BAB III MODEL ARIMA
E. Model ARIMA Musiman
BAB IV Penerapan Model ARIMA Pada Data Trafik dan Harga Beras A. Trafik
B. Tahapan Pemodelan untuk Data Trafik C. Beras Kualitas Premium, Medium, Rendah
D. Tahapan Pemodelan untuk Harga Beras BAB V PENUTUP
A. Kesimpulan B. Saran
5 BAB II
LANDASAN TEORI
A. Data Runtun Waktu
Runtun waktu adalah urutan observasi yang diambil dalam waktu tertentu. Contohnya kuantitas barang yang dikirim dari suatu pabrik, banyaknya kecelakaan di jalan raya, besarnya curah hujan harian, pengamatan per jam terhadap suatu reaksi kimia, dan sebagainya (Box, Jenkins, Reinsel, Ljung, 2016:1). Sedangkan data runtun waktu adalah data yang dikumpulkan berdasarkan suatu urutan waktu.
Analisis runtun waktu merupakan cabang utama dalam statistik yang berfokus pada analisis data runtun waktu untuk mempelajari karakteristik data dan memprediksi suatu nilai dimasa depan.
Tujuan utama analisis runtun waktu adalah mengembangkan model matematis yang memberikan deskripsi yang baik untuk data sampel. Kita asumsikan runtun waktu dapat didefinisikan sebagai kumpulan variabel acak yang diindeks berdasarkan urutan waktunya. Misal, variabel acak , , ,…, dengan variabel acak menunjukkan nilai untuk waktu pertama, variabel menunjukkan nilai untuk waktu kedua, menunjukkan nilai untuk waktu ketiga, dan seterusnya. Secara umum, koleksi variabel acak, , yang diindeks oleh t disebut sebagai proses stokastik. Didalam tugas akhir ini, waktu t yang dimaksud adalah waktu diskrit. Nilai yang diamati dari proses stokastik disebut sebagai realisasi dari proses stokastik.
Contoh berikut adalah grafik data runtun waktu tentang total barang dalam negeri yang dimuat di pelabuhan Tanjung Perak (sumber: BPS). Data ini diambil dari tahun 2006 sampai dengan 2016. Grafik data runtun waktu tersebut adalah sebagai berikut
Gambar 1. Total barang dalam negeri yang dimuat di pelabuhan Tanjung Perak
B. ACF dan PACF
Beberapa konsep yang berkaitan dengan runtun waktu yaitu fungsi
Autocorrelation Function (ACF) dan Partial Autocorrelation Function (PACF)
1. Fungsi Autokorelasi/Autocorrelation Function (ACF)
Andaikan runtun waktu , memiliki rata-rata dan variansi , dan kovarian yang merupakan fungsi dari selisih waktu |t-s|.
Definisi 2.1
= 0 untuk i≠0 dan
= , untuk i=0
Definisi 2.2
Kovarian dari dan sebagai
. Definisi 2.3
Fungsi Autokorelasi diantara dan adalah
Fungsi disebut fungsi autokovarian dan disebut fungsi autokorelasi (ACF) pada analisis runtun waktu karena merepresentasikan kovarian dan korelasi diantara dan .
2. Fungsi Autokorelasi Parsial/Partial Autocorrelation Function (PACF) Definisi 2.4
Fungsi Autokorelasi Parsial merupakan koefisien korelasi diantara dan dengan mengabaikan varibel , dan didefinisikan sebagai
.
3. Estimasi Fungsi Autokorelasi (ACF) dan Fungsi Autokorelasi Parsial (PACF)
Untuk menduga ACF dan PACF berdasarkan sampel, didefinisikan penduga-penduga sebagai berikut
a. Fungsi Autokorelasi Sampel Definisi 2.5
Fungsi Autokorelasi sampel untuk time-lag 1,2,3,4,…,k dinotasikan dengan , dan didefinisikan sebagai berikut:
Dengan = koefisien autokorelasi sampel = waktu (atau periode)
= pengamatan variabel runtun waktu X pada waktu t = pengamatan variabel runtun waktu variabel pada
waktu t+k, k = 0,1,2…
Nilai untuk selalu 1 karena untuk k = 1,
Selanjutnya sebagai contoh, nilai untuk data contoh pada Tabel 1 akan dihitung dengan menggunakan persamaan diatas TABEL 1 Waktu (atau periode) t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Rata-rata Variabel 13 8 15 4 4 12 11 7 14 12 10 = -0.188
Dengan cara yang sama diperoleh, dan seterusnya . Dibawah ini adalah grafik ACF dari tabel 1 menggunakan program R
b. Fungsi Autokorelasi Parsial Sampel Definisi 2.6
Fungsi Autokorelasi Parsial sampel dinotasikan dengan , didefinisikan sebagai berikut: dan dengan j=1,…, k-1 Perhitungan ini dimulai dengan .
