Pada bab ini akan dijelaskan mengenai lapangan perluasan dan grup Galois. Bab ini akan membahas lapangan perluasan aljabar, lapangan tertutup secara aljabar dan grup galois. Selain itu, akan dibahas pula , bentuk khusus dari lapangan perluasan aljabar yaitu, lapangan perluasan spliting, normal, separabel dan galois.
3.1. Lapangan Perluasan
Pada Sub-bab ini akan dijelaskan bagaimana caranya memperluas suatu lapangan yang telah ada.
DEFINISI3.1.1. Suatu lapangan E disebut lapangan perluasan dari lapangan F jika F adalah lapangan bagian dari E, dinotasikan E : F.
CONTOH 3.1.2. Himpunan bilangan real R adalah lapangan perluasan dari himpunan bilangan rasional Q karena Q adalah lapangan bagian dari R, dan himpunan bilangan kompleks C adalah lapangan perluasan dari R dan Q karena R dan Q sama-sama lapangan bagian dari C.
Teorema berikutnya akan membahas keterkaitan lapangan perluasan dan ruang vektor.
TEOREMA3.1.3. Lapangan perluasan L : K merupakan ruang vektor L atas K.
BUKTI. Karena L adalah lapangan maka L tertutup terhadap operasi penjumlahan dan pergandaan. Akan dibuktikan bahwa L tertutup terhadap operasi pergandaan skalar. Ambil sebarang l ∈ L dan k ∈ K oleh karena K lapangan bagian dari L dan L tertutup
terhadap operasi penggadaan maka lk ∈ L . Jadi terbukti bahwa L merupakan ruang
vektor atas K.
DEFINISI3.1.4. Diberikan lapangan perluasan L : K . Derajat perluasan L : K adalah dimensi dari ruang vektor L atas K, dinotasikan [L : K]. Lapangan perluasan L : K dengan derajat berhingga disebut lapangan perluasan berhingga.
Jadi suatu lapangan perluasan L : K dikatakan berhingga jika mempunyai derajat yang berhingga atau bisa juga disebut L berhingga atas K, bukan berarti L mempunyai anggota yang berhingga banyaknya.
CONTOH 3.1.5. Di berikan lapangan perluasan P : K dan suatu α ∈ P. Elemen-elemen di P mempunyai bentuk a + bα dengan a, b ∈ K maka [P : K] = 2. Karena salah satu basis P adalah {e1, α}
TEOREMA 3.1.6. Diberikan lapangan perluasan L : K. Derajat [L : K] = 1 jika hanya jika L= K.
BUKTI. ⇒ Diketahui [L : K] = 1, akan dibuktikan L ⊆ K. Oleh karena [L : K] = 1, maka L ruang vektor atas K berdimensi 1. Berati ada basis L yang hanya terdiri dari satu elemen, misalkan saja basisnya adalah {e1} . Oleh karena {e1} basis dari L, maka {e1} membangun L sehingga untuk setiap y ∈ L berlaku y = ke1 dengan k ∈ K. Disisi lain y = ye1, ini berarti y = k ∈ K maka dapat disimpulkan L = K.
⇐ Diketahui L = K maka untuk sebarang x ∈ L berakibat x ∈ K sehingga dapat ditulis x |{z} ∈L = e1 x |{z} ∈K
dengan e1∈ L. Hal ini berarti hanya {e1} yang merupakan basis
dari L dengan kata lain [L : K].
Jika ada lapangan-lapangan L, K dan M dengan K ⊆ L ⊆ M itu berarti M : L, L : K dan M : K. Teorema selanjutnya akan menjelaskan hubungan [M : L] , [L : K] dan [M : K].
TEOREMA 3.1.7. Diberikan lapangan-lapangan L, K, M. Jika lapangan L merupakan perluasan dari K dan lapangan M merupakan perluasan dari L maka
[M : L] [L : K] = [M : K] .
