ANALISIS BEBERAPA METODE TRANSPORTASI DALAM OPTIMALISASI BIAYA DISTRIBUSI SKRIPSI SUSTRI ELIANY PURBA

SKRIPSI

SUSTRI ELIANY PURBA 140803078

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

MEDAN 2018

SKRIPSI

Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat mencapai gelar Sarjana Sains

SUSTRI ELIANY PURBA 140803078

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

MEDAN 2018

ANALISIS BEBERAPA METODE TRANSPORTASI DALAM OPTIMALISASI BIAYA DISTRIBUSI

SKRIPSI

Saya mengaku bahwa skripsi ini adalah hasil karya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya.

Medan, Agustus 2018

Sustri Eliany Purba 140803078

Judul : Analisis Beberapa Metode Transportasi Dalam Optimalisasi Biaya Distribusi

Kategori : Skripsi

Nama : Sustri Eliany Purba

Nomor Induk Mahasiswa : 140803078

Program Studi : Sarjana (S1) Matematika Departemen : Matematika

Fakultas : MIPA-Universitas Sumatera Utara

Disetujui di

Medan, Agustus 2018

Ketua Program Studi Pembimbing,

Dr. Suyanto, M.Kom Dr. Mardiningsih, M.Si

NIP. 19590813 198601 1 002 NIP. 19630405 198811 2 001

ABSTRAK

Masalah transportasi sebagai bentuk khusus program linier membutuhkan metode penyelesaian yang lebih efektiv dari metode simpleks. Sehingga diciptakan sebuah metode khusus untuk menyelesaikan masalah transportasi dikenal dengan metode transportasi. Metode ini bertujuan untuk mengoptimalkan biaya distribusi produk tunggal dari beberapa sumber (source) ke beberapa tujuan (destination). Dalam tulisan ini, penulis melakukan analisis terhadap beberapa metode transportasi yaitu, metode penyelesaian solusi awal North west corner method (NWCM), Least cost method (LCM), approximation method (VAM) dan metode uji optimalitas Modified Distribution (MODI). Tujuan dari penelitian ini adalah mengkaji setiap metode untuk memperlihatkan karakteristik, kelebihan dan kelemahan yang dimiliki setiap metode.

Metodologi penelitian yang digunakan adalah studi literatur terhadap beberapa tinjauan pustaka berupa buku, artikel dan jurnal ilmiah yang berkaitan. Hasil penelitian menunjukkan bahwa jika dilihat dari alur kerja setiap metode maka metode yang paling sederhana adalah NWCM, selanjutnya metode LCM dan yang paling kompleks adalah metode VAM. Namun jika dilihat dari solusi yang diperoleh metode VAM menghasilkan total biaya distribusi paling minimum. Uji optimalitas dengan metode MODI juga memperlihatkan bahwa solusi awal yang paling mendekati solusi optimal dihasilkan oleh metode VAM, dilanjutkan oleh metode LCM dan solusi awal terbesar dihasilkan metode NWCM.

Kata kunci: LCM, masalah transportasi, metode transportasi, MODI, NWCM, solusi awal, solusi optimal, VAM

Abstract

Transportation problem as a special form of linear program requires a more effective method of completion of the simplex method. Hence, a special method was created to solve the problem of transportation known as transportation method. This method aims to optimize the cost of single product distribution from multiple sources to multiple destinations. In this paper, the author analyzes several methods of transportation namely, the method of solution completion of North west corner method (NWCM), Least cost method (LCM), approximation method (VAM) and Modified Distribution (MODI) optimality test method. The purpose of this study is to examine each method to show the characteristics, advantages and disadvantages of each method. The research methodology used in this paper is literature study on several literature reviews in the form of books, articles and related scientific journals. The results shows that when it is viewed from the workflow of each method, the simplest method is NWCM, then the LCM method and the most complex one is the VAM method. However, when it is viewed from the solution obtained, VAM method produces the minimum total cost of distribution. The optimality test with the MODI method also shows that the nearest solution closest to the optimal solution is generated by the VAM method, followed by the LCM method and the largest initial solution produced by the NWCM method.

Keywords: destination, demand, initial solution, LCM, MOD, NWCM, optimal solution, supply, source, transportation problems, transportation method, VAM

Puji dan syukur Penulis ucapkan kepada Tuhan Yesus atas segala kebaikan dan kemurahan-Nya yang senantiasa menyertai, menguatkan, dan memberkati kehidupan Penulis dalam setiap proses yang Penulis lalui. Hanya oleh karena kebaikan dan penyertaan-Nya sajalah maka Penulis dapat menyelesaikan skripsi yang berjudul,

“Analisis Beberapa Metode Transportasi Dalam Optimalisasi Biaya Distribusi”

sebagai salah satu syarat untuk mendapatkan gelar Sarjana Matematika pada Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Sumatera Utara.

