Slamet Gunadi
Program Studi S1 Teknik Informatika Sekolah Tinggi Ilmu Komputer Al-Khairiyah
Jalan H.Enggus Arja No. 1 Lingk. Citangkil Cilegon 42443 email :[email protected]
Abstrak
Matematika sebagai salah satu ilmu dasar terapan, tidak sedikit rumus rumusnya dipakai dalam kehidupan sehari hari. Persamaan linier sebagai salah satu contoh soal matematika,
dengan rumus eliminasi nilai x dan y dapat dihitung. Bentuk umum persamaan linier dua
variabel biasa ditulis dengan Ax + By + C = 0. Untuk menghitung besaran nilai x dan y minimal harus tersedia dua buah persamaan linier. Teknik eliminasi umum digunakan untuk menghitung besaran nilai nilai x dan y. Microsoft Excell sebagai salah satu paket program
dengan mudah dapat digunakan untuk mencari nilai nilai xdan y dari sebuah persamaan
linier dengan menggunakan rumus eliminasi tersebut.
Kata kunci: Nilai variabel, persamaan linier, dua variabel 1. Pendahuluan
Persamaan linier sebagai salah satu contoh soal dalam bidang matematika. Dari persamaan ini bisa dicari berapa nilai nilai dari x maupun y nya. Cara eliminasi adalah cara yang paling ampuh dan umum digunakan. Secara umum persamaan linier dapat ditulis Ax + By + C = 0, dimana A, B dan C mempunyai syarat adalah bilangan riil. Untuk dapat menghitung nilai nilai x dan y, diperlukan minimal 2(dua) buah persamaan linier. Sebagai contoh dapat ditulis sebagai berikut :
X + 2Y = 5 3X + 5Y = 13
Untuk dapat mencari ataupun menghitung nilai nilai dari X dan Y dapat dilakukan dengan berbagai macam cara, salah satunya dengan eliminasi. Yaitu dengan cara mengenolkan nilai koefisien pada X atau Y. Jika nilai X sudah ketemu maka nilai Y dapat dicari. Demikian pula sebaliknya jika nilai Y sudah ketemu nilai X dapat pula ditemukan Teknis pilihan eliminasi X ataupun Y, semata mata didasarkan pada aspek kemudahan proses eliminasi itu sendiri dengan melihat angka koefisien pada persamaan persamaan X dan Y. Namun jika proses eliminasi dilakukan dengan menggunakan komputer, maka aspek kemudahan tidak perlu lagi dipertimbangkan.
44 2. Landasan Teori
Sebuah persamaan linier dengan dua variabel digambarkan dengan Ax + By + C, dimana A, B dan C mempunyai syarat sebagai bilangan riil
Untuk dapat menyelesaikan persamaan linier dengan dua variabel x dan y diperlukan minimal dua persamaan linier. Ada bermacam cara untuk dapat menghitung nilai nilai dari x dan y, salah satunya adalah dengan cara eliminasi. Cara eliminasi ini adalah cara yang paling umum dan paling mudah serta biasa dilakukan. Yaitu dengan cara melakukan pengurangan satu persamaan dengan persamaan lainnya dengan maksud dan tujuan menghilangkan nilai salah satu variabel, yaitu bisa x ataupun y
Secara umum dapat digambarkan sebagai berikut :
A1x + B1y + C1 = 0 --- (1) A2x + B2y + C2 = 0 --- (2)
Ada dua cara untuk menghitung nilai x dan y dari kedua persamaan tersebut
1. Jika variabel x yang akan dilakukan eliminasi maka, persamaan (1) dikalikan dengan A2, sedang persamaan (2) dikalikan dengan A1, sehingga persamaan menjadi
A2A1x + A2B1y + A2C1 = 0 --- (3) A1A2x + A1B2y + A1C2 = 0 --- (4)
Lakukan proses pengurangan kedua persamaan tersebut jika koefisien pada variabel x kedua persamaan bertanda sama baik positif ataupun negatif, dan lakukan penjumlahan kedua persamaan tersebut jika koefisien variabel persamaan (3) positif sedang persamaan (4) negatif. Demikian pula halnya jika koefisien variabel persamaan (3) negatif dan persamaan (4) positif.
2. Jika variabel y yang akan dieliminasi maka, persamaan (1) dikalikan dengan B2, sedang persamaan (2) dikalikan dengan B1, sehingga persamaan menjadi :
B2A1x + B2B1y + B2C1 = 0 ... (5) B1A2x + B1B2y + B1C2 = 0 ... (6)
Lakukan proses pengurangan kedua persamaan tersebut jika koefisien pada variabel x kedua persamaan bertanda sama baik positif ataupun negatif, dan lakukan penjumlahan kedua persamaan tersebut jika koefisien variabel persamaan (5) positif sedang persamaan (6) negatif. Demikian pula halnya jika koefisien variabel persamaan (5) negatif dan persamaan (6) positif.
