Pengoptimalan Jumlah Produksi Roti Dengan Menggunakan Metode Branch And Cut(Studi Kasus: Toko Roti Hoya)

(1)

DAFTAR PUSTAKA

Albert, Shon.2011. Solving Mixed Integer Linear Programs Using Branch and Cut Algorithm. North Carolina : University of North Carolina.

Amalia, Rizkika. 2015. Metode Branch and Cut Untuk Menyelesaikan Multi-Objective Integer Programming. [Skripsi]. Medan : Universitas Sumatera Utara.

Aritonang, Desi Ratna Sari . 2013. Analisis Metode Branch and Bound Dalam Mengoptimalkan Jumlah Produksi Roti (Studi Kasus : PT. Ramah Jaya Bakery). [Skripsi]. Medan : Universitas Sumatera Utara.

Ernawati. 2010. Analisis Perubahan Koefisien Fungsi Tujuan Secara Simpleks pada Masalah Program Linier Bilangan Bulat. Yogyakarta : Universitas Negeri Yogyakarta.

Hillier, Frederick S and Gerald J. Lieberman. 2001. Introduction to Operations Research. New York : McGraw-Hill.

Meiliana. 2013. Penentuan Batas Bawah Pada Metode Branch and Price. [Skripsi]. Medan : Universitas Sumatera Utara.

Sarkar, Avijit. 2010. Branch and Cut Algorithms for Combinatorial Optimization Problems. New York : University at Buffalo (SUNY).

Siagian, P. 2006. Penelitian Operasional : Teori dan Praktek. Jakarta : Universitas Indonesia.

Siswanto. 2007. Operations Research. Jakarta : Erlangga.

(2)

BAB 3

HASIL DAN PEMBAHASAN

3.1 Metode Branch and Cut

Algoritma metode branch and cut dibuat dari kombinasi metode cutting plane dengan metode branch and bound. Metode cutting plane memperbaharui relaksasi dari masalah untuk lebih mendekati ke penyelesaian yang merupakan bilangan bulat, dan metode branch and bound memproses dengan membagi dan menyelesaikan (devide and conquer) masalah.

Langkah-langkah penyelesaian program bilangan bulat dengan metode branch and cut sebagai berikut:

1. Selesaikan persoalan mixed integer programming dengan metode simpleks biasa.

2. Jika hasil yang diinginkan bulat, maka persoalan sudah optimal. Jika tidak, maka lakukan pencabangan (branch) dan pemotongan (cut).

3. Jika hasil yang diinginkan sudah bulat, maka persoalan sudah optimal. Jika tidak kembali ke langkah 2.

3.2 Merumuskan Masalah

(3)

Gambar 3.1 Logo Toko Roti Hoya

3.3 Pengamatan dan Pengumpulan Data

Dalam menentukan penelitian ini hasil pengamatan yang penulis peroleh adalah bahan-bahan yang digunakan untuk memproduksi roti antara lain:

3.3.1 Jenis-jenis Roti

Roti yang diteliti dalam tulisan ini adalah berdasarkan rasa roti. Adapun terdapat 3 jenis rasa roti pada toko roti tersebut, antara lain :

Tabel 3.1 Jenis Rasa Roti No Rasa Roti

1. Srikaya 2. Kelapa 3. Stroberi

3.3.2 Data Bahan Baku, Modal dan Harga Jual

(4)

Tabel 3.2 Bahan Baku dan Persediaan Bahan Baku

3.3.3 Harga Jual, Biaya Produksi dan Keuntungan Penjualan Roti

Data biaya yang diperoleh dari hasil wawancara dan pencatatan dengan modal awal perusahaan untuk sekali produksi sebesar Rp.2.000.000 dengan banyak roti/adonan 360 buah roti.

(5)

Uraian waktu proses roti dapat diberikan pada Tabel 3.4 dibawah ini: Tabel 3.4 Data Proses Pembuatan dan Lama Waktu Pembuatan No

Proses

Waktu Yang diperlukan (menit) / adonan Roti Srikaya Roti Kelapa Roti Stroberi

1. _Pengadonan ₇ ₇ ₇

3.4 Perumusan Data ke Dalam Model Matematika

Data tentang modal awal produksi, harga penjualan setiap jenis roti, bahan baku produksi roti dan banyak bahan baku yang tersedia untuk memproduksi setiap jenis roti diformulasikan ke dalam model matematika, sehingga dapat diketahui berapa banyak jumlah roti yang harus diproduksi. Penulis membentuk permasalahan tersebut ke dalam model matematika adalah dengan tujuan untuk memaksimumkan jumlah produksi roti.

Penulis mengasumsikan bahwa nilai variabel keputusan harus bernilai integer dan hanya sebagian dari bahan baku yang dijadikan fungsi kendala atau batasan. Maka bahan baku yang penulis gunakan antara lain tepung terigu, gula, garam, mentega, pelembut, dan pengembang.

3.4.1 Pembentukan Variabel Keputusan

(6)

3.4.2 Pembentukan Fungsi Tujuan

Fungsi Tujuan adalah fungsi yang harus dioptimalkan sebagai hasil akhir dari perkiraan produksi yang optimal. Fungsi tujuan yang akan dimaksimalkan adalah laba/keuntungan penjualan dari masing-masing rasa roti. Dengan koefisien dari variabel keputusannya adalah keuntungan penjualan masing-masing penjualan roti. Formulasi fungsi tujuan (Z) dengan memaksimalkan keuntungan penjualan roti adalah :

Maksimumkan: Z = 307.000 + 320.000 + 300.000

3.4.3 Pembentukkan Fungsi Kendala

1. Formulasi fungsi kendala dengan batasan bahan baku produksi roti. 10,5 + 10,5 + 11 320 batasan tepung terigu/kg 2,5 + 2,5 + 2 77 batasan gula/kg

1,25 + 1,5 + 1,35 40 batasan mentega/kg

0,18 + 0,18 + 0,18 9 batasan garam/kg 0,16 + 0,16 + 0,16 7,5 batasan pelembut/kg 0,14 + 0,14 + 0,14 5 batasan pengembang/kg

2. Formulasi fungsi kendala dengan batasan biaya produksi 67.000 + 72.500 + 55.000 2.000.000

Keterangan : 67.000 : biaya produksi roti rasa srikaya per adonan 72.500 : biaya produksi roti rasa kelapa per adonan 55.000 : biaya produksi roti rasa stroberi per adonan 2.000.000: modal untuk memproduksi roti

Permasalahan di atas antara lain sebagai berikut:

Maksimumkan: Z = 307.000 + 320.000 + 300.000

(7)

1,25 + 1,5 + 1,35 40 0,18 + 0,18 + 0,18 9 0,16 + 0,16 + 0,16 7,5

0,14 + 0,14 + 0,14 5

67.000 + 72.500 + 55.000 2.000.000

adalah bilangan bulat

3.5 Pengolahan Data

Model matematika yang telah dibuat kemudian akan diolah dengan Software QM menggunakan program linier. Langkah pertama adalah menampilkan model di Software QM sebagai berikut:

Tabel 3.5 Iterasi 1 Metode Simpleks dengan Menggunakan Software QM

Berdasarkan Tabel 3.5, maka dapat dicari hasil optimalnya. Diperoleh hasil olahan data yang optimal sebagai berikut:

(8)

Dari hasil iterasi dengan software QM diperoleh hasil yang optimal sebagai berikut: = 18,241 ; = 6,7752 ; = 5,2117 dengan Z = 9.331.596

Maka dapat terlihat bahwa roti yang harus diproduksi antara lain : Roti rasa srikaya = 18,241 adonan, roti rasa kelapa = 6,7752 adonan, roti rasa stroberi = 5,2117 adonan dengan keuntungan Rp. 9.331.596. Namun karena yang diinginkan adalah solusi yang berupa bilangan bulat maka masalah ini belum valid, untuk membuat solusi menjadi bilangan bulat digunakan metode branch and cut.

3.6 Analisis Metode Branch and Cut

Solusi tersebut belum diperoleh bilangan bulat maka diterapkan pencabangan (branch), diketahui bahwa , dan belum diperoleh bilangan bulat, kemudian memilih variabel yang solusinya bernilai pecahan terbesar untuk dicabangkan, yang dalam hal ini merupakan nilai pecahan terbesar, jadi baru ke dalam bagian A dan bagian B sebagai berikut:

(9)

Tabel 3.7 Iterasi 1 Bagian A dengan Menggunakan Software QM

Dengan menggunakan metode simpleks pada Software QM diperoleh solusi optimum sebagai berikut:

Tabel 3.8 Solusi Bagian A dari Hasil Iterasi dengan Menggunakan Software QM

Diperoleh = 18 ; = 6,7312 ; = 5,4839 dengan Z = 9.325.140

Terlihat solusi optimum pada bagian A belum diperoleh bilangan bulat, maka kita lanjut menyelesaikan bagian B.

