Lingkaran

BAB II KAJIAN PUSTAKA

E. Lingkaran

Lingkaran merupakan salah satu materi yang diajarkan di kelas VIII SMP semester 2. Berikut ini akan dijelaskan mengenai materi lingkaran.

1. Pengertian Lingkaran

Menurut Nuharini, D. (2008) lingkaran merupakan himpunan semua titik di bidang datar yang berjarak sama dari suatu titik tetap di bidang tersebut. Titik tetap tersebut dinamakan titik pusat. Pada gambar dibawah contoh bentuk lingkaran dengan pusat titik P, bisa disebut lingkaran P.

Jarak yang tetap antara titik pada lingkaran dengan pusat lingkaran dinamakan jari-jari, biasanya di simbolkan 𝑟. Lihat Gambar 2. 8.

Gambar 2. 8 Lingkaran dengan Pusat P

Gambar 2. 9 Tabel Contoh dan Bukan Contoh Lingkaran 2. Unsur-unsur Lingkaran

Menurut Abdur Rahman As’ari (2017) ada beberapa unsur–unsur lingkaran, yaitu:

a. Titik Pusat

Titik pusat pada lingkaran merupakan sebuah titik yang terletak tepat ditengah–tengah lingkaran. Pada Gambar 2. 10, titik pusat lingkarannya terletak di huruf O.

Gambar 2. 10 Lingkaran dengan Titik Pusat O

b. Jari – jari

Jari-jari lingkaran adalah jarak titik-titik pada lingkaran dengan titik pusat pada lingkaran dan dinotasikan dengan 𝑟 seperti pada Gambar 2. 11.

Ciri – ciri:

- Berupa ruas garis

- Menghubungkan titik pada lingkaran dengan titik pusat.

Contoh penulisan simbol: 𝑂𝐷̅̅̅̅, 𝑃𝑀̅̅̅̅̅, dan 𝑄𝑆̅̅̅̅

Gambar 2. 11 Jari-jari Lingkaran c. Tali Busur

Tali busur lingkaran adalah ruas garis dalam lingkaran yang menghubungkan 2 titik pada lingkaran seperti pada Gambar 2. 12, 𝐹𝐸̅̅̅̅, 𝐼𝑅̅̅̅, dan 𝑆𝑈̅̅̅̅ adalah tali busur lingkaran.

Ciri – ciri:

- Berupa ruas garis

- Menghubungkan dua titik pada lingkaran.

Penulisan simbol : 𝐹𝐸̅̅̅̅, 𝐼𝑅̅̅̅, dan 𝑆𝑈̅̅̅̅

Gambar 2. 12 Tali Busur Lingkaran d. Diameter

Diameter adalah tali busur yang melalui titik pusat lingkaran dan dinotasikan 𝑑, seperti pada Gambar 2. 13. Diameter sama dengan dua kali jari-jari (𝑑 = 2𝑟).

Ciri – ciri :

- Berupa ruas garis

- Menghubungkan dua titik pada lingkaran.

- Melalui titik pusat lingkaran Penulisan simbol : 𝐵𝐷̅̅̅̅, 𝐽𝑀̅̅̅̅, dan 𝑆𝑈̅̅̅̅

Gambar 2. 13 Diameter Lingkaran e. Busur

Busur lingkaran adalah garis lengkung yang terletak pada lengkungan lingkaran dan menghubungkan dua titik sembarang di lengkungan tersebut. Busur terbagi menjadi dua yaitu busur kecil dan busur besar. Disebut busur kecil (minor) jika panjangnya kurang dari setengah lingkaran dan disebut busur besar (mayor) jika panjangnya lebih dari setengah lingkaran. Busur minor dan busur mayor dapat dilihat pada Gambar 2. 14 berikut.

Gambar 2. 14 Busur Lingkaran Ciri – ciri busur:

- Berupa kurva lengkung - Berhimpit dengan lingkaran

- Jika panjang busur kurang dari setengah lingkaran (sudut pusat < 180°) disebut busur minor

- Jika panjang busur lebih dari setengah lingkaran (sudut pusat > 180°) disebut busur mayor

- Busur setengah lingkaran berukuran sudut pusat = 180°

Jika pada busur tidak disebutkan mayor atau minor, maka yang dimaksud adalah busur minor.

