {enam bilangan prima pertama} K = {x|1 < x < 15, x ∈ bilangan prima} atau K = {x|x < 15, x ∈ bilangan prima} 3 L , , , , , , 2, 3, 4} L = {bilangan bulat
lebi dari dan
kurang dari 5} atau L = {bilangan bulat
lebi dari dan
kurang atau sama dengan 4} L = {x| −5 < x ≤ 4, x ∈ bilangan bulat} 4 M = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15} M = {bilangan asli ganjil yang kurang dari 16}
M = {x|x < 16, x ∈
bilangan asli ganjil} atau
M = {x|0 < x < 16, x ∈ bilangan cacah ganjil}
5 N = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15} N = {bilangan asli lebih dari dan kurang dari atau sama dengan 12} atau N = {bilangan antara 3 sampai 13} N = {x| 3< x ≤ 12, x ∈ bilangan asli}
No Dinyatakan dengan menyebutkan anggotanya Dinyatakan dengan menuliskan sifat keanggotaannya Dinyatakan dengan notasi pembentuk himpunan 6 O ={1, 2, 3, 4, 8, 12, 24} O ={bilangan asli faktor dari 24 selain 6}
O = {x|x , x ∈
bilangan asli selain 6, x ∈ faktor dari