Bagian B:

Maksimumkan: Z = 307.000 + 320.000 + 300.000 Kendala 10,5 + 10,5 + 11 320

(10)

Tabel 3.9 Iterasi 1 Bagian B dengan Menggunakan Software QM

Dengan menggunakan metode simpleks pada Software QM diperoleh solusi optimum sebagai berikut:

Tabel 3.10 Solusi Bagian B dari Hasil Iterasi dengan Menggunakan Software QM

Diperoleh = 19 ; = 6,225 ; = 5,0125 dengan Z = 9.328.750

(11)

Berdasarkan kendala Bagian A didapat: = 320 – 10,5 – 10,5 11 = 77 – 2,5 – 2,5 – 2 = 40 1,25 – 1,5 – 1,35 = 9 – 0,18 – 0,18 – 0,18 = 7,5 0,16 0,16 0,16

= 5 –0,14 – 0,14 – 0,14

= 2.000.000 – 67.000 – 72.500 – 55.000

Pada bagian A, nilai yang melakukan pemotongan, sehingga melalui iterasi baris dapat dibentuk persamaan sebagai berikut:

– 0,5806 + 4,7312 = 6,7312 Berdasarkan rumusan Irisan Gomory:

– – 0 di mana:

– – (–0,5806 – (–1)) – (4,7312 – 0 0,7312 – 0,4194 – 0,7312 0

Selanjutnya dan disubstitusikan menjadi: 0,7312 – 0,4194(320 – 10,5 – 10,5 11 ) – 0,7312 – – 0

(12)

(0,7312 – 134,208 – 29,248) + (4,4037 + 0,914) + (4,4037 + 1,0968) + (4,6134 + 0,9871) 0

– 162,7248 + 5,3177 + 5,5005 + 5,6005 0 5,3177 + 5,5005 + 5,6005 162,7248

Jadi diperoleh pemotongan (cut) yaitu: 5,3177 + 5,5005 + 5,6005 162,7248

Selanjutnya pada Bagian A akan ditambahkan kendala 5,3177 + 5,5005 + 5,6005 162,7248

kemudian akan diselesaikan dengan Software QM, didapat hasil sebagai berikut: Tabel 3.13 Solusi Bagian A dari Hasil Iterasi dengan menggunakan Software

QM

Diperoleh = 18; = 7,3564; = 4,7392 dengan Z = 9.301.832. Terlihat solusi pada Bagian A belum optimal.

(13)

Berdasarkan kendala Bagian B, didapat: = 320 – 10,5 – 10,5 11 = 77 – 2,5 – 2,5 – 2 = 40 1,25 – 1,5 – 1,35 = 9 – 0,18 – 0,18 – 0,18 = 7,5 0,16 0,16 0,16

= 5 –0,14 – 0,14 – 0,14

= 2.000.000 – 67.000 – 72.500 – 55.000

Pada bagian B, nilai yang melakukan pemotongan, sehingga melalui iterasi baris dapat dibentuk persamaan sebagai berikut:

– – 0 di mana:

– – (–0,25 – (–1)) – (0,0001 0 0,225 – 0,75 – 0,0001 0

Selanjutnya dan disubstitusikan menjadi: 0,225 – 0,75(320 – 10,5 – 10,5 11 ) –

0,0001 – – – 0

0,225 – 240 + 7,875 + 7,875 + 8,25 – 200 + 6,7 + 7,25 + 5,5 0

(14)

14,575 + 15,125 + 13,75 439,775

Jadi diperoleh pemotongan (cut) yaitu: 14,575 + 15,125 + 13,75 439,775 Selanjutnya pada Bagian B akan ditambahkan kendala 14,575 + 15,125 + 13,75 439,775

kemudian akan diselesaikan dengan Software QM, didapat hasil sebagai berikut: Tabel 3.16 Solusi Bagian B dari Hasil Iterasi dengan Menggunakan Software

QM

Diperoleh = 19; = 6,1125; = 5,1199 dengan Z = 9.324.966. Terlihat solusi pada Bagian B belum optimal.

Pada bagian A dan B belum mendapatkan hasil yang optimal, sehingga dilakukan pencabangan (branch) yang kedua. Pada bagian A dan bagian B terdapat nilai yang belum optimal yaitu dan .

(15)

Bagian :

2,5 + 2,5 + 2 77 1,25 + 1,5 + 1,35 40 0,18 + 0,18 + 0,18 9 0,16 + 0,16 + 0,16 7,5 0,14 + 0,14 + 0,14 5

67.000 + 72.500 + 55.000 2.000.000

5,3177 + 5,5005 + 5,6005 162,7248 7

Tabel 3.17 Iterasi 1 Bagian dengan Menggunakan Software QM

diperoleh hasil sebagai berikut:

Tabel 3.18 Solusi Bagian dari Hasil Iterasi dengan Menggunakan Software QM

(16)

Bagian :

2,5 + 2,5 + 2 77 1,25 + 1,5 + 1,35 40 0,18 + 0,18 + 0,18 9 0,16 + 0,16 + 0,16 7,5 0,14 + 0,14 + 0,14 5

67.000 + 72.500 + 55.000 2.000.000

5,3177 + 5,5005 + 5,6005 162,7248 8

(17)

Diperoleh = 17,3733; = 8; = 4,6544 dengan Z = 9.289.908. Terlihat solusi pada Bagian belum optimal.

Selanjutnya pada bagian B akan dilakukan pencabangan (branch) yang kedua. Pada bagian B terdapat 2 nilai yang belum optimal yaitu dan , di mana terdapat bernilai lebih besar dari yang lainnya sehingga yang akan dicabangkan yang bernilai 6,1125. Jadi diperoleh dua kendala baru yang saling mutually exclusive, yaitu dan . Kemudian akan diuraikan dengan penambahan kendala baru ke dalam bagian dan bagian sebagai berikut: Bagian :

2,5 + 2,5 + 2 77 1,25 + 1,5 + 1,35 40 0,18 + 0,18 + 0,18 9 0,16 + 0,16 + 0,16 7,5 0,14 + 0,14 + 0,14 5

67.000 + 72.500 + 55.000 2.000.000

14,575 + 15,125 + 13,75 439,775

6

(18)

Diperoleh = 19,1552; = 6; = 5,0792 dengan Z = 9.324.384. Terlihat solusi pada Bagian belum optimal. Tetapi kita tetap akan mencari Bagian . Bagian :

2,5 + 2,5 + 2 77 1,25 + 1,5 + 1,35 40 0,18 + 0,18 + 0,18 9 0,16 + 0,16 + 0,16 7,5 0,14 + 0,14 + 0,14 5

67.000 + 72.500 + 55.000 2.000.000

14,575 + 15,125 + 13,75 439,775

7

(19)

Diperoleh = 19; = 7; = 3,9909 dengan Z = 9.270.273. Terlihat solusi pada Bagian belum optimal.

Pada bagian A dan B belum mendapatkan hasil yang optimal pada pencabangan (branch) yang kedua, maka akan dilakukan pemotongan (cut) yang kedua. Terlebih dahulu dicari pada bagian A yang terdapat bagian dan yang belum optimal.

Bagian

= 320 – 10,5 – 10,5 11 = 77 – 2,5 – 2,5 – 2 = 40 1,25 – 1,5 – 1,35 = 9 – 0,18 – 0,18 – 0,18 = 7,5 0,16 0,16 0,16 = 5 – 0,14 – 0,14 – 0,14

= 2.000.000 – 67.000 – 72.500 – 55.000 = 18 –

= 162,7248 – 5,3177 – 5,5005 – 5,6005

(20)

Pada bagian , nilai yang melakukan pemotongan, sehingga melalui iterasi baris dapat dibentuk persamaan sebagai berikut:

– – 0 di mana:

– – (–0,9495 – (–1)) – (0,1786– 0 0,0893 – 0,0595 – 0,1786 0

Selanjutnya dan disubstitusikan menjadi: 0,0893 – 0,0505( ) –

0,1786 – – – 0

0,0893 – 0,909 + 0,0505 – 29,0626 + 0,9497 + 0,982 + 1,0002 0 (0,093 – 0,909 – 29,0626) + (0,0505 + 0.9497) + 0,982 + 1,0002 0

– 29,8786 + 1,0002 + 0,982 + 1,0002 0 1,0002 + 0,982 + 1,0002 29,8786

(21)

Diperoleh = 16; = 7; = 5 dengan Z = 9.266.000. Terlihat solusi pada Bagian sudah optimal. Selanjutnya akan diselesaikan pada bagian .

