LANDASAN TEOR
2.3 Metode Simpleks
Pada tahun 1947 George Dantzig mengajukan suatu metode yang tepat untuk menyelesaikan permasalahan program linier yang disebut metode simpleks. Metode simpleks merupakan prosedur aljabar yang bersifat iteratif yang bergerak selangkah demi selangkah, dimulai dari titik ekstrim pada daerah layak menuju titik ekstrim optimum (Siagian, 2006).
Ada beberapa istilah yang sering digunakan dalam metode simpleks, di antaranya:
1. Iterasi adalah tahapan perhitungan di mana nilai dalam perhitungan itu tergantung dari nilai tabel sebelumnya.
2. Variabel non basis adalah variabel yang nilainya diatur menjadi nol pada sembarang iterasi. Dalam terminologi umum, jumlah variabel non basis selalu sama dengan derajat bebas dalam sistim persamaan.
3. Variabel basis merupakan variabel yang nilainya bukan nol pada sembarang iterasi. Pada solusi awal, variabel basis merupakan variabel slack (jika fungsi kendala merupakan pertidaksamaan ≤) atau variabel buatan (jika fungsi kendala menggunakan pertidaksamaan ≥ atau =). Secara umum, jumlah variabel basis selalu sama dengan jumlah fungsi pembatas (tanpa fungsi non negatif).
4. Solusi atau nilai kanan merupakan nilai sumber daya pembatas yang masih tersedia. Pada solusi awal, nilai kanan atau solusi sama dengan jumlah sumber daya pembatas awal yang ada, karena aktivitas belum dilaksanakan. 5. Variabel slack adalah variabel yang ditambahkan ke model matematika
Penambahan variabel ini terjadi pada tahap inisialisasi. Pada solusi awal, variabel slack akan berfungsi sebagai variabel basis.
6. Variabel surplus adalah variabel yang dikurangkan dari model matematika kendala untuk mengkonversikan pertidaksamaan ≥ menjadi persamaan (=). Penambahan ini terjadi pada tahap inisialisasi. Pada solusi awal, variabel surplus tidak dapat berfungsi sebagai variabel basis.
7. Variabel buatan adalah variabel yang ditambahkan ke model matematika kendala dengan bentuk ≥ atau = untuk difungsikan sebagai variabel basis awal. Penambahan variabel ini terjadi pada tahap inisialisasi. Variabel ini harus bernilai 0 pada solusi optimal, karena kenyataannya variabel ini tidak ada. Variabel hanya ada di atas kertas.
8. Kolom pivot (kolom kerja) adalah kolom yang memuat variabel masuk. Koefisien pada kolom ini akan menjadi pembagi nilai kanan untuk menentukan baris pivot (baris kerja).
9. Baris pivot (baris kerja) adalah salah satu baris dari antara variabel basis yang memuat variabel keluar.
10. Elemen pivot (elemen kerja) adalah elemen yang terletak pada perpotongan kolom dan baris pivot. Elemen pivot akan menjadi dasar perhitungan untuk tabel simpleks berikutnya.
11. Variabel masuk adalah variabel yang terpilih untuk menjadi variabel basis pada iterasi berikutnya. Variabel masuk dipilih satu dari antara variabel non basis pada setiap iterasi. Variabel ini pada iterasi berikutnya akan bernilai positif.
12. Variabel keluar adalah variabel yang keluar dari variabel basis pada iterasi berikutnya dan digantikan oleh variabel masuk. Variabel keluar dipilih satu dari antara variabel basis pada setiap iterasi. Variabel ini pada iterasi berikutnya akan bernilai nol.
Berikut langkah-langkah dalam menyelesaikan permasalahan program linier dengan metode simpleks (Handayani, 2014):
1. Konversikan formulasi persoalan ke dalam bentuk standar.
dengan cara menambahkan variabel slack, surplus dan variabel buatan (artifisial variabel) pada tiap batasan (constraint) serta memberi harga nol pada setiap koefisien tujuannya. Batasan dapat dimodifikasi sebagai berikut: a. Untuk batasan bernotasi diubah ke dalam bentuk persamaan dengan
menambahkan variabel slack.
b. Untuk batasan bernotasi atau diselesaikan dengan menambahkan variabel surplus dan variabel buatan. Dengan penambahan variabel buatan ini akan merusak sistim batasan, hal ini dapat diatasi dengan membuat suatu bilangan penalty M (M bilangan positif yang sangat besar) sebagai harga dari variabel buatan tersebut dalam fungsi tujuan. Untuk kasus maksimasi maka dibuat –M sebagai harga dari variabel buatan dan untuk kasus minimasi dibuat +M sebagai harga dari variabel buatan. Cara pendekatan ini dikenal dengan metode M besar (Big M method).
