Melalui pembelajaran garis singgung lingkaran ini, diharapkan siswa: i. Memahami konsep garis singgung lingkaran
ii. Memahami konsep garis singgung persekutuan dalam iii. Memahami konsep garis singgung persekutuan luar
2. Materi Pembelajaran
1) Garis Singgung Lingkaran
Gambar berikut merupakan lingkaran yang berpusat di O.
Gambar 2. 1 Contoh dan Non Contoh Garis Singgung Lingkaran
Lingkaran tersebut bersinggungan dengan garis g dan h. garis g memotong lingkaran di titik A. sedangkan, garis h memotong lingkaran di satu titik yaitu titik B. garis g dan h ini yang dinamakan garis singgung. Jadi, garis singgung lingkaran adalah suatu garis yang memotong lingkaran tepat di satu titik.
Perhatikan garis g dan h tegak lurus dengan OB dan OA, sedangkan OB dan OA merupakan jari-jari lingkaran. Dengan kata lain, garis singgung lingkaran akan tegak lurus dengan jari-jari lingkaran yang melalui titik singgungnya. Hal tersebut
menyebabkan hanya ada satu garis singgung yang melalui satu titik pada sebuah lingkaran.
Sedangkan garis j dan l tidak dapat disebut sebagai garis singgung lingkaran karena garis j memotong lingkaran di dua titik sekaligus dan garis l tidak memotong lingkaran dititik manapun. Karena alasan tersebut, kedua garis itu tidak memenuhi syarat dari garis singgung lingkaran.
2) Panjang Garis Singgung Lingkaran
Perhatikan gambar berikut,
Gambar 2. 2 Lingkaran dan Garis Singgung Lingkaran
Garis PQ merupakan garis singgung lingkaran yang tegak lurus dengan OR, dimana OR merupakan jari-jari lingkaran, dan OQ merupakan jarak antara titik pusat lingkaran dengan titik yang berada di luar lingkaran.
Perhatikan ∆ORQ yang merupakan segitiga siku-siku dengan siku-siku di P. berdasarkan teorema Pythagoras, dapat dinyatakan sebagai berikut:
= −
Jadi, dapat disimpulkan bahwa panjang garis singgung lingkaran adalah:
� = � −
Dengan:
g : panjang garis singgung
p : jarak antara titik pusat dengan titik yang berada di luar lingkaran
r : jari-jari lingkaran 3) Kedudukan Dua Lingkaran
Dari dua buah lingkaran, kita dapat mengetahui beberapa kemungkinan kedudukan dari lingkaran-lingkaran tersebut. Misalkan terdapat dua buah lingkaran, yaitu lingkaran yang berpusat di titik A atau lingkaran A dengan jari-jari dan lingkaran yang berpusat di titik B atau lingkaran B dengan jari-jari . Apabila ditarik sebuah garis yang menghubungkan kedua titik pusat tersebut, maka akan terbentuk sebuah garis yang dikenal sebagai garis pusat. Berikut merupakan beberapa kemungkinan kedudukan dua buah lingkaran, yaitu:
Gambar 2. 3 Contoh Berbagai Macam Posisi Lingkaran
4) Garis Singgung Persekutuan Dua Lingkaran
Garis singgung persekutuan dua lingkaran merupakan garis yang memotong dua buah lingkaran sekaligus tepat disatu titik pada setiap lingkaran. Contoh dari garis singgung dua buah lingkaran dapat dilihat pada gambar berikut:
(i) (ii) (iii)
(iv) (v)
Gambar 2. 4 Contoh Garis Singgung Persekutuan Dua Lingkaran
Gambar diatas menunjukkan bahwa dari dua buah lingkaran hanya dapat dibuat empat buah garis singgung yang menyinggung dua buah lingkaran sekaligus. Garis-garis tersebut adalah garis g, garis h, garis i, dan garis j. selanjutnya, garis singgung persekutuan dua lingkaran dapat dibedakan menjadi dua macam, yaitu:
a. Garis Singgung Persekutuan Dalam
Garis singgung persekutuan dalam merupakan garis yang memotong dua buah lingkaran sekaligus tepat di satu titik pada setiap lingkaran dan garis tersebut memotong suatu titik pada ruas garis yang menghubungkan kedua titik pusat lingkaran tersebut.
Dari berbagai macam kedudukan lingkaran, garis singgung persekutuan dalam dapat dibuat jika kedua lingkaran bersinggungan disatu titik atau kedua lingkaran tersebut saling
lepas. Hal tersebut dikarenakan garis singgung persekutuan dalam yang terbentuk melalui tepat satu titik pada setiap lingkaran dan suatu titik pada garis perpusatan.
(i) (ii)
Gambar 2. 5 Garis Singgung Persekutuan Dalam dengan Posisi Lingkaran (i) Berpotongan Disatu Titik dan (ii) Saling Lepas
Selanjutnya untuk mengetahui panjang garis singgung lingkaran, perhatikan gambar berikut.
