LANDASAN TEORI
5. Materi Gerak Melingkar
Materi di bawah ini merupakan rangkuman dari buku Fisika Universitas diantaranya Giancoli (2001, 132-145 & 247-251), Tipler (1998, 73-78 & 261-265), Sang (2005, 24-25) dan Serway & Jewett (2009, 136-141).
a. Pengertian Gerak Melingkar
Kinematika adalah cabang ilmu Fisika yang mempelajari gerak titik partikel secara geometris, yaitu meninjau gerak partikel tanpa meninjau penyebab geraknya. Dalam pembahasan kinemtika gerak, terdapat bahasan mengenai gerak dua dimensi atau gerak dalam bidang datar diantaranya yaitu gerak parabola dan gerak melingkar.
Gerak melingkar memiliki lintasan berbentuk lingkaran. Contoh benda yang bergerak melingkar diantaranya roda yang berputar melingkar,
hard disk yang berputar pada komputer, lengan jarum pada jam dan seterusnya.
commit to user
19
b. Besaran-Besaran pada Gerak Melingkar 1) Frekuensi
Dalam gerak melingkar frekuensi ( f ) didefiniskan sebagai jumlah putaran per sekon. Satuan untuk frekuensi adalah putaran per sekon (put/s) diberi nama khusus, hertz (Hz) (1 Hz = 1 put/s).
2) Periode
Periode (T) dari sebuah benda yang berputar membentuk lingkaran adalah waktu yang diperlukan untuk menyelesaikan satu putaran. Satuan untuk periode adalah sekon. Periode dan frekuensi dihubungkan dengan:
f
T 1
(2.1)
Untuk menghindari kesalahan pemahaman siswa antara periode (T) dengan waktu (t), sebaiknya notasi periode diganti dengan p(period) 3) Posisi sudut
Posisi sudut atau seberapa jauh benda berotasi. Sudut biasanya dinyatakan dalam derajat, tetapi matematika gerak melingkar jauh lebih mudah jika digunakan radian sebagai ukuran sudut.
Gambar 2.2. Benda Berotasi
Satu radian (rad) didefinisikan sebagai sudut yang ujung-ujungnya dihubungkan oleh busur yang panjangnya sama dengan radius. Secara umum, setiap sudut dinyatakan dengan:
r l
(2.2)
Dimana r adalah radius lingkaran, dan l adalah panjang busur yang menghubungkan ujung-ujung sudut yang dinyatakan dalam radian. Pada lingkaran penuh ada 360°, yang tentu saja harus berhubungan dengan dengan panjang busur pada keliling lingkaran, l 2 r. Dengan
commit to user
demikian l r 2 r r 2 rad pada lingkaran penuh, sehingga
rad 2
360 . Satu radian dengan demikian sama dengan 3 , 57 28 , 6 360 2 360 4) Kelajuan linier
Kelajuan linier pada gerak melingkar sama dengan keliling lintasan melingkar dibagi periode. Karena dalam satu putaran benda menempuh satu keliling lingkaran (2 r), secara matematis kelajuan linier dirumuskan:
T r
v 2 (2.3)
Dengan mengetahui bahwa periode dan frekuensi dihubungkan dengan:
f
T 1
Maka kelajuan linier dapat dirumuskan:
f r
v 2 (2.4)
5) Kecepatan sudut
Nilai kecepatan sudut (huruf Yunani “omega”) sama dengan tingkat
perubahan sudut. Secara matematis besarnya kecepatan sudut dirumuskan:
t (2.5)
Kita dapat menghubungkan kecepatan sudut dengan frekuensi f ,
dimana frekuensi berarti jumlah putaran (put) per sekon. Satu putaran (katakanlah, sebuah roda) berhubungan dengan sudut 2 radian, dengan demikian 1put s 2 rad s. Berarti secara umum, frekuensi f