BUKTI. Dimisalkan {αi|i = 1, · · · , n} basis M sebagai ruang vektor atas L dan ambil {βj| j = 1, · · · , m} basis L sebagai ruang vektor atas K ini berarti [M : L] = n dan [L : K] = m. Akan ditunjukan bahwa {αiβj|i = 1, · · · .n; j = 1, · · · m} adalah basis dari M atas K yaitu bebas linear dan membangun.
Akan dibuktikan {αiβj|i = 1, · · · .n; j = 1, · · · m} bebas linear dari M atas K. Ambil sebarang λi j ∈ K dengan i = 1, · · · , n dan j = 1, · · · , m yang memenuhi
n
∑
i=1 m∑
j=1 λi jαiβj ! = e0.Karena di dalam ruang vektor berlaku hukum asosiatif dan komutatif maka diperoleh n
∑
i=1 m∑
j=1 (λi jαi)βj= n∑
i=1 m∑
j=1 λi j(αiβj) = n∑
i=1 m∑
j=1 λi j(βjαi) = n∑
i=1 m∑
j=1 (λi jβj)αi= e0.Oleh karena αiadalah basis dari M atas L maka
m
∑
j=1
λi jβj= e0.
Oleh karena βj basis L atas K maka λi j = e0untuk i = 1, · · · , n dan j = 1, · · · , m. Jadi terbukti {αiβj|i = 1, · · · .n; j = 1, · · · m} bebas linier.
Selanjutnya akan dibuktikan {αiβj|i = 1, · · · .n; j = 1, · · · m} membangun M. Ambil sebarang z ∈ M maka z dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari M atas L sehingga
z= n
∑
i=1 λiαi.
Untuk λi∈ L. Oleh karena λijuga merupakan kombinasi linier basis L atas K yaitu
λi= m
∑
j=1 µi jβj.
Untuk µi j∈ K akibatnya diperoleh
z= n
∑
i=1 m∑
j=1 µi jβj ! αi= n∑
i=1 m∑
j=1 µi j(βjαi).Jadi terbukti z dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari M atas K. Telah ditunjukan {αiβj|i = 1, · · · .n; j = 1, · · · m} adalah bebas linear dan membangun M itu berarti {αiβj|i = 1, · · · .n; j = 1, · · · m} merupakan basis M atas K sehinnga
[M : K] = nm = [M : L][L : k].
Selanjutnya akan dibahas mengenai monomorfisma antara dua lapangan perluasan.
DEFINISI3.1.8. Diberikan lapangan perluasan F : K dan L : K serta monomorfisma φ dari L ke F
φ : L → F
dengan φ (a) = a untuk semua a ∈ K . Monomorfisma yang seperti itu dinotasikan MonoK(L : F). Jika MonoK(L : F). bersifat bijektif maka dinotasikan IsoK(L : F).
Selanjutnya akan dibahas bentuk khusus dari MonoK(L : F).
Selanjutnya akan dibahas gelanggang bagian yang dibangun oleh suatu himpunan bagian. Telah diketahui bahwa suatu irisan gelanggang dengan gelanggang lainnya adalah gelanggang juga. Diberikan E : F dan S adalah himpunan bagian dari E. Irisan dari semua gelanggang bagian dari E yang memuat F dan S adalah gelangang bagian terkecil yang memuat F dan S. Irisan tersebut dikatakan gelanggang bagian yang dibangun oleh F dan S dinotasikan F [S]. Jika S = {α1, α2. . . αn} maka ditulis F[α1, α2. . . αn].
