• Tidak ada hasil yang ditemukan

Penerapan Metode Cutting Plane Pada Pembulatan Hasil Program Linier Fuzzy

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2017

Membagikan "Penerapan Metode Cutting Plane Pada Pembulatan Hasil Program Linier Fuzzy"

Copied!
16
0
0

Teks penuh

(1)

BAB 2

LANDASAN TEORI

2.1 Program Linier

Program linier merupakan model matematik untuk mendapatkan alternatif penggunaan terbaik atas sumber-sumber organisasi. Kata sifat linier digunakan untuk menunjukkan fungsi-fungsi matematik yang digunakan dalam bentuk linier dalam arti hubungan langsung dan persis proporsional. Program menyatakan penggunaan teknik matematika tertentu. Jadi program linier adalah suatu teknik perencanaan yang bersifat analitis menggunakan model matematis dengan tujuan menemukan beberapa kombinasi alternatif pemecahan optimum terhadap persoalan (Aminuddin, 2005).

Program linier adalah suatu teknik penyelesaian optimal atas suatu problema keputusan dengan cara menentukan terlebih dahulu fungsi tujuan (memaksimalkan atau meminimalkan) dan kendala-kendala yang ada ke dalam model matematik persamaan linier. Program linier sering digunakan dalam penyelesaian problema-problema alokasi sumber daya, seperti dalam bidang

manufacturing, pemasaran, keuangan, personalia, administrasi, dan lain sebagainya (Sitorus, 1997).

2.1.1 Persyaratan Penyelesaian Program Linier

Syarat-syarat yang harus dipenuhi dalam merumuskan suatu problema keputusan ke dalam model matematik persamaan linier adalah sebagai berikut (Sitorus, 1997):

(2)

Apa yang menjadi tujuan permasalahan yang dihadapi yang ingin dipecahkan dan dicari jalan keluarnya. Tujuan ini harus jelas dan tegas yang disebut fungsi tujuan.

2. Alternatif Perbandingan

Harus ada sesuatu atau berbagai alternatif yang ingin diperbandingkan, misalnya antara kombinasi waktu tercepat dan biaya tertinggi dengan waktu terlambat dan biaya terendah.

3. Sumber Daya

Sumber daya yang dianalisis harus berada dalam keadaan yang terbatas. 4. Perumusan Kuantitatif

Fungsi tujuan dan kendala harus dapat dirumuskan secara kuantitatif sesuai dengan yang disebut dalam model matematika.

5. Keterkaitan Peubah

Peubah-peubah yang membentuk fungsi tujuan dan kendala tersebut harus memiliki hubungan fungsional atau hubungan keterkaitan.

2.1.2 Model Umum Matematik Program Linier

(3)

11 1+ 12 2+ + 1 = 1

21 1+ 22 2+ + 2 = 2

1 1+ 2 2+ + =

Sehingga untuk bentuk umum dari kendala program linier adalah:

=1 atau untuk = 1, 2, 3,…, 0 untuk = 1, 2, 3,…,

Keterangan:

= Fungsi tujuan

= Variabel keputusan

= Nilai kontribusi dari variabel keputusan

= Koefisien teknologi dari variabel keputusan dalam kendala

= Sumber daya yang tersedia dalam kendala

ke-2.1.3 Karakteristik Program Linier

Karakteristik-karakteristik dalam program linier yang biasa digunakan untuk memodelkan suatu masalah dan memformulasikannya secara matematik, yaitu (Siswanto, 2006):

1. Variabel Keputusan

Variabel keputusan adalah variabel yang secara lengkap menguraikan keputusan-keputusan yang akan dibuat.

2. Fungsi Tujuan

Fungsi tujuan merupakan suatu hubungan linier dari variabel keputusan yang berupa fungsi maksimum atau minimum.

3. Fungsi Kendala

(4)

pertidaksamaan yang juga merupakan hubungan linier dari variabel keputusan yang mencerminkan keterbatasan sumber daya dalam suatu masalah.

