Materi Fungsi Kuadrat

BAB II LANDASAN TEORI

2.3 Materi Fungsi Kuadrat

Fungsi kuadrat merupakan sub materi pokok dari materi pokok persamaan

kuadrat dan fungsi kuadrat yang termasuk dalam pembelajaran matematika untuk

aspek aljabar. Berdasarkan kurikulum 2004 mata pelajaran SMA dan MA untuk

kelas X, standar kompetensi materi persamaan kuadrat dan fungsi kuadrat adalah

menggunakan operasi dan sifat serta manipulasi aljabar dalam pemecahan

masalah yang berkaitan dengan fungsi, persamaan dan fungsi kuadrat serta

pertidaksamaan kuadrat.

Kompetensi dasar fungsi kuadrat yaitu:

1. Menggunakan sifat dan aturan tentang sumbu simetri, dan titik puncak grafik

fungsi kuadrat dalam pemecahan masalah.

2. Melakukan manipulasi aljabar dalam perhitungan teknis yang berkaitan

Indikator untuk menandai penguasaan kompetensi dasar di atas adalah

sebagai berikut:

1. Siswa mampu menentukan sumbu simetri dan titik puncak fungsi kuadrat.

2. Siswa mampu menggambarkan grafik fungsi kuadrat.

3. Siswa mampu menentukan syarat fungsi kuadrat definit positif atau negatif.

4. Siswa mampu menjelaskan kaitan persamaan kuadrat dan fungsi kuadrat.

5. Siswa mampu menentukan sumbu simetri, titik puncak, sifat definit positif

atau negatif fungsi kuadrat dengan melengkapkan bentuk kuadrat.

6. Siswa mampu menentukan fungsi kuadrat yang melalui tiga titik yang tidak

segaris.

Fungsi Kuadrat

Sub bab dari fungsi kuadrat adalah sebagai berikut:

1. Menggambar grafik fungsi kuadrat.

2. Membentuk fungsi kuadrat.

3. Merancang model matematika yang berkaitan dengan fungsi kuadrat.

2.3.1Menggambar grafik fungsi kuadrat.

1. Menggambar grafik fungsi kuadrat.

2. Tanda-tanda grafik fungsi kuadrat.

2.3.1.1Menggambar grafik fungsi kuadrat

Definisi : Bentuk Umum Fungsi Kuadrat

Misalkan a, b, dan c bilangan real dan a≠0, maka fungsi yang dirumuskan oleh

f(x) = ax

²

+ bx + c dinamakan fungsi kuadrat dalam peubah x.

Sketsa grafik fungsi kuadrat yang sedehana dapat digambarkan dengan

menggunakan langkah-langkah sebagai berikut:

Langkah 1:

Tentukan beberapa anggota fungsi f, yaitu koordinat titik-titik yang

terletak pada grafik fungsi f. Titik-titik ini dapat ditentukan dengan memilih

beberapa nilai x bilangan bulat yang terletak dalam daerah asalnya kemudian

dihitung nilai fungsi f. Titik-titik pada fungsi f itu biasanya lebih mudah disajikan

dengan menggunakan daftar atau tabel.

Langkah 2:

Gambarkan koordinat titik-titik yang telah diperoleh pada langkah

sebelumnya pada sebuah bidang koordinat atau bidang Chartecius.

Langkah 3:

Hubungkan titik-titik yang telah digambarkan pada bidang koordinat pada

langkah sebelumnya dengan menggunakan kurva yang mulus.

Sketsa grafik fungsi kuadrat itu secara umum dapat dengan cara

menentukan terlebih dahulu: (i) titik potong dengan sumbu X dan sumbu Y; (ii)

titik puncak atau titik balik parabola; (iii) persamaan sumbu simetri.

a. titik potong dengan sumbu X dan sumbu Y

• Titik potong dengan sumbu X

persamaan kuadrat dalam x. Akar-akar persamaan kuadrat itu merupakan absis

titik-titik potongnya dengan sumbu X. Nilai diskriminan persamaan kuadrat

ax

²

+ bx + c = 0, yaitu D = b

²

– 4ac, menentukan banyak titik potong pada

sumbu X.