Bagian

= 320 – 10,5 – 10,5 11 = 77 – 2,5 – 2,5 – 2 = 40 1,25 – 1,5 – 1,35 = 9 – 0,18 – 0,18 – 0,18 = 7,5 0,16 0,16 0,16

= 5 –0,14 – 0,14 – 0,14

= 2.000.000 – 67.000 – 72.500 – 55.000 = 18 –

(22)

Dalam Tabel 3.28 dapat dilihat bahwa nilai dan yang belum optimal, salah satu akan dilakukan pemotongan dimisalkan yang akan melakukan pemotongan (cut).

Tabel 3.28 Iterasi 8 Bagian dengan menggunakan Software QM

Pada bagian , diambil nilai yang melakukan pemotongan, sehingga melalui iterasi baris dapat dibentuk persamaan sebagai berikut:

3,0876 – 0,0001 = 4,6544 Berdasarkan rumusan Irisan Gomory:

– – 0 di mana:

– – (3,0876 – 3) – (–0,0001 – – 0 0,6544 – 0,0876 – 0,9999 0

Selanjutnya dan disubstitusikan menjadi: 0,6544 – 0,0876(40 1,25 – 1,5 – 1,35 –

0,9999 – – – 0

0,6544 – 3,504 + 0,1095 + 0,1314 + 0,1182 – 1999800 + 66993,3 + 72492,75 + 54994,5 0

(0,6544 – 3,504 – 1.999.800) + (0,1095 + 66993,3) (0,1314 + 72492,75) + (0,1182 + 54994,5) 0

– 1.999.802,85 + 66.993,4095 + 72.492,8814 + 54.994,6182 0 66.993,4095 + 72.492,8814 + 54.994,6182 1.999.802,85

(23)

Selanjutnya pada Bagian akan ditambahkan kendala 66.993,4095 + 72.492,8814 + 54.994,6182 1.999.802,85

Tidak diperoleh hasil yang fisibel. Selanjutnya dicari pada bagian B yang terdapat bagian dan yang belum optimal.

Bagian

= 320 – 10,5 – 10,5 11 = 77 – 2,5 – 2,5 – 2 = 40 1,25 – 1,5 – 1,35 = 9 – 0,18 – 0,18 – 0,18 = 7,5 0,16 0,16 0,16 = 5 – 0,14 – 0,14 – 0,14

= 2.000.000 – 67.000 – 72.500 – 55.000 = 19 –

(24)

+ 0,9138 – 0,6583 = 5,0792 Berdasarkan rumusan Irisan Gomory:

– – 0 di mana:

– – ( – 0) – (–0,6538 – – 0

0,0792 – 0,9138 – 0,3417 0

Selanjutnya dan disubstitusikan menjadi: 0,0792 – 0,9138( 320 – 10,5 – 10,5 11 –

0,3417 – – – 0

0,0792 – 292,416 + 9,5949 + 9,5949 + 10,0518 – 150,2711 + 4,9802 + 5,1682 + 4,6983 0

(0,0792 – 292,416 – 150,2711) + (9,5949 + 4,9802) + (10,0518 + 4,6983) 0

– 442,6079 + 14,5751 + 14,7631 + 14,7501 0

14,5751 + 14,7631 + 14,7501 442,6079

(25)

Diperoleh = 19,2281; = 6; = 5,0019 dengan Z = 9.323.582. Terlihat solusi pada Bagian belum optimal. Selanjutnya akan diselesaikan pada bagian

. Bagian

= 320 – 10,5 – 10,5 11 = 77 – 2,5 – 2,5 – 2 = 40 1,25 – 1,5 – 1,35 = 9 – 0,18 – 0,18 – 0,18 = 7,5 0,16 0,16 0,16 = 5 – 0,14 – 0,14 – 0,14

(26)

= 439,775 – 14,575 – 15,125 – 13,75

Dalam Tabel 3.34 dapat dilihat bahwa nilai yang belum optimal, maka yang akan melakukan pemotongan (cut).

– 1,2182 = 3,9909

Berdasarkan rumusan Irisan Gomory:

– 0 di mana:

– – (– 1,2182 – (– )) 0

0,9909 – 0,7818 0

Selanjutnya disubstitusikan menjadi: 0,9909 – 0,7818(19 – 0

0,9909 – 14,8542 + 0,7818 0

– 13,8633 + 0,7818 0

0,7818 13,8633

Jadi diperoleh pemotongan (cut) yaitu: 0,7818 13,8633

(27)

Tidak dihasilkan solusi yang fisibel.

Setelah melakukan pemotongan yang kedua, yang belum optimal, tetapi dan tidak mendapatkan nilai. Selanjutnya akan dilakukan pencabangan (branch) yang ketiga pada bagian , dimana terdapat 2 variabel yang belum optimal yaitu dan . Pada bagian , yang memiliki nilai variabel terbesar yaitu 19,2281 sehingga diperoleh dua kendala baru yang saling mutually exclusive, yaitu dan . Kemudian akan diuraikan dengan penambahan kendala baru ke dalam bagian dan bagian sebagai berikut: Bagian

(28)

0,14 + 0,14 + 0,14 5

67.000 + 72.500 + 55.000 2.000.000

14,575 + 15,125 + 13,75 439,775

6

14,5751 + 14,7631 + 14,7501 442,6079

Diperoleh = 19; = 6; = 5,2272 dengan Z = 9.321.174. Terlihat solusi pada Bagian belum optimal. Selanjutnya akan diselesaikan pada bagian . Bagian

(29)

2,5 + 2,5 + 2 77 1,25 + 1,5 + 1,35 40 0,18 + 0,18 + 0,18 9 0,16 + 0,16 + 0,16 7,5 0,14 + 0,14 + 0,14 5

67.000 + 72.500 + 55.000 2.000.000

14,575 + 15,125 + 13,75 439,775

6

14,5751 + 14,7631 + 14,7501 442,6079

(30)

ketiga. Terlebih dahulu dicari pada bagian yang terdapat bagian dan yang belum optimal.

Bagian

= 320 – 10,5 – 10,5 11 = 77 – 2,5 – 2,5 – 2 = 40 1,25 – 1,5 – 1,35 = 9 – 0,18 – 0,18 – 0,18 = 7,5 0,16 0,16 0,16 = 5 – 0,14 – 0,14 – 0,14

= 2.000.000 – 67.000 – 72.500 – 55.000 = 19 –

= 439,775 – 14,575 – 15,125 – 13,75 = 6 –

= 442,6079 – 14,5751 – 14,7631 – 14,7501

Dalam Tabel 3.41 dapat dilihat bahwa nilai yang belum optimal, jadi yang akan melakukan pemotongan (cut).

– 1,0009 0,0678 = 5,2272 Berdasarkan rumusan Irisan Gomory:

(31)

– – (–1,0009 – – – (0,0678 – 0 0,2272 – 0,9991 – 0,0678 0

Selanjutnya dan disubstitusikan menjadi:

0,2272 – 0,9991(6 – ) – 0,0678 442,6079 – 14,5751 – 14,7631 – 14,7501 0

0,2272 – 5,9946 + 0,9991 – 30,0088 + 0,9881 + 1,0009 + 0 (0,2272 – 5,9946 – 30,0088) + (0,9991 + 0,9881) + 1,0009 + 0

– 35,7762 + 1,9872 + 1,0009 + 0 1,9872 + 1,0009 + 35,7762

Jadi diperoleh pemotongan (cut) yaitu: 1,9872 + 1,0009 + 35,7762 Selanjutnya pada Bagian akan ditambahkan kendala 1,9872 + 1,0009 + 35,7762

Tidak diperoleh hasil yang fisibel. Selanjutnya akan diselesaikan pada bagian . Bagian

(32)

= 9 – 0,18 – 0,18 – 0,18 = 7,5 0,16 0,16 0,16

= 5 –0,14 – 0,14 – 0,14

= 2.000.000 – 67.000 – 72.500 – 55.000 = 19 –

= 439,775 – 14,575 – 15,125 – 13,75 = 6 –

= 442,6079 – 14,5751 – 14,7631 – 14,7501

– 0,7344 0,7524 = 4,7993 Berdasarkan rumusan Irisan Gomory:

– 0 di mana:

– – (–0,7344 – – – (0,7524 – 0 0,7993 – 0,2656 – 0,7524 0

Selanjutnya dan disubstitusikan menjadi:

0,7993 – 0,2656 (439,775 – 14,575 – 15,125 – 13,75 ) – 0,7524 442,6079

(33)

0,7793 – 116,8042 + 3,8711 + 4,0172 + 3,652 – 333,0181 + 10,9663 + 11,1077 + 11,0979 0

(0,7793 – 116,8042 – 333,0181) + (3,8711+ 10,9663) + (4,0172 + 11,1077) + (3,652 + 11,0979) 0

– 449,043 + 14,8374 + 15,1249 + 14,7499 0 14,8374 + 15,1249 + 14,7499 449,043

Selanjutnya pada Bagian akan ditambahkan kendala 14,8374 + 15,1249 + 14,7499 449,043

Tabel 3.46 Solusi Bagian dari Hasil Iterasi dengan Menggunakan Software QM

(34)

Dalam bentuk gambar disajikan sebagai berikut:

(35)

Dalam hal ini, sudah terdapat hasil yang optimal pada yaitu diperoleh = 16; = 7; = 5 dengan Z = 9.266.000. Dengan masing-masing rasa diproduksi antara lain rasa srikaya 16 adonan, rasa kelapa 7 adonan, rasa stroberi 5 adonan. Berdasarkan informasi bahwa 1 adonan akan memproduksi 360 buah roti. Maka diperoleh jumlah untuk masing-masing rasa roti yaitu:

1. Rasa roti srikaya sebanyak 16 adonan x 360 buah roti = 5.760 buah 2. Rasa roti kelapa sebanyak 7 adonan x 360 buah roti = 2.520 buah 3. Rasa roti stroberi sebanyak 5 adonan x 360 buah roti = 1.800 buah

(36)

BAB 4

KESIMPULAN DAN SARAN

4.1 Kesimpulan

Berdasarkan hasil analisis dari penelitian ini, maka dapat diambil kesimpulan sebagai berikut:

1. Hasil analisa dengan menggunakan metode branch and cut diperoleh jumlah roti 10.080 buah roti dan untuk masing-masing adonannya antara lain srikaya 16 adonan, kelapa 7 adonan, stroberi 5 adonan serta diperoleh keuntungan sebesar Rp. 9.266.000,-.

2. Metode branch and cut merupakan kombinasi metode cutting plane dengan metode branch and bound.

3. Penyelesaian masalah dengan metode branch and cut lebih efisien dari metode branch and bound dan cutting plane karena adanya bidang pemotongan atau cut.

4.2 Saran

(37)

BAB 2

LANDASAN TEORI

2.1 Program Linier

Program linier merupakan suatu model matematika untuk mendapatkan alternatif penggunaan terbaik atas sumber-sumber yang tersedia. Kata linier digunakan untuk menunjukkan fungsi matematika yang digunakan dalam bentuk linier, sedangkan program merupakan penggunaan teknik matematika tertentu. Jadi pengertian program linier adalah suatu teknis perencanaan yang bersifat analitis yang analisisnya menggunakan model matematika, dengan tujuan menemukan beberapa alternatif pemecahaan optimum terhadap persoalan (Aminudin, 2005).

Program linier berkaitan dengan maksimalisasi atau minimalisasi dari fungsi tujuan linier dengan beberapa variabel yang memiliki kesamaan dan ketaksamaan fungsi kendala. Program linier menggunakan model matematika untuk menjelaskan persoalan yang dihadapi. Sifat “linier” memberi arti bahwa seluruh fungsi matematis dalam model merupakan fungsi yang linier, demikian kata “program” merupakan sinonim untuk perencanaan. Dengan demikian program linier adalah perencanaan aktivitas-aktivitas untuk memperoleh suatu hasil yang optimum, yaitu suatu hasil yang mencapai tujuan terbaik di antara alternatif yang layak (Dantzig & Thapa, 1997).

Dimyati dan A. Dimyati (1987) juga mendefinisikan program linier sebagai suatu cara untuk menyelesaikan persoalan pengalokasian sumber-sumber yang terbatas di antara beberapa aktivitas, dengan cara terbaik yang mungkin dapat dilakukan. Formulasi model matematika dari persoalan pengalokasian sumber-sumber pada permasalahan program linier adalah sebagai berikut (Sitorus, 1997).

∑

(38)

∑ ∑

Program linier bilangan bulat merupakan suatu model program linier yang khusus digunakan untuk menyesuaikan suatu problem di mana nilai variabel-variabel keputusan dalam penyelesaian optimal haruslah merupakan bilangan integer. Persyaratan bahwa nilai variabel keputusan harus bilangan bulat mengingat jumlahnya tidak mungkin dalam bentuk pecahan, seperti rumah, pabrik, tugas, dan lain sebagainya (Sitorus, 1997).

2.1.1 Syarat Utama Program Linier

Agar dapat menyusun dan merumuskan suatu persoalan atau permasalahan yang dihadapi ke dalam model program linier, maka ada lima syarat yang harus dipenuhi (Sitorus, 1997):

1. Tujuan

Apa yang menjadi tujuan permasalahan yang dihadapi yang ingin dipecahkan dan dicari jalan keluarnya. Tujuan ini harus jelas dan tegas yang disebut fungsi tujuan.

2. Alternatif Perbandingan

Harus ada sesuatu atau berbagai alternatif yang ingin diperbandingkan, misalnya antara kombinasi waktu tercepat dan biaya tertinggi dengan waktu terlambat dan biaya terendah.

3. Sumber Daya

(39)

4. Perumusan Kuantitatif

Fungsi tujuan dan kendala harus dapat dirumuskan secara kuantitatif sesuai dengan yang disebut dalam model matematika.

5. Keterkaitan Variabel

Variabel-variabel yang membentuk fungsi tujuan dan kendala tersebut harus memiliki hubungan fungsional atau hubungan keterkaitan.

2.1.2 Jenis-jenis Fungsi Program Linier

Model program linier merupakan bentuk dan susunan dalam menyajikan masalah-masalah yang akan dipecahkan dengan teknik program linier. Dalam model program linier dikenal 2 (dua) jenis fungsi, yaitu:

1. Fungsi Tujuan (objective function) adalah fungsi yang menggambarkan tujuan/sasaran di dalam permasalahan program linier yang berkaitan dengan pengaturan secara optimal, untuk memperoleh keuntungan maksimum atau biaya minimum. Pada umumnya nilai yang akan dioptimalkan dinyatakan sebagai Z.

2. Fungsi Kendala (constraint function) adalah bentuk penyajian secara matematis batasan-batasan kapasitas yang tersedia yang akan dialokasikan secara optimal ke berbagai kegiatan.

2.1.3 Karakteristik Program Linier

Karakteristik-karakteristik dalam program linier yang biasa digunakan untuk memodelkan suatu masalah dan memformulasikannya secara matematika, yaitu (Siswanto, 2006):

1. Variabel Keputusan

Variabel keputusan adalah variabel yang menguraikan secara lengkap keputusan-keputusan yang akan dibuat. Variabel keputusan tidak negatif. 2. Fungsi Tujuan

(40)

ini dibatasi oleh kendala yang mencerminkan keterbatasan dari kapasitas waktu produksi kemampuan yang dimiliki.

3. Fungsi Kendala

Fungsi kendala merupakan batasan-batasan dalam penyelesaian program linier yang harus diperhatikan. Kendala diekspresikan dalam persamaan dan pertidaksamaan yang juga merupakan hubungan linier dari variabel keputusan yang mencerminkan keterbatasan sumber daya dalam suatu masalah.

2.1.4 Asumsi dalam Program Linier

Dalam menggunakan model program linier, diperlukan beberapa asumsi sebagai berikut:

1. Asumsi Linieritas (Linearity)

Fungsi tujuan (objective function) dan fungsi kendala (constraint) dibuat dalam fungsi linier. Sifat linieritas suatu kasus dapat ditentukan dengan menggunakan beberapa cara, misalnya dengan menggunakan grafik.

2. Asumsi Kesebandingan (Propotionality)

a. Kontribusi variabel keputusan terhadap fungsi tujuan adalah sebanding dengan nilai variabel keputusan.

b. Kontribusi variabel keputusan terhadap ruas kiri dari setiap pembatas juga sebanding dengan nilai variabel keputusan itu.

3. Asumsi Penambahan (Additivity)

Sifat penambahan mengasumsikan bahwa tidak terdapat bentuk perkalian silang pada model, baik fungsi tujuan maupun fungsi kendala.

4. Asumsi Pembagian (Divisibility)

Dalam persoalan program linier, variabel keputusan boleh diasumsikan berupa bilangan bulat (integer) atau bilangan pecahan.