2.1.4 Metode Simpleks

Cara yang paling sederhana unrtuk menyelesaikan permasalahan program linier adalah dengan pendekatan grafikal. Namun cara tersebut hanya bisa diterapkan untuk program linier dengan dua variabel keputusan. Pada kenyataannya sebagian besar permasalahan program linier mempunyai lebih dari dua variabel keputusan. Hal ini tentu sulit untuk menerapkan pendekatan grafikal untuk memperoleh penyelesaian dari permasalahan tersebut.

Oleh karena itu, pada tahun 1947 George Dantzig mengajukan suatu metode yang tepat untuk menyelesaikan permasalahan program linier yang disebut metode simpleks. Metode simpleks merupakan prosedur aljabar yang bersifat iteratif yang bergerak selangkah demi selangkah, dimulai dari titik ekstrim pada daerah feasible (ruang solusi) menuju titik ekstrim yang optimum.

Berikut langkah-langkah dalam menyelesaikan permasalahan program linier dengan metode simpleks (Handayani, 2014):

1. Konversikan formulasi persoalan ke dalam bentuk standar.

Agar persamaan garis batasan memenuhi persyaratan penyelesaian daerah kelayakan (feasible) maka semua pertidaksamaan diubah menjadi persamaan dengan cara menambahkan variabel slack, surplus dan variabel buatan (artifisial variabel) pada tiap batasan (constraint) serta memberi harga nol pada setiap koefisien tujuannya. Batasan dapat dimodifikasi sebagai berikut:

a. Untuk batasan bernotasi diubah ke dalam bentuk persamaan dengan menambahkan variabel slack.

(5)

dapat diatasi dengan membuat suatu bilangan penalty M (M bilangan positif yang sangan besar) sebagai harga dari variabel buatan tersebut dalam fungsi tujuan. Untuk kasus maksimasi maka dibuat –M sebagai harga dari variabel buatan dan untuk kasus minimasi dibuat +M sebagai harga dari variabel buatan. Cara pendekatan ini dikenal dengan metode M besar (Big M method).

2. Susun persamaan-persamaan ke dalam tabel simpleks

Tabel 2.1. Bentuk Tabel Simpleks

1 ...

Basis Variabel

Basis

Harga

Basis �1 ... �

��1 1 11 ... 1 1

�� 1 ...

− − ... −

3. Pilih kolom kunci, yaitu kolom yang memiliki nilai − yang paling positif untuk kasus minimasi atau yang memiliki nilai − yang paling negatif untuk kasus maksimasi.

4. Pilih baris kunci yang memiliki nilai indeks terkecil. Nilai indeks adalah perbandingan nilai kanan dengan kolom kunci,

5. Tentukan nilai elemen cell, yaitu nilai perpotongan antara kolom kunci dan baris kunci.

6. Lakukan iterasi dengan menentukan baris kunci baru, baris Z baru, dan baris variabel-variabel slack baru.

a. Baris kunci baru ditentukan dengan membagi baris kunci lama dengan elemen cell.

(6)

Baris lama – (nilai kolom kunci baris yang sesuai × baris kunci baru) c. Letakkan nilai-nilai baris yang baru diperoleh ke dalam tabel.

7. Lakukan uji optimalisasi. Jika semua koefisien pada baris − sudah tidak ada lagi yang bernilai positif (untuk kasus minimasi) atau sudah tidak ada lagi yang bernilai negatif (untuk kasus maksimasi) berarti sudah optimal. Jika kriteria belum terpenuhi, diulangi dari langkah 3.