LEMMA3.1.10. Diberikan E : F, dan S himpunan bagian dari E, maka gelanggang F[S] memuat elemen E yang bisa diekspresikan sebagai bentuk penjumlahan
n
∑
i=0
aiαii ai∈ F, αi∈ S
BUKTI. Diberikan himpunan R = ( n
∑
i=0 aiαii|ai∈ F, αi∈ S ) akan dibuktikan R adalah gelanggang bagian dari E yang memuat F dan S.Ambil sebarang m
∑
i=0 aiαii, n∑
i=0 biαii∈ R dengan m ≥ n 1) Akan dibuktikan R subgrup (E, +)m
∑
i=0 aiαii− n∑
i=0 biαii m∑
i=0 (ai− bi) | {z } ∈F αii∈ R.2) Akan dibuktikan R tertutup terhadap operasi perkalian
m
∑
i=0 aiαii n∑
i=0 biαii m+n∑
k=0 k∑
i=0 aibk−i ! αk∈ R.Dari 1) dan 2) terbukti R adalah gelanggang bagian dari E yang memuat F dan S
dan , ini berarti R = F [S].
Telah diketahui pula bahwa irisan lapangan dengan lapangan lainnya adalah lapangan. Diberikan E : F dan S adalah himpunan bagian dari E. Irisan dari semua lapangan bagian dari E yang memuat F dan S adalah lapangan bagian terkecil yang memuat F dan S. Irisan tersebut dikatakan lapangan bagian yang dibangun oleh F dan S dinotasikan F (S) yang merupakan lapangan kuosen dari F [S] atau dengan kata lain F(S) =ab−1|a, b ∈ F[S], b 6= e0 .
DEFINISI3.1.11. Lapangan perluasan E dari lapangan K dikatakan dibangun secara berhinggajika E = K(s1. . . sn) untuk suatu s1. . . sn ∈ S.dan dikatakan sederhana jika E= K(s) untuk suatu s ∈ S.
CONTOH 3.1.12. Diketahui bahwa Q(i) adalah lapangan perluasan sederhana karena hanya dibangun oleh satu elemen i dan Q(√2,√
3) adalah lapangan perluasan yang dibangun secara berhingga.
Teorema selanjutnya akan dibahas bagaimana mengkontruksikan lapangan perluasan sederhana. .
TEOREMA 3.1.13. Diberikan lapangan K dan E = K[x]/q(x) dengan q(x) ∈ K[x] adalah polinomial monik iredusibel berderajat n dengan q(α) = e0untuk suatu α ∈ E maka berlaku
1) E adalah lapangan perluasan sederhana dengan E= K [α] = K (α). 2) E mempunyai basis e1, α, α2. . . αn−1 dengan n= deg q dan [E : K] = n.
BUKTI. 1) Karena q(x) polinomial monik iredusibel maka q(x) adalah ideal maksimal dari K[x]. Itu berarti E = K[x]/q(x) adalah lapangan sehingga terdapat pemetaan homomorphisma ϕ : K → E yang memetakan x ∈ K ke x + q(x) ∈ E. Itu berarti E mempunyai bentuk {x + q(x))|∀x ∈ K}.
Jika didefinisikan α = x + q(x) berdasarkan homomorphisma evaluasi ϕαK[x] → E yang memetakan indeterminate x ke α dan koefisien x ∈ K ke dirinya sendiri , maka untuk sebarang f (x) ∈ F[x] berlaku ϕαf(x) = f (α) , dengan kata lain setiap elemen di E mempunyai bentuk f (α) untuk suatu f (x) ∈ F[X ]. Itu berarti E = K[α] karena E adalah lapangan maka bisa disimpulkan E = K[α] = K(α).
2) Ambil deg q = n maka menurut algoritma pembagian untuk setiap f (x) ∈ F[x] diperoleh f (x) = q(x)b(x) + r(x) dengan deq r < deg q karena q(α) = e0maka diperoleh f(α) = r (α) ∈ E. Itu berarti setiap elemen di E mempunyai bentuk r(α) = r0+ r1α + . . . + rn−1 untuk suatu r0, r1. . . , rn−1 ∈ K maka e0, α, α2, . . . , αn−1 adalah basis dari E
atas K dengan kata lain [E : K] = n.
Teorema 3.1.13 menunjukan bahwa setiap polinomial iredusibel q (x) atas K mempunyai akar α pada suatu lapangan perluasan dari K dengan lapangan perlusan tersebut dikontruksikan dengan menggabung α ke K.
