BAB II TEORI DASAR
2.3 MODEL MATEMATIK DAN PERSAMAAN DIFERENSIAL
Penyelesaian problem statik umumnya hanya memerlukan sekali penyelesaian (single solution) artinya tidak ada pengulangan-pengulangan. Sebaliknya penyelesaian problem dinamik akan berulang-ulang sesuai dengan step integrasi numerik dan durasi pembebanan yang ditinjau. Akibatnya, penyelesaian problem dinamik menjadi lebih lama, lebih banyak dan lebih mahal dari pada penyelesaian problem statik. Pengaruh beban dinamik terhadap respon struktur akan lebih besar dari pada pengaruh beban statik. Hal inilah yang menjadi alasan utama mengapa analisis dinamik tetap dibutuhkan walaupun diperlukan waktu dan biaya yang lebih mahal dibanding dengan analisis statik.
Model matematik pada hakekatnya adalah pemodelan suatu persoalan sedemikian rupa sehingga penyelesaian persoalan tersebut dapat dilakukan secara lebih jelas/mudah dengan memakai prinsip-prinsip matematik. Apabila semua aksi (gaya-gaya luar) dan reaksi (termasuk gaya-gaya dalam) yang terlibat dalam sistem yang ditinjau kesemuanya telah dimodel, maka ekspresi matematik atas keseimbangan sistem bersangkutan dapat disusun/ dikenali dengan mudah. Oleh karena itu, ekspresi matematik atas suatu keseimbangan dapat dituangkan dengan dengan mudah dan benar apabila telah dilakukan permodelan fisik secara visual sehingga memudahkan dalam menuangkan ekspresi matematik atas suatu
keseimbangan. Model matematik ini diperlukan tidak hanya pada persoalan statik tetapi juga pada problem dinamik.
Model matematik itu sendiri pada hakekatnya adalah salah satu kebijakan dalam persoalan keteknikan (engineering problems). Penyederhanaan atau anggapan yang ada pada matematik diambil sedemikian rupa sehingga secara keseluruhan diperoleh suatu ketelitian yang cukup tanpa adanya kesalahan yang berarti. Permodelan menjadi sesuatu yang penting agar persoalan yang kompleks dapat ditransfer menjadi persoalan yang dapat dicerna/ diselesaikan dengan mudah secara matematik.
2.3.1 Struktur Tanpa Redaman
Untuk membahas hal ini dimuka diambil model struktur dan pembebanannya seperti tampak pada gambar 2.3.1. Pada gambar 2.3.1.a suatu struktur bangunan 1 tingkat mendukung beban grativikasi yang berupa beban terbagi dan beban horizontal dinamik P(t). Akibat beban dinamik, struktur akan bergoyang berganti-ganti ke kanan maupun ke kiri. Terdapat dua parameter penting yang mempengaruhi besar-besarnya goyangan yaitu massa (m) dan kekakuan (k). Dua parameter ini selanjutnya akan disebut dinamik karakteristik dari struktur yang bersangkutan. Secara sepintas akan mudah diketahui bahwa semakin kaku kolom maka goyangan massa akan semakin kecil dan sebaliknya.
Gambar 2.3.Pemodelan struktur
�= �
� (2.1)
Massa struktur yang dihitung menurut persamaan 2.1 tersebut dimodelkan sebagai suatu massa m yang bergerak diatas landasan melalui roda-rodanya seperti tampak pada gambar 2.3.b. Dalam hal ini dianggap tidak ada gesekan antara roda-roda dengan landasannya. Gerakan massa m akibat beban dinamik P(t) tersebut dikendalikan oleh suatu pegas sebagaimana tampak padagambar 2.3.b. Simpangan horisontal y(t) selanjutnya dari posisi massa saat diam.
Sebagaimana disampaikan diatas, kolom akan memegang peranan penting pada proses goyangan massa. Peran kolom pada peristiwa goyangan massa ini akan ditunjukkan oleh adanya kekakuan kolom. Kekakuan kolom kemudian dimodelkan sebagai suatu pegas seperti tampak pada gambar 2.3.b. Kekakuan kolom yang dimaksud adalah fungsi langsung dari sistem pengekangan pada ujung-ujung kolom, modulus elastik E, momen inersia Ix dan berbanding terbalik secara kubik dengan panjang kolom h. Dengan kenyataan seperti itu, maka kekakuan kolom sangat dipengaruhi oleh panjang kolom. Gambar 2.3.b adalah model matematik atas struktur yang tidak memakai redaman. Untuk seterusnya, pembahasan respon struktur dipakai anggapan bahwa kolom masih berperilaku elastik sehingga model pegas yang dipakai adalah pegas linier elastik sebagaimana tampak pada gambar 2.3.c.