berhubungan dengan kecepatan sudut dengan cara:
2
f atau 2 f (2.6)
commit to user
21
Besar kecepatan linier, v, adalah v l t. Perubahan sudut rotasi
dihubungkan dengan jarak linier yang ditempuh oleh l r dengan demikian: t r t l v atau v r (2.7) 6) Percepatan sudut
Percepatan sudut didefinisikan sebagai perubahan kecepatan sudut dibagi waktu yang diperlukan untuk terjadinya perubahan ini. Satuan percepatan sudut adalah radian per sekon per sekon (rad/s2). Percepatan sudut disebut postif jika kecepatan anguler bertambah, dan negatif bila berkurang. Secara matematis besarnya percepatan sudut dirumuskan:
t (2.8)
c. Gerak Melingkar Beraturan (GMB)
Sebuah benda yang membentuk lingkaran dengan laju linier konstan v
dikatakan mengalami gerak melingkar beraturan. Besar kecepatan linier dalam hal ini tetap konstan, arah kecepatannya terus menerus berubah. Perumusan GMB secara matematis adalah sebagai berikut:
0 0 t t t Dengan t0 0, maka: t 0 (2.9) Dengan:
= Besar posisi sudut (rad)
0 = Besar posisi sudut awal (rad) = Kecepatan sudut (rad/s)
t = Waktu (s)
d. Gerak Melingkar Berubah Beraturan (GMBB)
Sebuah benda dikatakan bergerak melingkar berubah beraturan jika kecepatan sudut berubah secara teratur sehingga percepatan sudutnya
commit to user
konstan. Jika perubahan kecepatan sudut searah dengan kecepatan sudut, maka kecepatan sudutnya akan meningkat. Jika perubahan percepatan sudut berlawanan dengan kecepatan sudut, maka kecepatan sudutnya akan menurun.
1) Perumusan percepatan sudut pada GMBB
Secara matematis persamaan besar percepatan sudut pada GMBB dapat dituliskan sebagai berikut:
t t t t t t t 0 0 0 0 0 (2.10) Dengan:
= Besar percepatan sudut (rad/s2)
0 = Besar kecepatan sudut awal (rad/s)
t = Besar kecepatan sudut akhir (rad/s)
t = Waktu (s)
2) Perumusan sudut tempuh pada GMBB
Perumusan besar sudut tempuh untuk GMBB dapat diketahui dengan pendekatan metode grafik. Sebuah benda bergerak melingkar berubah beraturan dengan kecepatan sudut awal ( 0
) dan selang waktu (t )
kecepatannya menjadi ( t
). Nilai tangen kemiringan grafik (tan ) merupakan percepatan sudut yang dialami benda.
Gambar 2.3. Grafik Hubungan antara Kecepatan Sudut dengan Waktu
t t
2 1
commit to user
23
Sehingga persamaannya menjadi:
t t 2 1 0 0 t t 2 1 2 0 2 0 2 1 t t Dengan:
= Besar sudut yang ditempuh (rad)
0 = Besar kecepatan sudut awal (rad/s)
t = Besar kecepatan sudut akhir (rad/s) = Besar percepatan sudut (rad/s2)
t = Waktu (s)
3) Perumusan kecepatan sudut pada GMBB
Perumusan besar kecepatan sudut GMBB adalah sebagai berikut:
t t 0 sehingga diperoleh: 0 t t subtitusikan ke dalam: 2 0 2 1 t t sehingga diperoleh: 2 0 0 0 2 1 t t 2 2 2 2 0 t 02 t2 t 0 02 2 2 2 2 2 0 t 02 t2 t 0 02 2 2 0 2 t (2.10)
commit to user 2 2 0 2 t (2.11) Dengan:
= Besar sudut yang ditempuh (rad)
0 = Besar kecepatan sudut awal (rad/s)
t = Besar kecepatan sudut akhir (rad/s) = Besar percepatan sudut (rad/s2)
t = Waktu (s)
4) Perumusan percepatan tangensial pada GMBB
Percepatan tangensial pada gerak melingkar berubah beraturan bekerja untuk menaikkan (atau menurunkan) laju.
