A. Tinjauan Pustaka
10. Metode Box-Jenkins (ARIMA)
Terdapat alat peramalan baru yang dikenal dengan metode Box- Jenkins (BJ) atau lebih dikenal dengan metode ARIMA. Metode ini tidak menekankan pada analisis probabilistik atau stokastik, tetapi lebih kepada kelengkapan data ekonomi deret berkala (time series) dengan filosofi “let the data speak themselves”. Tidak seperti model regresi, dimana Yt
dijelaskan oleh k regresi X1, X2, X3, …, Xk, jenis model time series BJ
mengijinkan Yt dijelaskan oleh masa lalu, atau lag, nilai dari Y itu sendiri
dan stochastic error terms. Untuk alasan tersebut, model ARIMA seringkali disebut model atheoretic karena model ini tidak berdasarkan dari berbagai teori ekonomi, dan teori ekonomi seringkali berbentuk model persamaan simultan (Gujarati, 2003: 837).
Menurut Hyndman (2001: 1) ARIMA adalah suatu model matematika yang digunakan untuk peramalan. ARIMA merupakan singkatan dari autoregressive, integrated, moving average. Setiap kata dari singkatan tersebut menjelaskan suatu bentuk model matematika yang berbeda. ARIMA telah dipelajari secara ekstensif dan merupakan bagian utama dari analisis time series. Model ini dipopulerkan oleh George Box dan Gwilym Jenkins pada awal 1970-an dan sekarang dikenal dengan
model Box-Jenkins. Pendekatan ARIMA yang digunakan untuk peramalan adalah berdasarkan pada hal-hal berikut:
a. peramalan berdasarkan pada fungsi linear dari sampel yang diobservasi b. tujuannya adalah untuk menemukan model yang paling sederhana yang mampu memberikan diskripsi yang cukup dari data yang diobservasi, kadangkala ini disebut prinsip parsimony.
Setiap proses ARIMA terdiri dari tiga bagian, yaitu autoregressive (AR),
integrated (I), dan moving average (MA) (Hyndman, 2001: 1-2).
a. AR : bagian ini menjelaskan bagaimana setiap observasi adalah suatu fungsi dari p observasi sebelumnya. Sebagai contoh, jika p = 1, maka setiap observasi adalah suatu fungsi hanya dari satu observasi sebelumnya.
俰 1俰 1
dimana 俰 menunjukkan nilai observasi pada waktu t, 俰 1 menunjukkan nilai observasi sebelumnya pada waktu t – 1, menunjukkan beberapa random eror dan c dan 1 adalah konstanta.
Nilai lain yang diamati dapat dimasukkan pada sisi kanan persamaan jika p > 1:
俰 1俰 1 2俰 2 俰
b. I : bagian ini menentukan apakah nilai observasi dibentuk secara langsung, atau apakah ada perbedaan (differences) antara observasi yang berurutan dengan model. Jika d = 0, observasi dibentuk secara
commit to user
langsung. Jika d = 1, differences dilakukan sekali. Jika d = 2,
differences dilakukan dua kali. Dalam prakteknya jarang sekali nilai d
lebih dari 2.
c. MA : bagian ini menjelaskan bagaimana setiap observasi adalah suatu fungsi dari q eror sebelumnya. Sebagai contoh, jika q = 1, maka setiap observasi adalah suatu fungsi hanya dari satu eror sebelumnya
俰 1 1
menunjukkan random eror pada waktu t dan 1 menunjukkan
random eror sebelumnya pada waktu t – 1. Eror yang lain dapat dimasukkan pada sisi kanan persamaan jika q > 1.
Menurut Sugiarto dan Harijono (2000) dalam Ratna (2004: 26-27) metode ARIMA berbeda dengan metode peramalan lain karena metode ini tidak mensyaratkan suatu pola data tertentu supaya model dapat bekerja dengan baik. Secara teoritis, metode Box-Jenkins merupakan metode yang canggih terutama untuk melakukan peramalan jangka pendek. Akan tetapi secara praktis terdapat beberapa kelemahan diantaranya:
1. jumlah data yang dibutuhkan relatif sangat besar. untuk data bulanan yang bersifat musiman misalnya, paling tidak dibutuhkan 72 data. 2. apabila terdapat data baru yang tersedia, seringkali parameter dari
model ini harus diestimasi ulang. Hal tersebut mengindikasikan bahwa adanya revisi total terhadap model yang sudah dibuat.
