Pada bab ini akan dibahas bagaimana relasi urutan mempengaruhi suatu lapangan. Serta bagaimana himpunan bilangan real R dilihat secara abstrak serta pembuktian secara aljabar bahwa C adalah lapangan tertutup secara aljabar.
4.1. Relasi urutan
Sebelum di bahas mengenai lapangan terurut akan dibahas mengenai pengertian terurut pada himpunan
DEFINISI 4.1.1. Diberikan himpunan tak kosong X , relasi biner ≤ pada X disebut relasi urutan parsialjika memenuhi
1) Refleksif (∀x ∈ X ) x ≤ x.
2) Antisimetri (∀x, y ∈ X ) x ≤ y dan y ≤ x maka x = y. 3) Transitif (∀x, y, z ∈ X ) x ≤ y dan y ≤ z maka x ≤ z.
Jika berlaku a ≤ b dan a 6= b umumnya dinotasikan a < b. Dua buah elemen a dan b di X dikatakan dapat dibandingkan jika berlaku a ≤ b atau b ≤ a. Di dalam relasi urutan parsial b ≥ a berarti a ≤ b begitu juga dengan b > a yang berarti a < b. Suatu himpunan tak kosong X yang dilengkapi dengan relasi urutan parsial disebut poset (partial order set/himpunan terurut parsial)dinotasikan (X , ≤). Yang perlu ditegaskan di dalam himpunan terurut parsial (X , ≤) semua elemennya terurut tetapi tidak semua pasang elemen dapat dibandingkan. Jadi jika diambil sebarang a dan b di (X , ≤) maka belum tentu a dan b dapat dibandingkan. Itulah kenapa dikatakan terurut parsial tetapi
jika sebarang a dan b di (X , ≤) dapat dibandingkan maka relasi ≤ dikatakan relasi urutan total. Himpunan yang dilengkapi relasi urutan total disebut rantai (chain). Jika (S, ≤) adalah suatu rantai maka berlaku sifat trikotonomy yaitu untuk sebarang a, b ∈ (S, ≤) hanya berlaku salah satu
a< b, atau a = b, atau b < a
CONTOH4.1.2. Diberikan grup G dan S adalah himpunan semua grup bagian di G. Untuk H, K ∈ S ( Ini berarti H dan K adalah grup bagian dari G) didefinisikan H ≤ K jika H himpunan bagian dari K atau dengan kata lain H ⊆ K. Ini berarti merupakan relasi urutan parisal yang disebut urutan berdasarkan pemuatan dan S merupakan poset karena untuk sebarang grup bagian M dan N di G belum tentu berlaku M ⊆ N ataupun N⊆ M dengan kata lain belum tentu dapat dibandingkan
CONTOH 4.1.3. Diberikan himpunan N dan didefinisikan relasi urutan ≤ jika (∀a, b ∈ N) (a ≤ b) maka a|b. Ini berarti (N, ≤) merupakan poset karena tidak semua pasangan di (N, ≤) dapat dibandingkan.
Suatu elemen m dari poset (S, ≤) dikatakan elemen maksimal jika tidak ada s∈ (S, ≤) dengan m < s. atau dengan kata lain m elemen maksimal dari poset (S, ≤) jika berlaku m ≤ s maka m = s untuk sebarang s ∈ S. Yang perlu diperhatikan elemen maksimal bukanlah elemen “terbesar” di dalam suatu poset tetapi suatu elemen dikatakan maksimal jika tidak ada elemen lain yang lebih “besar” dari dirinya .
Suatu elemen n dari poset (S, ≤) dikatakan elemen maksimum jika untuk semua s∈ (S, ≤) berlaku s < n. Jadi elemen maksimum merupakan elemen “terbesar” di dalam poset.
Elemen minimal dam minimum didefinisikan serupa. Elemen minimal merupakan lawan dari elemen maksimal sedangkan elemen minimum merupakan lawan dari elemen maksimum.
CONTOH4.1.4. Diberikan himpunan P = N \ {1} = {2, 3, 4, 5 . . .} dan didefinisikan relasi urutan ≤ jika (∀a, b ∈ P) (a ≤ b) maka b|a yang disebut pengurutan berdasarkan pembagian terbalik (reverse divisibility). Ini berarti semua bilangan prima pada poset (P, ≤) merupakan elemen maksimal karena satu-satunya faktor bilangan prima pada poset (P, ≤) adalah dirinya sendiri.
Berdasarkan Contoh 4.1.4 elemen maksimal tidaklah tunggal tergantung dari relasi urutannya, Secara umum suatu poset belum tentu mempunyai elemen maksimal terlebih bagi poset-poset yang mempunyai banyak elemen tak hingga contohnya poset (N, ≤) pada Contoh 4.1.3 tidak mempunyai elemen maksimal.
DEFINISI 4.1.5. Diberikan S himpunan bagian dari poset (X , ≤), u ∈ X dikatakan batas atas terkecil (bat)dari S jika memenuhi kondisi sebagai berikut
1) s ≤ u untuk semua s ∈ S.