Simbol: 𝐴𝐷̂ , 𝐴𝐶𝐷,̂ dan 𝑅𝑆𝑇̂

juring kecil jika luasnya kurang dari setengah luas lingkaran dan disebut juring besar jika luasnya lebih dari setengah luas lingkaran.

Ciri – ciri:

- Berupa daerah di dalam lingkaran

- Dibatasi oleh dua jari – jari dan satu busur lingkaran

- Jari – jari yang membatasi memuat titik ujung busur lingkaran.

Gambar juring dapat dilihat pada Gambar 2. 15 berikut.

Gambar 2. 15 Juring Lingkaran g. Tembereng

Tembereng adalah daerah dalam lingkaran yang dibatasi oleh sebuah tali busur dan busur kecil lingkaran. Gambar tembereng dapat dilihat pada Gambar 2. 16 berikut.

Ciri – ciri:

- Berupa daerah di dalam lingkaran

- Dibatasi oleh tali busur dan busur lingkaran

Gambar 2. 16 Tembereng

h. Apotema

Apotema adalah jarak terpendek antara tali busur dengan titik pusat lingkaran. Gambar apotema dapat dilihat pada Gambar 2. 17.

Ciri – ciri:

- Berupa ruas garis.

- Menghubungkan titik pusat dengan satu titik di tali busur.

- Tegak lurus dengan tali busur.

Penulisan simbol: 𝑂𝐺̅̅̅̅, 𝑃𝑄̅̅̅̅

Gambar 2. 17 Apotema 3. Sifat – sifat Lingkaran

Lingkaran memiliki beberapa sifat diantaranya adalah:

a. Jarak titik-titik pada lingkaran dengan titik pusat pada lingkaran dinamakan jari-jari (𝑟).

b. Lingkaran mempunyai jari-jari (𝑟), yang panjangnya setengah dari diameter (𝑑).

c. Lingkaran mempunyai sebuah titik pusat 4. Sudut Pusat dan Sudut Keliling

a. Sudut Pusat

Selain memiliki titik pusat, lingkaran juga memiliki sudut pusat. Pada Gambar 2. 18, titik O adalah titik pusat lingkaran,𝑂𝐴̅̅̅̅ dan 𝑂𝐵̅̅̅̅ adalah jari – jari lingkaran.

Gambar 2. 18 Sudut Pusat 1

Sudut AOB disebut sudut pusat, yaitu sudut yang titik

- Kaki sudut berhimpit dengan jari – jari lingkaran - Titik sudut berhimpit dengan titik pusat lingkaran

Pada Gambar 2. 19 sudut pusat 𝐴𝑂𝐵 ditulis “∠𝐴𝑂𝐵” atau “𝛼”, sudut pusat JPG ditulis “∠𝐽𝑃𝐺” atau “𝛽”, dan sudut pusat KQJ ditulis

“∠𝐾𝑄𝐽” atau “𝜃”.

Gambar 2. 19 Sudut Pusat 212 b. Sudut Keliling

Titik O adalah titik pusat lingkaran. Titik A dan C terletak pada keliling (busur) lingkaran. Pada Gambar 2. 20 ∠𝐴𝐵𝐶 disebut sudut keliling. Sudut keliling adalah sudut yang kaki sudutnya berhimpit dengan tali busur, dan titik pusatnya berhimpit dengan suatu titik pada lingkaran.

Gambar 2. 20 Sudut Keliling Sifat – sifat sudut keliling:

- Besar sudut keliling yang menghadap diameter (garis tengah) lingkaran adalah 90°.

- Besar sudut keliling yang menghadap busur yang sama adalah

sama besar. Pada Gambar 2. 21 terdapat sudut pusat dan sudut keliling.