Selanjutnya Hanke et al. (2001) dalam Ratna (2004: 27) juga menyatakan bahwa jumlah data yang dibutuhkan pada metode ini relatif besar. Untuk data non musiman paling tidak dibutuhkan 40 data atau lebih untuk membangun sebuah model ARIMA, sedangkan untuk data musiman paling tidak data sekitar 6-10 tahun tergantung pada masa periode musiman yang digunakan.
Menurut Gujarati (2003 : 840-848) metode Box-Jenkins terdiri dari empat tahap, yaitu identifikasi, penaksiran parameter, pemeriksaan diagnostik, dan peramalan.
a. Identifikasi
Aspek-aspek AR dan MA dari model ARIMA hanya berhubungan dengan deret berkala yang stasioner, sedangkan banyak data deret berkala yang bersifat non-stasioner. Suatu data deret berkala dikatakan stasioner apabila data deret berkala tersebut diplot dan kemudian tidak terbukti adanya perubahan nilai tengah dan varian yang jelas dari waktu ke waktu (Makridakis et al., 1999: 332-333).
Makridakis et al. (1999: 351) menambahkan bentuk visual dari plot deret berkala dapat digunakan untuk menguji apakah suatu data deret berkala telah stasioner atau tidak stasioner, demikian pula plot autokorelasi dapat dengan mudah memperlihatkan ketidakstasioneran. Nilai-nilai autokorelasi dari data stasioner akan turun sampai nol sesudah time-lag kedua atau ketiga, sedangkan untuk data yang tidak stasioner, nilai-nilai tersebut berbeda signifikan dari nol untuk
commit to user
beberapa periode waktu. Apabila disajikan secara grafik, autokorelasi data yang tidak stasioner memperlihatkan suatu trend searah diagonal dari kanan ke kiri bersama dengan meningkatnya jumlah time-lag
(selisih waktu).
Alat utama pada tahap identifikasi adalah autocorrelation function (ACF), partial autocorrelation function (PACF), dan hasil correlogram. Konsep dari autokorelasi parsial adalah analogi dari konsep koefisien regresi parsial. Pada model regresi berganda k variabel, koefisien regresi mengukur tingkat perubahan nilai tengah dari regresi untuk suatu unit perubahan pada tingkat regresi ke-k, dimana pengaruh seluruh regresor lainnya dianggap konstan. Pada trend yang sama autokorelasi parsial mengukur korelasi antara observasi time series pada periode k setelah dibandingkan dengan korelasi pada lag pertengahan (misalnya pada periode lag kurang dari k). Dengan kata lain, autokorelasi parsial adalah korelasi antara Yt dan
俰 setelah perubahan dampak pada nilai tengah Y
(Gujarati, 2003: 841-842).
Penetapan karakteristik data deret berkala seperti stasioner, musiman, dan sebagainya, memerlukan suatu pendekatan yang sistematis. Hal ini akan membantu untuk mendapatkan gambaran mengenai model-model yang akan dianalisis. Beberapa model yang sering digunakan adalah:
1. Model MA (0,0,q) 0 1 1 2 2 2. Model AR (p,0,0) ′ Φ 1 1 Φ2 2 Φ 3. Model ARMA (p,0,q) Φ1 1 Φ2 2 Φ 1 1 atau 1 Φ Φ Φ _ 1 θ θ θ 4. Model ARIMA (p,d,q) (P,D,Q)s 1 Φ1 Φ2 2 Φ 1 1 θ1 θ2 2 θ Keterangan:
= variabel yang diamati = konstanta moving average
0 … = parameter …
′ = konstanta autoregressive Φ1 … Φ = parameter 1 … AR = autoregressive
MA = moving average
commit to user
ARIMA = autoregressive integrated moving average
p = orde autoregressive tanpa musiman d = orde differencing tanpa musiman q = orde moving average tanpa musiman P = orde autoregressive dengan musiman D = orde differencing dengan musiman
Q = orde moving average dengan musiman
s = jumlah musim dalam satu periode
(Makridakis et al., 1999: 385-395). b. Penaksiran parameter
Setelah berhasil menetapkan identifikasi model sementara, selanjutnya menetapkan parameter-parameter AR dan MA, musiman dan tidak musiman harus ditetapkan dengan cara yang terbaik. Menurut Makridakis et al. (1999: 406-407) terdapat dua cara mendasar untuk mendapatkan parameter-parameter tersebut, yaitu :
1. Dengan cara mencoba-coba (trial and error), menguji beberapa nilai yang berbeda dan memilih satu nilai tersebut (atau sekumpulan nilai, apabila terdapat lebih dari satu parameter yang akan ditaksir) yang meminimumkan jumlah kuadrat nilai sisa (sum of squared residuals).
