Model ARIMA untuk Rasio Data Trafik Inbound dan Outbound Wi-Fi dan Data Harga Beras Berdasarkan Kualitas

(1)

i

Model ARIMA untuk Rasio Data Trafik Inbound

dan Outbound Wi-Fi dan Data Harga Beras

Berdasarkan Kualitas

Tugas Akhir

Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains

Program Studi Matematika

Oleh :

I Gusti Putu Wahyu Widiana NIM: 133114030

PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA

(2)

ii

ARIMA Model for Inbound and Outbound WiFi

Data Traffic Ratios and Price Rice Data Based on

Quality

Final Assignment

Presented as a Partial Fulfillment of the Requirements to Obtain the Degree of Sarjana Sains

Mathematics Study Program

Written by:

I Gusti Putu Wahyu Widiana Student Number: 133114030

MATHEMATICS STUDY PROGRAM DEPARTMENT OF MATHEMATICS FACULTY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY

SANATA DHARMA UNIVERSITY YOGYAKARTA

(3)

(4)

(5)

v

HALAMAN PERSEMBAHAN

“With Great Power Comes Great Responsibility”

(Ben Parker)

Karya ini saya persembahkan untuk: Tuhan Yang Maha Esa

(6)

(7)

vii ABSTRAK

Analisis runtun waktu merupakan cabang utama dalam statistika yang berfokus pada analisis untuk mempelajari karakteristik data untuk memprediksi nilai diwaktu yang akan datang.

Analisis runtun waktu dalam tugas akhir ini diterapkan pada data trafik dan harga beras. Trafik adalah jumlah byte yang diterima atau dikirim dari semua klien yang terhubung dengan akses poin (AP) pada suatu interval waktu. Sedangkan tiga jenis beras yang beredar di pasaran Indonesia yaitu beras kualitas premium, medium, dan rendah. Salah satu metode yang dapat digunakan untuk memodelkan data runtun waktu yaitu ARIMA.

Tulisan ini bertujuan untuk mencari model ARIMA terbaik untuk data trafik inbound dan outbound pada jaringan wifi di kampus III Paingan Universitas Sanata Dharma dan harga beras di penggilingan berdasarkan kualitas premium, medium dan rendah. Model terbaik yang dipilih merupakan model yang galatnya bersifat derau putih, berdistribusi normal, dan memiliki AIC terkecil.

(8)

viii ABSTRACT

Time series analysis is the main branch of statistics that focuses on analysis to study the characteristics of data to predict future values.

Time series analysis in this paper was applied to traffic data and rice price. Traffic is the total amount of bytes received or sent from all clients that were associated with access points (AP) at a time interval. Furthermore, the three types of rice on Indonesian market are premium quality, medium, and low. One method that can be used to modeling time series data is ARIMA.

This paper aims to find the best ARIMA model for inbound and outbound traffic data on the wifi network on the III Paingan Campus of Sanata Dharma University and the rice price in the mill based on premium, medium and low quality. The best model chosen is a model whose residual is white noise, normally distributed, and has smallest AIC.

(9)

(10)

x

KATA PENGANTAR

Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yang Maha Esa atas berkat dan rahmat yang diberikan kepada penulis sehingga penulis mampu menyelesaikan Tugas Akhir ini. Tugas Akhir ini dibuat guna memenuhi syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Program Studi Matematika, Universitas Sanata Dharma.

Penulis menyadari bahwa proses penulisan Tugas Akhir ini melibatkan banyak pihak yang membantu penulis dalam menghadapi berbagai macam kesulitan dan hambatan selama proses penulisan Tugas Akhir. Oleh karena itu pada kesempatan ini penulis mengucapkan terima kasih kepada:

1. Bapak Sudi Mungkasi, S.Si, M.Math.Sc., Ph.D. selaku dekan Fakultas Sains dan Teknologi.

2. Bapak Hartono, Ph.D selaku Kaprodi Matematika.

3. Bapak Ir. Aris Dwiatmoko, M.Sc. selaku Dosen Pembimbing Tugas Akhir. 4. Ibu M.V. Any Herawati, S.Si., M.Si. selaku Dosen Pmebimbing

Akademik.

5. Romo Prof. Dr. Frans Susilo,S.j., Bapak Dr. rer. Nat. Herry P. Suryawan, S.Si., M.Si., dan Ibu Lusia Krismiyati Budiasih, S.Si., M.Si. selaku dosen-dosen prodi matematika yang telah memberikan banyak pengetahuan kepada penulis selama perkuliahan.

6. Bapak/Ibu dosen/karyawan Fakultas Sains dan Teknologi yang telah berdinamika bersama selama penulis berkuliah.

7. Kedua orang tua, adik, dan saudara-saudara yang telah mendukung penulis selama penulisan Tugas Akhir.

8. Teman-teman Matematika angkatan 2013.

9. Semua pihak yang tidak dapat disebutkan satu per satu dalam proses penulisan Tugas Akhir ini.

(11)

xi DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL………..…………..i

HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING………iii

HALAMAN PENGESAHAN………iv

HALAMAN PERSEMBAHAN……….……….v

HALAMAN KEASLIAN KARYA……….………...vi

ABSTRAK……….vii

ABSTRACT….……...viii

LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI…....………ix

KATA PENGANTAR……….……….………...x DAFTAR ISI………..……….xi BAB I PENDAHULUAN………..……….……….1 A. Latar belakang………..……….………...1 B. Rumusan Masalah………...……….1 C. Batasan Masalah………...1 D. Tujuan Penulisan………..2 E. Metode Penulisan……….………3 F. Manfaat Penulisan………...………….3 G. Sistematika Penulisan………...3

BAB II LANDASAN TEORI……….……….5

A. Data Runtun Waktu………..…5

B. ACF dan PACF….……….………..6

(12)

xii

D. Metode Pembedaan ( Differencing)………..………..13

BAB III MODEL ARIMA……….………..…………..…16

A. Proses AR……….16

B. Proses MA……….……….18

C. Proses ARMA………19

D. Proses ARIMA……….…………..20

E. Model ARIMA Musiman………...21

F. Tahapan Pemodelan ARIMA……….23

BAB IV PENERAPAN MODEL ARIMA PADA TRAFIK DAN HARGA BERAS………..………..35

A. Trafik………..……….………..35

B. Tahapan Pemodelan untuk Trafik………37

C. Beras Kualitas Premium, Medium, dan Rendah………48

D. Tahapan Pemodelan untuk Harga Beras………….………50

BAB V KESIMPULAN DAN SARAN………72

A. Kesimpulan………72

B. Saran………...72

DAFTAR PUSTAKA………..………..73

(13)

1 BAB I PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

Kemajuan ilmu pengetahuan telah meningkatkan pengertian mengenai berbagai aspek lingkungan dan akibatnya banyak peristiwa yang dapat diramalkan . Sebagai contoh, pada waktu sistem astronomi Ptolemeus dikembangkan hampir Sembilan belas abad yang lalu, gerakan satu bintang dapat diramalkan dengan ketepatan yang belum pernah terjadi sebelumnya. Walaupun kemudian diketahui adanya kesalahan sistematis. Kemudian muncul astronomi Copernicus yang jauh lebih tepat dari pada Ptolemeus pendahulunya. Sistem yang lebih baru ini dapat meramalkan gerakan bintang sampai ketelitian perseratus detik. Sekarang astronomi modern jauh lebih teliti daripada astronomi Copernicus.

Kemampuan menduga berbagai peristiwa kini tampaknya akan sama lazimnya dengan kecermatan peramalan keadaan cuaca dalam beberapa dekade. Kecenderungan untuk dapat meramalkan persitiwa secara lebih tepat akan terus menerus memberikan dasar yang lebih baik bagi perencanaan.

Salah satu jenis model peramalan yaitu model runtun waktu (time series). Pada model runtun waktu, pendugaan masa depan dilakukan berdasarkan nilai masa lalu dari suatu variabel dan/atau kesalahan masa lalu. Dengan adanya penggunaan komputer yang semakin meluas di dalam berbagai bidang, maka analisis runtun waktu lebih umum dan berdasarkan ilmu statistik, yang dikenal sebagai Box-Jenkins atau model ARIMA (autoregressive/integrated/moving average) telah dikembangkan lebih lanjut dan diterapkan untuk peramalan.

