Di samping metode aljabar, kita juga dapat memperoleh solusi persa-maan Schr¨odinger dengan menggunakan metode analitik atau metode deret pangkat. Persamaan Schr¨odinger, −~ 2 2m d2ψ dx2 + 1 2mω 2x2ψ = Eψ (7.34)
dapat disederhanakan agar mudah dalam melakukan simulasi dengan menggunakan variabel baru yaitu
ξ ≡r mω~ x (7.35)
atau dengan substitusi
x = r
~
mωξ (7.36)
Turunan pertama dan kedua terhadap variabel ξ didapatkan de-ngan menggunakan aturan rantai seperti berikut ini.
d dx = dξ dx d dξ = r mω ~ d dξ (7.37) dan d2 d2x = dξ dx d dξ dξ dx d dξ = mω ~ d2 d2ξ (7.38)
Persamaan Schr¨odinger menjadi d2ψ
dξ2 = (ξ2− K)ψ (7.39)
di mana
K = 2E
Metode Analitik 91 Untuk mendapatkan solusi persamaan diferensial di atas, kita per-timbangkan terlebih dahulu limit asimtotik untukξ yang sangat besar yang manaξ2 jauh lebih dominan daripadaK. kita dapat mengaprok-sikan dengan
d2ψ
dξ2 ≈ ξ2ψ (7.41)
yang memiliki solusi
ψ(ξ) ≈ Ae−ξ2
/2+ Beξ2
/2 (7.42)
BagianBex2
/2 tentunya bukan merupakan solusi karena bagian ini menjadi tak berhingga ketika |x| → ∞. Solusi asimtotik yang secara fisis bisa diterima berbentuk
ψ(x) → (..)e−ξ2/2untukξ yang besar (7.43)
Jadi bentu solusi yang kita perlukan adalah
ψ(x) = h(ξ)e−ξ2/2 (7.44)
Kita berharap setelah melakukan substitusi ke persamaan Schr¨odi-nger, kita mendapatkan persamaan untukh(ξ) yang lebih sederhana.
Dengan menggunakan turunan pertama dan kedua, dψ(ξ) dξ = dh dξ − ξh e−ξ2/2 (7.45) d2ψ(ξ) dξ2 = d2h dξ2 − 2ξdhdξ + (ξ − 1)h e−ξ2/2 (7.46)
Setelah subsitusi ke persamaan Schr¨odinger, kita mendapatkan per-samaan
d2h
dξ2 − 2ξdhdξ + (K − 1)h = 0 (7.47)
Untuk mendapatkan solusi persamaan ini kita akan menggunak-an metode deret pmenggunak-angkat ymenggunak-ang mmenggunak-ana kita mengasumsikmenggunak-an solusinya berbentuk h(ξ) = ∞ X j=0 ajξj (7.48)
92 Osilator Harmonik dh(ξ) dξ = ∞ X j=1 jajξj−1 = ∞ X j=0 jajξj−1 (7.49) d2h(ξ) ξ = ∞ X j=2 j(j − 1)ajξj−2 = ∞ X j=0 (j + 2)(j + 1)aj+2ξj (7.50)
Setelah substitusi kita memperoleh
∞
X
j=0
[(j + 2)(j + 1)aj+2− 2jaj+ (K − 1)aj]ξj = 0 (7.51)
Supaya deret pangkat merupakan solusi persamaan ?? bagian di dalam kurung persegi harus nol, sehingga kita mempunyai persamaan untuk koefisienaj,
(j + 2)(j + 1)aj+2− 2jaj + (K − 1)aj = 0 (7.52)
atau
aj+2 = (2j + 1) − K)
(j + 2)(j + 1)aj (7.53)
Persamaan ini menghubungkan nilai koefisien tertentu dengan ni-lai koefisien sebelumnya. Jika kita sudah mengetahui a0, kita akan dapat menghasilkan nilai-nilai koefisien a2, a4, · · · atau semua koe-fisien dengan indeks genap. Sedangkan jika kita tahu a1 kita dapat menghasilkan semua koefisien dengan indeks ganjil.