Terima kasih Penulis sampaikan kepada Ibu Dr. Mardiningsih, M.Si selaku dosen pembimbing yang senantiasa meluangkan waktunya untuk membimbing, memberikan arahan, dukungan dalam penulisan skripsi ini dan motivasi kepada Penulis untuk lebih baik kedepannya. Semoga Tuhan senantiasa memberkati kehidupan beliau dalam kesehatan dan sukacita. Terima kasih kepada Bapak Drs.

Agus Salim Harahap, M.Si dan Ibu Dra. Normalina Napitupulu, M.Sc selaku Dosen Penguji yang telah memberi saran dan kritik yang membangun dalam penyempurnaan skripsi ini. Dan semoga Tuhan senantiasa memberkati kehidupan Bapak dan Ibu dalam kesehatan dan sukacita.

Terima kasih kepada Bapak Dr. Suyanto, M.Kom dan Bapak Drs. Rosman Siregar, M.Si selaku Ketua dan Sekretaris Departemen Matematika FMIPA USU, seluruh Dosen Matematika FMIPA USU yang telah memberikan ilmu yang bermanfaat kepada Penulis dari sejak awal perkuliahan, dan kepada para Pegawai FMIPA USU yang senantiasa tulus melayani keperluan mahasiswa.

Selanjutnya, terima kasih Penulis ucapkan kepada Ibunda Roslina Saragih dan Ayahanda Jolen Purba yang selalu mendoakan, mendukung, dan menasihati sehingga Penulis dapat menyelesaikan skripsi ini. Biarlah kiranya berkat dan penyertaan Tuhan Yesus yang membawa sukacita bagi kehidupan mereka.

abang ipar yang selalu mendukung dan menopang kebutuhan Penulis khususnya dari segi materi dan finansial yang Penulis butuhkan selama perkuliahan sehingga dapat menyelesaikan skripsi ini.

Dan tak lupa Penulis sampaikan terimakasih kepada semua teman dan sahabat yang selalu setia mendoakan, menguatkan, dan memberikan semangat dalam masa sukar dan mudah, sedih dan senang, jatuh dan bangun yang Penulis lalui dari awal perkuliahan sampai saat ini. Untuk beberapa orang yang Penulis sebutkan mereka yang sungguh dekat dengan keseharian penulis selama menyelesaikan perkuliahan yaitu, untuk keluarga baru yang Penulis miliki di Medan dari awal memasuki perkuliahan sampai saat ini, Nanggi Grace dan Panggi Kaban, terimakasih sudah menerima Penulis sebagai anak, semoga Tuhan Yesus senantiasa memberkati dan menambahkan sukacita buat semua keluarga. Dan untuk Ruth Situmorang, terimakasih telah menjadi seorang sahabat yang baik, semoga Tuhan Yesus senantiasa menyertaimu. Dan juga terimakasih kepada teman-teman seperjuangan angkatan 2014, seluruh adik-adik Matematika stambuk 2015, 2016 dan 2017 yang telah menjadi keluarga baru bagi Penulis, semoga Tuhan senantiasa memberkati.

Penulis menyadari bahwa skripsi ini jauh dari kesempurnaan. Untuk itu, Penulis meminta maaf apabila ada kesalahan baik dalam penulisan dan penyajian dalam skripsi ini. Akhir kata, Penulis berharap skripsi ini bermanfaat bagi diri Penulis pribadi dan orang lain.