2.2 Program Bilangan Bulat

Program bilangan bulat ialah persoalan program linier di mana pemecahan optimalnya harus me nghasilkan bilangan bulat. Dengan kata lain dari antara berbagai bilangan bulat diharuskan mencari nilai-nilai variabel yang fisibel dan membuat fungsi tujuan optimum. Ada beberapa persoalan program linier yang solusinya tidak masuk akal jika solusi yang dihasilkan berupa bilangan pecahan. Diadalam persoalan ekonomi sering kali djumpai variabel-variabel yang nilainya harus positif misalnya produksi mobil, produksi kapal terbang, jumlah jembatan, jumlah gedung, kebutuhan tenaga kerja, jumlah penganggur, jumlah ternak, dan lain sebagainya. Dalam persoalan ini bilangan-bilangan pecahan tidak mempunyai arti (Supranto, 1983).

(7)

1 = 7,4 jet, maka pembulatan dapat mempengaruhi keuntungan bermiliar-miliar

dolar. Dalam hal ini maka program bilangan bulat hadir menyelesaikan permasalahan sedemikian rupa sehingga suatu solusi bilangan bulat optimal dijamin tercapai (Taylor, 2001).

Program bilangan bulat memiliki model matematika yang sama dengan model program linier pada umumnya hanya saja ditambah batasan bahwa variabelnya harus bilangan bulat sebagai berikut (Syahputra, 2012):

maks/min: Z =

= Nilai kontribusi dari variabel keputusan

= Koefisien teknologi dari variabel keputusan dalam kendala

= Sumber daya yang tersedia dalam kendala

ke-Berdasarkan jenis keputusan yang akan diperoleh persoalan integer programming

dapat dibedakan atas tiga jenis, yaitu (Ritonga, 2015):

1. Pemrograman bilangan bulat murni (pure integer programming), yaitu merupakan pemrograman bilangan bulat di mana semua nilai variabel keputusan haruslah bilangan bulat.

2. Pemrograman bilangan bulat campuran (mixed integer programming), yaitu merupakan pemrograman bilangan bulat di mana nilai variabel keputusannya bernilai bilangan bulat dan variabel yang lainya bernilai bilangan desimal atau pecahan.

(8)

pengambilan keputusan, di mana jika solusi yang didapat berupa angka 1 berarti menyatakan “ya” atau angka 0 berarti menyatakan “tidak”.

2. 2. 1 Metode Pembulatan (Rounding Method)

Metode ini sangat sederhana dan cepat dalam menyelesaikan program bilangan bulat. Sebelum metode ini diterapkan, maka terlebih dahulu dicari penyelesaian dari problema dengan menggunakan metode program linier biasa, yaitu metode grafik. Selanjutnya, metode ini diterapkan dengan cara melakukan pembulatan hasil nilai variabel keputusan (bilangan pecahan) yang diperoleh dari metode grafik tersebut (Sitorus, 1997).

Kelemahan utama metode ini ialah bahwa hasil pembulatan yang dilakukan dapat menyimpang jauh dari penyelesaian optimal bilangan bulat sesungguhnya dalam penyelesaiannya dianggap tidak layak apabila hasilnya lebih besar daripada penyelesaaian optimal bilangan bulat atau penyelesaian optimal pecahan (metode grafik). Hasil penyelesaian optimal metode pembulatan tidak akan pernah nilai optimalnya lebih besar daripada hasil yang diperoleh dari metode grafik biasa (pecahan). Hal ini disebabkan bahwa adanya persyaratan pembulatan yang tidak boleh keluar dari daerah kelayakan (metode pembulatan) dan tambahan kendala (metode pembulatan), yang kesemuanya mengakibatkan luas daerah kelayakan bertambah kecil (Sitorus, 1997).

2. 2. 2. Metode Branch and Bound

Metode ini sering digunakan untuk menyelesaikan masalah program bilangan bulat karena hasil yang diperoleh dalam penyelsaian optimal lebih teliti dan lebih baik dari kedua metode lainnya. Kelemahan pokok metode ini adalah prosedur untuk mencapai hasil yang optimal sangat panjang (Sitorus, 1997).

Prosedur penyelesaian problema megoptimalkan proram linier bilangan bulat dengan metode ini adalah sebagai berikut (Sitorus, 1997):

(9)

Masalah yang dihadapi diselesaikan lebih dahulu menggunkan metode simpleks atau menggunakan metode grafik sampai diperoleh hasil yang optimal.