Sekarang kita perhatikan koefisien untuk indeksj yang besar. Per-samaan di atas dapat diaproksimasi dengan
Metode Analitik 93 Dengan solusi berbentuk
aj ≈ (j/2)!C (7.55)
Solusi asimtotik menjadi
h(ξ) ≈ CX(j/2)!1 ξj
≈ CXj!1ξ2j ≈ Ceξ2 (7.56)
Tetapi ini lebih besar dari solusiψ = (..)eξ2
/2yang kita peroleh sebe-lumnya. Haruslah ada kondisi sehingga semua koefisien untuk indeks yang besar menjadi nol. Jika kita anggap nilai tertinggi indeks yang akan menghasilkan nilai nol adalah indeks ken maka kondisi ini bisa dihasilkan dengan
K = 2n + 1 (7.57)
atau
En = (n + 1
2)~ω untuk n = 0, 1, 2, · · · (7.58)
Ini menunjukkan bahwa energi terkuantisasi sesuai dengan hasil sebelumnya tetapi diperoleh dengan cara yang berbeda.
Dengan kondisi ini kita memperoleh rumus,
aj+2 = (2j + 1) − (2n + 1)) (j + 2)(j + 1) aj = −2(n − j)
(j + 2)(j + 1)aj (7.59)
Untuk n = 0, hanya ada satu solusi yaitu a0 dan kita harus meng-gunakana1 = 0.
94 Osilator Harmonik
Tabel 7.1: Polinom Hermite
h0(x) = 1 h1(x) = 2x
h2(x) = 4x2− 2 h3(x) = 8x3− 12x
h4(x) = 16x4− 48x2+ 12 h5(x) = 32x5− 160x3+ 120x Tambah 4 fungsi
Jadi solusinya persamaan Schr¨odinger untuk energi terendah ada-lah
ψ0(ξ) = a0e−ξ2/2 (7.61)
Substitusiξ2 = mω~ x2, kita mendapatkan hasil sebelumnya yaitu ψ0(ξ) = a0exp(−mω
2~ x
2) (7.62)
Untukn = 1, kita pilih a0 = 0 dan j = 1 maka
h1(ξ) = a1ξ (7.63)
sehingga
ψ1(ξ) = a1ξe−ξ2/2 (7.64)
untukn = 2, j = 0 menghasilkan a2 = −2a0, dan j = 2 memberikan a4 = 0 sehingga
h2(ξ) = a0(1 − 2ξ2) (7.65)
sehingga
ψ2(ξ) = a0(1 − ξ2)e−ξ2/2 (7.66)
Secara umum solusi persamaan Schr¨odinger untuk osilator harmo-nik adalah ψn(ξ) =mω π~ 1/4 1 √ 2nn!hn(ξ)e −ξ2 /2 (7.67)
di mana hn(ξ) adalah polinom Hermite. Polinom-polinom Hermite dapat dilihat pada Tabel 7.1.
8
Notasi Dirac dalam Mekanika
Kuantum
Bab ini memperkenalkan dan mengkaji notasi Dirac yang akan digu-nakan pada bab-bab berikutnya. Notasi ini berguna karena menyatuk-an secara elegmenyatuk-an formulasi-formulasi kumenyatuk-antum. Di samping itu pula, notasi Dirac memberikan pemahaman yang lebih dibandingkan notasi lain. Dengan notasi Dirac, penulisan persamaan matematis kuantum dapat lebih versatile, transparan dan padat, kompak.
8.1 Bra-Ket
Sebelumnya kita menuliskan fungsi gelombang ψ, sebagai contohnya untuk tiga keadaaan (a, b dan c) dengan ψa,ψb,ψc. Dengan notasi Dirac kita menuliskan tiga fungsi keadaan ini dengan |ψai, |ψbi, |ψci. Atau bisa lebih singkat dengan cara penulisan |ai, |bi, dan |ci. Huruf yang kita gunakan di sini a, b, c hanyalah merupakan label atau penan-da keapenan-daan sistem yang mempunyai fungsi gelombang ψa, ψb, dan ψc. Kita juga dapat menggunakan label yang lain seperti1, 2, dan 3 asalk-an tidak menimbulkasalk-an ketidakjelasasalk-an. Untuk cara penulisasalk-an dengasalk-an jumlah label yang banyak seperti untuk fungsi gelombang untuk kea-daan partikel di dalam sumur potensial kotak 3D (lihat Bab ?) ψnx,ny,nz
dapat dinotasikan dengan|ψnx,ny,nzi, atau yang lebih elegan dan lebih singkat menggunakan notasi|nx, ny, nzi.
Penggunaan notasi Dirac tidak hanya menandakan fungsi gelom-bang, tetapi juga menandakan vektor keadaan. Notasi ini mengga-bungkan/menyamakan konsep fungsi gelombang dan vektor keadaan. Untuk selanjutkan agar tidak membingungkan, kita akan menggu-nakan fungsi keadaan atau vektor keadaan.
