jumlah uang beredar adalah sebagai berikut:
( 1 + 0.78276 + 0.42369 )∇ =
dimana 3 adalah perubahan jumlah uang beredar pada waktu ke-t, jika ∇ = , maka:
( 1 + 0.78276 + 0.42369 ) =
Pemutihan Deret Input dan Deret Output Tahap pemutihan dilakukan berdasarkan model ARIMA pada masing-masing deret input. Dalam tahap ini digunakan unsur white
noise model tersebut. Model pemutihan dari
deret input tingkat suku bunga BI adalah sebagai berikut:
= ( 1−0.7722 )
Dengan cara yang sama, model pemutihan dari deret input nilai tukar rupiah terhadap USD adalah sebagai berikut:
=
( 1 + 0.2803 −0.2893 )
Sedangkan untuk deret input perubahan jumlah uang beredar adalah sebagai berikut:
= ( 1 + 0.78276 + 0.42369 )
Pemutihan deret output dilakukan dengan cara yang sama sebagaimana pemutihan deret input. Sehingga pemutihan deret output tingkat inflasi berdasarkan peubah input tingkat suku bunga BI menghasilkan persamaan:
= ( 1−0.7722 )
Pemutihan deret output berdasarkan peubah input nilai tukar rupiah terhadap USD didapat model dengan persamaan:
=
( 1 + 0.2803 −0.2893 )
Sedangkan pemutihan deret output berdasar-kan peubah input perubahan jumlah uang beredar menghasilkan persamaan:
= ( 1 + 0.78276 + 0.42369 )
Perhitungan Fungsi Korelasi Silang dan Penentuan Nilai b, s, dan r pada Model
Fungsi Transfer
Penentuan nilai b, s dan r untuk menduga model fungsi transfer dilihat dari plot korelasi silang antara deret output dengan deret inputnya yang telah melalui pemutihan yaitu tingkat inflasi ( ) dengan tingkat suku bunga BI ( ), tingkat inflasi ( ) dengan nilai tukar rupiah terhadap USD ( ) dan tingkat inflasi ( ) dengan perubahan jumlah uang beredar ( ).
Plot korelasi silang antara 1 dan pada Lampiran 25 menunjukkan nilai yang signifikan pada lag ke-1 yang berarti bahwa nilai b=1. Nilai s dilihat dari banyaknya lag
korelasi silang yang berbeda nyata dengan nol setelah lag ke b, dari Lampiran 25 diperoleh
s=1 sedangkan nilai r dapat dilihat berdasarkan banyaknya lag korelasi diri output yang berbeda nyata dengan nol setelah nyata yang pertama dan diperoleh r=0. Untuk mendapatkan hasil yang maksimal, maka dilakukan overfitting model. Hasil dari kandidat model beserta nilai SBC dan AICnya dapat dilihat pada Tabel 12.
Tabel 12 Hasil Identifikasi Awal Korelasi Silang 1 dan Konstanta AIC SBC b=1 s=0 r=0 296.8014 299.2081 b=1 s=1 r=0* 291.9846 296.7735 b=1 s=0 r=1* 295.2253 300.0142 b=1 s=0 r=2 291.4717 296.2358 b=1 s=0 r=3* 288.9032 293.6421 b=2 s=0 r=0 290.0027 292.3972 b=2 s=1 r=0* 285.1656 289.9297 b=2 s=2 r=0 280.6729 285.4118 b=2 s=0 r=1* 287.3856 292.1497 b=2 s=0 r=2 281.8042 286.5431 b=2 s=1 r=1 284.4214 291.5675 b=3 s=0 r=0* 295.0667 297.4487 Ket : (*) salah satu parameter tidak nyata
Tabel 12 memperlihatkan bahwa model fungsi transfer dengan nilai b=2, s=2 dan r=0 merupakan model terbaik dari peubah input tingkat suku bunga BI karena memiliki nilai statistik AIC dan SBC terkecil. Hasil selengkapnya dari model ini dapat dilihat pada Lampiran 26.