Dalam tugas akhir ini, akan dicari model ARIMA menggunakan data

trafik inbound dan trafik outbound pada jaringan wi-fi di kampus III Paingan Universitas Sanata Dharma dan harga beras di penggilingan berdasarkan kualitas premium, medium dan rendah yang diperoleh dari website Badan Pusat Statistik.

(14)

B. Rumusan Masalah

Bagaimana model ARIMA untuk trafik inbound dan trafik outbound pada jaringan wi-fi di kampus III Paingan Universitas Sanata Dharma dan harga beras di penggilingan berdasarkan kualitas premium, medium dan rendah?

C. Pembatasan Masalah

Pada penulisan tugas akhir ini, penulis hanya membatasi pada model ARIMA atau Box-Jenkins. Data yang digunakan adalah:

1. Trafik inbound dan trafik outbound pada jaringan wi-fi di kampus III Paingan Universitas Sanata Dharma. Data yang digunakan merupakan data dari BAPSI. Data tersebut berisi data trafik inbound dan trafik

outbound dari tanggal 27 Februari 2017 pukul 11.00 WIB sampai

dengan tanggal 30 Maret 2017 pukul 09.00 WIB. Data tersebut merupakan data yang diambil setiap 2 jam.

2. Data harga beras berdasarkan kualitas premium, medium dan rendah yang diambil dari website Badan Pusat Statistik dari bulan Januari 2013 sampai dengan bulan Juni 2017

D. Tujuan Penulisan

Berdasarkan rumusan masalah, tujuan dibuatnya tugas akhir ini adalah untuk membuat model ARIMA trafik inbound dan trafik outbound pada jaringan wi-fi di kampus III Paingan Universitas Sanata Dharma dan harga beras di penggilingan berdasarkan kualitas premium, medium dan rendah.

E. Metode Penulisan

Metode yang digunakan dalam penulisan tugas akhir ini adalah studi kepustakaan, yaitu menggunakan berbagai literatur, seperti buku, dan Jurnal Ilmiah. Selain itu, penulis juga menggunakan program R untuk mengolah data.

(15)

F. Manfaat Penulisan

Manfaat dari penulisan tugas akhir ini yaitu, mengetahui peran dan aplikasi secara langsung dari Matematika khususnya mata kuliah Analisis Runtun Waktu dalam kehidupan sehari-hari.

G. Sistematika Penulisan

Sistematika penulisan tugas akhir ini adalah sebagai berikut :

BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang B. Rumusan Masalah C. Pembatasan Masalah D. Tujuan Penulisan E. Metode Penulisan F. Manfaat Penulisan BAB II LANDASAN TEORI A. Analisis Runtun waktu B. ACF dan PACF C. Data Stasioner

D. Metode Pembedaan ( Differencing ) BAB III MODEL ARIMA

A. Proses AR B. Proses MA C. Proses ARMA D. Proses ARIMA

E. Model ARIMA Musiman F. Tahapan Pemodelan ARIMA

BAB IV Penerapan Model ARIMA Pada Data Trafik dan Harga Beras A. Trafik

B. Tahapan Pemodelan untuk Data Trafik C. Beras Kualitas Premium, Medium, Rendah

(16)

D. Tahapan Pemodelan untuk Harga Beras BAB V PENUTUP

A. Kesimpulan B. Saran

(17)

5 BAB II

LANDASAN TEORI

A. Data Runtun Waktu

Runtun waktu adalah urutan observasi yang diambil dalam waktu tertentu. Contohnya kuantitas barang yang dikirim dari suatu pabrik, banyaknya kecelakaan di jalan raya, besarnya curah hujan harian, pengamatan per jam terhadap suatu reaksi kimia, dan sebagainya (Box, Jenkins, Reinsel, Ljung, 2016:1). Sedangkan data runtun waktu adalah data yang dikumpulkan berdasarkan suatu urutan waktu.

Analisis runtun waktu merupakan cabang utama dalam statistik yang berfokus pada analisis data runtun waktu untuk mempelajari karakteristik data dan memprediksi suatu nilai dimasa depan.

Tujuan utama analisis runtun waktu adalah mengembangkan model matematis yang memberikan deskripsi yang baik untuk data sampel. Kita asumsikan runtun waktu dapat didefinisikan sebagai kumpulan variabel acak yang diindeks berdasarkan urutan waktunya. Misal, variabel acak , , ,…, dengan variabel acak menunjukkan nilai untuk waktu pertama, variabel menunjukkan nilai untuk waktu kedua, menunjukkan nilai untuk waktu ketiga, dan seterusnya. Secara umum, koleksi variabel acak, , yang diindeks oleh t disebut sebagai proses stokastik. Didalam tugas akhir ini, waktu t yang dimaksud adalah waktu diskrit. Nilai yang diamati dari proses stokastik disebut sebagai realisasi dari proses stokastik.

Contoh berikut adalah grafik data runtun waktu tentang total barang dalam negeri yang dimuat di pelabuhan Tanjung Perak (sumber: BPS). Data ini diambil dari tahun 2006 sampai dengan 2016. Grafik data runtun waktu tersebut adalah sebagai berikut

(18)

Gambar 1. Total barang dalam negeri yang dimuat di pelabuhan Tanjung Perak

B. ACF dan PACF

Beberapa konsep yang berkaitan dengan runtun waktu yaitu fungsi

Autocorrelation Function (ACF) dan Partial Autocorrelation Function (PACF)

1. Fungsi Autokorelasi/Autocorrelation Function (ACF)

Andaikan runtun waktu , memiliki rata-rata dan variansi , dan kovarian yang merupakan fungsi dari selisih waktu |t-s|.

Definisi 2.1

= 0 untuk i≠0 dan

= , untuk i=0

Definisi 2.2

Kovarian dari dan sebagai

. Definisi 2.3

Fungsi Autokorelasi diantara dan adalah

(19)

Fungsi disebut fungsi autokovarian dan disebut fungsi autokorelasi (ACF) pada analisis runtun waktu karena merepresentasikan kovarian dan korelasi diantara dan .

2. Fungsi Autokorelasi Parsial/Partial Autocorrelation Function (PACF) Definisi 2.4

Fungsi Autokorelasi Parsial merupakan koefisien korelasi diantara dan dengan mengabaikan varibel , dan didefinisikan sebagai

.

3. Estimasi Fungsi Autokorelasi (ACF) dan Fungsi Autokorelasi Parsial (PACF)

Untuk menduga ACF dan PACF berdasarkan sampel, didefinisikan penduga-penduga sebagai berikut

a. Fungsi Autokorelasi Sampel Definisi 2.5

Fungsi Autokorelasi sampel untuk time-lag 1,2,3,4,…,k dinotasikan dengan , dan didefinisikan sebagai berikut:

Dengan = koefisien autokorelasi sampel = waktu (atau periode)

= pengamatan variabel runtun waktu X pada waktu t = pengamatan variabel runtun waktu variabel pada

waktu t+k, k = 0,1,2…

(20)

Nilai untuk selalu 1 karena untuk k = 1,

Selanjutnya sebagai contoh, nilai untuk data contoh pada Tabel 1 akan dihitung dengan menggunakan persamaan diatas

TABEL 1

Waktu (atau periode) t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Rata-rata

Variabel 13 8 15 4 4 12 11 7 14 12 10 = -0.188

Dengan cara yang sama diperoleh, dan seterusnya . Dibawah ini adalah grafik ACF dari tabel 1 menggunakan program R

(21)

b. Fungsi Autokorelasi Parsial Sampel Definisi 2.6

Fungsi Autokorelasi Parsial sampel dinotasikan dengan , didefinisikan sebagai berikut: dan dengan j=1,…, k-1 Perhitungan ini dimulai dengan .

Dengan menggunakan hasil perhitungan pada fungsi autokorelasi sampel, dapat dicari: Dibawah ini adalah grafik PACF dari tabel 1 menggunakan program R

(22)

Garis putus-putus horizontal yang terdapat pada grafik ACF dan PACF digambarkan pada sumbu y dengan nilai ±

, dengan n = banyaknya data.