2) jika s ≤ v maka u ≤ v untuk suatu v ∈ X .
Kasus khusus jika S himpunan bagian dari R dan u ∈ R adalah bat dari S maka berlaku lemma sebagai berikut
LEMMA 4.1.6. Diberikan S himpunan bagian tak kosong dari R, u∈ R dikatakan bat dari S jika hanya jika untuk semua ε > 0 terdapat s ∈ S dengan u − ε < s.
Selanjutnya akan dibahas mengenai Lemma Zorn.
LEMMA 4.1.7. (Lemma Zorn) Jika (S, ≤) adalah suatu poset dan setiap rantai di dalamnya mempunyai batas atas terkecil, maka (S, ≤) mempunyai paling tidak satu elemen maksimal.
Lemma Zorn menyatakan bagaimana suatu poset mempunyai elemen maksimal. Jika rantai-rantai di dalam suatu poset mempunyai batas atas terkecil maka berdasarkan Lemma Zorn, poset tersebut mempunyai elemen maksimal. Lemma Zorn
sangat berguna untuk membuktikan keberadan struktur maksimal atau terbesar dari suatu himpunan.
4.2. Lapangan Terurut
Lapangan terurut adalah suatu lapangan yang dilengkapi oleh relasi urutan total. Konsep ini pertama kali diperkenalkan oleh Artin pada tahun 1926.
DEFINISI 4.2.1. lapangan F disebut lapangan terurut jika F dilengkapi dengan relasi urutan total yang memenuhi
1) (∀x, y, z ∈ F) x ≤ y maka x + z≤y + z. 2) (∀x, y, z ∈ F) e0≤ z,dan x ≤ y maka zx ≤ zy.
Dari definisi di atas diperoleh sifat sebagai berikut.
LEMMA4.2.2. Diberikan F terurut maka untuk setiap x, y, z ∈ F berlaku: (1). e0< e1.
(2). e0< x jika hanya jika −x < e0. (3). F mempunyai karateristik0.
(4). Jika z≤ e0dan x≤ y maka zy ≤ zx. (5). Untuk semua x∈ F maka berlaku e0≤ x2.
(6). Jika e0< x dan y < e0maka e0< x−1dan y−1< e0. (7). Jika e0< x < y maka e0< y−1< x−1 .
BUKTI. (1) Andaikan
e1< e0.
Ambil sebarang b ∈ F, e0< b menurut Definisi 4.2 1) diperoleh
b< e0
menurut sifat trikotonomy hal terbut mustahil, maka haruslah e0< b. (2) ⇒Diketahui e0< x dan −x invers x terhadap penjumlahan. Akan dibuktikan −x < 0
e0< x
e0+ (−x) < x + (−x)
−x < 0.
Sebaliknya diketahui −x < e0akan dibuktikan e0< x
−x < e0
−x + x < e0+ x
e0< x.
(3) Andai F tidak berkarakteristik 0 atau dengan kata lain berkarakteristik n untuk suatu n ∈ N. Ambil e1∈ F diperoleh
e0≤ (n − 1)e1
e0≤ ne1− e1
e0≤ e0− e1
e0≤ −e1. Kontradiksi dengan Lemma 4.2.2 (2).
(4) Diketahui z ≤ e0maka menurut Lemma 4.2.2 (2) ada e0≤ −z. Menurut Definisi 4.2.1 diperoleh −zx ≤ −zy zy+ (−zx) ≤ zy + (−zy) zy+ (−zx) ≤ e0 zy+ (−zx) + zx ≤ e0+ zx zy≤ zx. (5) Untuk e0 ∈ F maka jelas e0 ≤ e2
0, sedangkan untuk x 6= e0 maka pembuktian e0≤ x2harus ditinjau melalui dua kasus e0< x dan −x < e0.
Untuk e0< x
xe0< xx
e0< x2.
Untuk −x < e0, dengan menggunakan hukum distributif diperoleh
−x(x + (−x)) = −xx + (−x)(−x) −xe0= −xx + (−x)(−x) e0= −x2+ (−x)2 x2+ e0= x2− x2+ (−x)2 x2= (−x)2. (6) Untuk e0< x.
Ambil (x−1)2= x−2 menurut Lemma 4.2.2 (5) diperoleh
e0< x−2
xe0< xx−2
e0< x−1. Untuk y < e0.
Ambil (y−1)2= y−2 menurut Lemma 4.2.2 (5) diperoleh e0< y−2 ye0< yy−2 menurut Lemma 4.2.2 (5) y−1< e0. (7) Diketahui e0< y < x y−1e0< y−1y< y−1x e1< y−1x e1x−1< y−1xx−1 x−1< y−1.
CONTOH 4.2.3. R adalah lapangan terurut .