Dengan menggunakan hasil perhitungan pada fungsi autokorelasi sampel, dapat dicari: Dibawah ini adalah grafik PACF dari tabel 1 menggunakan program R
Garis putus-putus horizontal yang terdapat pada grafik ACF dan PACF digambarkan pada sumbu y dengan nilai ±
, dengan n = banyaknya data.
C. Data Stasioner
Data yang stasioner berarti bahwa secara grafis, tidak terdapat pertumbuhan atau penurunan pada data sepanjang waktu. Data secara kasarnya harus horizontal sepanjang sumbu waktu. Dengan kata lain, fluktuasi data berada di sekitar suatu nilai rata-rata yang konstan, tidak tergantung pada waktu dan varians dari fluktuasi tersebut tetap konstan setiap waktu.
Secara spesifik, ada dua definisi untuk stasioneritas, yaitu stasioner lemah dan stasioner ketat.
Definisi 2.7
a. Stasioner lemah: Runtun waktu dikatakan stasioner lemah jika i.
ii.
iii.
b. Stasioner ketat: Runtun waktu dikatakan stasioner ketat jika distribusi probabilitas gabungan dari identik dengan distribusi probabilitas
Sehingga,
Dengan pergeseran waktu h=0, ±1, ±2, ….
Konsep stasioneritas dapat digambarkan secara praktis (non-statistik) sebagai berikut:
1. Apabila suatu data runtun waktu digambarkan grafiknya dan kemudian tidak terbukti adanya perubahan nilai tengah dari waktu ke waktu (gambar 4) maka dapat dikatakan bahwa data runtun waktu tersebut stasioner pada nilai tengahnya (mean).
2. Apabila grafik data runtun waktu tidak memperlihatkan adanya perubahan varians yang nyata dari waktu ke waktu, maka dapat dikatakan bahwa data runtun waktu tersebut adalah stasioner pada variannya (gambar 4).
3. Apabila suatu data runtun waktu memiliki nilai tengah yang menyimpang (dengan beberapa pola yang berulang) dari waktu ke waktu, maka dapat dikatakan bahwa data runtun waktu tersebut tidak stasioner pada nilai tengahnya (gambar 5).
4. Apabila suatu data runtun waktu memiliki nilai tengah yang menyimpang (berubah setiap waktu) dan varian (atau standar deviasinya) tidak konstan setiap waktu, maka dapat dikatakan bahwa data runtun waktu tersebut tidak stasioner pada nilai tengah dan variannya (gambar 6).
Gambar 5. Data yang tidak stasioner pada nilai tengahnya
Gambar 6. Data yang tidak stasioner pada nilai tengah dan variansinya Pendeteksian ketidakstasioneran data dalam rata-rata (mean) juga dapat menggunakan grafik ACF dan PACF. Data runtun waktu dikatakan stasioner apabila pada grafik ACF dan PACF puncak lag menurun secara cepat, yang menunjukan adanya keadaaan stasioner dalam rata-rata (mean). Sedangkan data runtun waktu dikatakan tidak stasioner apabila pada grafik ACF dan PACF puncak lag menurun secara perlahan yang menunjukan adanya keadaan tidak stasioner dalam rata-rata. Sebagai contoh bisa dilihat pada gambar berikut
Gambar 7. ACF dan PACF dari data yang stasioner
Gambar 8. ACF dan PACF dari data yang tidak stasioner
D. Metode Pembedaan ( Differencing )
Salah satu cara menghilangkan ketidakstasioneran dapat dilakukan dengan metode pembedaan (differencing).
Perhatikan deret bilangan yang sederhana, 2,4,6,8,…,20, yang mengandung trend linear dan tidak bersifat random. Dengan mengurangkan nilai-nilai yang berurutan, 4-2, 6-4, 8-6,…, 20-18, kita akan memperoleh nilai-nilai-nilai-nilai pembedaan pertama (first differences) yang merupakan deret angka 2,2,2,…,2.