2. Perbaikan secara iteratif, memilih taksiran awal dan kemudian membiarkan program komputer memperhalus penaksiran tersebut secara iteratif.
c. Pemeriksaan diagnostik
Makridakis et al. (1999: 411-414) mengatakan setelah berhasil menaksir nilai-nilai parameter dari model ARIMA yang ditetapkan sementara, selanjutnya perlu dilakukan pemeriksaan diagnostik untuk membuktikan bahwa model tersebut cukup memadai. Terdapat dua cara mendasar untuk melakukannya, yaitu:
1. Mempelajari nilai sisa (residual) untuk melihat apakah masih terdapat beberapa pola yang belum diperhitungkan.
Nilai sisa (kesalahan) yang tertinggal sesudah dilakukan proses pencocokan model ARIMA, diharapkan hanya merupakan gangguan random. Oleh karena itu, apabila autokorelasi, parsial dan spektrum garis dari nilai sisa telah diperoleh, kita berharap akan menemukan: (i) tidak ada autokorelasi yang signifikan, (ii) tidak ada parsial yang signifikan, dan (iii) adanya konsistensi dari amplitudo yang tinggi melalui seluruh nilai frekuensi pada spektrum garis.
2. Mempelajari statistik sampling dari pemecahan optimum untuk melihat apakah model tersebut masih dapat disederhanakan.
Asumsi-asumsi statistik yang mendasari model umum ARIMA, memberikan beberapa angka statistik yang harus dihitung setelah nilai-nilai koefisin optimum diukur. Sebagai contoh, untuk setiap koefisien akan terdapat kesalahan standart (standard error) untuk masing-masing koefisien tersebut dan karena seluruh
commit to user
koefisien diukur bersama-sama maka akan terdapat distribusi sampling bersama-sama dari koefisien-koefisien tersebut. Hal ini akan menghasilkan matriks interkorelasi yang memperlihatan bagaimana bermacam-macam koefisien saling berhubungan satu dengan lainnya.
d. Peramalan
Metode ARIMA adalah suatu metode yang populer untuk peramalan karena metode ini dapat mengembangkan struktur matematika dengan baik dari berbagai hal yang mungkin untuk menghitung variasi model khusus seperti memprediksi interval. Ini merupakan suatu hal yang sangat penting dalam peramalan untuk memastikan bahwa mereka mampu meramalkan hal yang tidak pasti agar dapat dikuantitatifkan (Hyndman, 2001: 2).
Menurut Makridakis et al. (1999: 382), pendekatan Box-Jenkins pada tahap pertama (identifikasi) adalah merumuskan sekelompok model-model yang umum kemudian dilanjutkan dengan penetapan model untuk sementara. Tahap kedua meliputi penaksiran dan pengujian, yang dilakukan adalah penaksiran parameter pada model sementara dan pemeriksaan diagnosa untuk menentukan apakah model memadai atau tidak. Jika model sudah memadai maka dilanjutkan pada tahap ketiga (penerapan) yaitu menggunakan model untuk peramalan. Akan tetapi jika model belum memadai maka kembali pada tahap
commit to user
pertama demikian seterusnya sampai ditemukan model yang memadai yang dapat digunakan untuk peramalan.