BUKTI. Didefinisikan relasi urutan ≤ pada R jika a ≤ b maka 0 ≤ b − a untuk sebarang a, b, c ∈ R
a≤ b 0 ≤ b − a 0 ≤ b − a + 0 0 ≤ b − a + (c − c) 0 ≤ (b + c) − (a + c) a+ c ≤ b + c.
Akan dibuktikan (∀a, b, c ∈ R) 0 ≤ c, dan a ≤ b maka ac ≤ bc
a≤ b
0 ≤ b − a
0c ≤ (b − a)c
0 ≤ bc − ac
ac≤ bc.
Karena R lapangan terurut dengan sendirinya Q juga terurut karena Q ⊂ R.
Sekarang akan dibahas himpunan positif yang yang merupakan himpunan bagian dari lapangan terurut
DEFINISI4.2.4. Diberikan lapangan terurut F dan P ⊆ F. Himpunan P ⊆ F terurut disebut himpunan positif jika P = {x ∈ F, eo< x} dan elemen di P disebut elemen positif dan −P = {x ∈ F, x < e0} disebut himpunan negatif pada F
Jadi himpunan positif dari lapangan terurut merupakan generalisasi dari himpunan bilangan positif pada himpunan bilangan real. Berdasarkan definisi himpunan positif diperoleh sifat.
LEMMA 4.2.5. Diberikan lapangan terurut F dan himpunan positif P ⊆ F maka berlaku
1) P+ P ⊆ P dan PP ⊆ P. 2) P∩ −P = { /0}.
3) P∪ −P ∪ {e0} = F.
BUKTI. 1) Ambil sebarang a, b ∈ P akan dibuktikan a + b ∈ P
e0< a
e0+ b < a + b
b< a + b
karena b ∈ P artinya e0< b dan diketahui relasi < bersifat transitif maka diperoleh
e0< a + b
a+ b ∈ P. Ambil sebarang a, b ∈ P akan dibuktikan ab ∈ P
e0< b
ae0< ab
e0< ab maka ab ∈ P.
2) Andai ada a ∈ P ∩ −P artinya a ∈ P dan a ∈ −P maka ada b ∈ P dengan −b = a diperoleh
a= −b
aa= a(−b)
a2= −ab ∈ −P
dengan a2= −ab 6= e0. Padahal menurut Lemma 4.2.2(5) setiap a ∈ F maka e0≤ a2 dengan kata lain a2∈ P. Kontradiksi.
Karena P, −P dan {e0} merupakan himpunan bagian dari F maka sudah jelas P ∪ −P ∪ {e0} ⊆ F
Akan dibuktikan F ⊆ P ∪ −P
ambil sebarang a ∈ F maka e0≤ a atau a < e0 dengan kata lain a ∈ P ∪ {e0} atau
a∈ −P.
Dari sifat-sifat himpunan positif diperoleh teorema sebagai berikut
TEOREMA4.2.6. Lapangan terurut F jika hanya jika P ∪ −P ∪ {e0} = F.
BUKTI. ⇒Menurut Lemma 4.2.5 (3) maka P ∪ −P ∪ {e0} = F.
⇐ Didefinisikan relasi urutan < pada F jika a < b maka b − a ∈ P untuk sebarang a, b ∈ F.
Akan dibuktikan (∀a, b, c ∈ F) a < b maka a + c<b + c
a< b b− a ∈ P b− a + e0∈ P b− a + (c − c) ∈ P (b + c) − (a + c) ∈ P a+ c < b + c.
a< b
b− a ∈ P.
Karena P tertutup terhadap perkalian maka diperoleh
(b − a)c ∈ P
bc− ac ∈ P
ac< bc.
Jadi terbukti P ∪ −P ∪ {e0} = F merupakan lapangan terurut. Teorema 4.2.6 menyatakan Lapangan terurut merupakan gabungan dari himpunan positif , himpunanan negatif dan sigleton {e0}.
4.3. Himpunan Kuadratik
Selanjutnya akan dibahas mengenai himpunan kuadratik. Himpunan tersebut memegang peranan penting di dalam lapangan terurut.
DEFINISI4.3.1. Ambil sebarang lapangan K. Dinotasikan SQ(K) adalah himpunan semua jumlah kuadrat di K.
SQ(K) = {x21+ x22+ x23+ . . . + x2n|∀x1, x2, x3. . . xn∈ K}
Pada lapangan terurut F dengan mudah diketahui e0≤ SQ (F). Berdasarkan definisi SQ(K) diperoleh sifat-sifat sebagai berikut.