Polinomial iredusibel q (x) pada Teorema 3.1.13 dinotasikan IrrK(a) yang berarti berkoefisien di K dan mempunyai akar a dengan a merupakan suatu elemen pada lapangan perluasan dari K .
CONTOH 3.1.14. Ambil R dan diketahui IrrR(i) = x2+ 1 dengan i =√
−1 maka menurut Teorema 3.1.13 diperoleh C = R [X] /IrrR(i) = R (i).
Contoh 3.1.14 menunjukan bagaimana himpunan bilangan kompleks C dibangun dengan menggunakan Teorema 3.1.13. Selanjutnya akan dicontohkan bagaimana mengkontruksi lapangan perluasan yang dibangun secara berhingga.
CONTOH 3.1.15. Akan dikontruksikan Q√2,√
3 : Q. Pertama-tama akan dikontruksikan Q√2
: Q, diketahui IrrQ√2
= x2− 2 maka berdasarkan Teorema 3.1.2.13 diperoleh hQ√
2: Qi = 2. Oleh karena itu elemen-elemen di dalam Q
√ 2
mempunyai bentuk a + b√
T = Q√2
akan dikontruksikan T √
3 . Diketahui IrrT √3 = x2− 2 maka berdasarkan Teorema 3.1.2.13 diperoleh T√3 : T = 2. Oleh karena itu elemen-elemen di dalam T √
3 mempunyai bentuk x + y√3 dengan x, y ∈ T . Padahal
diketahui elemen di T mempunyai bentuk a + b√
2, itu berarti x= a0+ b0√ 2, y = a1+ b1√ 2 ∈ T dengan a0, a1, b0, b1∈ Q. Diperoleh x+ y√ 3 a0+ b0√ 2 +a1+ b1√ 2 √ 3 a0+ b0√ 2 + a1√ 3 + b1√ 6 ∈ T√ 2 Jadi elemen-elemen di T√ 2 = Q√2,√ 3 mempunyai bentuk a+ b√ 2 + c√ 3 + d√ 6 dengan a, b, c, d ∈ Q.
3.2. Lapangan perluasan aljabar dan transedental
Selanjutnya akan dibahas mengenai lapangan perluasan aljabar dan transedental. Diberikan lapangan perluasan L atas K. Suatu elemen α di dalam L perluasan dikatakan aljabar atas K jika terdapat polinomial tidak nol f (x) ∈ K [x] dengan f (α) = e0. Jika tidak ada polinomial tersebut maka α dikatakan transedental atas K.
CONTOH3.2.1. Setiap bilangan kompleks merupakan aljabar atas R;√2 dan√ 5 ∈ R merupakan aljabar atas Q dan e serta π adalah transedental atas Q.
DEFINISI 3.2.2. Suatu lapangan perluasan E atas lapangan K disebut perluasan aljabarjika semua elemen E aljabar atas K . Jika lapangan perluasan E atas K terdapat elemen transedental maka E disebut perluasan transedental dan jika semua elemen di E transedental atas K maka E disebut lapangan perluasan transedental total.
CONTOH 3.2.3. C adalah perluasan aljabar atas R dan R adalah lapangan transedental atas Q serta Q (π) merupakan lapangan transedental total atas Q.
LEMMA 3.2.4. Diberikan lapangan perluasan sederhana K (α) : K. Jika α transedental atas K maka[K (α) : K] tak hingga.
BUKTI. Andai [K (α) : K] = n berhingga, K (α) berdimensi n atas K. Ini berarti terdapat c0, c1. . . cn∈ K yang tidak semuanya nol berlaku
c0+ c1α + . . . + cnαn= e0
padahal diketahui α transedental, kontradiksi. Jadi haruslah [K (α) : K] tak hingga. Selanjutnya akan dibahas keterhubungan antara lapangan perluasan berhingga dengan lapangan perluasan aljabar
TEOREMA3.2.5. Setiap lapangan perluasan berhingga adalah perluasan aljabar.