Gambar 2. 21 Sudut Pusat dan Sudut Keliling

∠𝐴𝑂𝐵 adalah sudut pusat dan ∠𝐴𝐶𝐵 adalah sudut keliling. ∠𝐴𝑂𝐵 dan ∠𝐴𝐶𝐵 menghadap busur AB

• Besar ∠𝐴𝑂𝐵 = 2 × ∠𝐴𝐶𝐵

• Besar ∠𝐴𝐶𝐵 = ¹

2× ∠𝐴𝑂𝐵 5. Segiempat Tali Busur

Pada Gambar 2. 22, sisi AB, BC, CD, dan AD pada segiempat ABCD merupakan tali busur lingkaran dan titik A, B, C maupun D terletak pada busur atau keliling lingkaran. Oleh karena itu, bangun ABCD disebut segi empat tali busur. Dengan demikian, segiempat tali busur dibentuk dari empat buah sisi yang merupakan tali busur. Segiempat tali busur adalah segiempat yang keempat titik sudutnya berhimpit dengan suatu lingkaran dan keempat sisinya merupakan tali busur.

Gambar 2. 22 Segiempat Tali Busur 6. Keliling dan Luas Lingkaran

Hal yang dijumpai dalam keliling dan luas lingkaran, yaitu:

secara tepat, baik dalam bentuk pecahan biasa maupun pecahan desimal. Bilangan 𝜋 merupakan bilangan irasional yang berada antara 3,141 dan 3,142 atau 3,141 < 𝜋 < 3,142. Oleh karena itu, nilai 𝜋 hanya dapat dinyatakan dengan nilai pendekatan saja, yaitu 3,14 untuk pembulatan sampai dua desimal. Pecahan ²²

7 jika dinyatakan dalam bentuk pecahan desimal menjadi 3,142857 …, dan jika dibulatkan sampai dua desimal menjadi 3,14. Jadi, ²²

7 adalah sebuah pecahan yang nilainya sangat mendekati 3,14 yang merupakan pendekatan dari nilai 𝜋. Dengan demikian, nilai pendekatan untuk 𝜋 dapat dinyatakan sebagai pecahan desimal dengan pembulatan sampai dua desimal, atau dengan pecahan biasa, yaitu:

1) Dengan pecahan desimal, maka 𝜋 ≈ 3,14 (pembulatan sampai dua desimal)

2) Dengan pecahan biasa, maka 𝜋 ≈²²

7 (Budhi, 2008) b. Keliling Lingkaran

Keliling lingkaran adalah jarak dari suatu titik pada lingkaran dalam satu putaran hingga kembali ke titik semula. Nilai perbandingan antara keliling lingkaran dengan diameter adalah 𝜋. Jika 𝐾 adalah keliling lingkaran dan 𝑑 adalah diameternya, maka

𝐾 Dengan demikian, dapat disimpulkan sebagai berikut:

c. Luas Lingkaran

Beberapa pembuktian rumus luas lingkaran dijelaskan sebagai berikut.

1) Pembuktian Rumus Luas Lingkaran dengan Pendekatan Luas Segitiga

Untuk membentuk segitiga, lingkaran dipotong – potong menjadi 4 atau 9 atau 16 juring. Semakin banyak juring maka akan semakin membentuk segitiga sama kaki yang lebih mendekati dengan syarat banyaknya juring merupakan bilangan kuadrat.

Kemudian juring – juring tersebut disusun menjadi seperti bentuk segitiga sama kaki seperti pada Gambar 2. 23.

Gambar 2. 23 Pendekatan Luas Segitiga

Pada Gambar 2. 23, 16 juring lingkaran di bentuk menjadi segitiga sama kaki dengan panjang alas =¹

4 keliling lingkaran dan tinggi

= 4𝑟. selanjutnya kita akan membuktikan luas lingkaran melalui pendekatan segitiga sama kaki dengan uraian sebagai berikut :

Luas Lingkaran = Luas Segitiga

= ¹

2× 𝑎 × 𝑡

= ¹

2×¹₂𝜋𝑟 × 4𝑟

= 𝝅𝒓^𝟐 ………. (2.5)

Untuk setiap lingkaran berlaku rumus – rumus berikut:

Keliling = 𝜋𝑑 atau Keliling = 2𝜋𝑟

Dengan 𝑑 = diameter, 𝑟 = jari – jari, dan 𝜋 = ²² atau 3,14

banyak juring maka akan semakin membentuk trapesium yang lebih mendekati, dengan syarat banyaknya juring merupakan bilangan ganjil yang lebih dari 1(2𝑛 + 1). Banyak juring adalah bilangan ganjil (2𝑛 + 1) tersebut merupakan syarat untuk membentuk trapesium 1 tingkat, jika ingin membentuk trapesium 2 tingkat maka rumus menjadi 4(2𝑛 + 1) dan untuk trapesium 3 tingkat maka rumus menjadi 3(2𝑛 + 3). Kemudian juring – juring tersebut disusun menjadi seperti bentuk trapesium seperti pada Gambar 2.