Langkah 2: Pemeriksaan Penyelesaian Optimal

Hasil optimal pada langkah 1 diperiksa apakah variabel keputusan yang diperoleh bernilai integer atau pecahan. Apabila semua nilai variabel keputusan yang dihasilkan telah bernilai integer maka solusi optimal telah tercapai. Apabila tidak maka proses iterasi dilanjutkan.

Langkah 3: Penyusunan Subproblema (Branching)

Apabila penyelesaian optimal belum tercapai, maka problema tersebut dimodifikasi ke dalam dua subproblema dengan memasukkan kendala baru ke masing-masing subproblema tersebut.

Langkah 4: Penentuan Nilai Batas (Bounding)

Hasil optimal yang diperoleh dengan metode program linier biasa merupakan nilai batas atas bagi setiap subproblema. Sedangkan hasil optimal dengan penyelesaian integer merupakan nilai batas bawah bagi masing-masing subproblema. Selanjutnya apabila subproblema yang memiliki batas atas yang lebih rendah dari batas bawah yang berlaku, maka subproblema tersebut tidak perlu dianalisis lagi. Apabila dalam penyelesaian integer menghasilkan hasil yang sama atau lebih baik daripada nilai batas atas dari setiap problema, maka penyelesaian optimal integer telah tercapai. Apabila tidak, maka subproblema yang memiliki nilai batas atas yang terbaik dipilih selanjutnya menjadi subproblema baru. Proses iterasi kembali pada langkah 2 sehingga demikian seterusnya.

(10)

perjalanan yang terdapat pada persoalan pedagang keliling atau Travelling Salesman Problem (TSP) (Simarmata, 2015).

2.2.3. Metode Cutting Plane

Metode cutting plane merupakan metode yang digunakan untuk menyelesaikan program linear bilangan bulat, baik bilangan bulat murni maupun campuran dengan penambahan kendala baru yang disebut gomory. Kendala gomory

diberikan jika nilai dari variabel keputusan belum bulat (bernilai pecahan). Kendala-kendala tersebut secara efektif akan menyingkirkan beberapa ruang penyelesaian yang tidak berisi titik bilangan bulat yang layak, tetapi tidak pernah menyingkirkan satupun titik bilangan bulat yang layak (Taha, 1996).

Metode cutting plane dikembangkan untuk menemukan solusi optimum bagi program bilangan bulat. Metode ini dilakukan dengan menambahkan suatu kendala yang dinamakan kendala gomory. Penambahan kendala gomory dilakukan pada tabel optimal sehingga dapat mempersingkat perhitungan (Siagian, 2006).

2.3. Fuzzy

Istilah fuzzy lahir dari gagasan seorang guru besar pada University of California, Berkeley, Amerika Serikat, Prof. Lotfi Asker Zadeh. Sejak tahun 1960 Zadeh telah merasa bahwa sistem analisis matematika tradisional yang dikenal sampai saat itu bersifat terlalu eksak sehingga tidak dapat berfungsi dalam banyak masalah dunia nyata yang seringkali amat kompleks. Pada akhirnya di tahun 1965 Zadeh mempublikasikan karangan ilmiahnya berjudul “Fuzzy Set”. Terobosan

baru yang deperkenalkan oleh Zadeh ini telah memperluas konsep himpunan klasik menjadi himpunan fuzzy yang dapat mempresentasikan nilai-nilai ketidakpastian yang ditemui dalam kehidupan nyata (Handayani, 2014).

(11)

oleh sebuah fungsi keanggotaan yang memberikan tiap obyek sebuah nilai keanggotaan yang rentang nilainya antara 0 dan 1. Pada teori himpunan fuzzy, peranan derajat keanggotaan sebagai penentu keberadaan elemen dalam suatu himpunan sangatlah penting. Nilai keanggotaan atau derajat keanggotaan atau

membership function menjadi cirri utama dari penalaran dengan logika fuzzy

tersebut (Kusumadewi & Purnomo, 2010).

