LANDASAN TEORI
3.5. Linear Programming 10
Linear Programming memakai suatu model matematis yang menggambarkan masalah yang dihadapi. Linear memiliki arti bahwa semua fungsi matematis dalam model harus merupakan fungsi-fungsi linear, sedangkan programming/pemrograman dapat diartikan sebagai perencanaan. Dengan demikian linear programming (LP) dapat diartikan sebagai membuat rencana kegiatan-kegiatan dengan menggunakan suatu model umum dalam pemecahan masalah pengalokasian sumber daya yang terbatas secara optimal.
Setelah masalah diidentifikasikan, tujuan ditetapkan langkah selanjutnya adalah formulasi model matematik yang meliputi tiga tahap seperti berikut:11 1. Tentukan variabel yang tak diketahui (variabel keputusan) dan nyatakan dalam
simbol matematik.
2. Membentuk fungsi tujuan yang ditunjukkan sebagai suatu hubungan linier (bukan perkalian) dari variabel keputusan.
3. Menentukan semua kendala masalah tersebut dan mengekspresikan dalam persamaan atau pertidaksamaan yang juga merupakan hubungan linier dari variabel keputusan yang mencerminkankan keterbatasan sumberdaya masalah itu.
12
Bentuk umum pemrograman linier adalah sebagai berikut : Fungsi tujuan :
Maksimumkan atau minimumkan z = c1x1 + c2x2 + ... + cnxn Sumber daya yang membatasi :
a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = /≤ / ≥ b1 a21x1 + a22x2 + … + a2nxn = /≤ / ≥ b2 …
am1x1 + am2x2 + … + amnxn = /≤ / ≥ bm x1, x2, …, xn ≥ 0
Simbol x1, x2, ..., xn (xi) menunjukkan variabel keputusan. Jumlah variabel keputusan (xi) oleh karenanya tergantung dari jumlah kegiatan atau aktivitas yang dilakukan untuk mencapai tujuan. Simbol c1,c2,...,cn merupakan kontribusi masing-masing variabel keputusan terhadap tujuan, disebut juga koefisien fungsi tujuan pada model matematiknya.Simbol a11, ...,a1n,...,amn merupakan penggunaan per unit variabel keputusan akan sumber daya yang membatasi, atau disebut juga sebagai koefisien fungsi kendala pada model matematiknya. Simbol b1,b2,...,bm menunjukkan jumlah masing-masing sumber daya yang ada. Jumlah fungsi kendala akan tergantung dari banyaknya sumber daya yang terbatas.
Pertidaksamaan terakhir (x1, x2, …, xn ≥ 0) menunjukkan batasan non negatif. Membuat model matematik dari suatu permasalahan bukan hanya menuntut kemampuan matematik tapi juga menuntut seni permodelan. Menggunakan seni akan membuat permodelan lebih mudah dan menarik.
Kasus pemrograman linier sangat beragam. Dalam setiap kasus, hal yang penting adalah memahami setiap kasus dan memahami konsep permodelannya. Meskipun fungsi tujuan misalnya hanya mempunyai kemungkinan bentuk maksimisasi atau minimisasi, keputusan untuk memilih salah satunya bukan pekerjaan mudah. Tujuan pada suatu kasus bisa menjadi batasan pada kasus yang lain. Harus hati-hati dalam menentukan tujuan, koefisien fungsi tujuan, batasan dan koefisien pada fungsi pembatas.
Adapun karakteristik pemrograman linear adalah: 1. Linearitas
Asumsi ini menginginkan agar perbandingan antara input yang satu dengan input yang lainnya atau untuk suatu input dengan output besarnya tetap dan tidak tergantung pada tingkat produksi.
2. Proporsionalitas
Asumsi ini menyatakan bahwa jika peubah pengambilan keputusan berubah, maka dampak perubahannya akan menyebar dalam proporsi yang sebanding dengan fungsi tujuan dan juga fungsi kendalanya. Jadi tidak berlaku hukum kenaikan hasil yang semakin berkurang.
3. Aditivitas
Asumsi ini menyatakan bahwa nilai parameter suatu kriteria optimasi (koefisien peubah pengambil keputusan dalam fungsi tujuan) merupakan jumlah dari nilai individu-individu Cj (j = 1, 2, 3, …, n).
4. Divisibilitas
Asumsi ini menyatakan bahwa peubah-peubah pengambil keputusan Xn, jika diperlukan dapat dibagi ke dalam pecahan-pecahan artinya nilai-nilai Xn tidak perlu integer (hanya 0 dan 1 atau bilangan bulat) tetapi dapat pula berupa non integer (misalnya ½; 0,5; 12,345; dan sebagainya). Demikian pula dengan nilai Z yang dihasilkan.