LEMMA4.3.2. Diberikan sebarang lapangan K dan SQ (K) maka berlaku
SQ(K) + SQ (K) ⊆ SQ (K) SQ(K) SQ (K) ⊆ SQ (K)
BUKTI. Ambil x, y ∈ SQ (K) dengan x = ∑mi=1a2i dan y = ∑ni=1b2i dengan m ≥ n dan sebarang ai, bj∈ K maka x+ y m
∑
i=1 a2i+ n∑
i=1 b2i m∑
i=1 a2i + b2i ∈ SQ (K) dan xy m∑
i=1 a2i n∑
i=1 b2i m+n∑
k=0 k∑
i=0 a2ib2k−i ! m+n∑
k=0 k∑
i=0 (aibk−i)2 ! ∈ SQ (K) . Selanjutnya akan dijelaskan mengenai himpunan kuadratikDEFINISI4.3.3. Diberikan sebarang lapangan K, dan T ⊆ K himpunan bagian dari K. Himpunan T disebut kuadratik jika
(1). T + T ⊆ T dan T T ⊆ T . (2). K2⊆ T .
Dengan K2= {aa|∀a ∈ K}.
Himpunan kuadratik T selalu memuat SQ(K) . Itu berarti SQ(K) merupakan himpunan kuadratik minimal di K yang termuat di sebarang himpunan kuadratik di K. Selanjutnya akan dibuktikan T merupakan grup bagian terhadap perkalian di K.
LEMMA 4.3.4. Diberikan T ⊆ K dengan T adalah himpunan kuadartik maka T merupakan grup bagian terhadap perkalian di K.
BUKTI. 1) Karena sudah diketahui perkalian di K asosiatif maka dengan sendirinya perkalian di T juga asosiatif.
2) Akan dibuktikan e1∈ T .
Ambil e1∈ K maka menurut Definisi 4.3.3 (1) e2
1= e1∈ T . 3) Ambil sebarang t ∈ T akan dibuktikan t−1∈ T .
Menurut Definisi 4.3.3 (2) (t−1)2 = t−2 ∈ T maka berdasarkan Definisi 4.3.3 (1) diperoleh
tt−2= t−1∈ T.
Dari 1) 2) dan 3) maka terbukti T adalah grup bagian terhadap perkalian di K. TEOREMA 4.3.5. Ambil T himpunan kuadratik dari lapangan K maka pernyataan berikut adalah ekuivalen
(1) T∩ −T = {e0}. (2)−e1∈ T ./
BUKTI. 1⇒ 2 Karena hanya {e0} = T ∩ −T maka −e1∈ −T bukan elemen T . 2⇒ 1 Andaikan ada a ∈ T ∩ −T dan a 6= e0 artinya a ∈ T dan a ∈ −T maka ada b∈ T dengan −b = a . Menurut Lemma 4.3.4 maka ada a−1= −b−1∈ T diperoleh
a−1b∈ T
−b−1b∈ T
−e1∈ T
kontradiksi.
LEMMA 4.3.6. Ambil T himpunan kuadratik dari lapangan K dengan −e1 ∈ T/ ambil α ∈ K,α6= e0dan α /∈ −T maka
T0= T + αT. Adalah himpunan kuadratik dengan−e1∈ T/ 0.
BUKTI. Akan dibuktikan 1)T0+ T0⊆ T0, 2)T0T0⊆ T0dan 3) K2⊆ T ⊆ T0. 1) Ambil a, b ∈ T0dengan a = t1+ αt2dan b = t3+ αt4untuk
suatu t1,t2,t3,t4∈ T maka
a+ b = (t1+ αt2) + (t3+ αt4)
(t1+ t3) + (αt2+ αt4) dengan menggunakan hukum distributif diperoleh
(t1+ t3) + α(t2+ t4) dengan (t1+ t3), (t2+ t4) ∈ T maka a + b ∈ T0 dan untuk perkalian a dengan b diperoleh
ab= (t1+ αt2)(t3+ αt4)
t1t3+ αt4t1+ αt2t3+ α2t2t4
(t1t3+ α2t2t4) + (αt4t1+ αt2t3) dengan menggunakan hukum distributif diperoleh
(t1t3+ α2t2t4) + α(t4t1+ t2t3) dengan (t1t3+ α2t2t4), (t4t1+ t2t3) ∈ T maka ab ∈ T0.
3) Ambil sebarang a ∈ K maka menurut Definisi 4.3.3 (2) a2∈ T dengan a2 bisa ditulis dalam bentuk a2= a2+ αe0, e0∈ T .
Akan dibuktikan −e1 ∈ T/ 0 andaikan −e1∈ T ’ artinya ada b, c ∈ T dengan c 6= e0 dengan −e1= b + αc diperoleh
−e1= b + αc −e1+ e1= b + αc + e1
e0= b + αc + e1
karena operasi penjumlahan bersifat komutatif diperoleh
e0= (b + e1) + αc
c−1e0= c−1[(b + e0) + αc]
e0= (c−1b+ c−1) + α
karena (c−1b+ c−1) 6= e0∈ T maka α = −(c−1b+ c−1) ∈ −T padahal diketahui
α /∈ −T kontradiksi.
Selanjutnya akan dibahas bagaimana suatu lapangan dikatakan lapangan terurut.
TEOREMA 4.3.7. Lapangan F terurut jika hanya jika −e1∈ T dengan T adalah/ sebarang himpunan kuadratik dari F.
