METODOLOGI PENELITIAN
4.4 Metode Transportasi
4.4.2 Metode Uji Optimalitas
4.4.2.1 Stepping Stone Method
Setelah solusi layak awal diperoleh dari sebuah masalah transportasi dengan metode yang tersedia, langkah berikutnya adalah mengevaluasi sel kosong lain untuk meminimalkan biaya transport dengan memasukkan variabel nonbasis (yaitu alokasi barang ke kotak kosong) ke dalam solusi. Proses evaluasi variabel nonbasis yang memungkinkan terjadinya perbaikan solusi dan kemudian mengalokasikan kembali dinamakan metode stepping stone.
Untuk memberi sebuah tes optimalitas pada solusi layak awal, harus ditentukan opportunity cost dari sel-sel kosong (variabel nobasis) dalam tabel transportasi yang tersedia. Sebuah masalah transportasi memiliki ketentuan dalam
mengambil keputusan suatu solusi dikatakan optimal jika dan hanya jika semua opportunity cost bernilai positif (tidak ada satupun opportunity cost dari sel kosong yang bernilai negatif) yang artinya tidak perlu dilakukan evaluasi iterasi selanjutnya dan proses tes optimalitas berhenti. Jika ada satu saja opportunity cost yang bernilai negatif maka masih ada kemungkinan terjadi penurunan biaya jika diadakan realokasi. Karena itulah dilakukan proses evaluasi untuk seluruh sel-sel kosong.
Metode stepping stone digunakan untuk menentukan opportunity cost dari sel-sel kosong dan akan dievaluasi dengan metodologi sebagai berikut.
1. Berikan tanda ‘+’ pada sel kosong yang akan dievaluasi
2. Mulai dari sel tersebut gambar sebuah loop (jalur tertutup) yang berpindah secara horizontal atau vertikal dari sel variabel basis ke sel variabel basis yang lain. Harus diperhatikan bahwa, tidak boleh ada perpindahan yang diagonal/ menyilang. Ketika sampai pada sel variabel basis/ alokasi, terjadi perubahan arah dan berpindah secara vertikal ke bawah atau ke atas ataupun secara horizontal untuk mencapai sel variabel basis yang lain. Jika ditemukan sel alokasi yang tidak memungkinkan berubah arah, abaikan dan lanjutkan proses pada sel alokasi selanjutnya pada baris atau colom tersebut.
3. Setelah melengkapi loop tersebut, berikan tanda negativ ‘-’ dan positiv ‘+’
secara alternatif (bergantian).
4. Identifikasi jumlah unit terendah pada sel-sel yang diberi tanda negatif.
5. Jumlah muatan tersebut akan ditambahkan pada sel yang bertanda positif dan mengurangi muatan dari sel yang diberi tanda negatif (proses realokasi).
6. Tidak diijinkan merubah sel alokasi yang tidak berada di dalam loop.
7. Proses penambahan dan pengurangan pada setiap perubahan arah loop harus memperhatikan keseimbangan persyaratan kendala (jumlah permintaan dan penawaran).
8. Bentuk sebuah tabel dari sel-sel kosong dan daftarkan perubahan biaya utuk setiap perubahan muatan dari sel alokasi ke sel alokasi.
9. Jika perubahan biaya positif, artinya jika diterapkan hasil evaluasi tersebut pada solusi yang dipilih maka biaya total akan meningkat demikan sebalikya perubahan biaya negatif, total biaya akan berkurang jika hasil evaluasi tersebutkan diterapkan pada solusi. Perubahan biaya disebut juga dengan
opportunity cost (biaya untung) namun tandanya berkebalikan dengan nilai perubahan biaya, karena jika biaya naik keuntungan berkurang (opportunity cost negatif) dan bila biaya menurun keuntungan meningkat (opportunity cost positif). Maka, dalam solusi optimal dari sebuah masalah transportasi, sel-sel kosong seharusnya tidak memiliki opportunity cost positif.
10. Ketika semua sel kosong memiliki opportunity cost negatif, solusi tersebut dikatakan optimal. Dan sebaliknya jika masih ada opportunity cost positf masih perlu evaluasi iterasi berikutnya dan berhenti jika semua opportunity cost bernilai negatif atau 0 (sama artinya dengan perubahan biaya pada setiap sel kosong positif atau 0).