45
Jika nilai x telah ditemukan, masukkan nilai x tersebut kedalam persamaan (1) ataupun persamaan (2) dan dapat dihitung nilai y yang dicari. Demikian pula halnya jika nilai y sudah ditemukan, jika ingin mencari nilai x, maka masukkan nilai y tersebut kedalam persamaan (1) ataupun persamaan (2) dan nilai dapat dihitung
Umumnya untuk eliminasi koefisien nilai x ataupun y lebih banyak ditentukan pada aspek kemudahan proses eliminasi saja, namun jika proses ini dilakukan dengan komputer aspek tersebut tidak berlaku lagi, artinya eliminasi koefisien x atau y sama saja tidak perlu lagi mempertimbangkan kemudahan prosses eliminasi
Secara flowchart proses penyelesaian dapat digambarkan sebagai berikut
T Y T Y start Variabel x dihilangkan ?
Kalikan persamaan 1 dg koefisien x dari persamaan 2 dan persamaan 2 dengan
koeisien x dari persamaan 1
Kurangkan kedua persamaan tersebut Koefisien x persamaan
1 dan persamaan 2 positif atau negatif
Jumlahkan kedua persamaan tersebut
Hitung nilai y
Hitung nilai x
Kalikan persamaan 1 dg koefisien y dari persamaan 2 dan persamaan 2 dengan
koeisien y dari persamaan 1
46
Sebagai ilustrasi pemecahan maslah perhatikan persamaan persamaan beikut ini X + 2Y = 5 --- (1)
3X + 5Y = 13 --- (2) Penyelesaian
Untuk dapat mencari nilai nilai x dan y yang memenuhi kedua persamaan linier tersebut dapat dilakukan dengan langkah langkah sebagai berikut :
1. Tentukan kolom kolom untuk mengisi koefisien dari sebuah persamaan kwadrat dan masukkan angka angka persamaan tersebut. Sebagai contoh diatas misal koefisien x ditentukan pada kolom A, koefisien y pada kolom C dan konstanta pada kolom E. Dari contoh dua buah persamaan tersebut diatas jika dimasukkan kedalam sheetnya dapat dilihat sebagai berikut :
47 dan hasilnya dapat dilihat sebagai berikut :
3. Lakukan penghitungan pada kolom y dengan melakukan proses pembagian dari pengurangan kolom c dengan pengurangan pada kolom y. Pengurangan pada kolom x pasti menghasilkan angka nol. Secara detail dapat dilihat sebagai berikut :
48
Hasil angka yang diperoleh dapat dilihat sebagai berikut :
4. Untuk menghitung nilai X, pilih salah satu persamaan, masukkan nilai Y yang sudah diperoleh dan hitung nilai X nya, selengkapnya dapat dilihat pada gambar berikut ini
49
Hasil yang diperoleh dapat dilihat pada gambar berikut ini :
3. Penutup
Dengan cara yang sama setiap persamaan linier dengan dua variabel dapat dihitung dengan mudah dan pasti benar. Untuk persamaan dengan jumlah variabel tiga, empat, lima dan seterusnya dapat dibuat dengan cara yang sama.
Artinya jika ada tiga variabel maka, minimal harus ada tiga pesamaan. Proses penghitungannya sama, yaitu melakukan eliminasi salah satu nilai koefisien bisa X, Y ataupun Z, sehingga tinggal dua persamaan. Artinya jika koefisien X yang dieliminasi, maka tinggal dua persamaan dengan variabel Y dan Z. Kemudian dari dua persamaan tersebut eliminasi bisa dilakukan pada koefisien variabel Y ataupun Z. Jika koefisien variabel Y yang dipilih, maka ketemu nilai Z.
Jika nilai Z sudah ketemu nilai Y dicari dari persamaan yang menganung nilai Y dan Z, kemudian masukkan nilai Z kedalam persamaan ini, maka akan ketemu nilai Y.
Demikian seterusnya jika nilai Y dan Z sudah ketemu, masukkan nilai nilai Y dan Z tersebut pada salah satu persamaan yang mengandung variabel X, Y dan Z.
50
Jumlah minimal persamaan adalah harus sama dengan jumlah variabel, artinya jika persamaan dengan tiga variabel, minimal persamaan liniernya adalah tiga. Demikian pula halnya jika jumlah variabel ada empat, minimal persamaan harus ada empat.
4. Daftar Pustaka
Anton Howard, 1994, Aljabar Linier Elementer, Penertbit Erlangga, Jakarta http://www2.bgsu.edu/downloads/cio/file15626.pdf, Microsoft Excel Tutorial
51