C. Data Stasioner

Data yang stasioner berarti bahwa secara grafis, tidak terdapat pertumbuhan atau penurunan pada data sepanjang waktu. Data secara kasarnya harus horizontal sepanjang sumbu waktu. Dengan kata lain, fluktuasi data berada di sekitar suatu nilai rata-rata yang konstan, tidak tergantung pada waktu dan varians dari fluktuasi tersebut tetap konstan setiap waktu.

Secara spesifik, ada dua definisi untuk stasioneritas, yaitu stasioner lemah dan stasioner ketat.

Definisi 2.7

a. Stasioner lemah: Runtun waktu dikatakan stasioner lemah jika i.

ii.

iii.

b. Stasioner ketat: Runtun waktu dikatakan stasioner ketat jika distribusi probabilitas gabungan dari identik dengan distribusi probabilitas

Sehingga,

Dengan pergeseran waktu h=0, ±1, ±2, ….

Konsep stasioneritas dapat digambarkan secara praktis (non-statistik) sebagai berikut:

1. Apabila suatu data runtun waktu digambarkan grafiknya dan kemudian tidak terbukti adanya perubahan nilai tengah dari waktu ke waktu (gambar 4) maka dapat dikatakan bahwa data runtun waktu tersebut stasioner pada nilai tengahnya (mean).

(23)

2. Apabila grafik data runtun waktu tidak memperlihatkan adanya perubahan varians yang nyata dari waktu ke waktu, maka dapat dikatakan bahwa data runtun waktu tersebut adalah stasioner pada variannya (gambar 4).

3. Apabila suatu data runtun waktu memiliki nilai tengah yang menyimpang (dengan beberapa pola yang berulang) dari waktu ke waktu, maka dapat dikatakan bahwa data runtun waktu tersebut tidak stasioner pada nilai tengahnya (gambar 5).

4. Apabila suatu data runtun waktu memiliki nilai tengah yang menyimpang (berubah setiap waktu) dan varian (atau standar deviasinya) tidak konstan setiap waktu, maka dapat dikatakan bahwa data runtun waktu tersebut tidak stasioner pada nilai tengah dan variannya (gambar 6).

(24)

Gambar 5. Data yang tidak stasioner pada nilai tengahnya

Gambar 6. Data yang tidak stasioner pada nilai tengah dan variansinya Pendeteksian ketidakstasioneran data dalam rata-rata (mean) juga dapat menggunakan grafik ACF dan PACF. Data runtun waktu dikatakan stasioner apabila pada grafik ACF dan PACF puncak lag menurun secara cepat, yang menunjukan adanya keadaaan stasioner dalam rata-rata (mean). Sedangkan data runtun waktu dikatakan tidak stasioner apabila pada grafik ACF dan PACF puncak lag menurun secara perlahan yang menunjukan adanya keadaan tidak stasioner dalam rata-rata. Sebagai contoh bisa dilihat pada gambar berikut

(25)

Gambar 7. ACF dan PACF dari data yang stasioner

Gambar 8. ACF dan PACF dari data yang tidak stasioner

D. Metode Pembedaan ( Differencing )

Salah satu cara menghilangkan ketidakstasioneran dapat dilakukan dengan metode pembedaan (differencing).

Perhatikan deret bilangan yang sederhana, 2,4,6,8,…,20, yang mengandung trend linear dan tidak bersifat random. Dengan mengurangkan nilai-nilai yang berurutan, 4-2, 6-4, 8-6,…, 20-18, kita akan memperoleh nilai-nilai-nilai-nilai pembedaan pertama (first differences) yang merupakan deret angka 2,2,2,…,2.

(26)

Deret ini jelas stasioner. Jadi untuk mendapatkan kestasioneran dapat dibuat deret bilangan baru yang terdiri dari perbedaan bilangan antara periode yang berturut-turut:

Pembedaan pertama

(1) Deret baru , akan mempunyai n-1 nilai dan akan stasioner apabila tren dari data awal adalah linear.

Notasi yang sangat bermanfaat adalah operator shift mundur (backward

shift), B, yang penggunaan adalah sebagai berikut:

Dengan kata lain, notasi B yang dipasang pada , mempunyai pengaruh menggeser data 1 periode ke belakang. Dua penerapan B untuk shift akan menggeser data 2 periode kebelakang, sebagai berikut:

Operator shift mundur tersebut sangat tepat untuk menggambarkan proses pembedaan (differencing). Sebagai contoh, apabila suatu deret berkala tidak stasioner, maka data tersebut dapat dibuat lebih mendekati stasioner dengan melakukan pembedaan pertama dari deret data dan persamaan (1) memberi batasan mengenai apa yang dimaksud dengan perbedaan pertama.

Mengunakan operator shift mundur, persamaan (1) dapat ditulis menjadi. Pembedaan pertama

Perhatikan bahwa pembedaan pertama dinyatakan oleh . Sama halnya apabila perbedaan orde kedua (yaitu perbedaan pertama dari perbedaan pertama sebelumnya) harus dihitung, maka:

Perbedaan orde kedua (second order differences )

(27)

Perhatikan bahwa pembedaan orde kedua diberi notasi . Ini merupakan hal yang penting untuk memperlihatkan bahwa pembedaan orde kedua adalah tidak sama dengan pembedaan kedua, yang diberi notasi Demikian pula, pembedaan kedua belas adalah _{, akan tetapi pembedaan orde} keduabelas adalah

Tujuan melakukan pembedaan adalah untuk mencapai stasioneritas, dan secara umum, apabila terdapat pembedaan orde-d untuk mencapai stasioneritas, dapat ditulis sebagai:

Pembedaan orde ke-d = .

Contoh grafik data yang tidak stasioner dan stasioner setelah dilakukan pembedaan orde ke-1 bisa dilihat pada gambar 8.

Gambar 9. Contoh grafik dari data yang tidak stasioner (kiri), dan data stasioner setelah dilakukan pembedaan orde ke-1 (kanan).

(28)

16 BAB III MODEL ARIMA

Model-model Autoregressive/Integrated/Moving Average (ARIMA) telah dipelajari secara mendalam oleh George Box dan Gwilym Jenkins (1976), dan nama mereka sering disinonimkan dengan proses ARIMA yang diterapkan untuk analisis runtun waktu. Model Autoregressive (AR) pertama kali diperkenalkan oleh Yule (1926) dan kemudian dikembangkan oleh Walker (1931), sedangkan model Moving Average (MA) pertama kali digunakan oleh Slutzky (1937). Akan tetapi Wold-lah (1938) yang menghasilkan dasar-dasar teoritis dari proses kombinasi ARMA.

A. Proses Autoregressive (AR)

Model autoregresif didasarkan pada gagasan bahwa nilai saat ini dari runtun , dapat dijelaskan sebagai fungsi dari p nilai masa lalu, dengan p menunjukan jumlah langkah ke masa lalu yang dibutuhkan untuk meramalkan nilai sekarang.

Definisi 3.1

Secara umum untuk proses AR orde ke-p atau AR(p), dapat ditulis sebagai berikut:

dengan = parameter autoregresif ke-j , j=1…p

= galat pada waktu t.

Dalam praktek, salah satu kasus yang akan paling sering kita hadapi adalah apabila p = 1, yaitu untuk model AR(1). Dari kasus ini didefinisikan sebagai berikut:

AR (1)

(29)

Dengan menggunakan simbol operator shift mundur, B, maka persamaan (2) menjadi: AR (1) atau

Ciri khusus dari AR(p) adalah grafik ACF-nya menurun secara eksponensial/membentuk gelombang sinus dan grafik PACF-nya Cuts off (terpotong) setelah lag p. Sebagai contoh bisa dilihat pada gambar 10 dan 11

Gambar 10. ACF dari AR(1) dengan (dengan simulasi R)

(30)

B. Proses Moving Average (MA) Definisi 3.2

Proses MA secara umum berorde q atau MA(q),didefinisikan sebagai berikut: .

Dengan sampai adalah parameter-parameter moving average, adalah galat pada saat t-k (dengan k=1…q) dan adalah suatu konstanta.

Perbedaan model moving average dengan model autoregresif terletak pada jenis variabel independen. Bila variabel independen pada model autoregresif adalah nilai sebelumnya (lag) dari variabel dependen ( ) itu sendiri, maka pada model moving average sebagai variabel independennya adalah nilai residual pada periode sebelumnya. Orde dari nilai MA (yang diberi notasi q) ditentukan oleh jumlah periode variabel independen yang masuk dalam model.