5. Asumsi Kepastian (Certainty)

(41)

6. Asumsi Ketidaknegatifan (Nonnegativity)

Nilai variabel keputusan harus lebih besar atau sama dengan nol.

2.1.5 Istilah-istilah yang digunakan dalam Program Linier Dalam program linier, dikenal dengan istilah-istilah sebagai berikut: 1. Solusi Fisibel dan Solusi Infisibel

Solusi fisibel adalah solusi yang memenuhi semua syarat pembatas, sedangkan solusi infisibel adalah solusi yang sekurang-kurangnya memuat tidak memenuhi salah satu syarat pembatas.

2. Solusi Optimal

Solusi optimal adalah solusi fisibel yang memiliki nilai fungsi tujuan paling menguntungkan. Nilai fungsi tujuan paling menguntungkan adalah nilai terbesar untuk fungsi tujuan maksimum, dan nilai terkecil untuk fungsi tujuan minimum. Kebanyakan masalah dalam program linier hanya memiliki sebuah nilai optimum, akan tetapi dimungkinkan adanya jawaban optimum yang tidak tunggal. Jika ditemukan jawaban optimum tidak tunggal umumnya jawaban optimum tersebut adalah banyak.

3. Solusi Fisibel Titik Ujung (ekstrim)

Solusi fisibel titik ujung (ekstrim) adalah solusi yang terletak pada titik- ujung (titik ekstrim).

2.2 Program Bilangan Bulat

Menurut Mulyono (2004), program bilangan bulat dibutuhkan ketika keputusan harus dalam bentuk bilangan integer. Model matematika dari program bilangan bulat sebenarnya sama dengan model program linier, dengan tambahan batasan bahwa variabel keputusannya harus bilangan integer. Program bilangan bulat adalah suatu program linier dengan tambahan persyaratan bahwa semua atau beberapa variabel bernilai bulat non negative.

(42)

solusi yang diperoleh adalah bilangan bulat bukan bilangan pecahan. Contoh persoalan yang sering ditemui misalnya menentukan banyaknya mobil yang harus diproduksi, banyaknya unit rumah yang akan dibangun pada suatu proyek perumahan, banyaknya orang yang diperlukan untuk mengerjakan suatu proyek dan sebagainya. Program bilangan bulat memiliki model matematika yang sama dengan model program linier pada umumnya hanya saja ditambah batasan bahwa variabelnya harus bilangan bulat sebagai berikut (Syahputra, 2012).

∑

2.2.1 Beberapa Jenis Keputusan Persoalan Integer Programming

2.2.1.1 Pemrograman Bilangan Bulat Murni (Pure Integer Programming) Pure Integer Programming (PIP) merupakan pemrograman bilangan bulat di mana semua nilai variabel keputusan haruslah bilangan bulat. Bentuk umum pure integer programming sama dengan bentuk umum program bilangan bulat yang terdapat pada rumus 2.2.

(43)

bernilai bilangan desimal atau pecahan. Bentuk umum mixed integer variabel keputusan tidak harus bilangan bulat

koefisien variabel keputusan dalam fungsi kendala

2.2.1.3 Program Bilangan Bulat Biner (Binary Integer Programming)

Bentuk lain dari masalah program bilangan bulat adalah Binary Integer Programming (BIP). Dalam persoalan binary integer programming nilai variabel keputusannya adalah bilangan biner (0 atau 1).

Dalam aplikasi sehari-hari, masalah binary integer programming menyangkut masalah pengambilan keputusan, di mana jika solusi yang didapat berupa angka 1 berarti menyatakan “ya” atau angka 0 berarti menyatakan “tidak”. Bentuk umum dari binary integer programming, yaitu (Syahputra, 2012).

∑

(44)

∑ ∑

Beberapa metode penyelesaian masalah program bilangan bulat adalah metode pembulatan (rounding method) dan metode grafik (graphic method).

2.2.2.1 Metode Pembulatan (Rounding Method)

Metode pembulatan sangat sederhana dan cepat dalam menyelesaikan masalah yang dihadapi. Sebelum metode ini diterapkan, maka terlebih dahulu dicari penyelesaian optimal dari problema dengan menggunakan metode program linier biasa. Selanjutnya, metode pembulatan diterapkan dengan cara melakukan pembulatan hasil nilai variabel keputusan (bilangan pecahan) yang diperoleh dari metode program linier (Sitorus, 1997).

(45)

2.2.2.2 Metode Grafik (Graphic Method)

Metode grafik relatif lebih mudah untuk menyelesaikan masalah program bilangan bulat dengan dua variabel yaitu dengan menggambar grafik di atas kertas grafik kemudian menggambarkan sekumpulan titik-titik bilangan bulat dalam ruang solusi layak (Syahputra, 2012).

Metode grafik hanya dapat dilakukan apabila jumlah variabel keputusan adalah dua. Metode ini menggunakan pendekatan pencarian. Untuk mencari penyelesaian optimal, dilakukan dengan cara mencari titik penyelesaian optimal yang terdapat di dalam daerah kelayakan dengan koordinatnya harus bilangan integer yang mendekati titik optimal yang diperoleh dengan menggunakan metode grafik biasa.

Diberikan suatu permasalahan yang akan diselesaikan dengan pendekatan grafik sebagai berikut:

Contoh 2.1

Tentukan nilai bilangan bulat dari masalah berikut: Maksimumkan Z = 3 + 4

Kendala + 6

+ 9

adalah bilangan bulat

(46)

Solusi optimum pada contoh 2.1 dapat dilihat berdasarkan Gambar 2.1 yaitu , dan . Untuk mencari solusi optimum yang bernilai bilangan bulat pada contoh 2.1, garis Z digeser secara sejajar dari titik yang menunjukkan solusi optimum menuju titik asal. Solusi optimum yang benilai bilangan bulat adalah titik bilangan bulat pertama yang bersinggungan dengan garis Z yaitu , dan .

2.3 Metode Simpleks

Pada tahun 1947 George Dantzig mengajukan suatu metode yang tepat untuk menyelesaikan permasalahan program linier yang disebut metode simpleks. Metode simpleks merupakan prosedur aljabar yang bersifat iteratif yang bergerak selangkah demi selangkah, dimulai dari titik ekstrim pada daerah layak menuju titik ekstrim optimum (Siagian, 2006).

Ada beberapa istilah yang sering digunakan dalam metode simpleks, di antaranya:

1. Iterasi adalah tahapan perhitungan di mana nilai dalam perhitungan itu tergantung dari nilai tabel sebelumnya.

2. Variabel non basis adalah variabel yang nilainya diatur menjadi nol pada sembarang iterasi. Dalam terminologi umum, jumlah variabel non basis selalu sama dengan derajat bebas dalam sistim persamaan.

3. Variabel basis merupakan variabel yang nilainya bukan nol pada sembarang iterasi. Pada solusi awal, variabel basis merupakan variabel slack (jika fungsi kendala merupakan pertidaksamaan ≤) atau variabel buatan (jika fungsi kendala menggunakan pertidaksamaan ≥ atau =). Secara umum, jumlah variabel basis selalu sama dengan jumlah fungsi pembatas (tanpa fungsi non negatif).

4. Solusi atau nilai kanan merupakan nilai sumber daya pembatas yang masih tersedia. Pada solusi awal, nilai kanan atau solusi sama dengan jumlah sumber daya pembatas awal yang ada, karena aktivitas belum dilaksanakan. 5. Variabel slack adalah variabel yang ditambahkan ke model matematika

(47)

Penambahan variabel ini terjadi pada tahap inisialisasi. Pada solusi awal, variabel slack akan berfungsi sebagai variabel basis.

6. Variabel surplus adalah variabel yang dikurangkan dari model matematika kendala untuk mengkonversikan pertidaksamaan ≥ menjadi persamaan (=). Penambahan ini terjadi pada tahap inisialisasi. Pada solusi awal, variabel surplus tidak dapat berfungsi sebagai variabel basis.

7. Variabel buatan adalah variabel yang ditambahkan ke model matematika kendala dengan bentuk ≥ atau = untuk difungsikan sebagai variabel basis awal. Penambahan variabel ini terjadi pada tahap inisialisasi. Variabel ini harus bernilai 0 pada solusi optimal, karena kenyataannya variabel ini tidak ada. Variabel hanya ada di atas kertas.

8. Kolom pivot (kolom kerja) adalah kolom yang memuat variabel masuk. Koefisien pada kolom ini akan menjadi pembagi nilai kanan untuk menentukan baris pivot (baris kerja).

9. Baris pivot (baris kerja) adalah salah satu baris dari antara variabel basis yang memuat variabel keluar.

10. Elemen pivot (elemen kerja) adalah elemen yang terletak pada perpotongan kolom dan baris pivot. Elemen pivot akan menjadi dasar perhitungan untuk tabel simpleks berikutnya.