(Murthy, P R. 2007)
Berikut ini diperlihatkan sebuah tabel masalah transportasi yang sudah ditentukan solusi layak awalnya dengan metode least-cost dan akan diberikan tes optimalitas dengan metode stepping stone.
Tabel 4.14 Tes optimalitas solusi layak awal dengan metode stepping stone
Prinsip dasar dari sebuah masalah transportasi adalah menentukan apakah sebuah rute transportasi yang tidak digunakan dalam hal ini sel-sel kosong memberikan total biaya yang lebih rendah jika rute tersebut digunakan. Tabel 4.14 di atas memperlihatkan 4 sel kosong (1A, 2A, 2B, 3C) merepresentasikan rute yang tidak digunakan. Sel 1A artinya sel yang menunjukkan tempat alokasi dari baris 1 kolom A pada tabel transportasi, demikian berlaku untuk semua sel pada tabel
transportasi dalam tulisan ini. Langkah pertama dalam metode stepping stone adalah untuk mengevaluai sel kosong ini untuk melihat apakah dengan meggunakan sel-sel tersebut akan mengurangi total biaya. Jika diperoleh sebuah rute baru yang mungkin untuk menurunkkan total biaya maka akan dialokasikan sebanyak mungkin ke dalam sel tersebut.
Dari tabel 4.14 di atas, pertama sel kosong yang akan diberi tanda positi (+) adalah 1A. Jika satu ton dialokasikan ke sel 1A, biaya akan bertambah $1 yakni biaya transportasi dari sel 1A. Dengan menambah alokasi satu ton ke sel 1A, terjadi peningkatan supply pada baris 1 menjadi 151 ton seperti diperlihatkan pada Tabel 4.15 berikut.
Tabel 4.15 Alokasi 1 ton ke sel 1A
Persyaratan kendala dari permasalahan transportasi tidak dapat diubah harus tetap diperhatikan keseimbangan antara jumlah penawaran dan permintaan. Jika dengan menambahkan satu ton ke dalam sel 1A, maka harus dikurangi satu ton dari sel alokasi yang lain pada baris yang sama dengan sel 1A. Maka sel 1B adalah calon yang logis karena memiliki 25 ton yang tersimpan pada sel tersebut. Dengan mengurangi satu ton dari sel 1B, akibatnya total supply pada baris 1 adalah 150 ton, yang artinya sudah memenuhi kembali batasan supply awal. Pada saat yang sama pengurangan satu ton dari sel 1B telah mengurangi total biaya sebesar $8. Dan juga pengurangan satu ton dari 1B mengakibatkan hanya 99 tob alokasi yang dipenuhi pada kolom 2 sementara yang dibutuhkan adalah 100 ton, hal ini mengharuskan penambahan 1 ton yag diperoleh dari sel alokasi yang lain. Dan yang diplih adalah
sel 3B yang memiliki alokasi 75 ton, sehingga kendala permintaan awal 100 ton terpenuhi.
Tabel 4.16 Pegurangan satu ton dari sel 1B
Persyaratan dari metode stepping stone ini adalah bahwa unit dapat ditambah dan dikurangi hanya dari sel-sel yag telah memiliki alokasi. Itulah sebabnya satu ton ditambahkan ke sel 3B dan bukan sel 2B. Hal ini berdasarkan ketentuan dari metode ini, sesuai dengan namanya, proses penambahan dan pengurangan unit dari sel-sel alokasi adalah analogi menyebrangi sebuah kolam dengan melangkah pada batu-batu. Pengalokasian satu ton tambahan pada sel 3B telah meningkatkan biaya sebesar
$5 dan juga menambahan supply pada baris ke 3 menjadi 276 ton, yang telah melanggar batas kendala pada sumber ini. Hal ini dapat diperbaiki kembali dengan mengurangi satu ton dari sel 3A yang memiliki 200 ton unit alokasi, dan memenuhi batasan kendala awal pada baris 3 yang mengakibatkan pengurangan total biaya $4 biaya transportasi sel 3A. Alokasi ini diperlihatkan pada Tabel 4.16 berikut.
Tabel 4.17 Jalur tertutup metode stepping stone sel 2A
Dari Tabel 4.16 memperlihatkan bahwa penambahan satu ton dari sel 3A, tidak mengganggu kendala permitaan pada kolom A, karena sebelumnya telah ditambah satu to ke sel 1A yaitu saat pertama evaluasi alokasi sel kosong.