Dalam prakteknya, kasus yang kemungkinan besar akan dihadapi adalah apabila q=1 yaitu MA(1) . Kasus ini ditulis seperti persamaan berikut:

MA(1)

Ciri khusus dari MA(q) adalah grafik ACF-nya Cuts off setelah lag q dan grafik PACF-nya menurun secara eksponensial / membentuk gelombang sinus teredam. Sebagai contoh dapat dilihat pada gambar 12 dan 13

(31)

Gambar 13. PACF dari MA(1) dengan (dengan simulasi R)

C. Proses ARMA Definisi 3.3

Runtun waktu { adalah ARMA(p,q) jika stasioner dan , dengan

Proses AR dan MA yang sederhana pun memperlihatkan sejumlah ragam. Jadi sudah dapat diduga bahwa apabila dilakukan pencampuran, maka kerumitan proses identifikasi akan berlipat ganda. Pada bagian ini, sebuah model umum untuk campuran proses AR(1) dan MA(1) akan dituliskan sebagai berikut:

ARMA (1,1)

atau

.

Ciri khusus dari ARMA(p,q) adalah grafik ACF-nya Cuts off setelah lag q dan grafik PACF-nya Cuts off (terpotong) setelah lag p. Dengan menggunakan simulasi pada program R, grafik ACF dan PACF untuk model

(32)

Gambar 14. ACF untuk model

Gambar 15. PACF untuk model

D. Proses ARIMA

Apabila nonstasioneritas ditambahkan pada campuran proses ARMA, maka model umum ARIMA (p,d,q) terpenuhi.

Definisi 3.4

Proses ARIMA (p,d,q) secara umum ditulis sebagai berikut: ,

(33)

.

Persamaan untuk kasus yang paling sederhana, ARIMA(1,1,1), adalah sebagai berikut:

Perhatikan pemakaian operator shift mundur untuk menggambarkan (i) pembedaan pertama, (ii) bagian AR(1) dari model dan (iii) aspek MA(1). Suku-suku tersebut dapat dikalikan dan disusun kembali sebagai berikut:

, maka

.

E. Model ARIMA Musiman

Model ARIMA dapat digunakan untuk memodelkan data runtun waktu yang bersifat musiman. Runtun waktu dikatakan musiman apabila terdapat pola yang muncul berulang-ulang pada waktu tertentu. Notasi ARIMA dapat diperluas untuk menangani aspek musiman, notasi umum yang disingkat adalah:

Pembedaan pertama

(34)

ARIMA (p,d,q)(P,D,Q)S.

Definisi 3.5

Proses ARIMA musiman secara umum ditulis sebagai berikut

.

Contoh:

Untuk tujuan ilustrasi, kita ambil model umum ARIMA(1,1,1) (1,1,1)4 sebagai berikut. (3) Bagian yang tidak musiman dari model p = orde AR q = orde MA d = banyaknya differencing Bagian musiman dari model dengan P = orde musiman untuk AR Q = orde musiman untuk MA D = banyaknya seasonal differencing S = jumlah periode per musim AR musiman AR tidak musiman Pembedaan tidak musiman Pembedaan musiman MA tidak musiman MA musiman

(35)

Seluruh faktor dapat dikalikan, dan model umum tersebut ditulis dalam bentuk yang disebut “bentuk terurai.” Perkalian pada persamaan (3) menghasilkan sebagai berikut:

.

Dalam bentuk ini, koefisien dan diduga dari data, maka persamaan (4) dapat digunakan untuk peramalan.

Berikut ini contoh grafik ACF dan PACF untuk data musiman dengan menggunakan simulasi pada program R

Gambar 17. Grafik ACF dan PACF untuk model 0.8

F. Tahapan Pemodelan ARIMA

Untuk menyatakan bahwa suatu model layak digunakan atau tidak, terlebih dahulu diperiksa residualnya bersifat derau putih dan berdistribusi normal atau tidak. Jika memenuhi kedua syarat tersebut maka model tersebut dikatakan layak. Selanjutnya model yang bersifat derau putih, berdistribusi normal dan memiliki nilai AIC terkecil akan digunakan untuk peramalan. Oleh karena itu,

(36)

sebelum memilih model terbaik perlu dilakukan beberapa tahapan yang terdiri dari

1. Identifikasi model

Pada tahapan identifikasi model kita harus melihat apakah data besifat stasioner atau tidak. Caranya dengan melihat grafik data lalu melihat grafik ACF dan PACF-nya. Apabila data stasioner (d = 0) berarti proses pemilihan model bisa dilanjutkan. Jika data tidak stasioner, maka perlu dilakukan pembedaan pertama (d = 1). Bila sudah stasioner proses pemilihan model bisa dilanjutkan, bila tidak dilakukan pembedaan selanjutnya sampai diperoleh data yang stasioner. Apabila data yang kita gunakan bersifat musiman maka pembedaan untuk data musiman disimbolkan dengan D. Orde D menyesuaikan dengan orde d. Proses selanjutnya yaitu mencari orde p,q (untuk data tidak musiman) atau orde P,Q (bila data musiman) dengan melihat grafik ACF dan PACF. Untuk orde p dan q kurang dari atau sama dengan tiga.

TABEL 2 Pola ACF dan PACF untuk data tidak musiman

AR(p) MA(q) ARMA(p,q)

ACF Menurun secara

eksponensial / membentuk gelombang sinus teredam

Cuts off setelah

lag q

Cuts off setelah

lag q

PACF Cuts off setelah

lag p Menurun secara eksponensial / membentuk gelombang sinus teredam

Cuts off setelah

lag p

(37)

AR(P)S MA(Q) S ARMA(P,Q) S

ACF Menurun secara

eksponensial pada lag musiman

Cuts off setelah

lag QS

Cuts off setelah

lag QS

PACF Cuts off setelah

lag PS

Menurun secara eksponensial pada lag musiman

Cuts off setelah

lag PS

Contoh dari grafik yang menurun secara eksponensial / membentuk gelombang sinus teredam dan grafik yang cuts off bisa dilihat pada gambar berikut

Gambar 18. ACF dan PACF dari AR(2)

Pada gambar diatas bisa dilihat bahwa grafik ACF menunjukan pola sinus teredam dan grafik PACF menunjukan cuts off pada lag ke 2. Berdasarkan grafik ACF dan PACF pada gambar 18, model yang didapat adalah AR(2)

Setelah menemukan p,d,q atau P,D,Q, akan dicari kemungkinan-kemungkinan model yang akan kita gunakan pada pada tahap selanjutnya. Sebagai contoh, misalnya ada sebuah data tidak musiman dan orde p = 1, d = 0, q

(38)

= 0. Kemungkinan kemungkinan modelnya adalah ARIMA(1,0,0), ARIMA (0,0,1), ARIMA(1,0,1).

2. Estimasi Parameter

Estimasi parameter bertujuan untuk mencari nilai dari dan yang akan digunakan dalam pembentukan model terbaik.

a. Estimasi model AR(p)

Model umum AR(p) didefinisikan sebagai:

(5)

Apabila kedua ruas dikalikan , dengan k = 1,2,3..., p hasilnya adalah:

(6)

Dengan memasukkan nilai harapan (expected value) pada kedua sisi persamaan maka didapat

, (7) dengan adalah kovarians antara dan . Hal ini dapat berlaku karna yaitu nilai harapan ruas kiri persamaan (6) didefinisikan sebagai kovarian antara variabel dan dimana variabel-variabel tersebut terpisah sejauh k periode waktu. Demikian pula adalah karena dan

terpisah sejauh k-1 periode dan demikian seterusnya. Akhirnya adalah nol, karena nilai-nilai galat bersifat random dan tidak berkorelasi dengan nilai sebelumnya.

Kemudian, kedua sisi persamaan (7) dapat dibagi dengan varian yaitu . Hasilnya adalah

, (8) dengan .

(39)

Apabila persamaan (8) k = 1,2,3..., p, maka sistem persamaan berikut, yang dikenal sebagai persamaan Yule-Walker akan didapat:

, , ,

,

karena nilai teoritis untuk tidak diketahui maka diganti nilai estimasinya yaitu .

