LANDASAN TEOR
2.1 Program Linier
Program linier merupakan suatu model matematika untuk mendapatkan alternatif penggunaan terbaik atas sumber-sumber yang tersedia. Kata linier digunakan untuk menunjukkan fungsi matematika yang digunakan dalam bentuk linier, sedangkan program merupakan penggunaan teknik matematika tertentu. Jadi pengertian program linier adalah suatu teknis perencanaan yang bersifat analitis yang analisisnya menggunakan model matematika, dengan tujuan menemukan beberapa alternatif pemecahaan optimum terhadap persoalan (Aminudin, 2005).
Program linier berkaitan dengan maksimalisasi atau minimalisasi dari fungsi tujuan linier dengan beberapa variabel yang memiliki kesamaan dan ketaksamaan fungsi kendala. Program linier menggunakan model matematika untuk menjelaskan persoalan yang dihadapi. Sifat “linier” memberi arti bahwa seluruh fungsi matematis dalam model merupakan fungsi yang linier, demikian kata “program” merupakan sinonim untuk perencanaan. Dengan demikian program linier adalah perencanaan aktivitas-aktivitas untuk memperoleh suatu hasil yang optimum, yaitu suatu hasil yang mencapai tujuan terbaik di antara alternatif yang layak (Dantzig & Thapa, 1997).
Dimyati dan A. Dimyati (1987) juga mendefinisikan program linier sebagai suatu cara untuk menyelesaikan persoalan pengalokasian sumber-sumber yang terbatas di antara beberapa aktivitas, dengan cara terbaik yang mungkin dapat dilakukan. Formulasi model matematika dari persoalan pengalokasian sumber-sumber pada permasalahan program linier adalah sebagai berikut (Sitorus, 1997).
∑
∑ ∑
di mana: fungsi tujuan
koefisien variabel keputusan dari fungsi tujuan variabel keputusan
koefisien variabel keputusan dari fungsi kendala sumber daya dalam fungsi kendala
Program linier bilangan bulat merupakan suatu model program linier yang khusus digunakan untuk menyesuaikan suatu problem di mana nilai variabel- variabel keputusan dalam penyelesaian optimal haruslah merupakan bilangan integer. Persyaratan bahwa nilai variabel keputusan harus bilangan bulat mengingat jumlahnya tidak mungkin dalam bentuk pecahan, seperti rumah, pabrik, tugas, dan lain sebagainya (Sitorus, 1997).
2.1.1 Syarat Utama Program Linier
Agar dapat menyusun dan merumuskan suatu persoalan atau permasalahan yang dihadapi ke dalam model program linier, maka ada lima syarat yang harus dipenuhi (Sitorus, 1997):
1. Tujuan
Apa yang menjadi tujuan permasalahan yang dihadapi yang ingin dipecahkan dan dicari jalan keluarnya. Tujuan ini harus jelas dan tegas yang disebut fungsi tujuan.
2. Alternatif Perbandingan
Harus ada sesuatu atau berbagai alternatif yang ingin diperbandingkan, misalnya antara kombinasi waktu tercepat dan biaya tertinggi dengan waktu terlambat dan biaya terendah.
3. Sumber Daya
4. Perumusan Kuantitatif
Fungsi tujuan dan kendala harus dapat dirumuskan secara kuantitatif sesuai dengan yang disebut dalam model matematika.
5. Keterkaitan Variabel
Variabel-variabel yang membentuk fungsi tujuan dan kendala tersebut harus memiliki hubungan fungsional atau hubungan keterkaitan.
2.1.2 Jenis-jenis Fungsi Program Linier
Model program linier merupakan bentuk dan susunan dalam menyajikan masalah- masalah yang akan dipecahkan dengan teknik program linier. Dalam model program linier dikenal 2 (dua) jenis fungsi, yaitu:
1. Fungsi Tujuan (objective function) adalah fungsi yang menggambarkan tujuan/sasaran di dalam permasalahan program linier yang berkaitan dengan pengaturan secara optimal, untuk memperoleh keuntungan maksimum atau biaya minimum. Pada umumnya nilai yang akan dioptimalkan dinyatakan sebagai Z.