BUKTI. Ambil L lapangan perluasan berhingga atas K dengan [L : K] = n. Jika terdapat α ∈ L elemen transedental atas L maka dapat dibentuk K (α) lapangan perluasan sederhana atas K dengan K (α) ⊆ L menurut Lemma 3.2.4 diperoleh [K (α) : K] = ∞. Berdasarkan Teorema 3.1.7 maka
[L : K] = [L : K (α)] [K (α) : K]
n= [L : K (α)] ∞.
Jelas hal tersebut adalah mustahil, maka haruslah semua elemen L aljabar atas K.
Teorema 3.2.5 menunjukan bahwa C merupakan lapangan perluasan aljabar atas R karena [C : R] = 2.
3.3. Lapangan tertutup secara aljabar
DEFINISI 3.3.1. Suatu lapangan K dikatakan tertutup secara aljabar jika semua polinomial non-konstan di K [x] mempunyai akar di K.
TEOREMA3.3.2. Untuk suatu lapangan K maka kondisi di bawah ini equivalent 1) Lapangan K tertutup secara aljabar.
2) Setiap polinomial iredusibel di K[x] mempunyai derajat 1. 3) Satu-satunya perluasan aljabar di K adalah K itu sendiri.
BUKTI. 1) ⇒ 2). Jika q (x) ∈ K [x] adalah iredusibel dan mempunyai akar r di K maka x − r membagi q (x) ini berarti q (x) merupakan hasil perkalian konstanta dari x − r dan mempunyai derajat 1.
2)⇒ 3) Jika α adalah elemen aljabar atas K maka q (x) = IrrK(α) iredusibel dan monic yang berderajat 1 maka q (x) = x − r untuk suatu r ∈ K dan q (α) = e0. Berdasarkan teorema 3.1.13 diperoleh E = K [x] / < q (x) >, [E : K] = 1 .Berdasarkan teorema 3.1.6 diperoleh E = K.
3)⇒ 2) Berdasarkan teorema 3.1.13, jika E = K [x] / < q (x) >= K maka deg q = [E : K] = 1.
2)⇒ 1) Karena setiap polinomial non konstan adalah hasil perkalian dari polinomial
iredusibel.
DEFINISI 3.3.3. Lapangan perluasan K¯ : K dikatakan aljabar closure jika merupakan aljabar atas K dan tertutup secara aljabar.
Generalisasi teorema fundamental aljabar yang dibahas di bab 4 akan menunjukan bahwa lapangan tertutup secara aljabar itu eksis.
3.4. Lapangan Spliting dan Lapangan Normal
Pada sub-bab ini akan dibahas bentuk khusus dari lapangan perluasan aljabar.
DEFINISI3.4.1. Diberikan lapangan L dan polinomial f (x) ∈ L [x]. Polinomial f (x) dikatakan split atas L jika dapat diekspresikan ke dalam bentuk faktor-faktor linier, yaitu
f(x) = k1(x − α1) (x − α2) . . . (x − αn)
dengan α1, α2. . . αn∈ L merupakan akar dari f (x) dan k1koefisien di dalam L.
DEFINISI 3.4.2. Diberikan lapangan-lapangan L, K dan f (x) ∈ K [x]. Lapangan L dikatakan lapangan spliting untuk f (x) atas K, jika
1) L : K lapangan perluasan dan f (x) split atas L.
2) L merupakan lapangan perluasan terkecil yang memuat akar-akar dari f (x), sedemikan-hingga L = K (α1, α2. . . αn).
CONTOH 3.4.3. Lapangan Qi√
2adalah lapangan spliting untuk x2+ 2 ∈ Q [x]. Dari pengertian lapangan spliting maka terbentuk lapangan normal.