24.

Gambar 2. 24 Pendekatan Luas Trapesium

Pada Gambar 2. 24 juring lingkaran dibentuk menjadi trapesium 2 tingkat dengan panjang sisi atas (𝑎) =¹

8 keliling lingkaran dan panjang sisi bawah (𝑏) = ³

8 keliling lingkaran.

sedangkan tinggi = 2𝑟. Selanjutnya kita akan membuktikan luas lingkaran melalui pendekatan trapesium sama kaki dengan uraian sebagai berikut:

Dari beberapa pembuktian rumus luas lingkaran didapatkan rumus luas lingkaran yaitu:

…… (2.6)

Keterangan:

𝐿 = Luas Lingkaran 𝜋 =²²

7 atau 3,14 𝑟 = jari – jari

7. Panjang Busur dan Luas Juring

Pada Gambar 2. 25 panjang busur 𝐴𝐵 bersesuaian dengan sudut pusat 𝛼. Luas juring bersesuaian dengan sudut pusat 𝛼. Ukuran sudut pusat lingkaran adalah antara 0° hingga 360°.

𝑳 = 𝝅𝒓

^𝟐

𝐿 = 𝐿𝑢𝑎𝑠 𝑇𝑟𝑎𝑝𝑒𝑠𝑖𝑢𝑚 𝐿 = ¹ (𝑎 + 𝑏) × 𝑡

𝐿 = ¹ ( 𝑘𝑒𝑙𝑖𝑙𝑖𝑛𝑔 𝑙𝑖𝑛𝑔𝑘𝑎𝑟𝑎𝑛 + 𝑘𝑒𝑙𝑖𝑙𝑖𝑛𝑔 𝑙𝑖𝑛𝑔𝑘𝑎𝑟𝑎𝑛) × 2𝑟

𝐿 = ¹ ( 𝑘𝑒𝑙𝑖𝑙𝑖𝑛𝑔 𝑙𝑖𝑛𝑔𝑘𝑎𝑟𝑎𝑛) × 2𝑟 𝐿 = ¹ (2𝜋𝑟) × 2𝑟

𝐿 = ¹ 𝜋𝑟 × 2𝑟

Jadi, luas lingkaran adalah 𝐿 = 𝜋𝑟²

Gambar 2. 25 Luas Juring

Juring atau sektor adalah bagian dari lingkaran yang dibatasi oleh dua jari-jari dan garis lengkungnya. Berikut adalah rumus untuk menentukan panjang busur dan luas juring:

𝜃

360^° = 𝑃𝑎𝑛𝑗𝑎𝑛𝑔 𝐵𝑢𝑠𝑢𝑟

𝐾𝑒𝑙𝑖𝑙𝑖𝑛𝑔 𝑙𝑖𝑛𝑔𝑘𝑎𝑟𝑎𝑛= 𝐿𝑢𝑎𝑠 𝐽𝑢𝑟𝑖𝑛𝑔 𝐿𝑢𝑎𝑠 𝐿𝑖𝑛𝑔𝑘𝑎𝑟𝑎𝑛 8. Garis Singgung Lingkaran

Menurut Marsigit (2009), garis singgung lingkaran adalah suatu garis yang memotong lingkaran hanya pada satu titik dan tegak lurus dengan jari-jari lingkaran di titik tersebut seperti yang terlihat pada Gambar 2. 26.

Gambar 2. 26 Garis Singgung Lingkaran

Diberikan sebuah lingkaran dengan pusat P(𝑥0, 𝑦0), berjari – jari 𝑟, serta sebuah garis 𝑙. Maka ada tiga kondisi yang menyatakan hubungan lingkaran dan garis tersebut seperti pada Gambar 2. 27.

1) Garis tidak memotong lingkaran.

2) Garis menyinggung lingkaran (memotong lingkaran tepat di satu titik).

3) Garis memotong lingkaran di tepat dua titik.