Persamaan (9) kemudian dapat dipecahkan untuk guna memperoleh estimasi awal model-model AR. Sebagai contoh misalkan p=2 dan dan diestimasi sebesar = 0.77 dan = 0.368. Maka persamaan Yule-Walker (9) menjadi:

,

(10)

Pemecahan persamaan (10) untuk mencari dan menghasilkan.

,

.

Dengan mensubtitusikan nilai = 0.77 dan = 0.368 pada persamaan diatas, didapat dan .

Dengan mengikuti prosedur yang sama, dapat diperoleh nilai-nilai awal untuk beberapa model AR(p). (Perhatikan apabila p=1, maka persamaan (9) secara sederhana menjadi , atau ).

(40)

b. Etimasi model MA(q) Model MA(q) ditulis sebagai berikut:

. (11)

Dengan mengalikan kedua sisi persamaan (11) dengan maka persamaan

menjadi:

(12)

Dengan memasukkan nilai harapan pada kedua sisi persamaan di atas menghasilkan:

(13) Nilai harapan persamaan diatas bergantung pada nilai k. Bila k = 0, persamaan diatas menjadi

(14) Seluruh suku yang lain pada persamaan (13) hilang karena adanya definisi 2.1, dimana

(41)

= 0 untuk i≠0 dan = 0 untuk i≠0. Jadi, persamaan (14) menjadi

(15)

Bila faktor dipisahkan, maka persamaan diatas dapat ditulis sebagai

(16)

Secara umum untuk k = k, persamaan (13) menjadi

atau

(17)

Bila persamaan (16) dibagi (17), akan menghasilkan

(18) Apabila q = 1, maka persamaan (18) menjadi

.

Karena seluruh suku termasuk indeks lebih besar dari 1, yang tidak terdapat pada model MA(1). Jadi

(19) Persamaan (19) dapat dipecahkan untuk , untuk memperoleh

(42)

Memecahkan persamaan di atas akan memperoleh dua nilai untuk . Salah satunya adalah nilai absout yang lebih kecil dari 1, kemudian nilai ini dipilih sebagai nilai awal .

Untuk mendapatkan , dst biasanya sukar dan harus menggunakan suatu prosedur iteratif yang tersedia di perangkat lunak, salah satu contohnya adalah software R.

c. Estimasi model ARMA

Sebagai contoh digunakan model ARMA(1,1) yang mempunyai persamaan sebagai berikut

Dengan mengalikan kedua sisi dengan menghasilkan

Bila memasukkan nilai harapan pada persamaan di atas akan menghasilkan Apabila k = 0 maka Karena (20) Maka didapat (21)

(43)

. (22)

Dari persamaan (21) dan (22) diperoleh nilai-nilai untuk dan sebagai berikut

Hasil pembagian dengan adalah

.

Pemecahan adalah bukan pekerjaan yang mudah dan memerlukan prosedur iteratif yang banyak memakan waktu. Sehingga perlu bantuan perangkat lunak, salah satu contohnya adalah R

3. Pemeriksaan Diagnostik Tahapan ini terdiri dari

a. Derau Putih (White Noise) Definisi 2.12

Proses disebut proses derau putih jika proses tersebut merupakan variabel random yang tidak saling berkorelasi dengan rata-rata , variansi dan untuk setiap k ≠ 0.

Proses derau putih stasioner dengan fungsi autokovarian

Fungsi autokorelasi

Dan fungsi autokorelasi parsial

(44)

Menurut definisi, = 1, dan saat membahas ACF dan PACF yang ditunjukan hanya pada dan untuk . Fenomena dasar yang terjadi pada proses derau putih adalah ACF dan PACF dari residu selalu identik dengan nol. Untuk menguji apakah residu bersifat derau putih atau tidak, dapat digunakan uji Ljung-Box dengan tahapan sebagai berikut

(residu bersifat derau putih)

untuk i = 1,2,3,…,K, (residu tidak bersifat derau putih) Statistik uji: ditolak bila .

Dibawah ini contoh derau putih dari ACF dan PACF dengan menggunakan program R

Gambar 19. Contoh derau putih dari ACF (atas), derau putih dari PACF (bawah)

b. Uji Normalitas Residual

Uji normalitas residual bertujuan untuk mengetahui apakah residual berdistribusi normal atau tidak. Ada 2 cara yang dapat dilakukan untuk mengetahui normalitas residual, pertama dengan melihat Normal Q-Q Grafik.

(45)

Residu akan berdistribusi normal jika berada disekitar garis diagonal seperti pada gambar.

Gambar 20. Normal Q-Q Grafik(data pada lampiran)

Cara kedua yaitu dengan Uji Shapiro – Wilk. Definisi 2.13

Diberikan sampel variabel random, statististik uji Shapiro-Wilk didefinisikan sebagai

Dengan = statistik terurut ke-i

= rata-rata sampel

adalah nilai harapan dari statistik terurut pada variabel random yang terdistribusi secara identik dan independen berdasarkan Distribusi Normal Standar

(46)

adalah matriks kovarian dari statistik terurut.

Nilai W berada diantara 0 dan 1. Nilai kecil dari W menyebabkan penolakan normalitas sedangkan nilai satu menunjukkan normalitas data.

Dengan menggunakan program R, residual dikatakan normal apabila p-value > 0.05.

c. Akaike’s Information Criterion (AIC)

Untuk memilih model terbaik, Akaike memperkenalkan sebuah kriteria pemilihan model. Kriteria ini dikenal dengan AIC (Akaike’s Information

Criterion) yang dirumuskan dengan:

dengan M = banyaknya parameter pada model

n = banyaknya data

= penduga dari

(47)

35 BAB IV

PENERAPAN MODEL ARIMA PADA DATA TRAFIK DAN HARGA BERAS

A. Trafik

Trafik adalah jumlah byte yang diterima atau dikirim dari semua klien yang terhubung dengan akses poin (AP) pada suatu interval waktu (Papadopouli, Shen, Raftopuulos, Ploumidis dan Hernandez, 2004).

Trafik adalah banyaknya aliran data dalam suatu jaringan, contohnya jaringan internet. Trafik terdiri dari dua jenis yaitu trafik inbound dan trafik

outbound. Trafik inbound adalah trafik yang berasal dari jaringan lain (biasanya

Internet) dan dialamatkan ke komputer di dalam jaringan pengguna. Trafik

outbound adalah trafik yang berasal dari jaringan pengguna, dan dialamatkan ke

komputer disuatu tempat di Internet.

Gambar 21. Grafik aliran trafik di jaringan.

Berdasarkan Gambar 21 area hijau merepresentasikan trafik inbound, sementara garis biru merepresentasikan trafik outbound. Sebuah router biasanya

(48)

akan menampilkan lebih banyak trafik inbound daripada trafik outbound ketika user mendownload data dari Internet. (Sumber: telkomspeedy.com)

Jaringan komunikasi modern tidak memiliki alat yang cukup untuk memprediksi trafik data untuk 24 atau 48 jam kedepan (Grossglausser dan Bolot, 1999). Ini menimbulkan pertanyaan berikut, “dapatkah model statistik digunakan untuk memperkirakan trafik Wi-Fi ?” (Pajouh, 2002).

Tujuan utama runtun waktu adalah untuk mengembangkan model statistik yang menjelaskan perilaku suatu variabel dari waktu ke waktu sehingga memungkinkan untuk membuat estimasi masa depan dari variable tersebut (Correa, 2004).

Model trafik berdasarkan runtun waktu sangat bermanfaat bagi proses perencanaan pembangunan jaringan, pemesanan sumber daya, pemantauan jaringan, mendeteksi kelainan dan membuat model simulasi yang lebih akurat karena dapat memprediksi trafik pada skala waktu yang ditentukan. (Papadopouli, Shen, Raftopuulos, Ploumidis dan Hernandez, 2004).

Dalam setiap perencanaan pembangunan sistem jaringan, keakuratan dari model trafik sangatlah penting untuk memahami keperluan di masa depan dan setiap kemungkinan perubahan. Sebuah model runtun waktu yang cukup akurat bisa memprediksi beberapa tahun kedepan, ini menguntungkan untuk merencanakan kebutuhan di masa depan (Fillatre, Marakov dan Vaton, 2003).