2.3.1. Alasan Penggunaan Logika Fuzzy

Menurut Cox (1994), ada beberapa alasan mengapa orang menggunakan logika

fuzzy, antara lain (Kusumadewi & Purnomo, 2010):

1. Konsep logika fuzzy mudah dimengert. Karena logika fuzzy menggunakan dasar teori himpunan, maka konsep matematis yang mendasari penalaran

fuzzy tersebut cukup mudah dimengerti.

2. Logika fuzzy sangat fleksibel, artinya mampu beradaptasi dengan perubahan-perubahan, dan ketidakpastian yang menyertai permasalahan.

3. Logika fuzzy memiliki toleransi terhadap data yang tidak tepat. Jika diberikan sekelompok data yang cukup homogen, dan kemudian ada beberapa data yang “eksklusif”, maka logika fuzzy memiliki kemampuan untuk menangani data eksklusif tersebut.

4. Logika fuzzy mampu memodelkan fungsi-fungsi nonlinier yang sangat kompleks.

5. Logika fuzzy dapat membangun dan mengaplikasikan pengalaman-pengalaman para pakar secara langsung tanpa harus melalui proses pelatihan. Dalam hal ini, sering dikenal dengan nama Fuzzy Expert Systems menjadi bagian terpenting.

(12)

7. Logika fuzzy didasarkan pada bahasa alami. Logika fuzzy menggunakan bahasa sehari-hari sehingga mudah dimengerti.

2.3.2 Himpunan Fuzzy

Pada himpunan tegas (crisp), nilai keanggotaan suatu item dalam suatu himpunan A, yang sering ditulis dengan ( ), memiliki dua kemungkina yaitu (Kusumadewi & Purnomo, 2010):

 Satu (1), yang berarti bahwa suatu item menjadi anggota dalam suatu himpunan, atau

 Nol (0), yang berarti bahwa suatu item tidak menjadi anggota dalam suatu himpunan.

Himpunan fuzzy memiliki 2 atribut, yaitu (Kusumadewi & Purnomo, 2010): a. Linguistik, yaitu penamaan suatu grup yang mewakili suatu keadaan atau

kondisi tertentu dengan menggunakan bahasa alami, seperti: muda, parobaya, tua.

b. Numeris, yaitu suatu nilai (angka) yang menunjukkan ukuran dari suatu variabel seperti: 40, 25, 50, dsb.

Misalkan diketahui klasifikasi sabagai berikut:

MUDA < 35

SETENGAH BAYA 35 55

TUA > 55

(13)

diterapkan pada hal-hal yang bersifat kontinu, seperti umur. Selain itu, untuk menunjukkan suatu nilai kebenaran 0 dan 1, dapat digunakan nilai pecahan, dan menunjuk 1 atau nilai yang dekat dengan 1 untuk umur 45 tahun, kemudian perlahan menurun menuju 0 untuk umur di bawah 35 tahun dan di atas 55 tahun (Sihotang, 2011).

Ada beberapa hal yang perlu diketahui dalam memahami sistem fuzzy, yaitu (Kusumadewi & Purnomo, 2010):

a. Variabel fuzzy

Variabel fuzzy merupakan variabel yang hendak dibahas dalam suatu sistem fuzzy. Contoh: umur, temperature, permintaan, dsb.

b. Himpunan fuzzy

Himpunan fuzzy merupakan suatu grup yang mewakili suatu kondisi atau keadaan tertentu dalam suatu variabel fuzzy.

c. Semesta pembicaraan

Semesta pembicaraan adalah keseluruhan nilai yang diperbolehkan untuk dioperasikan dalam suatu variabel fuzzy. Semesta pembicaraan merupakan himpunan bilangan ril yang senantiasa naik (bertambah) secara monoton dari kiri ke kanan. Nilai semesta pembicaraan dapat berupa bilangan positif maupun negatif.

d. Domain

Domain himpunan fuzzy adalah keseluruhan nilai yang diizinkan dalam semesta pembicaraan dan boleh dioperasikan dalam sutu himpunan fuzzy. Seperti semesta pembicaraan, domain merupakan himpunan bilangan ril yang senantiasa naik (bertambah) secara monoton dari kiri ke kanan. Nilai domain dapat berupa bilangan positif maupun negatif.