Model umum dari model fungsi transfer adalah :
(1− − ⋯ − )
Sehingga model awal untuk tingkat suku bunga BI adalah:
= ( 2.35853−1.30411 ) ( )
Identifikasi model awal untuk peubah input nilai tukar rupiah terhadap USD didapatkan dengan cara yang sama dengan peubah input tingkat suku bunga BI. Plot korelasi silang antara 2 dan pada Lampiran 27 menunjukkan nilai yang signifikan pada lag ke-5 yang berarti bahwa nilai b=5, nilai s=0 dan nilai r=0. Untuk mendapatkan hasil yang maksimal dilakukan
overfitting. Hasil dari kandidat model yang
dicobakan beserta statistik SBC dan AIC dapat dilihat pada Tabel 13.
Tabel 13 Hasil Identifikasi Awal Korelasi Silang 2 dan Konstanta AIC SBC b=1 s=0 r=0* 301.3526 303.7593 b=2 s=0 r=0* 298.4727 300.8671 b=3 s=0 r=0* 296.5693 298.9513 b=4 s=0 r=0* 293.4660 295.8355 b=5 s=0 r=0* 289.4055 291.7622 b=5 s=1 r=0* 287.4637 292.1513 b=5 s=2 r=0* 297.6408 302.4049 b=5 s=0 r=1* 287.7554 292.443 b=5 s=0 r=2 280.6934 287.6856 b=5 s=0 r=3* 279.7938 289.0638 b=5 s=1 r=1* 289.4590 296.4904 b=5 s=1 r=2* 282.4893 291.8123 b=5 s=2 r=1* 286.7499 293.7421 b=5 s=0 r=12 248.6109 252.9902 Ket : (*) salah satu parameter tidak nyata
Model awal untuk peubah input nilai tukar rupiah terhadap USD dengan nilai b=5, s=0 dan r=12 adalah model terbaik karena memiliki nilai AIC dan SBC terkecil (Tabel 13). Hasil selengkapnya untuk model ini disajikan pada Lampiran 28.
Pendugaan model awal untuk nilai tukar rupiah terhadap USD adalah:
( 1 + 0.93887 ) = −0.0010341 ( )
Untuk plot korelasi silang 3 dan pada Lampiran 29 diperoleh nilai b=1, nilai s=0 dan nilai r=1. Untuk mendapatkan hasil yang maksimal dilakukan overfitting. Hasil dari kandidat model yang dicobakan beserta statistik SBC dan AIC dapat dilihat pada Tabel 14.
Tabel 14 menunjukkan bahwa model awal untuk peubah input perubahan jumlah uang beredar dengan nilai b=1, s=0 dan r=1 adalah model terbaik karena memiliki nilai AIC dan
SBC terkecil. Hasil selengkapnya untuk model ini disajikan pada Lampiran 30. Tabel 14 Hasil Identifikasi Awal Korelasi
Silang 3 dan Konstanta AIC SBC b=1 s=0 r=0 296.5518 298.9585 b=1 s=1 r=0* 294.9251 299.7140 b=1 s=0 r=1 293.5677 298.3566 b=1 s=0 r=2* 292.5801 297.3441 b=1 s=1 r=1* 295.5500 302.7334 b=2 s=0 r=0* 299.0964 301.4909 b=2 s=1 r=0* 297.6180 302.3820 b=2 s=0 r=2* 294.5441 299.2830 Ket : (*) salah satu parameter tidak nyata
Pendugaan model awal untuk perubahan jumlah uang beredar adalah:
( 1 + 24936 ) = 0.24937 ( )
Setelah memperoleh nilai b, r,dan s untuk masing-masing input, langkah selanjutnya adalah menggabungkan model dan reestimate
parameter. Parameter δ31 tidak signifikan pada model yang telah dikombinasikan (Lampiran 31). Model awal dengan semua parameternya nyata diperoleh saat nilai b=2, s=2 dan r=0 untuk peubah tingkat suku bunga BI, b=5,
s=0, dan r=12 untuk peubah nilai tukar rupiah terhadap USD, serta b=1, s=0 dan r=0 untuk peubah perubahan jumlah uang beredar. Sehingga diperoleh model awal sebagai berikut:
= ( 0.1− 2.1 2) 1(−2)
− 0.2 2( −5)
( 1− 12.2 12)− 0.3 3( −1) + Identifikasi Model ARIMA untuk Deret
Sisaan (pn,qn)
Pendugaan model ARIMA untuk deret
noise (pn, qn) dilakukan dengan memeriksa
plot ACF sisaan dan plot PACF sisaan fungsi transfer awal. Lampiran 32 memperlihatkan bahwa tidak ada lag yang nyata baik pada ACF maupun PACF sisaan fungsi transfer awal sehingga diperoleh = .