BUKTI. ⇒Diketahui F lapangan terurut dan T ⊆ F himpunan kuadratik akan dibuktikan −e1∈ T ./
Menurut Lemma 4.2.2 (5) menunjukan e0≤ x2 untuk semua x ∈ F dan menurut Lemma 4.2.2 (2) −e1< e0jadi −e1∈ T ./
⇐Untuk membuktikan F lapangan terurut pertama-tama akan dibuktikan T ⊆ P∗ dengan P∗ = P ∪ {e0} , P adalah himpunan positif .
Andaikan T * P∗ maka ada t /∈ P∗ dengan t 6= e0, sehingga t ∈ −P maka t = −x = −(e1x) = (−e1) | {z } ∈T x |{z} ∈T
. Kontradiksi jadi T ⊂ P∗. Berdasarkan Lemma Zorn maka P∗ merupakan himpunan maksimal dari T .
Selanjutnya akan dibuktikan untuk sebarang a ∈ F dengan a /∈ −P maka a ∈ P∗. Berdasarkan Lemma 4.3.5 himpunan T = P ∗ +aP∗ dengan −e1 ∈ T merupakan/ himpunan kuadratik karena P maksimal maka P ∗ +aP∗ = P∗ itu artinya a ∈ P∗
Selanjutnya akan dibuktikan untuk sebarang b ∈ F dengan b /∈ T, b 6= e0 maka b ∈ −P.
Ambil a = −b maka T0 = T − bT . himpunan kuadratik, karena diketahui P∗ himpunan kuadratik maksimal maka T0= T − bT ⊆ P∗ itu artinya −b ∈ P dengan kata lain b ∈ −P.
Jadi untuk sebarang x ∈ F, x 6= e0 maka berlaku salah satu x ∈ P atau x ∈ −P berdasarkan teorema 4.2.6 diperoleh T ∪ −T ⊆ P ∗ ∪P∗ = P ∪ {e0} ∪ P = F dengan F
terurut .
Dari Teorema 4.3.7 maka diketahui C tidak terurut karena i2 = −1. Selanjutnya akan ditunjukan Teorema 4.2.6 ekuivalen dengan Teorema 4.3.7.
AKIBAT4.3.8. Untuk sebarang lapangan F kondisi dibawah ini ekuivalen (1) F terurut
(2) F = P ∪ −P ∪ {e0} dengan P himpunan positif dari F (3)−e1∈ T dengan T himpunan kuadratik dari F/
BUKTI. Cukup di buktikan (2)⇒ (3) karena pembuktian Teorema 4.3.7 telah menunjukan (3)⇒ (2). Diketahui F = P ∪ −P ∪ {e0} .
Akan dibuktikan −e1∈ T/
Pertama-tama akan dibuktikan kuadrat dari elemen tak nol di F = P ∪ −P ∪ {e0} adalah elemen positif. Diketahui himpunan P tertutup terhadap operasi perkalian, itu berarti kuadrat dari semua elemen positif merupakan elemen positif. Selanjutnya akan ditunjukan kuadrat dari elemen negatif hasilnya elemen positif. Ambil sebarang −a ∈ −P maka terdapat a ∈ P, diperoleh
a+ (−a) = e0
−a2+ (−a)2= e0.
dengan mudah diketahui (−a)2∈ P. Telah ditunjukan kuadrat dari semua elemen tak nol di F merupakan elemen positif maka dapat disimpulkan −e1∈ T/ Jadi untuk mengetahui sebarang lapangan apakah terurut atau tidak, cukup ditunjukan apakah memenuhi salah satu dari Teorema 4.2.6 atau Teorema 4.3.7.
4.4. Lapangan Archimedean
Selanjutnya akan dibahas himpunan asli, himpunan bulat, himpunan rasional pada F yang merupakan abstraksi dari himpunan bilangan bulat, himpunan bilangan asli, himpuan bilangan rasional serta sifat archimedean.
DEFINISI4.4.1. Ambil F lapangan terurut maka
1. Himpunan bagian NF ⊆ F disebut himpunan asli jika NF= nF ∈ NF|nF = e1+ e1+ . . . + e1 | {z } n , n ∈ N
dengan N himpunan bilangan asli. 2. Himpunan bagian ZF ⊆ F disebut himpunan bulat jika
ZF = NF∪ {e0} ∪ −NF.
3. Himpunan bagian QF ⊆ F disebut himpunan rasional jika QF = {xy−1|x, y ∈ Z}.
Jadi NF, ZF dan QF merupakan abstraksi dari N, Z dan Q dalam himpunan bilangan real.
DEFINISI 4.4.2. Lapangan terurut disebut lapangan achimedean jika untuk setiap x∈ F maka x < nF untuk suatu nF ∈ NF.