Medan, Agustus 2018 Penulis

Sustri Eliany Purba

Halaman

PERNYATAAN ii

PENGESAHAN SKRIPSI iii

ABSTRAK iv

ABSTRACT v

PENGHARGAAN vi

DAFTAR ISI viii

DAFTAR TABEL x

DAFTAR GAMBAR xii

DAFTAR SIMBOL xiii

BAB 1 PENDAHULUAN

1.1 LatarBelakang 1

1.2 RumusanMasalah 2

1.3 BatasanMasalah 3

1.4 TujuanPenelitian 3

1.5 Manfaat Penelitian 3

BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Riset Operasi 5

2.2 Program Linier 6

2.3 Masalah Transportasi 7

2.3.1 Sejarah Permasalahan Transportasi 7

2.3.2 Defenisi dan Tujuan Masalah Transportasi 8

2.3.3 Ciri-ciri Masalah Transportasi 8

2.3.4 Model Umum Masalah Transportasi 9

2.3.4.1 Asumsi Dasar 9

2.3.4.2 Pengertian Metode Transportasi 9

2.3.4.3 Model Masalah Transportasi 10

2.3.4.4 Keseimbangan Transportasi 14

2.3.4.5 Metode Penyelesaian 17

2.4 Sistem Distribusi 19

2.5 Degenarasi dan Redudansi 14

BAB 3 METODE PENELITIAN

3.1 KerangkaPenelitian 22

BAB 4 PEMBAHASAN

4.1 Masalah Transportasi 23

4.2 Model Matematika Masalah Transportasi 25

4.3 Penyelesaian Masalah Transportasi 29

4.3.1 Menentukan Solusi Layak Awal 29

4.3.2 Menentukan Solusi Optimum 30

4.4.1.1North – West corner Method (NWCM) 31

4.4.1.2 Least – Cost Method (LCM) 34

4.4.1.3 Vogel’s Approximation Method (VAM) 36

4.4.2 Metode Uji Optimalitas 39

4.4.2.1 Stepping Stone Method 39

4.4.2.2 Modified Distribution (MODI) 50

4.5 Aplikasi Metode Pada Contoh Kasus 58

4.5.1 Menentukan Solusi Layak Awal 59

4.5.1.1Solusi Layak Awal denganNWC 59

4.5.1.2Solusi Awal Dengan Metode LCM 60

4.5.1.3 Solusi Awal dengan Metode VAM 63

4.5.2 Uji optimalitas pada solusi awal 69

4.5.2.1 Uji Optimalitas dengan MODI 70

4.5.3 Penyelesaian Masalah Transportasi

dengan Software 75

4.5.3.1 Program Lindo 75

4.5.3.2 Program Lingo 81

BAB 5 KESIMPULAN DAN SARAN

5.1 Kesimpulan 84

5.2 Saran 85

DAFTAR PUSTAKA 86

Nomor Judul Halaman

2.1 Gambaran umum Masalah Transportasi 12

2.2 Tabel Persoalan Transportasi Seimbang ∑ai = ∑bj 15 2.3 Tabel Persoalan Transportasi Tidak Seimbang ∑a_i> ∑bj 16 2.4 Tabel Persoalan Transportasi Tidak Seimbang ∑a_i< ∑b_j 16

4.1 Tabel Masalah Transportasi 25

4.2 Tabel Transportasi secara umum 26

4.3 Contoh Tabel Transportasi Gula 28

4.4 Tabel distribusi dari 3 pabrik ke 3 pasar 32

4.5 Hasilalokasibarangdengan NWCM dari 3 pabrikke 3 pasar 33

4.6 Hasil alokasi NWCM 33

4.7 Tabel Transportasi 34

4.8 Hasil menentukan solusi layak awal dengan LCM 35

4.9 Hasil Alokasi LCM 26

4.10 Tabel Transportasi contoh soal VAM 36

4.11 Hasil alokasi dengan metode VAM 37

4.12 Hasil alokasi VAM 37

4.13 Perbandingan proses alokasi menentukan solusi layak awal 38 4.14 Tes optimalitas solusi layak awal dengan metode stepping stone 41

4.15 Alokasi 1 ton ke sel 1A 42

4.16 Pegurangan satu ton dari sel 1B 43

4.17 Jalur tertutup metode stepping stone sel 2A 43

4.18 Jalur tertutup stepping stone sel 2A 44

4.19 Jalur stepping stone sel 2B 45

4.20 Jalur stepping stone pada sel 3C 45

4.21 Jalur alokasi sel 1A 46

4.22 Iterasi kedua dari metode stepping stone 47

4.23 Jalur Stepping-Stone untuk Cell 2A 47

4.24 Jalur Stepping-Stone untuk Cell 1B 48

4.25 Jalur Stepping-Stone untuk Cell 2B 48

4.26 Jalur Stepping-Stone untuk Cell 3C 49

4.27 Solusi optimal alternatif dengan metode stepping stone 49

4.28 Solusi layak awal dengan least-cost method 52

4.29 Solusi awal dengan semua nilai uidan vj 54

4.30 Iterasi kedua menentukan solusi optimal dengan MODI 55

4.31 Nilai baru ui dan vjuntuk iterasi 56

4.32 Contoh masalah transportasi 58

4.33 Matriks biaya transportasi hasil alokasi dengan metode NWC 59 4.34 Hasil alokasi dengan LCMsel biaya terendah pertama 61 4.35 Lanjutan proses alokasi LCM biaya terendah kedua 61 4.36 Lanjutan hasil alokasi dari metode LCM biaya terendah ketiga 62