2. Fungsi Kendala (constraint function) adalah bentuk penyajian secara matematis batasan-batasan kapasitas yang tersedia yang akan dialokasikan secara optimal ke berbagai kegiatan.
2.1.3 Karakteristik Program Linier
Karakteristik-karakteristik dalam program linier yang biasa digunakan untuk memodelkan suatu masalah dan memformulasikannya secara matematika, yaitu (Siswanto, 2006):
1. Variabel Keputusan
Variabel keputusan adalah variabel yang menguraikan secara lengkap keputusan-keputusan yang akan dibuat. Variabel keputusan tidak negatif. 2. Fungsi Tujuan
ini dibatasi oleh kendala yang mencerminkan keterbatasan dari kapasitas waktu produksi kemampuan yang dimiliki.
3. Fungsi Kendala
Fungsi kendala merupakan batasan-batasan dalam penyelesaian program linier yang harus diperhatikan. Kendala diekspresikan dalam persamaan dan pertidaksamaan yang juga merupakan hubungan linier dari variabel keputusan yang mencerminkan keterbatasan sumber daya dalam suatu masalah.
2.1.4 Asumsi dalam Program Linier
Dalam menggunakan model program linier, diperlukan beberapa asumsi sebagai berikut:
1. Asumsi Linieritas (Linearity)
Fungsi tujuan (objective function) dan fungsi kendala (constraint) dibuat dalam fungsi linier. Sifat linieritas suatu kasus dapat ditentukan dengan menggunakan beberapa cara, misalnya dengan menggunakan grafik.
2. Asumsi Kesebandingan (Propotionality)
a. Kontribusi variabel keputusan terhadap fungsi tujuan adalah sebanding dengan nilai variabel keputusan.
b. Kontribusi variabel keputusan terhadap ruas kiri dari setiap pembatas juga sebanding dengan nilai variabel keputusan itu.
3. Asumsi Penambahan (Additivity)
Sifat penambahan mengasumsikan bahwa tidak terdapat bentuk perkalian silang pada model, baik fungsi tujuan maupun fungsi kendala.
4. Asumsi Pembagian (Divisibility)
Dalam persoalan program linier, variabel keputusan boleh diasumsikan berupa bilangan bulat (integer) atau bilangan pecahan.
5. Asumsi Kepastian (Certainty)
Setiap parameter yaitu koefisien fungsi tujuan, ruas kanan, dan koefisien teknologi, diasumsikan dapat diketahui secara pasti, bukan merupakan suatu nilai dengan peluang tertentu.
6. Asumsi Ketidaknegatifan (Nonnegativity)
Nilai variabel keputusan harus lebih besar atau sama dengan nol.
2.1.5 Istilah-istilah yang digunakan dalam Program Linier Dalam program linier, dikenal dengan istilah-istilah sebagai berikut: 1. Solusi Fisibel dan Solusi Infisibel
Solusi fisibel adalah solusi yang memenuhi semua syarat pembatas, sedangkan solusi infisibel adalah solusi yang sekurang-kurangnya memuat tidak memenuhi salah satu syarat pembatas.
2. Solusi Optimal
Solusi optimal adalah solusi fisibel yang memiliki nilai fungsi tujuan paling menguntungkan. Nilai fungsi tujuan paling menguntungkan adalah nilai terbesar untuk fungsi tujuan maksimum, dan nilai terkecil untuk fungsi tujuan minimum. Kebanyakan masalah dalam program linier hanya memiliki sebuah nilai optimum, akan tetapi dimungkinkan adanya jawaban optimum yang tidak tunggal. Jika ditemukan jawaban optimum tidak tunggal umumnya jawaban optimum tersebut adalah banyak.
3. Solusi Fisibel Titik Ujung (ekstrim)
Solusi fisibel titik ujung (ekstrim) adalah solusi yang terletak pada titik- ujung (titik ekstrim).