Gambar 2. 27 Kondisi Garis Singgung

Diberikan sebuah lingkaran dengan pusat P(𝑥0, 𝑦0), berjari – jari 𝑟, serta sebuah garis 𝑙 dengan persamaan 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0. Untuk menguji apakah garis l memotong garis atau tidak bisa menggunakan konsep jarak titik dan garis.

𝑑 =^{|𝐴𝑥0+𝐵𝑦0+𝐶|}

√𝐴²+𝐵² …. (2.7) 1) Jika 𝑑 > 𝑟 maka garis tidak memotong lingkaran.

2) Jika 𝑑 = 𝑟 maka garis menyinggung lingkaran.

3) Jika 𝑑 < 𝑟 maka garis memotong lingkaran tepat di dua titik.

Teorema: Suatu garis singgung tegak lurus terhadap garis yang melalui titik singgung dan pusat lingkaran seperti pada Gambar 2. 28.

Gambar 2. 28 Garis Singgung Tegak Lurus Terhadap Garis

Teorema: Sudut antara garis singgung dan tali busur yang melalui titik singgung sama dengan ¹

2 kali sudut pusat yang menghadap busur yang sama seperti pada Gambar 2. 29.

Gambar 2. 29 Sudut antara garis singgung dan tali busur yang melalui titik singgung

9. Sifat – sifat Garis Singgung Lingkaran

Menurut Sukino (2006) garis singgung lingkaran memiliki beberapa sifat, antara lain:

a. Garis singgung lingkaran memotong lingkaran pada satu titik.

b. Garis singgung lingkaran tegak lurus dengan jari – jari lingkaran pada titik singgung.

c. Garis yang tegak lurus dengan garis singgung pada titik singgung pasti melalui titik pusat lingkaran.

d. Garis yang tegak lurus dengan diameter dan melalui titik ujungnya adalah garis singgung.

Teorema: Sudut lancip antara garis singgung lingkaran dengan tali busur yang melalui titik singgung, sama dengan sudut keliling yang menghadap tali busur tersebut seperti pada Gambar 2. 30.

Gambar 2. 30 Sudut Lancip antara Garis Singgung Lingkaran dengan Tali Busur

Perhatikan Gambar 2. 30. Garis FB menyinggung lingkaran L pada titik A, dan AD adalah diameter lingkaran L, maka ∠𝐵𝐴𝐶 = ∠𝐴𝐸𝐶 =

∠𝐴𝐷𝐶

Bukti:

∠𝐵𝐴𝐶 + ∠𝐶𝐴𝐷 = 90° (karena 𝐷𝐴 tegak lurus 𝐴𝐵)

∠𝐴𝐶𝐷 = 90° (karena menghadap diameter 𝐷𝐴)

∠𝐴𝐷𝐶 + ∠𝐶𝐴𝐷 + ∠𝐴𝐶𝐷 = 180°

∠𝐴𝐷𝐶 + ∠𝐶𝐴𝐷 + 90° = 180°

∠𝐴𝐷𝐶 + ∠𝐶𝐴𝐷 = 90° …… (2) (1) − (2) ⟹ ∠𝐵𝐴𝐶 − ∠𝐴𝐷𝐶 = 0

∠𝐵𝐴𝐶 = ∠𝐴𝐷𝐶

∠𝐴𝐸𝐶 = ∠𝐴𝐷𝐶 (karena sama – sama menghadap busur 𝐴𝐶)

⟹ ∠𝐴𝐸𝐶 = ∠𝐴𝐷𝐶 = ∠𝐵𝐴𝐶 (Terbukti) 10. Kedudukan Dua Lingkaran

Menurut Andinawan (2013) dua lingkaran dapat saling berpotongan, bersinggungan atau tidak berpotongan sama sekali. Keadaan ini dapat diselidiki dengan membandingkan jarak titik pusat kedua lingkaran dengan jumlah jari – jarinya atau selisih jari – jarinya.

Misal lingkaran L berjari – jari 𝑟1 dan lingkaran 𝑀 berjari – jari 𝑟2. Jika:

a. 𝐿𝑀 < (𝑟₁ + 𝑟₂) maka kedua lingkaran berpotongan.

