METODOLOGI PENELITIAN
4.4 Metode Transportasi
4.4.2 Metode Uji Optimalitas
4.4.2.2 Modified Distribution Method (MODI)
Pada dasarnya metode modified distribution (MODI) adalah sebuah modifikasi dari metode stepping stone. Dalam metode MODI, perubahan biaya sel ditentukan secara matematis, tanpa mengidentifikasi semua sel kosong dengan jalur stepping stone.
Jika dengan metode stepping stone, untuk memperoleh opportunity cost dari setiap sel kosong harus menulis sebuah loop dan mengevaluasi jalur tersebut sehingga prosesnya lama dan kurang efektif. Dalam MODI, opportunity cost dari semua sel kosong dihitung secara simultan dengan variabel dual dan hanya satu jalur tertutup yang benilai positif terbesar (yang memungkinkan terjadinya penurunan biaya terbesar) yang akan dieveluasi lebih lanjut. Sehingga menguragi penggunaan waktu operasi daripada metode stepping stone.
Langkah-langkah dalam metode MODI (modified distribution) sebagai berikut:
1. Tentukan variabel dual yang bersesuaian dengan kendala supply dan demand.
Jika ada m sumber dan n tujuan, maka akan ada m+n variabel dual. Andaikan ui (i= 1, 2,..., m) dan vj (j= 1, 2,..., n) adalah variabel dual yang bersesuaian dengan kendala supply dan demand dan cij adalah biaya sel alokasi, untuk menentukan nilai variabel dual dapat dihitung dengan persamaan ui + vj = cij
; xij > 0 untuk semua sel alokasi (variabel basis).
2. Setiap solusi layak awal memiliki m+n-1 variabel basis untuk xij > 0.
Sehingga akan ada m+n-1 persamaan untuk menentukan m+n variabel dual.
Satu dari variabel dual tersebut dapat dipilih secara sembarang biasanya u1=0.
3. Jika xij = 0 (bayak unit pada sel kosong), nilai variabel dual yang dihitung akan dibandingkan dengan nilai cij pada sel tesebut sebagai cij - ui - vj, hasil kalkulasi nya disimpan dalam variabel dij merupakan besar perubahan biaya yang terjadi dari evaluasi sel-sel kosong. Jika cij - ui - vj ≥ 0 artinya perubahan biaya positif (opportunity cost negatif), melalui theorem of complementary slackness dapat diperlihatkan bahwa solusi tersebut optimal, sama halnya dengan stepping stone.
4. Nilai opportunity cost memiliki beberapa arti sebagai berikut:
a) Jika semua dij > 0 opportunity cost negatif maka solusi layak awal optimal dan tunggal
b) Jika semua dij ≥ 0; minimal satu dij = 0, opportunity cost negatif solusi optimal dan terdapat solusi (rute) alternatif lain yang optimal c) Jika minimal ada satu dij < 0 oportunity cost positif maka solusi tidak
optimal
d) Jika satu atau lebih cij - ui - vj < 0 oportunity cost positif, artinya solusi layak awal tidak optimal dan masih harus dilakukan realokasi. Sel dengan nilai cij - ui - vj terkecil akan dipilih sebagai entering variabel dan dialokasikan sebanyak mungkin sesuai dengan kendala supply dan demand. Realokasi meyebabkan perubahan sel basis menjadi sel nonbasis demikian sebaliknya. Ketika solusi masih tidak optimal maka proses yang sama dilakukan pada iterasi berikutnya untuk menentukan nilai variabel dual dan opportunity cost sel-sel kosong dan komputasi berhenti jika semua nilai cij - ui - vj ≥ 0.
(Murthy, P R. 2007)
Untuk memperlihatkan bagaimana proses metode MODI mengevaluasi solusi layak awal, penulis akan menggunakan kembali solusi layak awal yang ditentukan dengan metode least-cost. Tabel berikut ini memperlihatkan solusi layak awal yang akan dievaluasi dengan metode MODI.
Tabel 4.28 Solusi layak awal dengan least-cost method
Kolom tambahan pada sisi kiri tabel dengan variabel ui dan baris tambahan pada bagian atas dengan variabel vj melambangkan nilai baris dan kolomyang harus dihitung dalam metode MODI. Nilai tersebut dihitung untuk semua sel alokasi dengan rumus:
ui + vj = cij.
Nilai cij adalah biaya transportasi untuk setiap sel ij. Sebagai contoh rumus untuk sel 1B adalah:
u1 + vB = c1B, dengan besar biaya transportasi c1B = 8, maka
u1 + vB = 8.
Dan rumus untuk sel-sel sisanya yang akan dievaluasi adalah:
x1C : u1 + vC = 10 x2C : u2 + vC = 11
x3A : u3 + vA = 4 x3B : u3+ vB = 5
Sekarang terdapat lima persamaan dengan 6 variabel yang nilainya tidak diketahui. Untuk menyelesaikan persamaan ini perlu menetapkan satu dari semua variabel persamaan berilai nol. Jika dimisalkan u1 = 0, maka semua nilai variabel ui
dan vj yang lain akan dapat diselesaikan.
x1B : u1 + vB = 8 0 + vB = 8 vB = 8 x1C : u1 + vC = 10 0 + vC = 10 vC = 10 x2C : u2 + vC = 11 u2 + 10 = 11 u2 = 1 x3B : u3 + vB = 5 u3 + 8 = 5 u3 = -3 x3A : u3+ vA = 4 -3+ vA = 4 vA = 7
Perhatikan bahwa persamaan untuk sel 3B harus diselesaikan lebih dahulu sebelum sel 3A dapat diselesaikan. Dan semua nilai dari ui dan vj dapat disubstitusikan ke dalam tabel seperti diperlihatkan pada tabel 4.29 berikut.