DEFINISI 3.4.4. Diberikan lapangan perluasan aljabar L : K. Lapangan perluasan L: K dikatakan normal jika setiap f (x) ∈ K [x] yang iredusibel merupakan split atas L dan mempunyai paling sedikit satu akar di L.
TEOREMA 3.4.5. (Grillet, 2000, hal 206) Jika L normal atas K dan K ⊆ E ⊆ L maka L normal atas E.
3.5. Perluasan Separabel dan Primitif elemen
Perluasan Separabel merupakan pengembangan dari lapangan Spliting . Sudah diketahui bahwa di dalam lapangan perluasan Spliting L : K, maka terdapat f(x) ∈ K (x) yang split atas L. Akibatnya f(x)dapat difaktorkan menjadi
f(x) = k1(x − α1) (x − α2) . . . (x − αn) dengan α1, α2. . . αn ∈ L merupakan akar-akar dari f (x) . Hal ini memotivasi pembatasan lapangan perluasan, dengan akar-akar dari f(x) semuanya berbeda. Pembatasan lapangan perluasan ini mengarah pada pembentukan perluasan separabel.
DEFINISI3.5.1. Diberikan sebarang lapangan K dan sebarang f (x) ∈ K [x] dengan u∈ K sebagai akarnya maka f (x) dapat difaktorkan menjadi f (x) = (x − u) g (x) untuk suatu g (x) ∈ K [x] . Jika g (u) = e0 maka u dikatakan multiple atau akar berulang dari
f(x). Jika g (u) 6= e0maka u dikatakan akar sederhana dari f (x).
DEFINISI 3.5.2. Diberikan lapangan perluasan L : K. Suatu polinomial iredusibel f(x) ∈ K [x] dikatakan separabel atas K, jika setiap akar f (x) di dalam L merupakan akar sederhana.
CONTOH 3.5.3. Diberikan polinomial iredusibel p (x) = x2+ 1 ∈ R [x] maka p (x) separabel atas R karena p (x)mempunyai akar i dan −i di dalam C.
DEFINISI 3.5.4. Diberikan lapangan perluasan L : K. Suatu elemen aljabar u ∈ K dikatakan separabel jika irrK(u) ∈ K [x] adalah separabel.
DEFINISI 3.5.5. Suatu lapangan perluasan aljabar dikatakan perluasan separabel jika semua elemen di L separabel atas K.
DEFINISI 3.5.6. Derajat separabel [L : K]s dari lapangan perluasan aljabar L : K adalah banyaknya MonoK(L, ¯K).
TEOREMA3.5.7. (Baker, 2008, hal 44) Diberikan Lapangan perluasan berhingga L: K. Lapangan perluasan L : K separabel jika hanya jika [L : K] = [L : K]s.
TEOREMA 3.5.8. (Baker, 2008, hal 45) Diberikan lapangan perluasan berhingga L: K dan M : L. Lapangan perluasan M : K separabel jika hanya jika L : K dan M : L separabel.
Selanjutnya akan dibahas mengenai elemen Primitif.
DEFINISI3.5.9. Diberikan lapangan perluasan sederhana L : K. Suatu elemen u ∈ L dikatakan elemen primitif jika L = K (u).
TEOREMA 3.5.10. (Teorema Elemen Primitif) Diberikan lapangan perluasan aljabar yang separabel L: K maka L = K (u) , untuk suatu u ∈ L.
BUKTI. Akan dibuktikan melalui dua kasus L berhingga dan L tak berhingga. Jika L berhingga maka K juga berhingga. Itu berarti L merupakan grup siklik terhadap operasi perkalian yang dibangun oleh suatu elemen tunggal u ∈ L dengan L= K (u).