Gambar 2. 31 𝐿𝑀 < (𝑟₁ + 𝑟₂)

b. 𝐿𝑀 = (r₁ + r₂) maka kedua lingkaran bersinggungan di luar.

Gambar 2. 32 𝐿𝑀 = (𝑟₁ + 𝑟₂)

c. 𝐿𝑀 > (𝑟₁ + 𝑟₂) maka kedua lingkaran tidak berpotongan sama sekali.

Gambar 2. 33 𝐿𝑀 > (𝑟₁ + 𝑟₂)

d. 𝐿𝑀 = |𝑟₁ + 𝑟₂| maka kedua lingkaran bersinggungan di dalam

Gambar 2. 34 𝐿𝑀 = |𝑟2 − 𝑟1|

e. 𝐿𝑀 < |𝑟2 − 𝑟1| maka lingkaran kecil berada di dalam lingkaran besar

Gambar 2. 35 𝐿𝑀 < |𝑟2 − 𝑟1| f. 𝐿𝑀 = 0 maka kedua lingkaran sepusat.

Gambar 2. 36 𝐿𝑀 = 0 11. Panjang Garis Singgung

Misalkan 𝐴𝐵 adalah garis singgung lingkaran. Titik A terletak pada lingkaran yang berjari–jari 𝐴𝑃, sedangkan titik B terletak di luar lingkaran.

Oleh karena AB merupakan garis singgung lingkaran, maka 𝐴𝐵 tegak lurus 𝐴𝑃 yang merupakan jari – jari lingkaran. Perhatikan gambar 2.39 berikut ini.

Gambar 2. 37 Panjang Garis Singgung

Jika 𝐴𝐵 adalah garis singgung sebuah lingkaran dengan pusat P dan jari-jari 𝑟 maka 𝐴𝐵 = √𝑃𝐵²− 𝑟²

Contoh: Perhatikan gambar dibawah!

Titik P berada di luar lingkaran dengan 𝑃𝐿 = 15 𝑐𝑚. Jika jari – jari lingkaran L sama dengan 9 𝑐𝑚, tentukan panjang garis singgung lingkaran yang ditarik dari titik P!

Jawab:

𝑃𝐿 = 𝑑 = 15 𝑐𝑚 𝑟 = 9 𝑐𝑚

Panjang Garis Singgung Lingkaran (PGSL) = …?

𝑃𝐺𝑆𝐿 = √𝑑²− 𝑟² = √15²− 9²

𝑃𝐺𝑆𝐿 = √(15 + 9)(15 − 9) = √24 ∙ 6

𝑃𝐺𝑆𝐿 = √4 ∙ 6 ∙ 6 = √4 ∙ 36 = √4 ∙ √36 = 2 ∙ 6 = 12 Jadi, panjang garis singgung lingkaran adalah 12 𝑐𝑚.

12. Garis Singgung Persekutuan Dua Lingkaran

Secara umum, garis singgung dua lingkaran dapat dikelompokkan menjadi dua jenis, yaitu:

a. Garis Singgung Persekutuan Luar Dua Lingkaran

Gambar 2. 38 Garis Singgung Persekutuan Luar Dua Lingkaran Perhatikan Gambar 2. 38. Gambar tersebut menunjukkan dua lingkaran yang berpusat di A dengan jari – jari 𝑅 (lingkaran besar) dan lingkaran kecil yang berpusat di B dengan jari – jari 𝑟. Jarak kedua pusat lingkaran adalah 𝐴𝐵 = 𝑑, dan 𝑃𝐷 adalah panjang garis singgung persekutuan luar = 𝑃𝐺𝑆𝑃𝐿.

Langkah – langkah menentukan PGSPL (𝑃𝐷):

(i) Tarik garis melalui pusat lingkatan kecil (titik B) sejajar garis 𝑃𝐷 hingga tegak lurus garis 𝐴𝑃, yaitu 𝐵𝑃′ ⊥ 𝐴𝑃

(ii) 𝐵𝑃′𝑃𝐷 adalah persegi panjang, berarti 𝐵𝐷 = 𝑃^′𝑃 = 𝑟 dan 𝐵𝑃^′

= 𝑃𝐷 = 𝑃𝐺𝑆𝑃𝐿 serta 𝐴𝑃^′ = 𝐴𝑃 − 𝑃′𝑃 atau 𝐴𝑃^′ = 𝑅 – 𝑟

Gambar 2. 39 Letak Garis Singgung Persekutuan Luar Dua Lingkaran

Perhatikan ∆𝐴𝑃′𝐵 siku-siku di 𝑃′. Berdasarkan Teorema Pythagoras

𝐴𝑃 = 𝑅 − 𝑟 = √𝑑 + (𝑃𝐺𝑆𝑃𝐿)

Contoh: Perhatikan gambar dibawah!