Pendugaan Akhir Model Fungsi Transfer Model fungsi transfer diperoleh dengan mengkombinasikan model awal dengan model sisaannya. Sehingga diperoleh model sebagai berikut:
= (2.86208−1.91244 2) 1( −2) −0.0009088 2( −5)
(1 + 1.04963 12)+ 0.37551 3( −1)
12
Hasilnya dapat dilihat pada Lampiran 33 yang memperlihatkan semua parameternya nyata.
Pemeriksaan Diagnostik Model Fungsi Transfer
Kebebasan sisaan dapat dilihat dari plot ACF dan plot PACF yang tidak berbeda nyata dengan nol dan uji Box-Pierce (Lampiran 34) memperlihatkan nilai-p yang lebih besar dari 0.05 sehingga mengindikasikan sisaan saling bebas pada taraf nyata 5%.
Diagnostik model juga dilakukan untuk melihat adanya korelasi silang antara sisaan dengan masing-masing input. Pada Lampiran 34 terlihat bahwa untuk semua input diperoleh nilai-p yang lebih besar dari 0.05 yang menunjukkan bahwa tidak adanya korelasi silang antara sisaan dengan masing-masing input.
Berdasarkan hasil analisa bahwa penduga parameter yang nyata, sisaan saling bebas, dan tidak adanya korelasi antara sisaan dengan deret input, maka model tersebut ditetapkan sebagai model akhir fungsi transfer.
Peramalan
Setelah model fungsi transfer diperoleh, selanjutnya digunakan untuk meramalkan tingkat inflasi berdasarkan model fungsi transfer yang diperoleh. Untuk mendapatkan peramalan model fungsi transfer kita mengatur kembali secara sederhana model yang diperoleh. Karena 1 = ∇ 1 , 2 =
∇ 2 , 3 = ∇ 3 , dan = ∇ maka model fungsi transfer dapat dituliskan:
= −1.0496 + 1.0496 + 2.8621 ( )−2.8621 ( ) −1.9124 ( )+ 1.9124 ( ) + 3.0041 ( )−3.0041 ( ) −2.0074 ( )+ 2.0074 ( ) −0.0009 ( )+ 0.0009 ( ) + 0.3755 ( )−0.3755 ( ) + 0.39415 ( )−0.39415 ( ) +
Model fungsi transfer ini dapat diartikan bahwa tingkat inflasi pada waktu ke-t dipengaruhi oleh (1) tingkat inflasi satu bulan, dua belas bulan, dan tiga belas bulan sebelumnya, (2) tingkat suku bungan BI dua sampai lima bulan sebelumnya serta empat belas sampai tujuh bulan sebelumnya, (3) nilai tukar rupiah terhadap USD satu bulan dan dua bulan sebelumnya, serta (4) perubahan jumlah uang beredar tiga belas bulan dan empat belas bulan sebelumnya.
Model yang diperoleh digunakan untuk meramalkan tingkat inflasi tahun 2010 (Tabel 15). Nilai MAPE dan MAD hasil peramalan dengan model fungsi transfer masing-masing sebesar 15.69% dan 0.81. Sedangkan nilai MAPE dan MAD data keseluruhan dari model fungsi transfer masing-masing sebesar 16.94% dan 1.15. Selain itu plot bersama antara data aktual dan model fungsi transfer yang terlihat pada Gambar 9 menunjukkan bahwa pola data aktual mirip dengan pola model fungsi transfernya.