Gambar 2. 6 Ilustrasi Konsep Panjang Garis Singgung Persekutuan Dalam
Lingkaran A berpusat di titik A dengan jari-jari AD =
r dan lingkaran B berpusat di titik B dengan jari-jari BE = r . AB adalah jarak kedua titik pusat lingkaran dan CE adalah
garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran, dimana CE ⊥
AC. Melalui titik B, dapat ditarik garis BD yang sejajar dengan garis CE. Karena BD ⫽ CE, maka CD = BE = r dan ∠ADB =
9 . Maka ∆ADB adalah segitiga siku-siku, sehingga berlaku teorema Pythagoras, yaitu:
� = � +
= � − �
= � − � + = − +
Karena ⫽ dan ∠� = ∠� = 9 , maka = .
Jadi,
= − + . Sehingga, dapat disimpulkan bahwa panjang garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran adalah:
� = − +
Dengan > , dan
d : panjang garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran s : jarak antara kedua pusat dua lingkaran
ra : jari-jari lingkaran pertama rb : jari-jari lingkaran kedua
b. Garis Singgung persekutuan Luar
Garis singgung persekutuan luar dua lingkaran merupakan garis yang memotong dua buah lingkaran sekaligus
tepat di satu titik pada setiap lingkaran tanpa melalui titik lainnya.
Dari berbagai macam kedudukan lingkaran, garis singgung persekutuan luar dapat dibuat jika kedua lingkaran bersinggungan disatu titik, saling berpotongan atau kedua lingkaran tersebut saling lepas. Hal tersebut dikarenakan garis singgung persekutuan luar yang terbentuk melalui tepat satu titik pada setiap lingkaran dan suatu titik pada ruas garis yang ujungnya merupakan titik pusat kedua lingkaran.
Gambar 2. 7 Garis Singgung Persekutuan Dalam dalam Berbagai Posisi Lingkaran
Selanjutnya untuk mengetahui panjang garis singgung persekutuan luar dua lingkaran, perhatikan gambar berikut. (i) Dua lingkaran yang
saling memotong
(ii) Dua lingkaran yang saling
berpotongan tepat di satu titik
Gambar 2. 8 Ilustrasi Konsep Panjang Garis Singgung Persekutuan Luar
Lingkaran A berpusat di A dengan jari-jari � = dan lingkaran B berpusat di B dengan jari jari-jari = . AB merupakan jarak kedua titik pusat lingkaran (s). DE adalah garis singgung persekutuan luar kedua lingkaran dimana ⊥
� . Melalui titik B, dapat ditarik garis BC yang sejajar dengan
garis DE ⫽ , sehingga = = , dan ∠� =
9 . Maka ∆� adalah segitiga siky-siku, sehingga berlaku teorema Pythagoras,
� = � +
= � − �
= � − � −
= − −
Karena ⫽ dan ∠� = ∠� = 9 , makaa DE=BC.
Jadi, = − − . Maka panjang garis singgung
persekutuan luar dua lingkaran dirumuskan:
Dengan > , dan
d : panjang garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran s : jarak antara kedua pusat dua lingkaran
ra : jari-jari lingkaran pertama rb : jari-jari lingkaran kedua
3. Kerangka Berpikir
Pembelajaran matematika sebagai suatu proses belajar yang dapat mengembangkan kemampuan berpikir siswa, dapat juga digunakan untuk mengembangkan kreatifitas siswa. Penelitian ini menggunakan media berupa alat peraga matematika yang digunakan dalam pembelajaran matematika khususnya dalam materi garis singgung matematika. Penggunaan media ini bertujuan untuk membantu siswa dalam mengkonstruksi pamahaman konsep tentang garis singgung lingkaran. Penggunaan alat peraga dalam proses pembelajaran, menjadikan pembelajaran tersebut lebih efektif karena siswa dapat lebih mudah dalam memahami konsep dengan melihat model dibandingkan hanya melihat gambar saja. Selain itu, pembelajaran dirasa lebih menarik minat dan perhatian siswa karena siswa dapat mengotak-atik alat peraga tersebut sehingga proses belajar tidak monoton dan siswa aktif dalam kegiatan belajarnya. Siswa dapat menjadikan alat peraga tersebut sebagai sumber memperoleh informasi yang lebih nyata dan lebih menarik minat siswa dalam belajar. Alat peraga garis singgung matematika ini dirancang agar siswa dapat memperoleh berbagai informasi melalui berbagai kasus yang
dapat dibuat sehingga siswa dapat melihat langsung modelnya secara nyata. Alat peraga ini digunakan dengan cara meminta siswa untuk membuat berbagai macam kondisi lingkaran menggunakan alat peraga tersebut, kemudian langkah selanjutnya adalah siswa diminta untuk membuat garis singgung lingkaran.