4.37 Solusi awal dengan metode LCM 63

4.38 Tabel Masalah Transportasi 64

4.42 Hasil perhitungan pada kolom penalty terbesar kedua 66

4.43 Beda baris dan beda kolom iterasi ke-3 66

4.44 Hasil perhitungan pada kolom penalty terbesar ketiga 67

4.45 Beda baris dan beda kolom iterasi ke-4 67

4.46 Hasil perhitungan pada kolom penalty terbesar keempat 68

4.47 Beda baris dan beda kolom iterasi ke-5 68

4.48 Hasil perhitungan pada kolom penalty terbesar kelima 69 4.49 Solusi layak awal dengan Least-cost method (LCM) 70

4.50 Nilai v_i danu_j dalam tabel solusi awal 72

4.51 Nilai opportunity cost dari hasil evaluasi sel-sel kosong 72 4.52 Hasil realokasi solusi dengan metode MODI iterasi ke-1 73 4.53 Nilai opportunity cost sel-sel kosong metode MODI iterasi ke-2 73 4.54 Hasil Penyelesaian contoh Kasus Transportasi subbab 4.5 75

4.55 Tabel masalah Transportasi dengan Lindo 75

4.56 Tabel masalah Transportasi dengan Lingo 65

Nomor Judul Halaman

2.1 Deskripsi jaringan transportasi 11

2.2 Representasi Model Persoalan Transportasi 13

4.1 Representasi Jaringan sederhana Masalah Transportasi 23

4.2 Jaringan Transportasi 24

4.3 Model Jaringan Transportasi 25

Z = fungsi tujuan; total yang akan diminimumkan

𝐶ij = biaya transportasi per unit barang dari sumber i ke tujuan j 𝑋ij = jumlah barang yang didistribusikan dari sumber i ke tujuan j 𝑎i = jumlah barang yang ditawarkan atau kapasitas dari sumber i 𝑏j = jumlah barang yang diminta atau dipesan oleh tujuan j 𝑚 = banyaknya daerah penghasil/ sumber

𝑛 = banyaknya daerah tujuan Pi = dummy untuk baris Pj = dummy untuk kolom cij = biaya transportasi per unit ui = nilai variabel dual setiap baris vj = nilai setiap sel kolom

1.1 Latar Belakang

Salah satu permasalahan khusus dalam linear programming adalah masalah transportasi, untuk menyelesaikan permasalahan ini digunakan metode transportasi.

Dikatakan khusus, karena terletak pada karakteristik utama, yaitu bahwa masalah- masalah tersebut cenderung membutuhkan sejumlah pembatas dan variabel yang sangat banyak sehingga dalam penggunaan komputer dalam menyelesaikan metode simpleks akan sangat mahal dibandingkan secara manual (Zulfikarijah, 2004).

Metode transportasi adalah metode yang paling efisien dibandingkan dengan metode simpleks. Penggunaan metode transportasi ini dipelopori oleh FL. Hitchcock (1941), TC. Koopmas (1949) dan GB.Dantzig (1951). Beberapa permasalahan yang dapat diselesaikan dengan metode transportasi adalah mengalokasikan barang atau jasa dari suatu tempat (sumber/supply) ke tempat lainnya (demand/destination) secara optimal dengan mempertimbangkan biaya minimal, pengalokasian periklanan yang efektif, pembelanjaan modal dan alokasi dana untuk investasi, analisis pemilihan lokasi usaha yang tepat, keseimbangan lini perakitan, dan penjadwalan produksi (Sri Rahmawati, 2016).

Opltimalisasi dalam ilmu matematika, komputer dan ekonomi adalah suatu proses menyelesaikan permasalahan matematis secara efektif dengan memilih solusi terbaik dari beberapa solusi alternatif yang tersedia. Dengan kata lain optimalisasi bertujuan untuk memaksimumkan atau meminimumkan sebuah fungsi tujuan dengan memilih beberapa nilai integer atau variabel real dari sebuah himpunan nilai yang ditetapkan. Demikian halnya masalah transportasi, disadari penting untuk menemukan sebuah rencana pendistribusian yang optimal terhadap sejumlah barang yang sejenis. Ketika penawaran barang (supply) tersedia pada sejumlah sumber yang berbeda, jumlah permintaan barang (demand) ditentukan pada setiap tujuan, dengan biaya transportasi dari sumber ke tujuan didefenisikan dengan jelas, masalah yang harus diselesaikan adalah menemukan model / rencana pendistribusian yang optimal

yang dapat meminimalkan seluruh biaya transportasi pengangkutan barang dari seluruh sumber ke seluruh tujuan (Rekha Vivek, 2013).

Beberapa metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan kasus transportasi antara lain North west corner method (NWCM), Least cost method (LCM), Integer programming, Dyinamic programming, Vogel approximation method (VAM), dan algoritma simpleks. Di antara metode-metode tersebut, metode integer programming dan dynamik programming tidak seefesien metode algoritma simpleks karena kedua metode ini membutuhkan jumlah perhitungan yang lebih banyak (Dwi dan Yus Endra, 2004).