Sekarang, ditinjau kembali pertambahan dan pengurangan dalam biaya sebagai hasil dari proses evaluasi metode ini. Diawali dengan penambahan biaya $6 pada sel 1A, dan pengurangan biaya $8 pada sel 1B, dan penambahan biaya $5 pada sel 3B, dan terakhir pengurangan biaya $4 pada sel 3A, dapat dituliskan alur panah berikut:
1A →1B → 3B→ 3A + $6 - $8 + $5 - $4 = -$1
Dengan kata lain, utuk setiap ton unit alokasi ke sel 1A (rute yang tidak digunakan pada solusi layak awal), akan megurangi total biaya sebesar $1. Hal ini menunjukkan bahwa solusi layak awal tidak optimal karena sebuah biaya yang lebih rendah dapat dicapai dengan mengalokasikan beberapa ton unit ke sel 1A. Tujuan dari evaluasi sel ini adalah untuk menentukan entering variable yang akan mengurangi biaya paling besar. Variabel lain (sel kosong) yang lain bahkan mungkin menghasilkan pengurangan biaya yang lebih besar dari sel 1A. Jika ada sel lain yang mennyebabkan penurunan biaya lebih besar maka akan dipilih, dan jika tidak yang dipilih sebagai entering variable adalah sel 1A. Untuk mengindentifikasi entering variable yang tepat, sel kosng yang tersisa harus dievaluasi dengan cara yang sama seperti sel 1A.
Evaluasi untuk sel kosong yang lain dilakukan dengan cara yang sama. Jalur tertutup metode stepping stone untuk sel 2A diperlihatkan pada Tabel 4.17 berikut.
Tabel 4.18 Jalur tertutup stepping stone sel 2A
2A→ 2C →1C → 1B→ 3B → 3A + $7- $11 + $10 - $8 + $5 - $4 = -$1
Perlu diperhatikan bahwa jalur cel 2A lebih kompleks dari jalur sel 1A.
Alokasi pada sel 2A akan mengurangi $1, seperti yang diperlihatkan pada tabel 4.17, yang artinya diperoleh entering variabel lain walaupun tidak lebih baik dari sel 1A.
Jalur stepping stone dan hasil komputasi dari sel kosong sisa yaitu sel 2B dan 3C diperlihatkan pada Tabel 4.18 dan Tabel 4.19 secara berurutan.
Tabel 4.19 Jalur stepping stone sel 2B
2B→ 2C →1C→1B + $11 - $11 + $10 -$8 = +$2
Tabel 4.20 Jalur stepping stone pada sel 3C
3C →1C → 1B→3B + $12 - $10 + $8 - $5 = +$5
Setelah keempat rute yang tidak digunakan dalam solusi layak awal dievaluasi, terdapat dua sel yang memiliki perubahan biaya sama yaitu sel 1A dan 2A sebesar -$1 yang artinya ada dua sel yang memiliki opportunity cost bernilai positif dan solusi awal tidak optimal. Maka dapat dipilih sembarang sel untuk dijadikan entering variable realokasi unit, dan yang dipilih adalah sel 1A. Karena total biaya dari model transportasi akan berkurang $1 untuk setiap ton alokasi, maka diusahakan mengalokasikan sebanyak mungkin. Untuk menentukan jumlah berapa alokasi, perlu untuk melihat kembali jalur sel 1A pada Tabel 4.21 berikut.
Tabel 4.21 Jalur alokasi sel 1A
Jalur stepping stone pada Tabel 4.20 di atas memperlihatkan bahwa sejumlah ton supply harus dikurangi dari sel 1B dan 3A untuk memenuhi keseluruhan persyaratan dan memenuhi model kendala. Karena tidak dapat mengurangi lebih dari yang tersedia dalam sel alokasi, hanya 25 ton di sel 1B. Dengan kata lain jika dialokasikan 25 ton ke sel 1A, maka harus dikurangi lebih dari 25 ton dari sel 1B, dan hal itu tidak mu ngkin terjadi karena yang tersedia hanya 25 ton. Oleh karena itu jumlah supply yang dapat dialokasikan ke sel 1A adalah 25 ton. Sehingga proses alokasi ulang nya adalah 25 ton ditambah ke sel 1A, dikurangi dari sel 1B, ditambah ke sel 3B, dan dikurangi dari sel 3A. Alokasi ulang ini diperlihatkan pada tabel 4.22 berikut.