11. Variabel masuk adalah variabel yang terpilih untuk menjadi variabel basis pada iterasi berikutnya. Variabel masuk dipilih satu dari antara variabel non basis pada setiap iterasi. Variabel ini pada iterasi berikutnya akan bernilai positif.

12. Variabel keluar adalah variabel yang keluar dari variabel basis pada iterasi berikutnya dan digantikan oleh variabel masuk. Variabel keluar dipilih satu dari antara variabel basis pada setiap iterasi. Variabel ini pada iterasi berikutnya akan bernilai nol.

Berikut langkah-langkah dalam menyelesaikan permasalahan program linier dengan metode simpleks (Handayani, 2014):

1. Konversikan formulasi persoalan ke dalam bentuk standar.

(48)

dengan cara menambahkan variabel slack, surplus dan variabel buatan (artifisial variabel) pada tiap batasan (constraint) serta memberi harga nol pada setiap koefisien tujuannya. Batasan dapat dimodifikasi sebagai berikut: a. Untuk batasan bernotasi diubah ke dalam bentuk persamaan dengan

menambahkan variabel slack.

b. Untuk batasan bernotasi atau diselesaikan dengan menambahkan variabel surplus dan variabel buatan. Dengan penambahan variabel buatan ini akan merusak sistim batasan, hal ini dapat diatasi dengan membuat suatu bilangan penalty M (M bilangan positif yang sangat besar) sebagai harga dari variabel buatan tersebut dalam fungsi tujuan. Untuk kasus maksimasi maka dibuat –M sebagai harga dari variabel buatan dan untuk kasus minimasi dibuat +M sebagai harga dari variabel buatan. Cara pendekatan ini dikenal dengan metode M besar (Big M method).

(49)

5. Tentukan nilai elemen cell, yaitu nilai perpotongan antara kolom kunci dan baris kunci.

6. Lakukan iterasi dengan menentukan baris kunci baru, baris Z baru, dan baris variabel-variabel slack baru.

a. Baris kunci baru ditentukan dengan membagi baris kunci lama dengan elemen cell.

b. Baris Z baru dan baris-baris lainnya ditentukan dengan cara:

Baris lama – (nilai kolom kunci baris yang sesuai × baris kunci baru) c. Letakkan nilai-nilai baris yang baru diperoleh ke dalam tabel.

7. Lakukan uji optimalisasi. Jika semua koefisien pada baris ( ) sudah tidak ada lagi yang bernilai positif (untuk kasus maksimasi) atau sudah tidak ada lagi yang bernilai negatif (untuk kasus minimasi) berarti sudah optimal. Jika kriteria belum terpenuhi, diulangi dari langkah 3.

Diberikan suatu permasalahan yang akan diselesaikan dengan metode simpleks sebagai berikut:

a. Konversikan formulasi persoalan ke dalam bentuk standar sebagai berikut: maksimumkan Z = +

kendala + + + = 60 + + + = 48

b. Menyusun persamaan-persamaan ke dalam tabel simpleks sebagai berikut:

(50)

Variabel

c. Memilih kolom kunci, dikarenakan pada masalah merupakan kasus maksimasi maka dipilih nilai yang paling positif sebagai berikut: Tabel 2.3 Proses 1 Tabel Simpleks Menuju Iterasi 1 pada Contoh 2.2

8 6 0 0 kunci yang telah dipilih, kemudian dipilih nilai yang paling terkecil sebagai berikut:

( ₎

maka keluar dari variabel basis dan masuk dalam variabel basis, sehingga diperoleh sebagai berikut:

Tabel 2.4 Proses 2 Tabel Simpleks Menuju Iterasi 1 pada Contoh 2.2

8 6 0 0

(51)

dan menentukan baris yang lainnya yaitu dengan cara sebagai berikut:

serta menentukan baris yang baru yaitu dengan cara sebagai berikut: mengalikan nilai variabel basis pada kolom harga basis dengan kolom

masing-masing variabel, kemudian baris dikurang dengan hasil , sehingga hasilnya diperoleh sebagai berikut:

Tabel 2.5 Tabel Simpleks Iterasi 1 pada Contoh 2.2

8 6 0 0

f. Melakukan uji optimalisasi, dalam masalah ini kasusnya maksimasi maka nilai pada baris tidak ada lagi yang bernilai positif.

Dan terlihat bahwa pada Tabel 2.5 masih ada yang bernilai positif maka dilanjutkan ke iterasi 2, proses pengerjaan pada iterasi 2 sama dengan proses pengerjaan pada iterasi 1, sehingga diperoleh solusi optimumnya pada iterasi 2, setelah menguji optimalisasi pada iterasi 2 terlihat bahwa baris tidak ada lagi yang bernilai positif, dapat dilihat Tabel 2.6 sebagai berikut:

Tabel 2.6 Solusi Optimum Awal pada Iterasi 2 Contoh 2.2

(52)

2.4 Metode Branch and Bound

Menurut Fien Zulfikarijah (2004), branch and bound adalah metode umum untuk mencari solusi optimal dari berbagai masalah optimasi. Metode ini pertama kali diperkenalkan oleh A.H. Land dan A.G. Doig pada tahun 1960.

Metode branch and bound adalah salah satu metode untuk mendapatkan penyelesaian optimal pada program linier yang menghasilkan variabel-variabel keputusan bilangan bulat. Metode ini membatasi penyelesaian optimum yang akan menghasilkan bilangan pecahan dengan cara membuat cabang atas dan bawah bagi masing-masing variabel keputusan yang bernilai pecahan agar bernilai bulat sehingga setiap pembatasan akan menghasilkan cabang baru.

Prinsip dasar metode ini adalah memecah daerah fisibel layak suatu masalah program linier dengan membuat submasalah. Ada dua konsep dasar dalam metode branch and bound:

1. Branching adalah proses membagi-bagi permasalahan menjadi subproblem-subproblem yang mungkin mengarah ke solusi.

2. Bounding adalah suatu proses untuk mencari/menghitung batas atas dan batas bawah untuk solusi optimal pada subproblem yang mengarah ke solusi.

Prosedur penyelesaian problema program linier integer dengan metode ini adalah sebagai berikut:

1. Penyelesaian Optimal Dengan Metode Program Linier Biasa

Problema yang dihadapi diselesaikan terlebih dahulu dengan menggunakan metode program linier biasa (metode grafik atau metode simpleks) sampai diperoleh hasil optimal.

2. Pemeriksaan Penyelesaian Optimal

Hasil optimal pada langkah 1 diperiksa apakah variabel keputusan yang diperoleh bernilai integer atau pecahan. Apabila ternyata nilai semua variabel keputusan tersebut merupakan bilangan bulat positif, maka penyelesaian optimal telah tercapai. Apabila tidak, maka proses iterasi dilanjutkan.

(53)

Apabila penyelesaian optimal belum tercapai, maka peroblema tersebut dimodifikasi ke dalam dua subproblema (branching) dengan memasukkan kendala baru ke masing-masing subproblema tersebut.

4. Penentuan Nilai Batas (Bounding)

Hasil optimal yang diperoleh dengan metode program linier biasa merupakan nilai batas atas bagi setiap subproblema. Sedangkan hasil optimal dengan penyelesaian integer merupakan nilai batas bawah bagi masing-masing subproblema. Selanjutnya apabila subproblema yang memiliki batas atas yang lebih rendah dari batas bawah yang berlaku, maka subproblema tersebut tidak perlu dianalisis lagi. Apabila dalam penyelesaian integer menghasilkan hasil yang sama atau lebih baik dari pada nilai batas atas dari setiap problema, maka penyelesaian optimal integer telah tercapai. Apabila tidak, maka subproblema yang memiliki nilai batas atas yang terbaik dipilih selanjutnya menjadi subproblema baru. Proses iterasi kembali pada langkah 2 sehingga demikian seterusnya.

Penggunaan metode branch and bound banyak sekali di antaranya knapsack problem, integer programming, travelling sales problem, cutting stock problem dan banyak lagi kegunaannya. Penggunaan metode ini tentulah untuk mencari nilai pembulatan terbaik pada masing-masing masalah.

2.5 Metode Cutting Plane

Metode cutting plane dikembangkan untuk menemukan solusi optimum bagi program bilangan bulat. Metode ini dilakukan dengan menambahkan suatu kendala yang dinamakan kendala gomory. Penambahan kendala gomory dilakukan pada tabel optimal sehingga dapat mempersingkat perhitungan (Siagian, 2006).