Jika diketahui 𝐿𝑀 = 13 𝑐𝑚, 𝑀𝐵 = 3 𝑐𝑚 dan 𝐴𝐿 = 8 𝑐𝑚, tentukan panjang garis singgung 𝐴𝐵.

Jawab:

𝐿𝑀 = 𝑑 = 13 𝑐𝑚 𝑀𝐵 = 𝑟 = 3 𝑐𝑚 𝐴𝐿 = 𝑅 = 8 𝑐𝑚

𝑃𝐺𝑆𝑃𝐿 = √𝑑²− (𝑅 − 𝑟)²

= √13²− (8 − 3)²

= √13²− (5)²

= √169 − 25

= √144 = 12

Jadi, panjang garis singgung 𝐴𝐵 = 12 cm.

b. Garis Singgung Persekutuan Dalam Dua Lingkaran

Pada gambar 2.42 menunjukkan lingkaran besar yang berpusat di 𝐴 dengan jari-jari 𝑅 dan lingkaran kecil yang berpusat di 𝐵 dengan jari-jari r. Jarak antara kedua pusat lingkaran adalah 𝐴𝐵 = 𝑑 dan 𝑃𝑄 adalah panjang garis singgung persekutuan dalam (PGSPD).

Gambar 2. 40 Garis Singgung Persekutuan Dalam Dua Lingkaran Langkah – Langkah Menentukan PGSPD (𝑃𝑄):

(i) Tarik garis melalui pusat lingkaran kecil (titik B) sejajar garis PQ hingga tegak lurus pada perpanjangan garis 𝐴𝑃 di titik 𝑃′, yaitu 𝐵𝑃′⊥ 𝐴𝑃′

(ii) 𝑄𝐵𝑃′𝑃 adalah persegi panjang, berarti 𝐵𝑄 = 𝑃𝑃^′ = 𝑟, 𝑃𝑄 = 𝐵𝑃^′

= 𝑃𝐺𝑆𝑃𝐷 dan 𝐴𝑃^′ = 𝐴𝑃 + 𝑃𝑃′ atau 𝐴𝑃^′ = 𝑅 + 𝑟

Gambar 2. 41 Letak Garis Singgung Persekutuan Dalam Dua Lingkaran

Perhatikan ∆𝐴𝑃′𝐵 siku – siku di 𝑃′ pada gambar 2.43. Berdasarkan teorema Pythagoras, diperoleh:

𝐴𝐵 = 𝑑 = √(𝑃𝐺𝑆𝑃𝐷)²+ (𝑅 + 𝑟)² 𝑃𝑄 = 𝑃𝐺𝑆𝑃𝐿 = √𝑑²− (𝑅 + 𝑟)² 𝐴𝑃′ = 𝑅 + 𝑟 = √𝑑²− (𝑃𝐺𝑆𝑃𝐷)²

Jika jarak 𝐴𝐵 = 37 𝑐𝑚, hitunglah panjang garis singgung persekutuan dalam (PGSPD)!

Jawab:

𝐴𝐵 = 𝑑 = 37 𝑐𝑚 𝐵𝑃 = 𝑅 = 23 𝑐𝑚 𝐴𝑄 = 𝑟 = 12 𝑐𝑚

𝑃𝑄 = 𝑅 + 𝑟 = (23 + 12) 𝑐𝑚 𝑃𝐺𝑆𝑃𝐷 = … ?

𝑃𝐺𝑆𝑃𝐷 = √𝑑²− (𝑅 + 𝑟)²

= √37²− 35²

= √(37 + 35)(37 − 35)

= √72 ∙ 2 = √144 = 12 𝑐𝑚

Jadi, panjang garis singgung persekutuan dalam adalah 12 cm.