Tabel 4.22 Iterasi kedua dari metode stepping stone
Tabel 4.22 memperlihatkan hasil satu iterasi dari metode stepping stone.
Selanjutnya dipilih x1A sebagai entering variable dan diakhiri x1B sebagai leaving variable karena nilai alokasinya menjadi 0. Selanjutnya dilakukan evaluasi apakah solusi yang diperlihatkan pada tabel 4.21 sudah optimal atau belum. Caranya dengan membuat jalur dari rute yang tidak digunakan yang dimulai dari sel kosong 2A, 1B, 2B, dan 3C. Jalur-jalur tersebut diperlihatkan pada tabel 4.23 sampai Tabel 4.26 berikut.
Tabel 4.23 Jalur Stepping-Stone untuk Cell 2A
2A→ 2C→1C → 1A + $7 - $11 + $10 - $6 = $0
Besar perubahan biaya dari evaluasi sel 2A dengan jalur stepping stone adalah 0, yang artinya nilai opportuity cost sel tersebut adalah nol. Tidak ada pengaruh jika dilakukan realokasi pada sel tersebut.
Tabel 4.24 Jalur Stepping-Stone untuk Cell 1B
1B→ 3B → 3A→ 1A + $8 - $5 + $4 - $6 = +$1
Besar perubahan biaya dari evaluasi sel 1B dengan jalur stepping stone adalah +$1, yang artinya nilai opportuity cost sel tersebut adalah -1. Akan terjadi penambahan +$1 biaya tiap unit jika dilakukan realokasi pada sel tersebut.
Tabel 4.25 Jalur Stepping-Stone untuk Cell 2B
2B →3B → 3A→ 1A→1C→2C + $11 - $5 + $4 - $6 + $10 - $11 = +$3
Besar perubahan biaya dari evaluasi sel 2B dengan jalur stepping stone adalah +$3, yang artinya nilai opportuity cost sel tersebut adalah -3. Akan terjadi penambahan biaya alokasi +$3 setiap unit jika dilakukan realokasi pada sel tersebut.
Tabel 4.26 Jalur Stepping-Stone untuk Cell 3C
3C →3A→ 1A→1C + $12 - $4 + $6 - $10 = +$4
Besar perubahan biaya dari evaluasi sel 2B dengan jalur stepping stone adalah +$4, yang artinya nilai opportuity cost sel tersebut adalah -4. Akan terjadi penambahan biaya alokasi +$4 setiap unit jika dilakukan realokasi pada sel tersebut.
Proses evaluasi yang telah dilakukan pada empat rute dalam iterasi kedua metode stepping stone menunjukkan tidak adanya pengurangan biaya maka opportunity cost dari keempat sel kosong adalah negatif, sehingga solusi yang diperoleh pada Tabel 4.21 sebelumnya adalah solusi optimal. Dapat disimpulkan solusi layak awal dengan yang diperoleh menggunakan metode least-cost memerlukan dua iterasi sampai ditetapkan solusi optimal.
Tabel 4.27 Solusi optimal alternatif dengan metode stepping stone
Total biaya= 25($7) + 150($10) +150($11) + 175($4) +100($5) = $4525
Satu kekurangan dari metode stepping stone adalah harus membuat loop untuk setiap sel kosong. Jika sebuah masalah transportasi yang terdiri dari m baris dan n kolom, maka total jumlah sel kosong yang harus dievaluasi adalah sebanyak (m x n) – (m+n-1) = (m-1)(n-1). Jumlah sel tersebut harus dikalkulasi dan jika untuk masalah yang besar (variabel banyak), metode ini menjadi tidaka efesien dan menghabiskan banyak waktu. Jadi, utuk tes optimalitas penulis memilih metode MODI. Metode ini berbeda dari stepping stone karena metode MODI tidak perlu menentukan semua jalur tertutup dari sel-sel kosong (variabel nonbasis). Sebagai gantinya, nilai-nilai opportunity cost ditentukan secara serentak dan hanya jalur tertutup untuk entering variabel yang diidentifikasi. Hal ini menghilangkan tugas yang melelahkan dari identifikasi semua jalur stepping stone. Untuk lebih jelas bagaimana cara kerja metode MODI akan penulis uraikan pada subbab berikut.