BUKTI. Andaikan R bukan lapangan archimedean maka terdapat u ∈ R yang menjadi bat dari N karena u − 1 < u dan berdasarkan Lemma 4.1.6 ada s ∈ N dengan u− 1 < s tetapi hal tersebut berakibat u < s + 1 padahal diketahui s + 1 ∈ N.
Kontradiksi dengan asumsi u sebagai bat dari N
Dari Definisi 4.42 diperoleh sifat berikut.
LEMMA4.4.4. Ambil F lapangan archimedean, x dan y elemen positif bukan nol di F berlaku sifat sebagai berikut
1) x< nFy untuk suatu nF ∈ NF. 2) n−1F < y untuk suatu nF ∈ NF.
3) nF− e1≤ x < nF untuk suatu nF ∈ NF.
BUKTI. 1) Ambil z = xy−1∈ F maka z < nF,diperoleh
z< nF
xy−1< nF
xy−1y< nFy
x< nFy .
2) Ambil x = e1, menurut 1) diperoleh
n−1F 1 < n−1F nFy
n−1F < y.
3) Dibentuk himpunan bagian N ⊂ NFN= {m ∈ NF|x < m} untuk suatu x ∈ F, e0< x. Ambil n elemen minimum di N maka n − e1∈ N diperoleh n − e/ 1≤ x < n. Tidak semua lapangan terurut merupakan archimedian, contoh berikut akan ditunjukkan lapangan terurut yang bukan achimedean.
CONTOH 4.4.5. Diberikan lapangan terurut K. Lapangan koesen K (x) merupakan lapangan terurut dengan definisi
∀ f (x) g−1(x) , p (x) q−1(x) ∈ K (x) , f (x) g−1(x) < p (x) q−1(x) ⇔ eo< f (x) g−1− p (x) q−1(x) . Dengan sebarang f (x) g−1(x) ∈ K (x) dikatakan eo< f (x) g−1(x) positif jika e0< a/b
dengan a dan b adalah leading koefisien dari dari f (x) dan g (x) maka K (x) bukan lapangan archimedean
BUKTI. Ambil x ∈ K (x) maka e0 < x . Andaikan K (x) archimedean maka ada nK(x)∈ NK(x) berlaku
x< nK(x)⇔ e0< nK(x)− x
Padahal nK(x)− x bukan elemen positif. Kontradiksi.
TEOREMA4.4.6. Jika F lapangan archimedean dan x < y, x, y ∈ F maka x < r < y untuk suatu r∈ QF.
BUKTI. Untuk membuktikannya harus melalui dua kasus, kasus e0 < x < y dan −y < −x < e0.
Asumsi e0< x < y.
Diketahui e0 < x < y maka e0 < y − x dan e0 < (y − x)−1 karena F lapangan archimedean maka (y − x)−1< nFuntuk suatu nF ∈ NF. Diperoleh
(y − x)(y − x)−1< (y − x)nF
e1< ynF− xnF
e1+ xnF < ynF.
Menurut Lemma 4..4.4 (3), ada mF ∈ F, mF− e1≤ xnF < mF yang berakibat mF ≤ e1+ xnF dengan kata lain mF < ynF, diperoleh
xnF < mF < ynF
xnFn−1F < mFn−1F < yn−1F
x< r < y dengan r = mFn−1F .
Asumsi −y < −x < e0.
Telah dibuktikan e0< x < r < y untuk r ∈ QF maka dengan mudah diketahui −y <
−r < x < e0.
4.5. Lapangan Tertutup Real
Pada sub-bab ini akan dibahas mengenai Lapangan real formal dan lapangan tertutup real yang merupakan generalisasi dari R.
DEFINISI 4.5.1. Suatu lapangan F dikatakan real formal jika −e1 ∈ T dengan T/ himpunan kuadratik dari F .
Berdasarkan Teorema 4.3.6 maka suatu lapangan dikatakan lapangan real formal jika hanya jika merupakan lapangan terurut.
LEMMA4.5.2. Jika F adalah lapangan real formal dan E = F(α) adalah perluasan sederhana dari F maka berlaku
1) Jika α2merupakan elemen positif di F maka E adalah lapangan real formal. 2) Jika[E : F] ganjil maka E adalah lapangan real formal.
BUKTI. 1) Andaikan α2 = a ∈ F elemen positif maka
f(x) = x − α ∈ F[x], f (α) = e0 adalah polynomial iredusibel di F. Itu berarti E= F(α) = F[x]/ < f (x) > maka setiap elemen di E mempunyai bentuk x + yα untuk suatu x, y ∈ F. Jika E bukan lapangan real formal maka −e1∈ T ⊂ E dengan kata lain −e1= −e1+ e0α = SQ(E) = ∑i(xi+ yiα )2 diperoleh ∑ixi2+ y2ia= −eikarena x2i dan y2i adalah postif itu berarti a negatif padahal diketahui a positif. Kontradiksi.
2) Akan dibuktikan dengan menggunakan induksi, jika n = 1 = [E : F] maka E = F itu berarti E adalah lapangan real formal. Asumsi benar untuk n > 1 ganjil n = [E : F] maka E adalah lapangan real formal. Akan dibuktikan untuk n + 2.