Deret ini jelas stasioner. Jadi untuk mendapatkan kestasioneran dapat dibuat deret bilangan baru yang terdiri dari perbedaan bilangan antara periode yang berturut-turut:
Pembedaan pertama
(1) Deret baru , akan mempunyai n-1 nilai dan akan stasioner apabila tren dari data awal adalah linear.
Notasi yang sangat bermanfaat adalah operator shift mundur (backward
shift), B, yang penggunaan adalah sebagai berikut:
Dengan kata lain, notasi B yang dipasang pada , mempunyai pengaruh menggeser data 1 periode ke belakang. Dua penerapan B untuk shift akan menggeser data 2 periode kebelakang, sebagai berikut:
Operator shift mundur tersebut sangat tepat untuk menggambarkan proses pembedaan (differencing). Sebagai contoh, apabila suatu deret berkala tidak stasioner, maka data tersebut dapat dibuat lebih mendekati stasioner dengan melakukan pembedaan pertama dari deret data dan persamaan (1) memberi batasan mengenai apa yang dimaksud dengan perbedaan pertama.
Mengunakan operator shift mundur, persamaan (1) dapat ditulis menjadi. Pembedaan pertama
Perhatikan bahwa pembedaan pertama dinyatakan oleh . Sama halnya apabila perbedaan orde kedua (yaitu perbedaan pertama dari perbedaan pertama sebelumnya) harus dihitung, maka:
Perbedaan orde kedua (second order differences )
Perhatikan bahwa pembedaan orde kedua diberi notasi . Ini merupakan hal yang penting untuk memperlihatkan bahwa pembedaan orde kedua adalah tidak sama dengan pembedaan kedua, yang diberi notasi Demikian pula, pembedaan kedua belas adalah , akan tetapi pembedaan orde keduabelas adalah
Tujuan melakukan pembedaan adalah untuk mencapai stasioneritas, dan secara umum, apabila terdapat pembedaan orde-d untuk mencapai stasioneritas, dapat ditulis sebagai:
Pembedaan orde ke-d = .
Contoh grafik data yang tidak stasioner dan stasioner setelah dilakukan pembedaan orde ke-1 bisa dilihat pada gambar 8.
Gambar 9. Contoh grafik dari data yang tidak stasioner (kiri), dan data stasioner setelah dilakukan pembedaan orde ke-1 (kanan).
16 BAB III MODEL ARIMA
Model-model Autoregressive/Integrated/Moving Average (ARIMA) telah dipelajari secara mendalam oleh George Box dan Gwilym Jenkins (1976), dan nama mereka sering disinonimkan dengan proses ARIMA yang diterapkan untuk analisis runtun waktu. Model Autoregressive (AR) pertama kali diperkenalkan oleh Yule (1926) dan kemudian dikembangkan oleh Walker (1931), sedangkan model Moving Average (MA) pertama kali digunakan oleh Slutzky (1937). Akan tetapi Wold-lah (1938) yang menghasilkan dasar-dasar teoritis dari proses kombinasi ARMA.
A. Proses Autoregressive (AR)
Model autoregresif didasarkan pada gagasan bahwa nilai saat ini dari runtun , dapat dijelaskan sebagai fungsi dari p nilai masa lalu, dengan p menunjukan jumlah langkah ke masa lalu yang dibutuhkan untuk meramalkan nilai sekarang.
Definisi 3.1
Secara umum untuk proses AR orde ke-p atau AR(p), dapat ditulis sebagai berikut:
dengan = parameter autoregresif ke-j , j=1…p
= galat pada waktu t.
Dalam praktek, salah satu kasus yang akan paling sering kita hadapi adalah apabila p = 1, yaitu untuk model AR(1). Dari kasus ini didefinisikan sebagai berikut:
AR (1)
Dengan menggunakan simbol operator shift mundur, B, maka persamaan (2) menjadi: AR (1) atau
Ciri khusus dari AR(p) adalah grafik ACF-nya menurun secara eksponensial/membentuk gelombang sinus dan grafik PACF-nya Cuts off (terpotong) setelah lag p. Sebagai contoh bisa dilihat pada gambar 10 dan 11
Gambar 10. ACF dari AR(1) dengan (dengan simulasi R)
B. Proses Moving Average (MA) Definisi 3.2
Proses MA secara umum berorde q atau MA(q),didefinisikan sebagai berikut: .