Tabel 15 Perbandingan Hasil Peramalan Fungsi Transfer dan Data Aktual
Bulan Ŷ Y Januari 2010 3.75 3.72 Februari 2010 3.75 3.81 Maret 2010 2.28 3.43 April 2010 3.22 3.91 Mei 2010 3.72 4.16 Juni 2010 6.25 5.05 Juli 2010 7.65 6.22 Agustus 2010 7.81 6.44 September 2010 8.05 5.80 Oktober 2010 6.17 5.67 November 2010 6.71 6.33 Desember 2010 6.78 6.96 MAPE 15.69% MAD 0.81
Gambar 9 Plot Bersama Data Aktual dan Model Fungsi Transfer
100 80 60 40 20 0 20 15 10 5 0 Variable Aktual Fungsi Transfer
SIMPULAN DAN SARAN Simpulan
Data deret waktu dengan input ganda dapat dimodelkan dengan model fungsi transfer. Model fungsi transfer yang diperoleh dihitung dengan menggabungkan model fungsi transfer untuk input pertama, kedua dan ketiga. Setelah itu dilakukan reestimation
parameter karena antar deret inputnya terdapat korelasi. Dari model yang diperoleh dapat disimpulkan tingkat inflasi pada waktu ke-t
Hasilnya dapat dilihat pada Lampiran 33 yang memperlihatkan semua parameternya nyata.
Pemeriksaan Diagnostik Model Fungsi Transfer
Kebebasan sisaan dapat dilihat dari plot ACF dan plot PACF yang tidak berbeda nyata dengan nol dan uji Box-Pierce (Lampiran 34) memperlihatkan nilai-p yang lebih besar dari 0.05 sehingga mengindikasikan sisaan saling bebas pada taraf nyata 5%.
Diagnostik model juga dilakukan untuk melihat adanya korelasi silang antara sisaan dengan masing-masing input. Pada Lampiran 34 terlihat bahwa untuk semua input diperoleh nilai-p yang lebih besar dari 0.05 yang menunjukkan bahwa tidak adanya korelasi silang antara sisaan dengan masing-masing input.
Berdasarkan hasil analisa bahwa penduga parameter yang nyata, sisaan saling bebas, dan tidak adanya korelasi antara sisaan dengan deret input, maka model tersebut ditetapkan sebagai model akhir fungsi transfer.
Peramalan
Setelah model fungsi transfer diperoleh, selanjutnya digunakan untuk meramalkan tingkat inflasi berdasarkan model fungsi transfer yang diperoleh. Untuk mendapatkan peramalan model fungsi transfer kita mengatur kembali secara sederhana model yang diperoleh. Karena 1 = ∇ 1 , 2 =
∇ 2 , 3 = ∇ 3 , dan = ∇ maka model fungsi transfer dapat dituliskan:
= −1.0496 + 1.0496 + 2.8621 ( )−2.8621 ( ) −1.9124 ( )+ 1.9124 ( ) + 3.0041 ( )−3.0041 ( ) −2.0074 ( )+ 2.0074 ( ) −0.0009 ( )+ 0.0009 ( ) + 0.3755 ( )−0.3755 ( ) + 0.39415 ( )−0.39415 ( ) +
Model fungsi transfer ini dapat diartikan bahwa tingkat inflasi pada waktu ke-t dipengaruhi oleh (1) tingkat inflasi satu bulan, dua belas bulan, dan tiga belas bulan sebelumnya, (2) tingkat suku bungan BI dua sampai lima bulan sebelumnya serta empat belas sampai tujuh bulan sebelumnya, (3) nilai tukar rupiah terhadap USD satu bulan dan dua bulan sebelumnya, serta (4) perubahan jumlah uang beredar tiga belas bulan dan empat belas bulan sebelumnya.
Model yang diperoleh digunakan untuk meramalkan tingkat inflasi tahun 2010 (Tabel 15). Nilai MAPE dan MAD hasil peramalan dengan model fungsi transfer masing-masing sebesar 15.69% dan 0.81. Sedangkan nilai MAPE dan MAD data keseluruhan dari model fungsi transfer masing-masing sebesar 16.94% dan 1.15. Selain itu plot bersama antara data aktual dan model fungsi transfer yang terlihat pada Gambar 9 menunjukkan bahwa pola data aktual mirip dengan pola model fungsi transfernya.