Gambar 2.4. Komponen Vektor Percepatan
Komponen tangensial dari besar percepatan (at) dirumuskan sebagai
berikut:
t v
at
Dengan besar v r
Perhatikan bahwa besar percapatan tangensial adalah:
t r t v at Dimana
t menyatakan besarnya perubahan kecepatan sudut, dan
dinyatakan dengan . Sehingga perumusan secara matematis besar percepatan tangensial tersebut sebagai berikut:
r at
(2.12)
commit to user
25
Dengan:
t
a = Besar percepatan tangensial (m/s2)
= Besar percepatan sudut (rad/s2)
r = Jari-jari lingkaran (m)
e. Hubungan Roda-Roda
1) Sepusat
Gambar 2.5. Hubungan Roda-Roda Sepusat
Kedua roda memiliki periode (T) dan frekuensi ( f ) yang sama. Arah putar roda A dan roda B sama. Kecepatan sudut roda A dan roda B sama. Besar kecepatan sudut secara matematis dirumuskan:
B A Dengan r v , maka diperoleh: B B A A r v r v 2) Bersinggungan
Gambar 2.6. Hubungan Roda-Roda Bersinggungan
Kedua roda memiliki periode (T) dan frekuensi ( f ) yang berbeda.
Arah putar kedua roda saling berlawanan dan kecepatan sudutnya berbeda. Secara matematis besarnya kecepatan linier dirumuskan:
commit to user v v vA B
Dengan memasukkan v r, maka diperoleh:
B B A
Ar r
3) Terhubung dengan tali atau rantai
Gambar 2.7. Hubungan Roda-Roda Terhubung dengan Tali atau Rantai
Roda-roda yang dihubungkan dengan tali atau rantai memiliki besar dan arah kecepatan linier yang sama. Dengan demikian secara matematis besarnya kecepatan linier dirumuskan:
v v vA B
Dengan memasukkan v r, maka diperoleh:
B B A
Ar r
f. Percepatan Sentripetal
Selama waktu t, partikel pada Gambar 2.7. bergerak dari titik A ke titik B
dengan menempuh jarak l menelusuri busur yang membuat sudut .
Gambar 2.8. Partikel yang Bergerak Melingkar Perubahan vektor kecepatan adalah v v v
1
2 , dan ditunjukkan pada Gambar 2.8.
(2.15)
commit to user
27
Gambar 2.9. Perubahan Kecepatan v
Jika ditentukan t sangat kecil (mendekati nol), maka l dan juga sangat kecil dan v2
akan nyaris paralel dengan v1
dan v
akan tegak lurus
terhadap keduanya. Dengan demikian v
menuju ke arah pusat lingkaran. Karena a
menurut definisi di atas, mempunyai arah yang sama dengan v
,
a
juga harus menunjuk ke arah pusat lingkaran. Dengan demikian, percepatan ini disebut percepatan sentripetal (percepatan yang mencari pusat) atau percepatan radial (karena mempunyai arah sepanjang radius, menuju pusat lingkaran), dan diberi notasi as
.
Berikutnya, ditentukan besar percepatan sentripetal, as
. Karena CA tegak
lurus terhadap v1
, dan CB tegak lurus terhadap v2
, berarti , yang didefinisikan sebagai sudut antara CA dan CB, juga merupakan sudut antara
1
v
dan v2
. Dengan demikian vektor v2
, v1
dan v
pada Gambar 2.8.
membentuk segitiga yang sama secara geometris dengan segitiga ABC pada Gambar 2.8. Dengan mengambil yang kecil (dengan memakai t
sangat kecil), dapat dituliskan
r l v
v
di mana telah ditentukan bahwa v v1 v2 karena besar kecepatan
dianggap tidak berubah. Merupakan sebuah persamaan yang tepat jika t
mendekati nol, karena dengan demikian panjang busur l sama dengan panjang tali busur AB. Dapat dituliskan persamaan di atas yang dinyatakan sebagai v,
l r v v
Untuk mendapatkan percepatan sentripetal, as
commit to user t l r v t v as
Dan karena l t adalah laju linier, v, sehingga:
r v as
2
(2.17)
Vektor percepatan menuju ke arah pusat lingkaran. Tetapi vektor kecepatan selalu menunjuk ke arah gerak, yang tangensial terhadap lingkaran. Dengan demikian vektor kecepatan dan vektor percepatan tegak lurus satu sama lain pada setiap titik di jalurnya untuk gerak melingkar beraturan (lihat Gambar 2.10).
Gambar 2.10. a
Tegak Lurus Terhadap v