Dengan kegiatan pembelajaran yang demikian, siswa secara aktif melakukan kegiatan belajar, mempelajari konsep dari contoh maupun non contoh yang bervariasi dan meminimalisir terjadinya kesalahan konsep yang dibangun siswa. Penelitian ini dilakukan dengan melihat pemahaman konsep awal siswa tentang garis singgung lingkaran yang diukur menggunakan instrumen pre test. Setelah peneliti mengetahui tingkat pemahaman awal dan berbagai kesalahan konsep yang dibuat siswa, peneliti kemudian melakukan pembelajaran menggunakan alat peraga matematika untuk membantu siswa dalam memahami konsep dari garis singgung lingkaran. Untuk mengetahui hasil dari penggunaan alat peraga tersebut terhadap pemahaman konsep akhir siswa, peneliti menggunakan instrumen post test. Melalui penggunaan alat peraga ini, siswa diharapkan dapat lebih
terbantu dalam prosesnya memahami konsep dari garis singgung lingkaran.
35
BAB III
METODE PENELITIAN A. Jenis Penelitian
Jenis penelitian yang digunakan dalam penelitian ini adalah penelitian dan pengembangan (Research and Development) yang sering disebut juga sebagai R&D. Sugiyono (2010: 407-408) menjelaskan bahwa R&D merupakan salah satu jenis penelitian yang menghasilkan suatu produk yang selanjutnya diuji keefektifannya. Penggunaan metode R&D dilakukan melalui langkah-langkah seperti yang diungkapkan oleh Borg and Gall (dalam Sugiyono, 2010: 407-408), langkah-langkah tersebut yaitu:
1. Penelitian dan pengumpulan informasi (research and information collecting) meliputi analisis kebutuhan, review literatur, penelitian dalam skala kecil, persiapan pembuatan laporan.
2. Perencanaan (planning) meliputi pendefinisian keterampilan yang dipelajari, perumusan tujuan, penentuan urutan pembelajaran, dan uji coba kelayakan (dalam skala kecil).
3. Pengembangan bentuk awal (develop preliminary form a product) meliputi penyiapan materi pembelajaran, prosedur/penyusunan buku pegangan, dan instrumen evaluasi.
4. Uji coba lapangan awal(preliminary field testing) dilakukan paa 1-3 sekolah, menggunakan 6-12 subjek.
5. Revisi produk utama (main product revision) yaitu melakukan revisi utama terhadap produk didasarkan pada saran-saran pada uji coba. 6. Uji coba lapangan utama (main field testing) dilakukan pada 5-15
sekolah dengan 30-100 subjek.
7. Revisi penggunaan produk (operational product revision) yaitu melakukan revisi pada produk yang siap dioperasionalkan berdasarkan saran-saran pada uji coba.
8. Uji coba lapangan operasional (operational field testing) dilakukan pada 10-30 sekolah dengan 40-400 subjek.
9. Revisi produk akhir (final product revision) revisi produk akhir berdasarkan saran dari uji lapangan.
10.Penyebaran dan implementasi (dissemination and implementation) yaitu mendistribusikan produk secara komersial.
Pada penelitian ini hanya dibatasi sampai dengan langkah kelima, hasil dari penelitian ini akan ditindak lanjuti dalam penelitian selanjutnya. Berikut prosedur penelitian yang digunakan oleh peneliti:
Gambar 3. 1 Prosedur Penelitian
Penelitian ini juga menggunakan pendekatan kualitatif yang bertujuan untuk mendapatkan data yang lebih mendalam tentang proses belajar siswa dan penggunaan media pembelajaran berupa alat peraga sesuai dengan kondisi yang terjadi dilapangan. Berikut penjelasan dari prosedur penelitian pada gambar 3.1 yang dilakukan peneliti:
1. Analisis Kebutuhan
Analisis kebutuhan dilakukan peneliti dengan cara melakukan diskusi dengan guru tentang situasi dan kondisi siswa, kesulitan- kesulitan yang dihadapi selama proses pembelajaran serta melakukan observasi selama proses pembelajaran guru di kelas.
2. Perencanaan
Tahap ini dimulai dengan penyusunan instrumen pengambilan data, validasi, pre test, dan membuat desain media. Selanjutnya, desain
Evaluasi
Post test
Uji Coba
Uji coba alat peraga
Pengembangan Produk Awal
Pembuatan alat peraga Desain pembelajaran
Perencanaan
Penyusunan instrumen Validasi Instrumen Pre test Rancangan alat peraga
Analisis Kebutuhan
tersebut divalidasi oleh pakar yaitu dosen pembimbing dan guru. Peneliti juga melakukan uji coba instrumen tes di kelas VIII A untuk melihat validitas instrumen yang dibuat sebelum instrumen tersebut digunakan.
3. Pengembangan Produk Awal
Pada tahap ini, peneliti mulai membuat media berupa alat peraga serta desain pembelajaran.
4. Uji Coba
Media berupa alat peraga garis singgung lingkaran yang telah dibuat, divalidasi oleh pakar selanjutnya diuji cobakan kepada siswa kelas VIII B.
5. Evaluasi
Evaluasi media dilakukan dengan membandingkan hasil pre test dan post test serta menganalisis hasil observasi yang dilakukan selama uji coba penggunaan media tersebut.
B. Subjek Penelitian
Subjek Penelitian ini merupakan siswa kelas VIII B SMP Kanisius Gayam Yogyakarta tahun ajaran 2016/2017. Subjek penelitian terdiri dari 24 siswa.