2. Susun persamaan-persamaan ke dalam tabel simpleks Tabel 2.1 Bentuk Tabel Simpleks
... ... ... Solusi Variabel Basis Harga Basis ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
3. Pilih kolom kunci, yaitu kolom yang memiliki nilai ( ) yang paling positif untuk kasus maksimasi atau yang memiliki nilai ( ) yang paling negatif untuk kasus minimasi.
4. Pilih baris kunci yang memiliki nilai indeks terkecil. Nilai indeks adalah perbandingan nilai kanan dengan kolom kunci,
5. Tentukan nilai elemen cell, yaitu nilai perpotongan antara kolom kunci dan baris kunci.
6. Lakukan iterasi dengan menentukan baris kunci baru, baris Z baru, dan baris variabel-variabel slack baru.
a. Baris kunci baru ditentukan dengan membagi baris kunci lama dengan elemen cell.
b. Baris Z baru dan baris-baris lainnya ditentukan dengan cara:
Baris lama – (nilai kolom kunci baris yang sesuai × baris kunci baru) c. Letakkan nilai-nilai baris yang baru diperoleh ke dalam tabel.
7. Lakukan uji optimalisasi. Jika semua koefisien pada baris ( ) sudah tidak ada lagi yang bernilai positif (untuk kasus maksimasi) atau sudah tidak ada lagi yang bernilai negatif (untuk kasus minimasi) berarti sudah optimal. Jika kriteria belum terpenuhi, diulangi dari langkah 3.
Diberikan suatu permasalahan yang akan diselesaikan dengan metode simpleks sebagai berikut:
Contoh 2.2
Tentukan nilai bilangan bulat dan dari masalah berikut: maksimumkan Z = +
kendala + 60
+ 48
adalah bilangan bulat Penyelesaian:
a. Konversikan formulasi persoalan ke dalam bentuk standar sebagai berikut: maksimumkan Z = +
kendala + + + = 60 + + + = 48
b. Menyusun persamaan-persamaan ke dalam tabel simpleks sebagai berikut:
Variabel Basis Harga Basis 0 4 2 1 0 60 0 2 4 0 1 48 8 6 0 0 0
c. Memilih kolom kunci, dikarenakan pada masalah merupakan kasus maksimasi maka dipilih nilai yang paling positif sebagai berikut: Tabel 2.3 Proses 1 Tabel Simpleks Menuju Iterasi 1 pada Contoh 2.2
8 6 0 0 Solusi Variabel Basis Harga Basis 0 4 2 1 0 60 0 2 4 0 1 48 8 6 0 0 0
d. Memilih baris kunci yaitu dengan membagi kolom solusi dengan kolom kunci yang telah dipilih, kemudian dipilih nilai yang paling terkecil sebagai berikut:
( )
maka keluar dari variabel basis dan masuk dalam variabel basis, sehingga diperoleh sebagai berikut:
Tabel 2.4 Proses 2 Tabel Simpleks Menuju Iterasi 1 pada Contoh 2.2
8 6 0 0 Solusi Variabel Basis Harga Basis 8 4 2 1 0 60 0 2 4 0 1 48 8 6 0 0 0
e. Menentukan nilai elemen cell yaitu nilai perpotongan antara kolom kunci dan baris kunci, kemudian setelah terpilih nilai elemen cell maka lanjut membagi baris kunci dengan nilai elemen cell yang dipilih sebagai berikut:
dan menentukan baris yang lainnya yaitu dengan cara sebagai berikut:
serta menentukan baris yang baru yaitu dengan cara sebagai berikut: mengalikan nilai variabel basis pada kolom harga basis dengan kolom
masing-masing variabel, kemudian baris dikurang dengan hasil , sehingga hasilnya diperoleh sebagai berikut:
Tabel 2.5 Tabel Simpleks Iterasi 1 pada Contoh 2.2
8 6 0 0 Solusi Variabel Basis Harga Basis 8 1 0,5 0,25 0 15 0 0 3 -0,5 1 18 0 2 -2 0 120
f. Melakukan uji optimalisasi, dalam masalah ini kasusnya maksimasi maka nilai pada baris tidak ada lagi yang bernilai positif.
Dan terlihat bahwa pada Tabel 2.5 masih ada yang bernilai positif maka dilanjutkan ke iterasi 2, proses pengerjaan pada iterasi 2 sama dengan proses pengerjaan pada iterasi 1, sehingga diperoleh solusi optimumnya pada iterasi 2, setelah menguji optimalisasi pada iterasi 2 terlihat bahwa baris tidak ada lagi yang bernilai positif, dapat dilihat Tabel 2.6 sebagai berikut:
Tabel 2.6 Solusi Optimum Awal pada Iterasi 2 Contoh 2.2
8 6 0 0 Solusi Variabel Basis Harga Basis 8 1 0 0,3333 -0,1667 12 6 0 1 -0,1667 0,3333 6 0 0 -1,6667 -0,6667 132