Penelitian ilmiah dan teknologi saat ini bertujuan untuk menunjukkan bahwa runtun waktu merupakan alat yang sangat baik untuk pemodelan trafik data dalam jaringan Wi-Fi. Metodologi ARIMA (yang akan dijelaskan pada bab selanjutnya) digunakan untuk tujuan ini. Pemodelan lalu lintas Wi-Fi melalui model yang berkorelasi, seperti runtun waktu, memungkinkan sebagian besar perilaku data disesuaikan menjadi satu persamaan dan nilai lalu lintas masa depan. Semua ini menguntungkan bila menyangkut perencanaan, pemesanan sumber daya dan melakukan kontrol yang lebih efisien dan tepat waktu pada berbagai tingkat fungsional jaringan data Wi-Fi.

(49)

B. Tahapan Pemodelan untuk Data Trafik 1. Trafik Inbound

a. Identifikasi Model

Berikut ini grafik dari data trafik inbound

Gambar 22. Grafik data trafk inbound

Dari gambar diatas belum bisa disimpulkan secara pasti apakah data tersebut bersifat musiman dan stasioner atau tidak. Selanjutnya dilakukan pembedaan terhadap data log dari data dan diberi nama dslogdata.

Gambar 23. dslogdata

Selanjutnya akan dilihat bentuk grafik ACF dan PACF untuk data dan dslogdata, seperti berikut.

(50)

Gambar 24. ACF dan PACF dari data Inbound

Tampak koefisien autokorelasi pada lag 12, 24, 36, 48 sangat dekat dengan 1. Bentuk fungsi autokorelasi dengan pola demikian ini ditemukan pada data yng berpola musiman, dimana untuk data musiman dengan periode s, kita akan mendapatkan puncak koefisien korelasi pada lag s, 2s, 3s, ….Terlihat pula dari grafik itu puncak lag musiman menurun secara perlahan, yang menunjukan adanya keadaan stasioner dalam rata-rata. Terlihat pula bahwa koefisien autokorelasi pada lag 6, 18, 30,42 bernilai negatif. Hal ini karena data akan selalu minimal dalam periode ke-6 setelah kejadian puncak (Dedi Rosadi, 2011). Selanjutnya akan diamati ACF dan PACF untuk dslogdata.

(51)

Gambar 25. ACF dan PACF dari dslogdata

Terlihat fungsi ACF dslogdata menurun secara perlahan. Mengindikasikan masih terdapat sifat tidak stasioner pada data. Untuk menghilangkannya, dilakukan pembedaan pada dslogdata dan diberi nama ddslogdata.

Gambar 26. ACF dan PACF dari ddslogdata

Pada grafik ACF terlihat puncak pada lag 1. PACF tampak meluruh secara seragam. Sehingga diperoleh kemungkinan model:

(52)

ARIMA (0,0,0) , ARIMA (0,0,0) , ARIMA (0,0,0) , ARIMA (0,0,1) , ARIMA (0,0,1) , ARIMA (0,0,1) , ARIMA (0,0,2) , ARIMA (0,0,2) , ARIMA (0,0,2)

b. Estimasi parameter

Nilai dari setiap parameter dicari dengan bantuan program R. Hasil ada pada lampiran 17.

c. Pemeriksaan Diagnostik

Tabel 4. Kemungkinan model, AIC, derau putih dan Normalitas

MODEL ARIMA derau putih Normalitas AIC

(0,0,0) Tidak Tidak 1362.42 (0,0,0) Tidak Tidak 1325.58 (0,0,0) Tidak Tidak 1275.49 (0,0,1) Tidak Tidak 1285.83 (0,0,1) Tidak Tidak 1242.55 (0,0,1) Tidak Tidak 1195.36 (0,0,2) Tidak Tidak 1251.31 (0,0,2) Tidak Tidak 1213.83 (0,0,2) Tidak Tidak 1162.51

(53)

d. Pemilihan Model Terbaik

Model terbaik tidak dapat ditentukan karena tidak ada yang memenuhi syarat derau putih dan berdistribusi normal.

2. Trafik outbound a. Identifikasi Model

Berikut ini grafik dari data trafik outbound

Gambar 27. Grafik data trafik outbound

Dari gambar diatas belum bisa disimpulkan secara pasti apakah data tersebut bersifat musiman dan stasioner atau tidak. Selanjutnya dilakukan pembedaan terhadap data log dari data dan diberi nama dslogdata.

(54)

Selanjutnya akan dilihat bentuk grafik ACF dan PACF untuk data dan dslogdata, seperti berikut.

Gambar 29. ACF dan PACF dari data outbound

Tampak koefisien autokorelasi pada lag 12,24,36,48 sangat dekat dengan 1. Bentuk fungsi autokorelasi dengan pola demikian ini ditemukan pada data yng berpola musiman, dimana untuk data musiman dengan periode s, kita akan mendapatkan puncak koefisien korelasi pada lag s, 2s, 3s, ….Terlihat pula dari grafik itu puncak lag musiman menurun secara perlahan, yang menunjukan adanya keadaan stasioner dalam rata-rata. Terlihat pula bahwa koefisien autokorelasi pada lag 6, 18, 30,42 bernilai negatif. Hal ini karena data akan selalu minimal dalam periode ke-6 setelah kejadian puncak (Dedi Rosadi, 2011). Selanjutnya akan diamati ACF dan PACF untuk dslogdata.

(55)

Terlihat fungsi ACF dslogdata menurun secara perlahan. Mengindikasikan masih terdapat sifat tidak stasioner pada data. Untuk menghilangkannya, dilakukan pembedaan pada dslogdata dan diberi nama ddslogdata.

Gambar 31. ACF dan PACF dari ddslogdata

Pada grafik ACF terlihat puncak pada lag 1. PACF tampak meluruh secara seragam. Sehingga diperoleh kemungkinan model

ARIMA (0,0,0) , ARIMA (0,0,0) , ARIMA (0,0,0) , ARIMA (0,0,0) , ARIMA (0,0,1) , ARIMA (0,0,1) , ARIMA (0,0,1) (0,0,1) , ARIMA (0,0,2) , ARIMA (0,0,2) , ARIMA (0,0,2) , ARIMA (0,0,2) .

(56)

Tabel 5. Kemungkinan model, AIC, derau putih, normalitas

MODEL ARIMA Derau putih Normalitas AIC

(0,0,0) Tidak Tidak 1228 (0,0,0) Tidak Tidak 1197.57 (0,0,0) Tidak Tidak 1165.73 (0,0,0) Tidak Tidak 1136.81 (0,0,1) Tidak Tidak 1207.89 (0,0,1) Tidak Tidak 1173.78 (0,0,1) Tidak Tidak 1148.6 (0,0,1) Tidak Tidak 1126.03 (0,0,2) Tidak Tidak 1188.48 (0,0,2) Tidak Tidak 1151.7 (0,0,2) Tidak Tidak 1117.08 (0,0,2) Tidak Tidak 1100.16

(57)

d. Pemilihan Model Terbaik

Model terbaik tidak dapat ditentukan karena tidak ada yang memenuhi syarat derau putih dan berdistribusi normal.

Berdasarkan analisa diatas, tidak dapat ditemukan model yang baik untuk data inbound dan outbound. Berikut akan dicoba variabel baru yang merupakan rasio data inbound dan data outbound untuk dibuat modelnya. Data yang digunakan hanya dari jam 09.00 sampai dengan 21.00 (jam tutup kampus).

Berikut ini grafik dari rasio data inbound dan oubound

Gambar 32. Grafik dari rasio data inbound dan oubound

Selanjutnya akan dilihat bentuk grafik ACF dan PACF untuk data, seperti berikut.