Diberikan n + 2 = [E; F] dengan E = F(α) = F[x]/q(x) dengan q(x) = IrrF(α) dengan deg q = n + 2. Itu berarti semua elemen di E mempunyai bentuk f (α) untuk suatu polynomial f (x) ∈ F[x] dengan derajat kurang dari n + 2.
Jika E bukan lapangan real formal maka −ei= ∑ifi2(α) dengan fi(x) ∈ F[x] dan deg fi< n + 2 ,itu berarti derajat fi2 adalah genap dan kurang dari 2n + 4. Diperoleh
e1+ ∑ifi2(x) = q(x)g(x) untuk suatu g(x) ∈ F(x) karena derajat q(x)adalah ganjil maka derajat g(x) adalah ganjil juga dan kurang dari n + 2. Itu berarti salah satu faktor tak terbagi p(x) dari g(x) haruslah mempunyai derajat ganjil k < n + 2. Jika p(x) mempunyai akar β di perluasan sederana F(β ) dari F. Itu berarti IrrF(β ) = p(x) dan [F(β ) : F] = k diperoleh
e1+ ∑ifi2(β ) = q(β )g(β ) = e0maka F(β ) bukan lapangan real formal, kontradiksi
dengan induksi hipotesis.
Selanjutnya akan dibahas mengenai lapangan tertutup real yang merupakan generalisasi dari himpunan bilangan real R. Telah diketahui bahwa C merupakan perlusan aljabar atas R dan C tidak terurut atau dengan kata lain C bukan lapangan real formal maka diperoleh definisi sebagai berikut.
DEFINISI 4.5.3. Suatu lapangan F dikatakan tertutup real, jika lapangan tersebut merupakan real formal dan tidak mempunyai perluasan aljabar real formal
TEOREMA4.5.4. Setiap lapangan tertutup real F mempunyai sifat sebagai berikut: 1) Setiap elemen positif di F adalah kuadrat di F.
2) Setiap polynomial berderajat ganjil F[x] mempunyai akar di F. 3) Hanya ada satu relasi terurut total pada F.
BUKTI. 1) Jika suatu elemen postif a dari F bukan kuadrat di F maka x2− a ∈ F[x] iredusibel. Itu berarti ada perluasan aljabar F(α) dengan α2= a yang merupakan lapangan real formal berdasarkan Lemma 4.5.2, kontradiksi. 2) Begitu juga jika f ∈ F[x] mempunyai derajat ganjil dan tidak mempunyai akar di F maka f mempunyai faktor tak terbagi q yang berderajat ganjil itu berarti terdapat perluasan aljabar F(α) = F[x]/ < q> dengan IrrF(α) = q dan [F(α) : F] ganjil serta F(α) adalah real formal berdasarkan Lemma 4.5.2.
3) Berdasarkan point 1) untuk sebarang x, y ∈ F, x < y maka y − x = a2, untuk suatu
Oleh karena lapangan tertutup real merupakan generelalisasi dari R maka Teorema 4.5.4 juga berlaku di R.
4.6. Generalisasi Teorema Fundamental Aljabar
Teorema Fundamental aljabar berkata bahwa C merupakan tertutup secara aljabar. Teorema ini pertama kali dibuktikan oleh Gauss dalam disertasi doktoralnya pada tahun 1799. Selanjutnya akan ditunjukan Teorema Fundamental aljabar dapat digeneralisasi ke lapangan terurut.
TEOREMA 4.6.1. (Generalisasi Teorema Fundamental Aljabar) Diberikan F lapangan tertutup real dan C= F (i) dengan i2= −e1maka C tertutup secara aljabar.
BUKTI. Pertama-tama akan ditunjukan setiap elemen a di F merupakan kuadrat di C. Jika e0< a maka a merupakan kuadrat di F, itu juga berarti merupakan kuadrat di C. Jika a < e0maka −a merupakan kuadrat di F dan −a = b2berakibat a = (ib)2.
Selanjutnya akan ditunjukan bahwa setiap elemen a + ib di C merupakan kuadrat di Cekuivalen akan dibuktikan c + 2i merupakan kuadrat di C untuk setiap c = 2a/b ∈ F. Misalkan c + 2i = (x + iy)2= (x2− y2) + 2ixy, itu berarti c = x2− y2 dan xy = e1 untuk suatu x, y ∈ F dengan y = x−1, itu berarti c + 2i = (x + i/x)2.
Selanjutnya jika ada E lapangan perluasan galois dari C akan ditunjukan
E = C. Diketahui E perluasan galois dari C maka E juga merupakan perluasan galois dari F. Diperoleh G = Gal (E : F) maka |G| = [E : F] = [E : C] [C : F] = 2 [E : C] genap.