Untuk K tak berhingga, cukup dibuktikan K (u) = K (α1, α2) maka dengan menggunaka metode induksi akan berlaku
K(u) = K (α, β ) = K (α, β , δ ) = K (α, β , δ , ε)
Diberikan L = K (α, β ) dan f (x) = IrrK(α) , g (x) = IrrK(β ) ∈ K [x] dengan r = deg IrrK(α) , s = deg IrrK(β ). Jika {α1, α2, . . . αi} ⊆ L dan
β1, β2, . . . βj ⊆ L adalah himpunan akar-akar berbeda dari polinomial IrrK(α) = f (x) dan IrrK(β ) = g (x) maka persamaan
αi+ xβj= α1+ xβ1 mempunyai tepat satu solusi x =αi−α1
βi−β1. Jika diambil suatu c ∈ K dengan c 6= αi−α1
βi−β1
maka
αi+ cβ 6= α1+ cβ1.
Jika u = α + cβ ∈ L diperoleh f (u − cx) = e0berkoefisein di K (u) atau dengan kata lain f (u − cx) ∈ K (u) [x], maka diperoleh:
g(β ) = f (u − cβ ) = f (α) = e0. Berakibat
x− β |g (x) , x− β | f (u − cx)
ini menunjukan x − β , g (x) berkoefisein di K (u), yang berakibat β , α = u − cb ∈ K(u). Dengan ini telah ditunjukan K (α, β ) = K (u) = L . Dengan teorema 1.17 diketahui C merupakan perluasan separabel dari R karena C = R (i)
3.6. Grup Galois
Pada sub-bab ini akan dibahas mengenai Lapangan perluasan Galois dan grup Galois. Kemudian dari grup Galois dapat dibangun Lapangan tetap, serta keterkaitan lapangan perluasan Galois, Grup Galois dengan Lapangan Tetap.
DEFINISI 3.6.1. Lapangan perluasan berhingga L : K dikatakan perluasan Galois atau L galois atas K jika normal dan separabel.
DEFINISI 3.6.2. Diberikan Lapangan perluasan Galois L : K. Grup Galois dari L atas K adalah himpunan semua AutK(L) terhadap operasi komposisi yang dinotasikan dengan
Gal(L : K) = {AutK(L)} = {δ ∈ AutK(L) |δ (x) , ∀x ∈ K}
Selanjutnya akan dibahas keterhubungan antara Lapangan perluasan Galois dengan Grup Galois
|Gal (L : K) | = [L : K] .
DEFINISI3.6.4. Diberikan lapangan perluasan Galois E : K dan u, v ∈ E. Elemen u dikatakan konjugate dari v jika terdapat ϕ ∈ Gal (E : K) sedemikian hingga u = ϕ (v).
Jika E : K adalah lapangan perluasan Galois dan Γ ⊆ Gal (E : K) maka dapat dibentuk himpunan bagian dari E yang didefinisikan sebagai berikut
EΓ= {u ∈ E : ∀γ ∈ Γ, γ (u) = u} .
LEMMA 3.6.5. Diberikan lapangan perluasan Galois E : K dan Γ ⊆ Gal (E : K) makaEΓ⊆ E merupakan lapangan bagian dari E yang memuat K.
BUKTI. Untuk sebarang u, v ∈ EΓdan γ ∈ Γ berlaku
γ (u + v) = γ (u) + γ (v) = u + v, γ (uv) = γ (u) γ (v) = uv
jika u 6= e0maka γ u−1 = γ (u)−1= u−1
dan untuk sebarang t ∈ K maka γ (t) = t, ini membuktikan K ⊆ EΓ Berdasarkan teorema 1.7 dan 1.15 maka diketahui E : EΓ adalah perluasan Galois, diperoleh |Gal E : EΓ | = E : EΓ.
DEFINISI3.6.6. EΓdikatakan lapangan tetap Selanjutnya didapat teorema sebegai berikut:
TEOREMA3.6.7. (Baker, 2008, hal 52) Diberikan lapangan perluasan Galois E : K , lapangan tetap EΓdan Γ ⊆ Gal E : EΓ maka diperoleh
1)|G E : EΓ | = E : EΓ = |Γ|. 2)EΓ: K = |Gal(E:K)|Γ| .
BAB 4