Jika telah dilakukan pengalokasian dengan salah satu metode tersebut akan diperoleh suatu nilai solusi layak awal (feasible solution). Langkah berikutnya adalah melihat apakah alokasi tersebut sudah optimal atau belum yang dikenal dengan uji optimalisasi. Ada dua metode uji optimalisasi yang umum digunaka, yaitu metode Stepping-stone dan MODI (Modified Distribution). Jika hasil uji menunjukkan bahwa solusi layak awal adalah solusi optimal maka alokasi telah optimal dan dapat dikatakan telah mencapai nilai yang paling menguntungkan (Sri Mulyono, 2004).

Pada penelitian ini, penulis ingin menganalisis beberapa metode transportasi yang umum digunakan oleh para peneliti sebelumnya yang berkaitan dengan masalah transportasi yakni tiga metode untuk menentukan solusi awal yaitu North west corner method (NWCM), Least cost method, approximation method (VAM) dan metode uji optimalitas yaitu MODI (Modified Distribution) untuk menentukan solusi optimum.

Dan semua metode yang dianalisis tersebut akan diaplikasikan pada sebuah contoh kasus transportasi pendistribusian barang. Sehingga penulis memberi judul penelitian ini dengan “Analisis Beberapa Metode Transportasi Dalam Optimalisasi Biaya Distribusi”.

1.2 Rumusan Masalah

Sesuai dengan uraian pada latar belakang penelitian ini, maka yang menjadi pokok permasalahan pada penelitian ini adalah:

1. Mengkaji dan menganalisis karakteristik metode North west corner method (NWCM), Least cost method, approximation method (VAM), yakni bagaimana kelebihan dan kelemahan setiap metode sehingga suatu metode

dapat disimpulkan sebagai metode optimal untuk meyelesaikan suatu kasus transportasi

2. Menguji keoptimalan setiap metode dengan mengaplikasikan pada contoh kasus, dan melakukan uji optimalitas dengan metode MODI (Modified Distribution) untuk menentukan apakah solusi awal yang diperoh sudah merupakan solusi optimum atau tidak.

1.3 Batasan Masalah

Dalam tulisan ini penulis membatasi permasalahan pada:

1. Fokus penelitian ini adalah menganalisis bagaimana karakteristik dan alur pengaplikasian setiap metode dapat menyelesaikan kasus transportasi

2. Ada 3 metode yang dianalisis dalam tulisan ini yaitu North west corner method (NWCM), Least cost method, approximation method (VAM) untuk menentukan solusi awal dan digunakan metode MODI (Modified Distribution) untuk menguji keoptimalan solusi awal

3. Penelitian ini menggunakan contoh kasus

1.4 Tujuan Penelitian

Sesuai dengan perumusan masalah, maka tujuan dari penelitian ini adalah untuk memperlihatkan dan menentukan metode apa yang tepat dan optimal dari ketiga metode yang dianalisis yaitu North west corner method (NWCM), Least cost method, approximation method (VAM) untuk menyelesaikan kasus-kasus trasportasi dalam mengoptimalkan biaya distribusi.

1.5 Manfaat Penelitian Manfaat dari penelitian ini adalah:

1. Sebagai referensi bagi mahasiswa/i agar lebih selektif dalam memilih metode transportasi yang sesuai dengan kasus yang diteliti.

2. Memberikan informasi dan menambah pengetahuan pembaca mengenai model transportasi yang dapat diaplikasikan dalam kehidupan sehari-hari.

3. Menambah studi pustaka bagi peneliti selanjutnya yang berkaitan dengan tulisan ini.

4. Sebagai rujukan bagi perusahaan-perusahaan yang bergerak di bidang distribusi agar dapat memilih metode yang sesuai untuk mengoptimalkan biaya transportasi sehingga diperoleh keuntungan yang maksimum.

TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Riset Operasi

Masalah Riset Operasi (Operation Research) pertama kali muncul tahun 1939 di Inggris selama Perang Dunia II. Inggris mula-mula tertarik menggunakan metode kuantitatif dalam pemakaian radar selama perang. Mereka menamakan pendekatan itu sebagai Operation Research karena mereka menggunakan ilmuwan (scientist) untuk meneliti (research) masalah-masalah operasional selama perang. Ternyata pendekatan tersebut berhasil dalam memecahkan masalah operasi konvoi, operasi anti kapal selam, strategi pengeboman, dan operasi pertambangan (Jong Jek Siang, 2014). Setelah Perang Dunia II berakhir, Riset Operasi yang lahir di Inggris ini kemudian berkembang pesat di Amerika karena keberhasilan tim Riset Operasi dalam bidang militer ini telah menarik perhatian orang-orang industri. Sedemikian pesat perkembangannya sehingga kini Riset Operasi telah digunakan dalam hampir seluruh bidang. (Dimyati, 2004)