¾ Jika D > 0, maka grafik fungsi f memotong sumbu X di dua titik yang

berlainan. Perhatikan Gambar 2.1.a dan 2.1.b

¾ Jika D = 0, maka grafik fungsi f memotong sumbu X di dua titik yang

berhimpit. Perhatikan Gambar 2.1.c dan 2.1.d

¾ Jika D < 0, maka grafik fungsi f tidak memotong maupun menyinggung

sumbu X. Perhatikan Gambar 2.1.e dan 2.1.f

Gambar 2.1 Titik potong grafik dengan sumbu X

• Titik potong dengan sumbu Y

Titik potong dengan sumbu Y diperoleh jika absis x = 0, sehingga y = c.

Jadi, titik potong dengan sumbu Y adalah (0, c)

¾ Jika c > 0, maka grafik fungsi f memotong sumbu Y di atas titik asal O.

Perhatikan Gambar 2.2.a dan 2.2.b

¾ Jika c = 0, maka grafik fungsi f memotong sumbu Y tepat di titik asal O.

Perhatikan Gambar 2.2.c dan 2.2.d

¾ Jika c < 0, maka grafik fungsi f memotong sumbu Y di bawah titik asal O.

Perhatikan Gambar 2.2.e dan 2.2.f

b. titik puncak atau titik balik parabola dan persamaan sumbu simetri

Titik puncak atau titik balik sebuah parabola dapat dicari dengan

mengubah bentuk kuadrat pada ruas kanan persamaan parabola menjadi bentuk

kuadrat sempurna.

Persamaan parabola y = ax

²

+ bx + c

⇔

y = a(x

²

+

_ab

x) + c

⇔

y = a(

x2 ^bax ₄^b_a

)

^b₄a2 2 2 − + +

+ c

⇔

y = a ( )

b _aac a b x ² ₄4 2 2− − +

Untuk a > 0 (titik balik minimum, parabola terbuka ke atas)

Bentuk a(

2 2^ba

x+

) selalu positif atau sama dengan nol untuk semua x R,

maka a

∈

( )

2 2^ba

x+

= 0 merupakan nilai terkecil (minimum) dari a( )

2 2^ba x+

. Dengan

demikian, y = a( )

b _aac a b x ² ₄4 2 2− −

+

mempunyai nilai minimum

b _aac

4⁴ 2−

−

, dan nilai itu

tercapai jika a( )

2 2^ba

x+

= 0 atau x = -

b_a

2

. Jadi, titik puncak atau titik balik

minimum parabola y = a( )

b _aac a b x ² ₄4 2 2− − +

adalah ( (

a

))

ac b a b 4 4 2 2

,−

⁻

− . Persamaan sumbu

simetri parabola y = a( )

b _aac a b x ² ₄4 2 2− − +

adalah x = -

b_a 2

.

Untuk a< 0 (titik balik maksimum, parabola terbuka ke bawah)

Bentuk a(

2 2^ba

x+

) selalu negatif atau sama dengan nol untuk semua x ∈ R,

maka a( )

2

2^ba

x+

= 0 merupakan nilai terbesar (maksimum) dari a( )

2 2^ba x+

. Dengan

demikian, y = a( )

b _aac a b x ² ₄4 2 2− −

+

mempunyai nilai maksimum

b _aac

4⁴ 2−

−

, dan nilai itu

tercapai jika a( )

2 2^ba

x+

= 0 atau x=-

b_a

2

. Jadi, titik puncak atau titik balik

maksimum parabola y =a( )

b _aac a b x ² ₄4 2 2− − +

adalah ( (

a

))

ac b a b 4 4 2 2

,−

⁻

− . Persamaan sumbu

simetri parabola y =a( )

b _aac a b x ² ₄4 2 2− − +

adalah x = -

b_a 2

.

Langkah-langkah menggambar sketsa grafik secara umum adalah:

Langkah 1 : Tentukan titik potong sumbu X dan sumbu Y.

Langkah 2 : Tentukan titik puncak atau titik balik serta persamaan sumbu

simetrinya.

Langkah 3 : Gambarkan koordinat titik-titik hasil Langkah 1 dan Langkah 2

pada bidang koordinat. Kemudian hubungkan titik-titik itu

dengan kurva yang mulus, dengan memperhatikan apakah

parabola itu terbuka ke atas atau ke bawah.

2.3.1.2Tanda-tanda grafik fungsi kuadrat

1. Kaitan persamaan dengan fungsi kuadrat

Pada hakekatnya, titik potong grafik fungsi kuadrat y = f(x)= ax

²

+ bx + c

dapat diperoleh dengan cara menentukan nilai-nilai x atau nilai absis titik potong

dengan sumbe X yang mengakibatkan nilai y = 0. Ini berarti proses menentukan

akar-akar persamaan kuadrat ax

²

+ bx + c = 0. dengan demikian, tingkah laku dan

titik potong grafik fungsi kuadrat dengan sumbu X dapat dipelajari dengan

mengkaji dan memeriksa sifat-sifat dari persamaan kuadratnya. Sifat inilah yang

menunjukkan kaitan antara persamaan kuadrat dengan fungsi kuadrat.