(58)

Gambar 33. ACF data

Gambar 34. PACF data

Dari grafik ACF dan PACF didapat orde p=1, dan q=2. Sehingga diperoleh kemungkinan model ARIMA (0,0,0), ARIMA (1,0,0), ARIMA (0,0,1), ARIMA (1,0,1), ARIMA (0,0,2), ARIMA (1,0,2)

(59)

Table 6. Kemungkinan model, derau putih, normalitas, AIC

d. Pemilihan Model Terbaik Dipilih model ARIMA(1,0,0)

Model ARIMA(1,0,0) dipilih karena memiliki AIC terkecil, bersifat derau putih dan berdistribusi normal dengan p-value = 0.1718

MODEL ARIMA White Noise Normalitas AIC

(0,0,0) Tidak Tidak 1211.3 (1,0,0) Ya Ya 1174.61 (0,0,1) Tidak Tidak 1184.31 (1,0,1) Ya Ya 1174.94 (0,0,2) Ya Ya 1176.28 (1,0,2) Ya Ya 1176.11

(60)

Gambar 35. Derau putih dari model ARIMA(1,0,0)

Koefisien AR(1) = 0.4042

Model yang didapat: .

C. Beras Kualitas Premium, Medium, dan Rendah

Secara umum, masyarakat di Indonesia mengenal tiga jenis beras yang beredar di pasaran yaitu beras kualitas premium, medium, dan rendah. Berikut ini ciri-ciri yang membedakan antara beras kualitas premium, medium dan rendah.

1. Beras Kualitas Premium

Beras kualitas premium memiliki warna yang terang. Dari sisi butiran yang patah, beras premium memiliki tingkat kepatahan hanya 0-10% . Dari kualitas nasi yang dihasilkan, beras premium memiliki tampilan nasi yang lebih pulen dan rasa yang lebih nikmat dibanding beras kualitas lainnya. (sumber: detik.com)

(61)

Gambar 36. Beras kualitas Premium

2. Beras Kualitas Medium

Dari segi warna, beras medium memiliki warna yang lebih semu (buram) dibandingkan dengan beras premium. Dari sisi butiran yang patah, beras medium memiliki tingkat kepatahan lebih tinggi yakni di atas 10%. Kerap kali ditemukan pada beras medium bulir beras yang bercampur dengan kotoran, seperti batu atau gabah. Sebaliknya, kotoran-kotoran semacam itu tidak ditemukan di beras premium. (sumber: detik.com)

(62)

3. Beras Kualitas rendah

Dibandingkan beras kualitas premium dan medium, cirri-ciri beras kualitas rendah paling mudah diamati. Beras kualitas biasanya kotor, berdebu, terkontaminasi pasir atau batuan kecil. Pada beras kualitas rendah sangat mudah ditemukan kutu. Meski tidak berbahaya dan akan hilang ketika beras dicuci, namun kutu beras ini sangat mempengaruhi kualitas beras. Dari sisi butiran yang patah, beras medium memiliki tingkat kepatahan yang sangat tinggi.

Pada hari kamis tanggal 20 Juli 2017 gudang beras PT IBU di Jalan Rengas kilometer 60 Karangsambung, Kedungwaringan, Bekasi, Jawa Barat, digerebek polisi. Penggerebekan dilakukan terkait dugaan manipulasi kandungan harga beras. Anak usaha dari PT Tiga Pilar Sejahtera tersebut diduga telah mengubah gabah jenis IR64 yang dibeli seharga Rp 4.900 dari petani dan menjadi beras bermerek. Gabah itu diproduksi menjadi dua merek beras dengan harga jual berbeda, yakni Maknyuss seharga Rp 13.700 per kilogram dan Cap Ayam Jago seharga Rp 20.400 per kilogram. Kedua harga itu jauh dari yang ditetapkan pemerintah, yakni Rp 9.000 per kilogram. (sumber: kompas.com)

Pemodelan harga beras dipasaran dengan model ARIMA, dapat membantu pemerintah dan masyarakat dalam mengawasi harga beras yang beredar di pasaran.

D. Tahapan Pemodelan untuk Harga Beras 1. Beras Kualitas Premium

(63)

Gambar 38. Grafik data beras kualitas premium

Dari gambar diatas belum bisa disimpulkan secara pasti apakah data tersebut bersifat musiman dan stasioner atau tidak. Selanjutnya dilakukan pembedaan terhadap data dan diberi nama datadiff1.

Gambar 39. Grafik datadiff1

Selanjutnya akan dilihat bentuk grafik ACF dan PACF untuk datadiff1, seperti berikut.

(64)

Gambar 40. ACF datadiff1

Gambar 41. PACF datadiff1

Dari grafik ACF dan PACF didapat orde p=2, dan q=3. Sehingga diperoleh kemungkinan model ARIMA (0,1,0), ARIMA (1,1,0), ARIMA (2,1,0), ARIMA (0,1,1), ARIMA (1,1,1), ARIMA (2,1,1), ARIMA (0,1,3), ARIMA (1,1,3), ARIMA (2,1,3)

(65)

Table 7. Kemungkinan model, derau putih, normalitas, AIC

(0,1,0) Tidak Tidak 714.43 (1,1,0) Tidak Ya 706.74 (2,1,0) Tidak Ya 704.71 (0,1,1) Tidak Ya 703.87 (1,1,1) Tidak Ya 705.76 (2,1,1) Tidak Ya 704.21 (0,1,3) Tidak Ya 707.69 (1,1,3) Tidak Ya 708.4 (2,1,3) Ya Ya 703.22

(66)

d. Pemilihan Model Terbaik Dipilih model (2,1,3)

Model ARIMA (2,1,3) dipilih karena memiliki AIC terkecil, bersifat derau putih dan berdistribusi normal dengan p-value = 0.7512

Koefisien: AR(1) = 0.8395 AR(2) = -0.9135 MA(1) = -0.4021 MA(2) = 0.8043 MA(3) = 0.2849

Model yang didapat:

(67)

2. Beras Kualitas Medium a. Identifikasi Model

Berikut ini grafik dari data beras kualitas medium

Gambar 43. Grafik data beras kualitas medium

(68)

Gambar 45. ACF dari datadiff1

Gambar 46. PACF dari datadiff1

Dari grafik ACF dan PACF didapat orde p=2, dan q=1. Sehingga diperoleh kemungkinan model ARIMA (0,1,0), ARIMA (1,1,0), ARIMA (2,1,0), ARIMA (0,1,1), ARIMA (1,1,1), ARIMA (2,1,1).

(69)

Tabel 8. Kemungkinan model, derau putih, normalitas, AIC

MODEL ARIMA derau putih Normalitas AIC

(0,1,0) Tidak Tidak 715.19 (1,1,0) Tidak Ya 698.97 (2,1,0) Ya Ya 693.4 (0,1,1) Ya Ya 693.27 (1,1,1) Tidak Ya 694.1 (2,1,1) Ya Ya 693.96

(70)

d. Pemilihan Model Terbaik Dipilih model (0,1,1)

Gambar 47. Derau putih dari model ARIMA(0,1,1) koefisien MA(1) = 0.6578

Model yang didapat:

(71)

3. Beras Kualitas Rendah a. Identifikasi Model

Berikut ini grafik dari data beras kualitas rendah

Gambar 48. Grafik data beras kualitas rendah

(72)

Gambar 50. ACF datadiff1

Gambar 51. PACF dari datadiff1

Dari grafik ACF dan PACF didapat orde p=3, dan q=3. Sehingga diperoleh kemungkinan model ARIMA (0,1,0), ARIMA (0,1,1), ARIMA (0,1,2), ARIMA (0,1,3), ARIMA (1,1,0), ARIMA (1,1,1), ARIMA (1,1,2), ARIMA (1,1,3),

(73)

(2,1,0), ARIMA (2,1,1), ARIMA (2,1,2), ARIMA (2,1,3), ARIMA (3,1,0), ARIMA (3,1,1), ARIMA (3,1,2), ARIMA (3,1,3)

Tabel 9. Kemungkinan model, derau putih, normalitas, AIC

(0,1,0) Tidak Tidak 730.22 (0,1,1) Tidak Tidak 729.55 (0,1,2) Tidak Ya 720.33 (0,1,3) Tidak Ya 718.57 (1,1,0) Tidak Ya 720.11 (1,1,1) Tidak Ya 720.99 (1,1,2) Tidak Ya 722.16 (1,1,3) Tidak Ya 721.21 (2,1,0) Tidak Ya 719.88 (2,1,1) Tidak Ya 716.36 (2,1,2) Tidak Ya 709.43 (2,1,3) Tidak Ya 711.22 (3,1,0) Tidak Tidak 717.56

(74)

d. Pemilihan model terbaik Dipilih model (3,1,3)