(54)

ruang penyelesaian yang tidak berisi titik bilangan bulat yang layak, tetapi tidak pernah menyingkirkan satupun titik bilangan bulat yang layak (Taha, 1996).

Metode cutting plane digunakan untuk permasalahan yang variabel keputusannya harus bernilai bilangan bulat. Program linier tidak efektif untuk menyelesaikan permasalahan tersebut sehingga dikembangkan metode cutting plane yang lebih efektif dan memberikan hasil yang lebih baik. Langkah-langkah penyelesaian program bilangan bulat dengan metode cutting plane sebagai berikut:

1. Selesaikan masalah program bilangan bulat dengan menggunakan metode simpleks. Jika masalah sederhana, kendala gomory dapat diselesaikan dengan pendekatan grafik, sehingga pendekatan kendala gomory kurang efisien. 2. Periksa solusi optimum. Jika semua variabel basis memiliki nilai bilangan

bulat, solusi optimum yang berupa bilangan bulat telah diperoleh dan proses solusi telah berakhir. Jika satu atau lebih variabel basis masih memiliki nilai pecah, teruskan ke tahap 3.

3. Buatlah suatu kendala gomory dan cari solusi optimum melalui prosedur dual simpleks. Kembali ke tahap 2 (Taha, 1996).

Tabel 2.7 Solusi Optimum Masalah Program Linier ... ... ...

(55)

∑ ∑

sehingga adapun kendala gomory yang diinginkan sebagai berikut:

∑ ∑

(56)

main biasanya dipilih persamaan yang memiliki maksimum. Adapun tabel baru setelah penambahan kendala gomory disajikan pada Tabel 2.8 sebagai berikut:

Tabel 2.8 Penambahan Kendala Gomory

Karena diperoleh solusi primal optimum tetapi tidak layak maka digunakan metode dual simpleks. Proses pembentukan kendala gomory berakhir jika solusi optimum diperoleh bilangan bulat. Jika tidak, suatu kendala gomory baru dibuat kembali dari tabel yang dihasilkan dan metode dual simpleks digunakan kembali untuk mengatasi ketidaklayakan. Jika pada setiap iterasi metode dual simpleks menunjukkan bahwa tidak ada solusi layak, berarti masalah itu tidak memiliki solusi integer yang layak. Metode cutting plane mempunyai dua kelemahan sebagai berikut:

1. Kesalahan pembulatan yang muncul dalam perhitungan otomatis akan mendistorsi data semula terutama dengan bertambahnya ukuran masalah. 2. Solusi masalah tetap tidak layak, artinya tidak ada solusi integer yang dapat

diperoleh sampai solusi integer optimum dicapai. Ini berarti bahwa tidak ada solusi integer yang baik jika perhitungan dihentikan sebelum mencapai solusi integer yang optimum (Taha, 1996).

(57)

(58)

BAB 1

PENDAHULUAN

1.1Latar Belakang

Pertumbuhan unit kegiatan dalam negeri didominasi oleh industri makanan, salah satunya produk roti yang menunjukkan bahwa minat masyarakat terhadap produk roti terus bertambah. Hal ini mengindikasikan bahwa usaha roti masih dapat terus berkembang dan merupakan salah satu pasar potensial untuk mencapai keuntungan optimum.

Makanan merupakan kebutuhan utama manusia dalam menjalani kehidupan setiap hari. Seiring berjalannya waktu muncullah berbagai variasi makanan, salah satunya produk roti. Di Indonesia, industri makanan terus berkembang, krisis global yang terjadi tidak banyak memberikan pengaruh terhadap keberadaan produk roti karena adanya waktu kadaluarsa.

Roti adalah produk pangan olahan yang merupakan hasil proses pemanggangan adonan yang telah difermentasi. Bahan utama dalam pembuatan roti terdiri dari tepung, air, ragi roti, gula, mentega dan garam sedangkan bahan tambahannya terdiri dari pengembang dan pelembut. Jenis roti yang diproduksi di perusahaan tergantung pada rasa, antara lain, rasa srikaya, kelapa, dan stroberi. Ketiga jenis rasa ini memiliki bahan dengan kandungan yang sama dan yang membedakannya hanya rasa dan ukuran saja.

Pertumbuhan produksi roti pada perusahaan ini berkembang dengan pesat dan mendorong upaya efisiensi produksi dengan cara menghemat energi dan menurunkan biaya penggunaan bahan baku. Oleh karena itu industri roti perlu menetapkan pemakaian bahan baku yang digunakan untuk membuat roti tersebut. Bahan bakunya antara lain tepung, gula, garam, mentega, pelembut, dan pengembang. Agar pembuatan roti untuk setiap jenis rasa mencapai optimal maka penulis menggunakan metode branch and cut.

(59)

solusi optimal. Dalam kehidupan sehari-hari banyak masalah yang dapat diformulasikan ke dalam model matematika. Ada situasi yang menghasilkan model matematika dengan beberapa atau semua variabel harus bulat. Misalnya pembuatan jadwal penerbangan, pemilihan suatu lokasi membangun pabrik, pembuatan jaringan dalam peredaran barang, juga beberapa masalah dalam dunia militer, industri, kesehatan, dan lain sebagainya. Masalah-masalah ini membutuhkan

Berdasarkan uraian yang penulis jelaskan di atas maka penulis memilih judul tugas akhir “Pengoptimalan Jumlah Produksi Roti dengan Menggunakan Metode Branch and Cut (Studi Kasus: Toko Roti Hoya)”.

1.2 Perumusan Masalah

Berkaitan dengan judul yang akan penulis teliti adalah bagaimana menentukan jumlah bahan baku optimal untuk memperoleh jumlah/banyaknya roti yang akan dibuat dari masing-masing jenis agar dapat mengoptimalkan biaya produksi.

1.3 Batasan Masalah

Dalam penulisan tugas akhir ini, penulis memberikan batasan masalah yaitu: 1. Dipilih 3 jenis rasa pada toko roti, antara lain: rasa srikaya, rasa kelapa,

rasa stroberi.

2. Dalam menyelesaikan produksi, harga/biaya bahan baku dianggap konstan, tidak terpengaruh oleh waktu dan faktor-faktor lain.

3. Hal-hal yang berhubungan dengan masalah pengadaan bahan baku dianggap selalu tersedia.

1.4 Tujuan Penelitian

(60)

digunakan dalam hal mengoptimalkan bahan baku pembuatan roti pada Toko Roti Hoya.

1.5 Kontribusi Penelitian

1. Sebagai bahan referensi menambah wawasan dan memperkaya literatur pada bidang operasi riset yang berhubungan dengan metode branch and cut.

2. Salah satu cara bagi pembaca agar dapat mempelajari dan mengembangkan ilmu matematika dalam berbagai permasalahan.

3. Untuk bahan pertimbangan bagi pembaca antara metode branch and cut dengan metode-metode lainnya yang ada pada pembahasan Program Integer.

1.6 Tinjauan Pustaka

Ernawati (2010) dalam makalahnya yang berjudul “Analisis Perubahan Koefisien Fungsi Tujuan Secara Simpleks pada Masalah Program Linier

Bilangan Bulat” mengatakan bahwa program linier bilangan bulat merupakan suatu program linier dengan variabel keputusannya merupakan bilangan bulat, sehingga pada bentuk umum program linier terdapat syarat tambahan bahwa variabel keputusannya harus bilangan bulat. Pada masalah program linier bilangan bulat untuk pola memaksimumkan, nilai tujuan dari program linier bilangan bulat tidak akan pernah melebihi nilai tujuan dari program linier.

Terdapat tiga macam permasalahan dalam program linier bilangan bulat, yaitu sebagai berikut:

1. Program bilangan bulat murni (Pure Integer Programming) yaitu program linier bilangan bulat yang menghendaki semua variabel keputusan harus merupakan bilangan bulat non-negatif.

(61)

3. Program bilangan bulat biner (Zero One Integer Programming) yaitu program linier bilangan bulat yang menghendaki semua variabel keputusan harus bernilai 0 atau 1.

Avijit Sarkar (2000) dalam makalahnya yang berjudul ”Branch and Cut Algorithms for Combinatorial Optimization Problems” mengatakan bahwa algoritma branch and cut memodifikasi strategi dasar branch and bound dengan mencoba menguatkan Linear Programming Relaxation (LPR) dari permasalahan Integer Programming (IP) dengan pertidaksamaan baru sebelum melakukan pencabangan solusi bagian. Branch and bound murni dapat dipercepat dengan menggunakan cutting plane baik di awal diagram pohon branch and bound maupun di tiap-tiap nodenya, karena cutting plane mampu mengurangi banyak diagram pohon tersebut. Branch and cut dapat digunakan dalam penyambungan dengan heuristic untuk memperoleh batas yang lebih rendah pada nilai optimal dengan menggunakan algoritma branch and bound.