2.3.2 Struktur Dengan Menggunakan Redaman
Benda yang bergerak dipermukaan bumi umumnya akan mengalami resistensi baik karena gesekan dengan benda-benda sekelilingnya maupun oleh peristiwa intern yang ada pada benda yang bersangkutan. Dengan adanya resistensi gerakan itu maka gerakan benda lambat laun akan melemah. Umumnya dikatakan bahwa terdapat sistem penyerapan energi pada peristiwa yang bersangkutan atau struktur yang bersangkutan mempunyai sistim peredaman. Sistim penyerapan energi ini hanya ada pada peristiwa dinamik. Ada beberapa jenis redaman yang dapat dikenal yaitu:
1) Structural damping
Merupakan redaman yang dihasilkan oleh adanya gesekan secara intern atas molekul-molekul didalam bahan, gesekan antara bagian-bagian struktur dengan alat-alat penyambung, maupun gesekan antara struktur dengan sistem dukungan.
2) Coulumb damping
Adalah redaman yang dihasilkan gesekan sesama benda padat, misalnya gesekan antara suatu kotak dengan berat/gaya normal N dengan lantai. Besarnya gaya redam C akan bergantung pada besarnya gaya normal N dan sudut gesek alam material f. Gaya redam tersebut dinyatakan dalam
C=N tanØ (2.2)
3) Viscous damping
Viscous damping adalah redaman yang dihasilkan oleh gesekan antara benda padat dengan benda cair/gas (air,minyak,oli,udara).
C= c.ý (2.3)
Persamaan 2.3 menunjukkan bahwa gaya redam C merupakan fungsi lurus terhadap koefisien redaman c dan kecepatan massa ý . Setiap jenis material dan tingkat
respon struktur akan mempunyai rasio redaman yang berbeda. Walaupun struktur mempunyai rasio redaman yang cukup tinggi tetapi pada pembebanan yang relatif singkat seperti pada peristiwa ledakan, maka efektivitas penyerapan energi relatif kecil. Penyerapan energi akan berjalan sangat efektif apabila struktur mempunyai rasio redaman cukup besar dan durasi pembebanan yang relatif lama. Redaman yang efektif selanjutnya akan banyak mengurangi atau mengeliminasi goyangan.
Gambar2.4 Model Matematik Struktur yang mempunyai redaman
Pada gambar 2.4 a gaya redam akan proporsional dengan kecepatan relatif antara dua massa yang berdekatan. Gaya redam pada massa ke-i akan dipengaruhi oleh kecepatan massa ke-(i-1) dan kecepatan massa ke-(i+1).Ada juga gaya redam yang merupakan fungsi dari absolut kecepatan massa. Pada redaman jenis ini gaya redam masing-masing tingkat akan saling independen, artinya redaman tingkat i hanya dipengaruhi oleh kecepatan massa ke-i. Untuk bangunan gedung bertingkat banyak, jenis-jenis redaman seperti itu akan berpengaruh terhadap matriks redaman dan akan berpengaruh terhadap respon struktur.
Simpangan massa pada struktur yang mempunyai redaman akan berkurang secara terus menerus sebagai mana tampak pada gambar 2.4 b. Pada struktur yang bersifat elastik, simpangan massa akan menjadi nol setelah terjadi penyerapan energi secara total. Pada saat itu posisi massa akan kembali atau sama seperti pada posisi awal. Pada Gambar 2.4 c menjelaskan bahwa suatu massa m yang bergerak diatas landasan akibat beban dinamik p(t), gerakannya dikendalikan oleh kekakuan pegas k, dan koefisien redaman c. Gaya pegas dan gaya redam akan bekerja secara berlawanan dengan arah gerakan. Hal ini yang memungkinkan bangunan kembali seperti pada posisi semula setelah bergoyang akibat gempa bumi atau oleh beban dinamik yang lain.