Secara harfiah kata operation dapat didefinisikan sebagai tindakan-tindakan yang diterapkan pada beberapa masalah atau hipotesa. Sementara kata research adalah suatu proses yang terorganisasi dalam mencari kebenaran akan masalah atau hipotesa. Kenyatannya, sangat sulit mendefinisikan operation research, terutama karena batas-batasnya tidak jelas (Mulyono, 2004). Definisi lain menurut Operational Research Society of America (ORSA), operation research berkaitan dengan pengambilan keputusan secara ilmiah dan bagaimana membuat suatu model yang baik dalam merancang dan menjalankan sistem yang melalui alokasi sumber daya yang terbatas. Dapat disimpulkan operation research adalah bagaimana proses pengambilan keputusan yang optimal dengan menggunakan alat analisis yang ada dan adanya keterbatasan sumber daya. (Andi Wijaya, 2013)

Dalam operation research atau Riset Operasi, masalah optimalisasi dalam pengambilan keputusan diperoleh dengan menerapkan teknik matematika dan statistika. Model matematika yang digunakan dalam metode riset operasi bersifat

menyederhanakan masalah dan membatasi faktor-faktor yang mungkin berpengaruh terhadap suatu masalah. Jika riset operasi akan digunakan untuk memecahkan suatu permasalahan, maka harus dilakukan lima langkah sebagai berikut:

1. Memformulasikan persoalan.

2. Mengobservasi sistem.

3. Memformulasikan model matematis dari persoalan yang dihadapi.

4. Mengevaluasi model dan menggunakannya untuk prediksi.

5. Mengimplementasikan hasil studi. (Putri Winda S.B., 2016)

2.2 Program Linier

Program linier (Linear Programming) yang disingkat LP merupakan salah satu teknik Riset Operasi yang digunakan paling luas dan diketahui dengan baik. LP merupakan metode matematik dalam mengalokasikan sumber daya yang langka untuk mencapai tujuan tunggal seperti memaksimumkan keuntungan atau meminimumkan biaya. LP banyak diterapkan dalam membantu menyelesaikan masalah ekonomi, industri, militer, sosial dan lain-lain. LP berkaitan dengan penjelasan suatu dunia nyata sebagai suatu model matematik yang terdiri atas sebuah fungsi tujuan linier dan sistem kendala linier. (Mulyono, 2004: 13)

Menurut Frederick S. Hiller dan Gerald J. Lieberman, linear programming merupakan suatu model matematis untuk menggambarkan masalah yang dihadapi.

Linier berarti bahwa semua fungsi matematis dalam model ini merupakan fungsi- fungsi linier. Pemrograman merupakan sinonim untuk kata perencanaan. Dengan demikian membuat rencana kegiatan-kegiatan untuk memperoleh hasil yang optimal, ialah suatu hasil untuk mencapai tujuan yang ditentukan dengan cara yang paling baik (sesuai dengan model matematis) diantara semua alternatif yang mungkin.

Tujuan dari penyelesaian masalah program linier adalah untuk mencapai optimasi, yaitu memaksimumkan keuntungan dan meminimumkan biaya. Adapun beberapa cara atau metode pemecahan yang dapat digunakan antara lain penyelesaian dengan metode grafik dan metode simpleks. Metode grafik dapat digunakan pada masalah program linier yang hanya memiliki dua variabel keputusan saja. Bila melibatkan lebih dari dua variabel maka metode grafik tidak dapat digunakan lagi, sehingga diperlukan metode simpleks. Metode simpleks merupakan

suatu cara yang lazim digunakan untuk menentukan kombinasi optimal dari tiga variabel atau lebih. Akan tetapi, ada sejumlah persoalan program linier yang dapat dipecahkan dengan menggunakan prosedur perhitungan lain yang lebih efisien daripada metode simpleks. Salah satu diantaranya adalah metode transportasi.

Metode transportasi lebih efisien dalam memecahkan persoalan transportasi dan persoalan penugasan, yang merupakan bentuk khusus dari persoalan transportasi.

(Lolyta D., 2015)

2.3 Masalah Transportasi

Masalah Transportasi merupakan salah satu permasalahan khusus dalam linear programming. Dikatakan khusus, karena terletak pada karakteristik utama, yaitu bahwa masalah-masalah tersebut cenderung membutuhkan sejumlah pembatas dan variabel yang sangat banyak sehingga dalam penggunaan komputer untuk menyelesaikan metode simpleksnya akan sangat sulit dibanding secara manual. (Sari Diah P, 2014)

2.3.1 Sejarah Permasalahan Transportasi

Masalah transportasi telah lama dipelajari dan dikembangkan sebelum lahir model program linear. Pada tahun 1939, L.V Kantorovitch mempelajari beberapa permasalahan yang berhubungan dengan model transportasi. Kemudian F.L.