Dengan sampai adalah parameter-parameter moving average, adalah galat pada saat t-k (dengan k=1…q) dan adalah suatu konstanta.
Perbedaan model moving average dengan model autoregresif terletak pada jenis variabel independen. Bila variabel independen pada model autoregresif adalah nilai sebelumnya (lag) dari variabel dependen ( ) itu sendiri, maka pada model moving average sebagai variabel independennya adalah nilai residual pada periode sebelumnya. Orde dari nilai MA (yang diberi notasi q) ditentukan oleh jumlah periode variabel independen yang masuk dalam model.
Dalam prakteknya, kasus yang kemungkinan besar akan dihadapi adalah apabila q=1 yaitu MA(1) . Kasus ini ditulis seperti persamaan berikut:
MA(1)
Ciri khusus dari MA(q) adalah grafik ACF-nya Cuts off setelah lag q dan grafik PACF-nya menurun secara eksponensial / membentuk gelombang sinus teredam. Sebagai contoh dapat dilihat pada gambar 12 dan 13
Gambar 13. PACF dari MA(1) dengan (dengan simulasi R)
C. Proses ARMA Definisi 3.3
Runtun waktu { adalah ARMA(p,q) jika stasioner dan , dengan
Proses AR dan MA yang sederhana pun memperlihatkan sejumlah ragam. Jadi sudah dapat diduga bahwa apabila dilakukan pencampuran, maka kerumitan proses identifikasi akan berlipat ganda. Pada bagian ini, sebuah model umum untuk campuran proses AR(1) dan MA(1) akan dituliskan sebagai berikut:
ARMA (1,1)
atau
.
Ciri khusus dari ARMA(p,q) adalah grafik ACF-nya Cuts off setelah lag q dan grafik PACF-nya Cuts off (terpotong) setelah lag p. Dengan menggunakan simulasi pada program R, grafik ACF dan PACF untuk model
Gambar 14. ACF untuk model
Gambar 15. PACF untuk model
D. Proses ARIMA
Apabila nonstasioneritas ditambahkan pada campuran proses ARMA, maka model umum ARIMA (p,d,q) terpenuhi.
Definisi 3.4
Proses ARIMA (p,d,q) secara umum ditulis sebagai berikut: ,
.
Persamaan untuk kasus yang paling sederhana, ARIMA(1,1,1), adalah sebagai berikut:
Perhatikan pemakaian operator shift mundur untuk menggambarkan (i) pembedaan pertama, (ii) bagian AR(1) dari model dan (iii) aspek MA(1). Suku-suku tersebut dapat dikalikan dan disusun kembali sebagai berikut:
, maka
.
E. Model ARIMA Musiman
Model ARIMA dapat digunakan untuk memodelkan data runtun waktu yang bersifat musiman. Runtun waktu dikatakan musiman apabila terdapat pola yang muncul berulang-ulang pada waktu tertentu. Notasi ARIMA dapat diperluas untuk menangani aspek musiman, notasi umum yang disingkat adalah:
Pembedaan pertama
ARIMA (p,d,q)(P,D,Q)S.
Definisi 3.5
Proses ARIMA musiman secara umum ditulis sebagai berikut
.
Contoh:
Untuk tujuan ilustrasi, kita ambil model umum ARIMA(1,1,1) (1,1,1)4 sebagai berikut. (3) Bagian yang tidak musiman dari model p = orde AR q = orde MA d = banyaknya differencing Bagian musiman dari model dengan P = orde musiman untuk AR Q = orde musiman untuk MA D = banyaknya seasonal differencing S = jumlah periode per musim AR musiman AR tidak musiman Pembedaan tidak musiman Pembedaan musiman MA tidak musiman MA musiman
Seluruh faktor dapat dikalikan, dan model umum tersebut ditulis dalam bentuk yang disebut “bentuk terurai.” Perkalian pada persamaan (3) menghasilkan sebagai berikut:
.
Dalam bentuk ini, koefisien dan diduga dari data, maka persamaan (4) dapat digunakan untuk peramalan.
Berikut ini contoh grafik ACF dan PACF untuk data musiman dengan menggunakan simulasi pada program R
Gambar 17. Grafik ACF dan PACF untuk model 0.8