Dwi Hayu Agustini (2004) mengemukakan bahwa metode simpleks dikembangkan oleh George Dantzing pada tahun 1947. Metode simpleks berbeda dengan metode grafik karena hanya dapat menyelesaikan kasus dengan paling banyak 3 variabel keputusan, sedangkan metode simpleks dapat digunakan untuk memecahkan kasus dengan banyak variabel keputusan.

Shon Albert (2011) dalam makalahnya yang berjudul “Solving Mixed Integer Linear Programs Using Branch and Cut Algorithm” menerangkan bahwa metode branch and cut menggabungkan keuntungan dari skema branch and bound murni dan skema gomory cutting plane. Menyelesaikan masalah dengan metode branch and cut akan lebih cepat dibandingkan dengan branch and bound.

Prosedur metode branch and cut adalah menyelesaikan rangkaian relaksasi program linier dari masalah mixed integer linier programming. Metode cutting plane memperbaharui relaksasi dari masalah untuk lebih mendekati ke penyelesaian yang merupakan bilangan bulat, dan metode branch and bound memproses dengan membagi dan menyelesaikan (devide and conquer) masalah.

(62)

2. Jika hasil yang diinginkan bulat, maka persoalan sudah optimal. Jika tidak, maka lakukan pencabangan (branch) dan pemotongan (cut).

3. Jika hasil yang diinginkan sudah bulat, maka persoalan sudah optimal. Jika tidak kembali ke langkah 2.

1.7 Metodologi Penelitian

Penelitian ini adalah penelitian studi kasus yang disusun dengan langkah-langkah sebagai berikut:

1. Mencari literatur dari beberapa buku, jurnal, situs dan karya tulis lainnya yang berhubungan dengan metode branch and cut.

2. Observasi ke tempat penelitian dan memahami informasi dari teori yang berkaitan dengan topik penelitian. Data yang diambil:

a. Bahan-bahan yang digunakan yaitu: tepung terigu, gula, garam, mentega, pelembut, pengembang.

b. Jenis roti diambil berdasarkan rasa yakni rasa srikaya, rasa kelapa, rasa stroberi.

3. Pengambilan dan pengumpulan data tentang bahan-bahan yang digunakan untuk memproduksi jenis-jenis roti.

a. Data komposisi pemakaian bahan baku untuk setiap jenis rasa. b. Data persediaan bahan baku di gudang.

c. Harga jual dari masing-masing jenis roti.

4. Memaparkan serta menjelaskan konsep dengan metode branch and cut. 5. Mengolah data yang diperoleh dari Toko Roti Hoya dalam:

a. Memodelkan fungsi tujuan dan fungsi kendala ke dalam bentuk program linier.

b. Menghitung nilai variabel keputusan dengan Software QM.

(63)

PENGOPTIMALAN JUMLAH PRODUKSI ROTI DENGAN MENGGUNAKAN METODE BRANCH AND CUT

(Studi Kasus: Toko Roti Hoya)

ABSTRAK

Toko Roti Hoya memproduksi roti atas tiga jenis rasa, yakni rasa srikaya, kelapa dan stroberi. Masalah mengoptimalkan jumlah produksi akan dimodelkan ke dalam model matematika berupa program linier. Program linier merupakan suatu cara yang digunakan dalam pemecahan masalah pengalokasian sumber-sumber yang terbatas secara optimal. Metode yang akan digunakan adalah metode branch and cut. Metode branch and cut merupakan suatu metode yang digunakan untuk menyelesaikan masalah linear programming yang menghasilkan berupa penyelesaian dalam bentuk bilangan bulat (integer), metode ini merupakan perpaduan metode branch and bound dengan metode cutting plane. Dalam penelitian ini penulis menggunakan bantuan Software QM 4.0 untuk menyelesaikan masalah program linier. Jadi diperoleh keuntungan penjualan senilai Rp. 9.308.330,- dan jumlah roti yang bisa diproduksi dari bahan-bahan yang tersedia ialah 10.080 buah roti.

(64)

OPTIMIZATION OF THE AMOUNT OF PRODUCTION OF BREAD USING THE BRANCH AND CUT METHOD

(Case Study: Bakery Hoya)

ABSTRACT

Bakery Hoya produces bread on three types of flavors, the taste of sugar-apple, coconut and strawberry. Problems optimize production quantities will be modeled into a mathematical model of a linier program. Linier programming is a means used in problem solving allocation of limited resources optimally. The method used is branch and cut method. Branch and cut method is a method that used to solve linear programming problems that deliver the solution in integer form, this method is a mix of branch and bound method with the cutting plane method. In this study the authors used QM 4.0 Software help to resolve the problem of linear programming.So obtain sales gains worth Rp. 9.308.330,- and the amount of bread can be produced from materials that are available are 10.080 loaf.

(65)

PENGOPTIMALAN JUMLAH PRODUKSI ROTI DENGAN

MENGGUNAKAN METODE BRANCH AND CUT

(Studi Kasus: Toko Roti Hoya)

SKRIPSI

ERNITA SITOHANG

110803005

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN

ALAM

(66)

PENGOPTIMALAN JUMLAH PRODUKSI ROTI DENGAN

MENGGUNAKAN METODE BRANCH AND CUT

(Studi Kasus: Toko Roti Hoya)

SKRIPSI

Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat untuk mencapai gelar Sarjana Sains

ERNITA SITOHANG

110803005

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN

ALAM

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

MEDAN

(67)

PERSETUJUAN

Judul : Pengoptimalan Jumlah Produksi Roti Dengan Menggunakan Metode Branch And Cut (Studi Kasus: Toko Roti Hoya)

Kategori : Skripsi

Nama : Ernita Sitohang

Nomor Induk Mahasiswa : 110803005

Program Studi : Sarjana (S1) Matematika Departemen : Matematika

Fakultas : Matematika Dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara

Disetujui di Medan, Januari 2016

Komisi Pembimbing :

Pembimbing 2, Pembimbing 1,

Dr. Elly Rosmaini, M.Si. Dr. Faigiziduhu Bu’ulolo, M.Si NIP. 196005201985032002 NIP. 195312181980031003

Diketahui Oleh

Departemen Matematika FMIPA USU Ketua,

(68)

PERNYATAAN

SKRIPSI

Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil kerja saya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya.

Medan, Januari 2016

(69)

PENGHARGAAN

Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yang Maha Esa dengan kasih dan berkat-Nya penulis dapat menyelesaikan penyusunan skripsi ini dengan judul “Pengoptimalan Jumlah Produksi Roti Dengan Menggunakan Metode Branch And Cut (Studi Kasus: Toko Roti Hoya)”.

(70)

ABSTRAK

Toko Roti Hoya memproduksi roti atas tiga jenis rasa, yakni rasa srikaya, kelapa dan stroberi. Masalah mengoptimalkan jumlah produksi akan dimodelkan ke dalam model matematika berupa program linier. Program linier merupakan suatu cara yang digunakan dalam pemecahan masalah pengalokasian sumber-sumber yang terbatas secara optimal. Metode yang akan digunakan adalah metode branch and cut. Metode branch and cut merupakan suatu metode yang digunakan untuk menyelesaikan masalah linear programming yang menghasilkan berupa penyelesaian dalam bentuk bilangan bulat (integer), metode ini merupakan perpaduan metode branch and bound dengan metode cutting plane. Dalam penelitian ini penulis menggunakan bantuan Software QM 4.0 untuk menyelesaikan masalah program linier. Jadi diperoleh keuntungan penjualan senilai Rp. 9.308.330,- dan jumlah roti yang bisa diproduksi dari bahan-bahan yang tersedia ialah 10.080 buah roti.

(71)

OPTIMIZATION OF THE AMOUNT OF PRODUCTION OF BREAD USING THE BRANCH AND CUT METHOD

(Case Study: Bakery Hoya)

ABSTRACT

Bakery Hoya produces bread on three types of flavors, the taste of sugar-apple, coconut and strawberry. Problems optimize production quantities will be modeled into a mathematical model of a linier program. Linier programming is a means used in problem solving allocation of limited resources optimally. The method used is branch and cut method. Branch and cut method is a method that used to solve linear programming problems that deliver the solution in integer form, this method is a mix of branch and bound method with the cutting plane method. In this study the authors used QM 4.0 Software help to resolve the problem of linear programming.So obtain sales gains worth Rp. 9.308.330,- and the amount of bread can be produced from materials that are available are 10.080 loaf.