5. Deterministik
Asumsi ini menghendaki agar semua koefisien model Linear Programming (nilai peubah pengambilan keputusan, kendala dalam teknis dan sumber daya yang tersedia) tetap atau dapat diperkirakan secara pasti.
Kelebihan-kelebihan dari Linear Programming yaitu:
1. Mudah digunakan terutama jika menggunakan alat bantu komputer.
2. Dapat menggunakan banyak variabel sehingga berbagai kemungkinan untuk memperoleh pemanfaatan sumber daya yang optimal dapat dicapai.
3. Fungsi tujuan dapat difleksibelkan sesuai dengan tujuan penelitian atau berdasarkan data yang tersedia.
Kekurangan-kekurangan dari Linear Programming yaitu:
1. Apabila alat bantu komputer tidak tersedia, maka Linear Programming dengan menggunakan banyak variabel akan menyulitkan analisisnya bahkan mungkin
tidak dapat dikerjakan secara manual. Metode ini tidak dapat digunakan secara bebas dalam setiap kondisi, tetapi dibatasi oleh asumsi-asumsi.
2. Metode ini hanya dapat digunakan untuk satu tujuan misalnya hanya untuk maksimisasi keuntungan atau minimisasi biaya.
3.5.1. Penyelesaian Linear Programming Menggunakan Software LINDO13
LINDO singkatan dari linier interactive discrete optimazer adalah sebuah program yang dirancang untuk menyelesaikan kasus-kasus pemrograman linier. Sebuah kasus harus diubah dahulu ke dalam sebuah model matematis pemrograman linier yang menggunakan format tertentu agar bisa diolah oleh program lindo. Adapun input dan output dari progarm LINDO adalah sebagai berikut:
1. Input LINDO
Program ini menghendaki input sebuah program matematika dengan struktur tertentu. Misalnya bentuk input di program LINDO adalah:
MIN DA1 + DB1 + DA2 + DB3 + DB4 SUBJECT TO 2) –DA1 + DB1 + 5X1 + 6X2 = 60 3) –DA2 + DB2 + X1 + 2X2 = 16 4) DB3 + X1 = 10 5) DB4+ X2 = 6
2. Output LINDO
Setelah data dimasukkan segera perintahkan program untuk mengolah data tersebut melalui fasilitas perintah GO. Sesaat kemudian program menampilkan hasil olahannya. Output atau hasil olahan program LINDO pada dasarnya bisa dipisahkan menjadi 2 bagian yaitu penyelesaian optimal dan analisis sensitivitas.
Hasil olahan LINDO memuat 5 macam informasi yaitu:
a. Nilai fungsi tujuan dibawah label Objective Functional Value
Informasi ini ditandai dengan notasi “1)” untuk menunjukkan bahwa dalam struktur input LINDO, fungsi tujuan ditempatkan pada baris 1 dan fungsi kendala mulai dari urutan baris ke 2
b. Nilai optimal variabel keputusan dibawah label value
Variabel keputusan pada output LINDO ditandai dengan label variabel. Misalnya variabel keputusan X1 dan X2, maka bilangan dibawah value dan berada pada baris dimana X1 berada menunjukkan nilai optimal variabel keputusan.
c. Sensitivitas Cj jika Xj = 0 dibawah kolom reduced cost
Memberikan informasi mengenai sejauh mana nilai CJ harus diturunkan agar nilai variabel keputusan menjadi positif. Ini berarti bahwa reduced cost akan selalu nol bila nilai variabel keputusan positif dan sebaliknya.
d. Slack Variable atau Surplus Variable dibawah label slack or surplus Informasi ini menunjukkan nilai slack atau surplus masing-masing
kendala ketika nilai fungsi tujuan mencapai nilai ekstrem. e. Dual Price
Informasi ini menunjukkan tentang perubahan yang akan terjadi pada nilai fungsi tujuan bila nilai ruas kanan kendala berubah satu unit. Hasil olahan LINDO juga memberikan informasi mengenai jumlah iterasi yang diperlukan untuk menemukan penyelesaian optimal. Misalnya untuk output diatas adalah:
OUTPUT:
LP OPTIMUM FOUND AT STEP 6 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 5
VARIABLE VALUE REDUCED COST DA1 0.000000 1.000000 DB1 0.000000 1.000000 DA2 0.000000 1.000000 DB2 0.000000 1.000000 DB3 0.000000 1.000000 DB4 0.000000 1.000000 X1 132465.000000 0.000000 X2 30558.000000 0.000000 DB7 70.736748 0.000000
ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.000000 0.250000
3) 0.000000 -0.250000 4) 0.000000 -1.000000 5) 0.000000 -1.000000 NO. ITERATIONS= 5