2. kedudukan grafik fungsi kuadrat terhadap sumbu X

Kedudukan grafik fungsi kuadrat y = f(x) = ax

²

+ bx + c terhadap sumbu X

secara keseluruhan ada enam kemungkinan. Keenam kedudukan ini ditentukan

oleh tanda-tanda a dan dari tanda-tanda dari diskriminan D = b

²

– 4ac.

Tanda-tanda dari a dan dari D dapat ditetapkan sebagai berikut:

• berdasarkan tanda a

¾ Jika a > 0 maka grafik fungsi kuadrat mempunyai titik balik minimum

atau parabolanya terbuka ke atas.

¾ Jika a < 0 maka grafik fungsi kuadrat mempunyai titik balik maksimum

atau parabolanya terbuka ke bawah.

• berdasarkan tanda D

¾ Jika D > 0 maka grafik fungsi kuadrat memotong sumbu X di dua titik

yang berlainan.

¾ Jika D = 0 maka grafik fungsi kuadrat memotong sumbu X di dua titik

yang berhimpitan atau menyinggung sumbu X.

¾ Jika D < 0 maka grafik fungsi kuadrat tidak memotong maupun

menyinggung sumbu X.

2.3.2Membentuk fungsi kuadrat.

seringkali mempunyai ciri-ciri tertentu. Ciri-ciri itu adalah sebagai berikut:

1. Grafik fungsi kuadrat memotong sumbu X di A(x

1

, 0) dan B(x

2

, 0), serta

melalui sebuah titik tertentu.

Persamaan fungsi kuadratnya dapat dinyatakan sebagai

y = f(x) = a(x – x

1

)(x – x

2

)

dengan nilai a ditentukan kemudian.

2. Grafik fungsi kuadrat menyinggung sumbu X di A(x

1

, 0) dan melalui sebuah

titik tertentu.

Persamaan fungsi kuadratnya dapat dinyatakan sebagai

y = f(x) = a(x – x

1

)

²

dengan nilai a ditentukan kemudian.

3. Grafik fungsi kuadrat melalui titik puncak atau titik balik P(x

p

, y

p

) dan melalui

sebuah titik tertentu.

Persamaan fungsi kuadratnya dapat dinyatakan sebagai

y = f(x) = a(x – x

1

)

²

+ y

p

dengan nilai a ditentukan kemudian.

4. Grafik fungsi kuadrat melalui titik-titik A(x

1

, y

1

), B(x

1

, y

2

), dan C(x

3

, y

3

).

Persamaan fungsi kuadratnya dapat dinyatakan sebagai

y = f(x) = ax

²

+ bx + c

dengan nilai a, b, dan c ditentukan kemudian.

2.3.3Merancang model matematika yang berkaitan dengan fungsi kuadrat.

Dalam kehidupan sehari-hari dan dalam beberapa perhitungan matematika,

seringkali ditemukan model matematika yang berkaitan dengan fungsi kuadrat.

Nilai maksimum atau minimum mempunyai peran penting dalam memecahkan

masalah yang berkaitan dengan fungsi kuadrat. Nilai maksimum diungkapkan

dengan menggunakan kata-kata seperti terjauh, terbesar, tertinggi, terpanjang,

terluas, atau yang searti dengan kata-kata itu. Sedangkan nilai minimum dapat

diungkapkan dengan menggunakan kata-kata misalnya terdekat, terkecil,

terendah, terpendek, tersempit, atau yang searti dengan kata-kata itu. Jika sebuah

masalah memuat kata-kata tersebut, maka masalah tersebut dapat dipecahkan

dengan menggunakan model matematika berbentuk fungsi kuadrat.

Langkah selanjutnya dalam penyelesaian masalah tersebut adalah:

1. Menyatakan besaran yang ada dalam masalah sebagai variabel untuk

mendapatkan hubungan atau ekspresi matematikanya.

2. Rumuskan fungsi kuadrat yang merupakan model matematika dari masalah.

3. Tentukan penyelesaian dari model matematika fungsi kuadrat yang diperoleh

langkah 2