2.3.3 Fungsi Keanggotaan

Fungsi keanggotaan adalah suatu kurva yang menunjukkan pemetaan titik-titik

(14)

keanggotaan) yang memiliki interval antara 0 sampai 1. Salah satu cara yang dapat digunakan untuk mendapatkan nilai keanggotaan adalah dengan melalui pendekatan fungsi.

2.3.3.1 Representasi Linier

Pada representasi linier, pemetaan input ke dearajat keanggotaannya digambarkan sebagai suatu garis lurus. Bentuk ini paling sederhana dan menjadi pilihan yang baik untuk mendekati suatu konsep yang kurang jelas. Ada dua keadaan himpunan

fuzzy yang linier. Pertama, kenaikan himpunan dimulai pada nilai kodomain yang memiliki derajat keanggotaan nol (0) bergerak ke kanan menuju nilai domain yang memiliki derajat keanggotaan lebih tinggi (Kusumadewi & Purnomo, 2010).

Representasi Linier Naik

Gambar 2.1 Representasi Linier Naik Fungsi keanggotaan:

=

0;

( − )/( − ) 1;

(15)

Representasi Linier Turun

Gambar 2.2 Representasi Linier Turun Fungsi Keanggotaan:

= ( − )/( − ); 0;

2.3.3.2 Representasi Kurva Segitiga

(16)

Gambar 2.3. Representasi Kurva Segitiga

Fungsi keanggotaan:

=

0;

( − )/( − ); ( − )/( − );

2.3.3.3 Representasi Kurva Trapesium

Kurva trapesium pada dasarnya seperti bentuk segitiga, hanya saja ada beberapa titik yang memiliki nilai keanggotaan 1.

Gambar 2.4. Representasi Kurva Trapesium

Fungsi keanggotaan:

� =

0;

( − )/( − ); 1;

Gambar

Gambar 2.1 Representasi Linier Naik
Gambar 2.2 Representasi Linier Turun
Gambar 2.4. Representasi Kurva Trapesium

Referensi

Dokumen terkait

Ujian Sekolah dan/atau penilaian akhir berdasarkan Peraturan Menteri Pendidikan dan Kebudayaan Nomor 102 Tahun 2013 dengan hasil sebagai berikut

Sehubungan dengan pengumuman Nomor : 946/A.A2/KP/2016 tanggal 10 Maret 2016 tentang pelaksanaan Seleksi Terbuka Jabatan Pimpinan Tinggi Pratama di Kementerian Riset,

[r]

Based on both agency and behavioral theory and earlier empirical studies for both cash specifically and slack generally, we hypothesize a quadratic relationship with a negative

Hal ini terbukti dengan penelitian sebelumnya yaitu Siti Rohmawati yang menyatakan bahwa adanya bentuk kesinoniman, keantoniman, kehiponiman, kemeroniman,

Terjadi pengaruh interaksi antara perlakuan pupuk Fosfat dan perlakuan CMA terhadap bobot kering biji per tanaman dan per petak. Hasil ini berbeda nyata dengan

Dalam penelitian ini yaitu hasil dan manfaat yang diperoleh kelompok sasaran yakni warga Kampung Lawas Mapsati dengan adanya program CSR PT Pelindo III, yaitu berkat

Untuk mereka yang mulai pada sesudah umur 1 tahun, seri pertama adalah tiga dosis 0,5 mL vaksin mengandung difteri.. Dengan booster yang diberikan pada usia 4-6 tahun, kecuali