Tabel 15 Perbandingan Hasil Peramalan Fungsi Transfer dan Data Aktual
Bulan Ŷ Y Januari 2010 3.75 3.72 Februari 2010 3.75 3.81 Maret 2010 2.28 3.43 April 2010 3.22 3.91 Mei 2010 3.72 4.16 Juni 2010 6.25 5.05 Juli 2010 7.65 6.22 Agustus 2010 7.81 6.44 September 2010 8.05 5.80 Oktober 2010 6.17 5.67 November 2010 6.71 6.33 Desember 2010 6.78 6.96 MAPE 15.69% MAD 0.81
Gambar 9 Plot Bersama Data Aktual dan Model Fungsi Transfer
100 80 60 40 20 0 20 15 10 5 0 Variable Aktual Fungsi Transfer
SIMPULAN DAN SARAN Simpulan
Data deret waktu dengan input ganda dapat dimodelkan dengan model fungsi transfer. Model fungsi transfer yang diperoleh dihitung dengan menggabungkan model fungsi transfer untuk input pertama, kedua dan ketiga. Setelah itu dilakukan reestimation
parameter karena antar deret inputnya terdapat korelasi. Dari model yang diperoleh dapat disimpulkan tingkat inflasi pada waktu ke-t
13
dipengaruhi oleh tingkat inflasi satu bulan, dua belas bulan, dan tiga belas bulan sebelumnya, tingkat suku bungan BI dua sampai lima bulan sebelumnya serta empat belas sampai tujuh bulan sebelumnya, nilai tukar rupiah terhadap USD satu bulan dan dua bulan sebelumnya, serta perubahan jumlah uang beredar tiga belas bulan dan empat belas bulan sebelumnya. Nilai MAPE dan MAD hasil peramalan sebesar 15.69% dan 0.81 menunjukkan model fungsi transfer yang diperoleh cukup baik dalam melakukan peramalan.
Saran
Penulis menyarankan untuk mengkaji lagi hasil yang diperoleh dari penelitian ini dari sudut pandang ekonominya. Selain itu, penulis menyarankan untuk mencoba menggunakan metode deret waktu lainnya seperti metode VAR. Tidak terlepas kemungkinan diperoleh model baru yang lebih baik dan lebih sederhana dibandingkan model fungsi transfer input ganda.
DAFTAR PUSTAKA
[SAS] SAS Institute Inc. 2010. SAS/ETS 9.22
User’s Guide. Cary, NC: SAS Institute
Inc.
Cryer JD dan KS Chan. 2008. Time Series Analysis with Applications in R Second
Edition. New York: Springer.
Enders W. 2004. Applied Econometric Time
Series Second Edittion. USA: John Wiley
and Sons, Inc.
Handayani FR. 2010. Fungsi Transfer Hubungan Perubahan Jumlah Uang Beredar dan Tingkat Inflasi [skripsi]. Bogor : Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Pertanian Bogor.
Makridakis S, SC Wheelwright, VE McGee. 1983. Metode dan Aplikasi Peramalan
Jilid 1 Edisi Kedua. Untung SA, Abdul B,
Penerjemah; Jakarta: Penerbit Erlagga. Terjemahan dari : Forecasting, 2nd Edition. Montgomery DC, LA Johnson, JS Gardiner.
1990. Forecasting and Time Series
Analysis Second Edition. Singapore:
McGraw-Hill.
Olason T dan WE Watt. 1986. Multivariate Transfer Function-Noise Model of River Flow for Hydropower Operation. Nordic Hydrology: 185-202.
Putong I. 2003. Pengantar Ekonomi Mikro
dan Makro Edisi Kedua. Jakarta: Ghalia
Indonesia.
Sasana H. 2004. Analisis Faktor-Faktor yang Mempengaruhi Inflasi di Indonesia dan
Filipina. Jurnal Bisnis dan Ekonomi, vol
11 no. 2, 207-220.
Wei WWS. 2006. Time Series Analysis Univariate and Multivariate Methods
Second Edition. Boston: Pearson