Jika S adalah Sylow 2 subgrup dari G dan ESadalah lapangan tetap makaES: F = |G|
|S| adalah ganjil. Berdasarkan teorema primitif elemen maka
ES = F (u) untuk suatu u ∈ ES karena ES berdimensi ganjil, itu berarti terdapat IrrF(u) ∈ F [x] berderajat ganjil padahal menurut Teorema 4.5.4 (2) semua polinomial berderajat ganjil di F mempunyai akar yang berakibat ES= F dan G = S adalah 2-grup.
Karena G adalah 2-grup dan|G| = 2 [E : C] maka grup Gal (E : C) dengan |Gal (E : C)| = [E : C] merupakan 2-grup juga. Diperoleh subgrup H ⊆ Gal (C : F) berindeks 2 maka berdasarkan teorema lagrange
EH: C = |Gal(E:C)||H| = 2|H||H| = 2. Berdasarkan teorema primitif elemen maka ES = C (v) untuk suatu v ∈ EH karena EH berdimensi 2, itu berarti terdapat Irrc(v) ∈ C [x] berderajat 2, padahal diketahui setiap polinomial kuadrat di C mempunyai akar. Kontradiksi ini menunjukan E = C. Berdasarkan Teorema 3.3.2
dapat disimpulkan C tertutup secara aljabar.
Berdasarkan pembuktian diketahui bahwa C = F (i) merupakan lapangan perluasan galois atas dirinya sendiri. Itu berarti setiap polinomial berderajat n di C akan selalu mempunyai akar sebanyak n pula. Dari Generalisasi Teorema Fundamental aljabar diperoleh akibat-akibat sebagai berikut.
AKIBAT4.6.2. Jika F tertutup real maka [ ¯F: F] = 2.
AKIBAT 4.6.3. Jika F tertutup real, maka q(x) ∈ F [x] iredusibel jika hanya jika q(x) mempunyai derajat satu atau polinomial kuadrat tanpa akar di F.
BUKTI. ⇒Andaikan ada q (x) iredusibel berderajat k > 2 untuk k ∈ N dan a+ bi ∈ F (i) adalah akar q, itu berarti q(x) = (x − (a + bi)) h (x) untuk suatu h(x) ∈ F (x) berderajat k − 1. Kemudian diberikan ϑ : i → −i, dengan ϑ adalah AutF( ¯F)
diperoleh
ϑ (q (x)) = ϑ ((x − (a + bi) (h (x)))
q(x) = (x − (a − bi) (h (x))) Ini berarti a − bi ∈ R (i) juga merupakan akar q diperoleh
q(x) = (x − (a + bi)) (x − (a − bi)) g(x)
q(x) = x2− 2a + a2+ b2 g (x)
dengan g (x) , x2− 2a + a2+ b2 ∈ F (x) . Padahal diketahui q(x) iredusibel. Kontradiksi.
⇐ Jika q (x) berderajat satu tentu saja q (x) iredusibel dan jika q (x) berderajat dua tanpa akar di F itu berarti tidak ada α ∈ F yang memenuhi q(x) = (x − α) g (x) untuk suatu g (x) ∈ F [x] berderajat satu, dengan kata lain q(x) iredusibel.
BAB 5
Penutup
5.1. Kesimpulan
Berdasakan pembahasan bab-bab sebelumnya penulis memperoleh kesimpulan sebagai berikut:
(1) Setiap lapangan perluasan berhingga merupakan perluasan aljabar.
(2) Sebarang lapangan F akan terurut jika memenuhi salah satu dari dua hal berikut: (1) F = P ∪ {e0} ∪ −P dengan P himpunan positif dan −P himpunan negatif. (2) −e1 ∈ F bukan merupakan jumlah kuadrat elemen-elemen didalamnya.
(3) Sifat archimedean pada himpunan bilangan real R dapat dikenakan pada lapangan terurut tetapi tidak semua lapangan terurut mempunyai sifat archimedean.
(4) Teorema kerapatan pada himpunan bilangan real R berlaku pula pada lapangan archimedean
(5) Lapangan tertutup real merupakan generalisasi dari R.
(6) Setiap elemen positif dalam suatu lapangan tertutup real adalah kuadrat. (7) Jika F lapangan tertutup real maka F (i) dengan i2 = −e1 adalah lapangan
tertutup secara aljabar.
(8) Jika F lapangan tertutup real dan ¯F merupakan aljabar closure atas F maka [ ¯F : F] = 2.
(9) Suatu polinomial q (x) atas lapangan tertutup real F adalah iredusibel jika berderajat satu atau berderajat dua yang tidak mempunyai akar akar di F.
(10) Tidak ada lapangan perluasan dari C karena C merupakan lapangan tertutup secara aljabar.
5.2. Saran
Oleh karena tugas akhir ini hanya membahas sampai generalisasi teorema fundamental aljabar maka perlu ada pembahasan lebih lanjut mengenai teorema Artin-Schreier yang merupakan pengembangan dari generalisasi teorema fundamental aljabar.