Koefisien: AR(1) = 0.1593 AR(2) = -0.2307 AR(3) = -0.5470 MA(1) = 0.3403 MA(2) = 0.5372 MA(3) = 0.8714 (3,1,1) Tidak Tidak 717.24 (3,1,2) Tidak Tidak 719.24 (3,1,3) Ya Ya 710.18

(75)

Model yang didapat:

(76)

72

KESIMPULAN DAN SARAN

A. Kesimpulan

Berdasarkan hasil perhitungan yang telah dilakukan, dapat disimpulkan bahwa: 1. Semua kemungkinan model untuk trafik inbound dan outbound tidak

bersifat derau putih dan tidak berdistribusi secara normal. Sehingga tidak bisa dipilih model terbaik. Sedangkan Model ARIMA untuk data rasio inbound dan outbound adalah

2. Model ARIMA untuk harga beras kualitas premium adalah

3. Model ARIMA untuk harga beras kualitas medium adalah

4. Model ARIMA untuk harga beras kualitas rendah adalah

B. Saran

Adapun saran yang dapat penulis berikan, yaitu:

1. Bagi penulis yang ingin melakukan penelitian yang sama, dapat mengerjakannya dengan metode yang berbeda.

2. Penelitian selanjutnya dapat menggunakan dapat trafik mingguan atau bulanan.

3. Penelitian selanjutnya juga dapat membahas keterkaitan antara prediksi trafik dengan besarnya biaya yang harus dikeluarkan.

(77)

DAFTAR PUSTAKA

Box, G.E.P. Jenkins, G.M. Reinsel, G.C. Ljung, G.M. 2016. Time Series Analysis

Forecasting and Control. New Jersey: John Wiley & Sons, Inc.

BrockwelL, P.J. & Davis, R.A. 2002. Introduction to Time Series and

Forecasting. NewYork: Springer-Verlag.

Cau,J. Cleveland, W.S. Lin, D. Son, D.X. (2002). Internet Traffic Tends to

Poisson and Independent as the Load Increases. New York:

Springer-Verlag.

Correa Moreno, E. 2004. Series de tiempo: conceptos básicos. Universidad Nacional de Colombia, Facultad de Ciencias, Departamento de matemáticas.

Grossglausser, M. Bolot, J.C. (1999). On the Relevamce of Long-Range

Dependence in Network Traffic Source. IEEE/ACM Transactionon Networking,7 (2): 629-640.

Hendrawan, B. Penerapan Model ARIMA Dalam Memprediksi IHSG. Politeknik Batam Parkway Street, Batam.

Ihaka, R. 2005. Time Series Analysis. Statistic Department University of Auckland.

Makridakis, S. Wheelwright, S.C. McGee, V.E. 1999. Metode dan Aplikasi

Peramalan, alih bahasa Untung Sus Andriyanto & Abdul Basith, edisi

kedua jilid 1. Jakarta: Erlangga.

Pajouh, D., 2002. Methodology for traffic forescating. The French National Institute for Transport and Safety Research (INRETS).

Papadopouli, M. Sheng, H. Raftopuulos, E. Ploumidis, M. Hernandez, F. (2004).

Short-term traffic forecasting in a campus-wide wírelesnetwork.

Department of Computer Science, University of North Carolina. Department of Statistics & Operations Research, University of North Carolina. ICS-FORTH, Greece.

Razali, N. M. Wah, Y. B. 2011. Power Comparisons of Shapiro-Wilk,

Kolmogorov-Smirnov, Lilliefors and Anderson-Darling tests. Journal of

(78)

Yogyakarta: Penerbit ANDI.

Shukla, D. Tiwari, V. Kareem, P. (2009). All Comparison Analysis in Internet

Traffic Sharing Using Markov Chain Model in Computer Networks. International Journal of Georgian Electronic Scientific Journal, Computer Science and Telecomunications. 6(23). 108-115.

Shukla, D. Tiwari, V. Kareem, P. (2010). Effects of Disconnectivity Analysis for

Congestion Control in Internet Traffic at Access Network. International Journal of the Computer, the Internet and Management. 18(1): 196-203.

Shumway, R. H. Stoffer, D. S. 2011. Time Series Analysis and Its Applications

with R Examples. New York: Springer.

William W.S. Wei, 2006, Time Series Analysis Univariate and Multivariate

Methods, Boston: Addison-Wesley Publishing Company.

https://www.bps.go.id/linkTableDinamis/view/id/817, diakses tanggal8 Desember 2016

https://talksonmarkets.files.wordpress.com/2012/09/time-series-analysis witharima-e28093- arch013.pdf, diakses tanggal 11 Juli 2017

http://opensource.telkomspeedy.com, diakses tanggal 20 Februari 2017 pukul 20.48

(79)

(80)

LAMPIRAN

Berikut ini data dan program R yang digunakan dalam perhitungan. Lampiran 1. Data untuk gambar 1

T t T 1 553117 31 877037 61 737074 2 595508 32 880769 62 649863 3 657972 33 812659 63 589233 4 585496 34 624138 64 457834 5 935875 35 871872 65 373153 6 826977 36 807642 66 521745 7 735096 37 735785 67 547455 8 1197423 38 779618 68 500267 9 1159709 39 702620 69 398504 10 1098638 40 671532 70 534833 11 901678 41 731522 71 521900 12 1239383 42 675006 72 519681 13 1059106 43 742259 73 477028 14 1180132 44 821684 74 494755 15 1017597 45 694381 75 465570 16 1077882 46 702620 76 525266 17 1032537 47 842479 77 609756 18 1059715 48 729688 78 479686 19 1209996 49 720058 79 582794 20 1243154 50 724038 80 484478 21 1330792 51 639466 81 549271 22 887412 52 674251 82 601780 23 1259805 53 718366 83 599913 24 1252168 54 713987 84 630557 25 705980 55 733373 85 497284 26 703623 56 700852 86 513828 27 750269 57 555034 87 427144 28 879508 58 718363 88 526165 29 737844 59 779463 89 536290 30 811667 60 721102 90 523342

(81)

t T 91 587476 121 397479 92 315474 122 436622 93 542812 123 501290 94 453084 124 460708 95 503029 125 390177 96 758171 126 484511 97 365977 127 284258 98 410447 128 575773 99 480503 129 516744 100 461909 130 488599 101 449824 102 539458 103 413726 104 413939 105 556697 106 515975 107 508319 108 993996 109 558982 110 462240 111 350609 112 579992 113 423226 114 513400 115 311293 116 424228 117 468662 118 386710 119 511359 120 477752

(82)

t T T 1 57.1 31 154.3 61 339.2 2 61.6 32 186.4 62 342.2 3 51 33 189.5 4 44.4 34 174.1 5 58.7 35 170.3 6 60.5 36 170.7 7 69.1 37 186.1 8 71.2 38 196.7 9 73.4 39 203 10 77.8 40 225.6 11 110 41 241.1 12 104 42 254 13 91.9 43 228 14 104.2 44 229.7 15 121.9 45 275.5 16 124 46 281.1 17 92.8 47 277.6 18 95.5 48 279.6 19 124.7 49 288.7 20 135 50 299.3 21 126.4 51 296 22 113.6 52 298.4 23 124.9 53 281.6 24 140.8 54 233.9 25 144.3 55 237.1 26 140.6 56 281.2 27 153 57 355.5 28 177 58 348.2 29 151.7 59 285 30 128.8 60 292.3

Lampiran 3. List program untuk gambar 4,5 dan 9 >plot.ts(data)

(83)

>plot.ts(dataserieslogdiff1)

Lampiran 4. Data untuk gambar 6

t t 1 30.5 31 27 2 29.5 32 28.5 3 28 33 28.5 4 29.5 34 28 5 30 35 28 6 29 36 27.5 7 30 37 27.5 8 30 38 31 9 30.5 39 30.5 10 29 40 28.5 11 27 41 29 12 27 42 29.5 13 27 43 29.5 14 26.5 44 29.5 15 26 45 29.5 16 26.5 46 29.5 17 25.5 47 29.5 18 26 48 29 19 26.5 49 29 20 27 50 29 21 27 51 29 22 27 23 27 24 27 25 27 26 28 27 28 28 28 29 28 30 27.5