”sta-96 Notasi Dirac dalam Mekanika Kuantum
te ket” karena merepresentasikan fungsi keadaan atau fungsi gelom-bang. Sebuah ket merupakan sebuah vektor pada ruang Hilbert. Se-tiap ket memiliki ”teman” atau ”dual space partner” yaitu ”state bra” atau ”bra” atau h |. Nama ket dan bra diambil dari nama bra(c)ket untuk penulisanh i.
Dengan notasi Dirac, |mi = |ψmi dan |ni = |ψni, perkalian skalar untuk|mi dan |ni didefinisikan dengan
hm|ni = hψm|ψni = Z
ψm∗(r)ψn(r)d3r (8.1)
Dari definisi ini, jika kita tukar posisim dan n, kita memperoleh
hn|mi = hψn|ψmi = Z ψn∗(r)ψm(r)d3r = Z ψn(r)ψ∗ m(r)d3r ∗ hn|mi = hm|ni∗ (8.2)
Gambar 8.1: Ilustrasi menggunaan notasi Dirac
Seperti halnya pada vektor bahwa sebuah vektor dapat dibentuk dari superposisi dua atau lebih vektor. Misalkan dua vektor v1 dan v2, vektor v dapat dibentuk dengan kombinasi linier dari vektor v1 dan v2,
v= c1v1+ c2v2 (8.3)
Bra-Ket 97 Dirac tahu bahwa prinsip superposisi linier tidak hanya berlaku untuk fungsi gelombang tetapi juga vektor keadaan atau keadaaan. Maka vektor keadaan dapat dibentuk dari dua keadaan|1i dan |2i.
|ψi = c1|1i + c2|2i (8.4)
Perkalian skalar suatu ket |ai dengan sebuah ket yang dibentuk dari dua ket misalkan |bi = α|mi + β|ni.
ha|bi = αha|mi + βha|ni (8.5)
dan juga menggunakan konjugasi kompleks.
hb|ai = α∗hm|ai + β∗hn|ai (8.6)
Ini menunjukkan bahwa jika vektor ket
|bi = α|mi + β|ni (8.7)
Maka dual spacenya vektor bra sehingga
hb| = α∗hm| + β∗hn| (8.8)
hm|mi > 0 (8.9)
untuk semua fungsi gelombang ψm(r). Ini menunjukkan bahwa fungsi gelombang harus memiliki probabilitas atau sifat ”square in-tegrable”.
Sebuah ket sudah ternormalisasi artinya bahwa ket |mi
hm|mi = 1 (8.10)
Dua ket |mi dan |ni dikatakan orthogonal artinya bahwa perkalian skalar menghasilkan nol.
hm|ni = 0 m 6= n (8.11)
Jika satu set fungsi basis {φn} atau |ni merupakan fungsi yang komplit dan orthogonal berarti
98 Notasi Dirac dalam Mekanika Kuantum
hm|ni = δmn (8.12)
Fungsi gelombang ψ dapat diekspansikan ke komponen-komponen fungsi basis{ψn}, ψ = ∞ X n=1 cnψn(r) (8.13)
atau dengan notasi Dirac,
|ψi =
∞
X
n=1
cn|ni (8.14)
Perkalian skalarψ dengan φm atau|mi, hm|ψi =
∞
X
n=1
cnhm|ni (8.15)
Karenahm|ni = δmn, maka diperoleh
cn = hn|ψi (8.16)
Sehingga kita dapat menuliskan
|ψi =
∞
X
n=1
|nihn|ψi (8.17)
Mari kita perhatikan notasi Dirac dan dengan operator. Sebelum itu, kita sudah pelajari sebelumnya bahwa operasi operator pada se-buah fungsi gelombang menghasilkan fungsi gelombang yang lainξ =
ˆ
Ωψ, maka
|ξi = |ˆΩψi = ˆΩ|ψi (8.18)
Jika kita operasikan perkalian skalar denganφ atau |φi
hφ|ξi = hφ|ˆΩψi = hφ|ˆΩ|ψi (8.19)
hξ|φi = hˆΩψ|φi = hφ|ˆΩψi∗ = hφ|ˆΩ|ψi∗ (8.20)
Operator Hermitian,
Amplitudo Probabilitas 99
hφ|ˆΩ|ψi = hψ|ˆΩ|φi∗ (8.22)