Tabel 4.29 Solusi awal dengan semua nilai ui dan vj
Selanjutnya, digunakan rumus berikut ini untuk mengevaluasi sel-sel kosong yakni menentukan opportunity cost dari variabel nonbasis.
cij – ui – vj = dij
di mana dij sama dengan peningkatan biaya atau penurunan biaya yang mungkin terjadi dengan mengalokasikan ke sebuah sel. Untuk semua sel-sel kosong dalam Tabel 4.29, rumus tersebut menghasilkan nilai-nilai berikut.
x1A : d1A = c1A – u1 - vA = 6 - 0 - 7 = -1 x2A : d2A = c2A – u2 - vA = 7 - 1 - 7 = -1 x2B : d2B = c2B – u2 – vB = 11 - 1 - 8 = +2 x3C : d3C = c3C – u3 – vC = 12 - (-3) - 10 = +5
Dari perhitungan ini menunjukkan bahwa baik sel 1A dan sel 2A akan menurunkan biaya $1 per alokasi unit. Perhatikan bahwa perubahan biaya dari empat sel kosong diatas sama dengan perubahan biaya untuk empat sel kosong yang dihitung dengan metode stepping stone iterasi pertama pada subbab sebelumnya.
Informasi yang sama yaitu nilai opportuity cost ditentukan dengan dua metode
yangberbeda yakni evaluasi jalur dalam metode stepping stone dan menggunakan rumus matematika dari metode MODI.
Karena nilai opportunity cost dari sel 1A dan 2A sama maka dapat dipilih sembarang sebagai entering nonbasic variabel untuk evaluasi iterasi selanjutnya sampai ditemukan semua opportunity cost dari sel-sel kosong berilai negatif (dij ≥ 0).
Jika yang dipilih adalah sel 1A sebagai entering nonbasic variabel, maka harus ditentukan kembali jalur stepping stone dari sel tersebut untuk menentukan berapa banyak unit yang akan di realokasi. Hasil realokasi dari jalur sel 1A diperlihatkan pada Tabel 4.30 berikut.
Tabel 4.30 Iterasi kedua menentukan solusi optimal dengan MODI
Nilai dari variabel ui dan vj pada Tabel 4.30 harus dihitung kembali menggunakan rumus ui + vj = cij
untuk sel-sel yang sudah dialokasikan.
x1A : u1 + vA = 6 0 + vA = 6 vA = 6 x1C : u1 + vC = 10 0+ v4 = 10 vC = 10
x2C : u2 + vC = 11 u2 + 10 = 11 u2 = 1 x3A : u3 + vA = 4 u3 + 6 = 4 u3= -2 x3B : u3 + vB = 5 -2 + vB = 5 vB = 7
Nilai baru dari ui dan vj diperlihatkan pada Tabel 4.31 berikut.
Tabel 4.31 Nilai baru ui dan vj untuk iterasi
Perubahan biaya dari sel-sel kosong pada di atas dapat dihitung dengan rumus opportunity cost :
cij – ui – vj = dij
x1B : d1B = c1B – u1 – vB = 8 - 0 - 7 = +1
x2A : d2A = c2A – u2 - vA = 7 - 1 - 0 = 0 x2B : d2B = c2B – u2 – vB = 11 - 1 - 7 = +2 x3C : d3C = c3C – u3 – vC = 12 - (-2) - 10 = +4
Karena tidak ada opportunity cost yang bernilai positif, maka solusi yang diperlihatkan pada Tabel 4.30 optimal.
Total biaya = 25(6) + 125(10) + (175(11) + 175(4) + 100(5) = 4525 (sama dengan hasil optimal metode stepping stone).
Demikian halnya seperti dalam penyelesaian metode stepping stone, sel 2A memiliki perubahan biaya 0 (opportunity cost 0) menunjukkan adanya solusi optimal ganda (ada jalur alokasi optimal lain dengan total biaya yang sama).
Dari kajian yang telah dilakukan untuk dua metode uji optimalitas yaitu stepping stone method dan modified distribution method (MODI), penulis memilih MODI sebagai metode optimalitas yang akan diaplikasikan pada penyelesaian contoh masalah transportasi. Hal ini karena, pada intinya MODI adalah sebuah metode modifikasi dari stepping stone dengan proses yang lebih efesien. Solusi layak awal dari masalah transportasi yang akan diselesaikan ditentukan dengan ketiga metode yang telah dikaji pada subbab sebelumnya yaitu north-west corner method, least-cost method dan vogel’s approximation method. Tujuan dari penyelesaian contoh masalah ini adalah untuk memperlihatkan keoptimalan masing-masing metode sehingga pada akhir tulisan ini dapat disimpulkan metode apa yang tepat dipilih menyelesaikan persoalan transportasi serupa dalam kehidupan nyata, sesuai dengan tujuan dari tulisan ini.