Hitchcock pada tahun 1941 merumuskan model matematika dari persoalan transportasi dan kini dianggap sebagai model matematika persoalan transportasi yang baku, atau sering juga disebut sebagai model Hitchcock. Kemudian pada tahun 1947 T.C. Koopmans menerbitkan buku tentang sistem transportasi yang berjudul Optimum Utilization of the Transportation System yang kemudian disusul G.B Dantzig pada tahun 1951 tentang perumusan persoalan linear programming dan cara pemecahan yang sistematis yang sering disebut sebagai bapak linier programming.

Prosedur pemecahan yang sistematis tersebut disebut metode simpleks.(Siti Ramadhani, 2015)

2.3.2 Definisi dan Tujuan Masalah Transportasi

Secara umum arti transportasi adalah adanya perpindahan barang dari suatu tempat ke tempat lain dan dari beberapa tempat ke beberapa tempat lain. Tempat atau tempat-tempat asal barang disebut juga dengan istilah sumber atau sumber-sumber (resources). Sedangkan tempat atau tempat-tempat tujuan disebut destination. Hal ini merupakan bagian dari kehidupan nyata manusia untuk memindahkan barang dari satu tempat ke tempat lain sesuai dengan kebutuhannya. Misalnya, di suatu tempat asal barang mempunyai jumlah produk yang berlebih sehingga perlu ditransportasikan ke tempat lain yang memerlukannya (P, Suyadi, 2005).

Dalam arti sederhana, masalah transportasi berusaha menentukan sebuah rencana transportasi sebuah barang dari sejumlah sumber ke sejumlah tujuan.

Masalah transportasi berkaitan dengan penentuan rencana berbiaya rendah untuk mengirimkan suatu barang dari sejumlah sumber (misalnya, pabrik) ke sejumlah tujuan (misalnya, gudang). Dalam arti lain, transportasi adalah aplikasi yang digunakan untuk mengatur distribusi dari sumber-sumber yang menyediakan produk yang sama, ke tempat-tempat yang membutuhkan produk tersebut secara optimal.

Masalah transportasi pada dasarnya merupakan sebuah program linier yang dipecahkan oleh metode simpleks biasa. Tetapi, strukturnya yang khusus memungkinkan pengembangan sebuah prosedur pemecahan, yang disebut teknik transportasi, yang lebih efisien dalam hal perhitungan. (Siti Ramadhani, 2016)

2.3.3 Ciri-ciri Masalah Transportasi Ciri-ciri khusus masalah transportasi adalah:

1. Terdapat sejumlah sumber dan sejumlah tujuan tertentu.

2. Kuantitas komoditas atau barang yang didistribusikan dari setiap sumber dan yang diminta oleh setiap tujuan, besarnya tertentu.

3. Komoditas yang dikirim atau diangkut dari suatu sumber ke suatu tujuan, besarnya sesuai dengan permintaan dan atau kapasitas sumber.

4. Ongkos pengangkutan komoditas dari suatu sunber ke suatu tujuan, besarnya tertentu. (Bu’ulolo ̈, F. 2016)

2.3.4 Model Umum Masalah Transportasi 2.3.4.1 Asumsi Dasar

Model transportasi merupakan salah satu bentuk khusus atau variasi dari program linier yang di kembangkan khusus untuk memecahkan masalah-masalah yang berhubungan dengan transportasi (pengangkutan) dan disribusi produk atau sumber daya dari berbagai sumber (pusat pengadaan, atau titik supply) ke berbagai tujuan (titik permintaan atau pusat pemakaian) yang lebih efisien dalam hal perhitungan.

Asumsi dasar dari model ini adalah bahwa biaya transportasi di sebuah rute tertentu adalah proposional secara langsung dengan jumlah unit yang dikirimkan.

Defenisi unit transportasi akan bervariasi bergantung pada jenis barang yang di kirimkan.

Model umum suatu persoalan transportasi dilandasi pada asumsi-asumsi berikut:

1. Bahwa suatu produk yang ingin diangkut tersedia dalam jumlah yang tetap dan diketahui.

2. Bahwa produk tersebut akan dikirim melalui jaringan transpotasi yang ada dengan memakai cara pengakutan tertentu dari pusat-pusat permintaan.

3. Bahwa jumlah permintaan di pusat permintaan pun diketahui dalam jumlah tertentu dan tetap.

4. Bahwa ongkos angkutan per-unit produk yang diangkut pun diketahui, sehingga tujuan kita untuk meminimumkan biaya total angkutan dapat tercapai.

5. Bahwa sumber tidak mungkin mengirim komoditas lebih besar dari kapasitasnya.

Karena hanya ada satu jenis komoditas, pada dasarnya setiap daerah tujuan dapat menerima komoditas dari sembarang daerah sumber. (Siti Ramadhani, 2016)

2.3.4.2 Pengertian Metode Transportasi

Pengertian Metode Transportasi menurut Hamdi A. Taha (2003) adalah The transportation method is a special class of linear programming that deals with shipping a commodity from sources (e.g. factories) to destinations (e.g.warehouses) the objective is to determine the total shipping cost while satisfying supply and

demand limits.” Maksudnya Metode transportasi adalah bagian khusus dari linear programming yang membahas pengangkutan komoditi dari sumber ke tempat tujuan dengan tujuan untuk menemukan pola pengangkutan yang dapat meminimumkan biaya pengangkutan total da lam pemenuhan batas penawaran dan permintaan.

Sedangkan, Richard B. Chase dkk (2004) menyatakan bahwa “The transportation method is a simplified special case of simplex method, it gets its name from its application to problem involving transporting product from several sources to several destinations, two common objectives of such problem are either: 1.

Minimize the cost of shipping, n units to m destinations 2. Maximize the profit of shipping, n units to m destinations.” Yang dimaksud dengan Metode Transportasi menurut defenisi ini adalah suatu bentuk khusus untuk mempermudah metode simpleks. Nama tersebut diambil dari kegunaan metode tersebut yang meliputi masalah-masalah angkutan dari beberapa sumber ke beberapa tujuan, dua hal dasar objek mendasar masalah ini yaitu: 1. Minimisasi ongokos angkut, n unit ke m tujuan 2. Maksimisasi laba angkut, n unit ke m tujuan.

Dan menurut Pangestu Subagyo dkk (2008) mengatakan bahwa Metode Transportasi merupakan sebuah metode yang digunakan untuk mengatur distribusi dari sumber-sumber yang menghasilkan produk yang sama ke tempat-tempat yang membutuhkan secara optimal. (Dika Herli, 2014)

Dari pendapat-pendapat di atas penulis menyimpulkan, bahwa pada dasarnya Metode Transportasi merupakan metode yang dipakai untuk merencanakan dan mengendalikan pengalokasian barang dari beberapa sumber ke berbagai tujuan agar pendistribusian dapat terlaksana sesuai rencana, seoptimal mungkin dan dengan biaya yang minimum.

2.3.4.3 Model Masalah Transportasi

Model permasalahan transportasi yang paling sederhana diperkenalkan tahun 1941 dan terus dikembangkan pada tahun 1949 dan 1951. Kemudian, beberapa perluasan dari model dan metode transportasi telah dikembangkan oleh peneliti berikutnya.

Secara umum masalah transportasi diperlihatkan melalui jaringan berikut ini.

Gambar 2.1 Jaringan transportasi

Asumsi dasar dari model transportasi adalah besarnya ongkos transportasi pada rute adalah proposional dengan jumlah barang yang di distribusikan. Deskripsi model transportasi dalam bentuk jaringan dari m sumber ke n tujuan digambarkan dengan titik dan busur seperti pada Gambar 2.1. Ada m sumber dan n tujuan masing- masing digambarkan melalui sebuah titik, dan sebuah busur menghubungkan sumber dengan tujuan menggambarkan jalur-jalur antara sumber dan tujuan. Busur-busur (i, j) menghubungkan sumber i menuju tujuan j membawa dua informasi : (1) biaya transportasi per unit- cij, dan (2) jumlah barang yang dikirim- xij . Jumlah supply (penawaran) pada sumber i adalah ai dan jumlah demand (permintaan) pada tujuan j adalah bj . Tujuan dari model tersebut adalah untuk menentukan besar nilai xij yang meminimalkan total biaya transportasi saat memenuhi semua batasan supply dan demand.

Suatu masalah transportasi dapat dimodelkan secara matematis, yaitu dengan membentuk fungsi tujuan. Fungsi tujuan tersebut menunjukkan biaya transportasi dari sumber i ke tujuan j, maka model program linier untuk permasalahan transportasi dapat diformulasikan sebagai berikut.

Fungsi tujuan:

Meminimalkan

(2.1)

Dengan kendala:

(2.2)

(2.3)

(2.4) Keterangan:

Z = fungsi tujuan; total yang akan diminimumkan

𝐶ij = biaya transportasi per unit barang dari sumber i ke tujuan j 𝑋ij = jumlah barang yang didistribusikan dari sumber i ke tujuan j 𝑎i = jumlah barang yang ditawarkan atau kapasitas dari sumber i 𝑏j = jumlah barang yang diminta atau dipesan oleh tujuan j 𝑚 = banyaknya daerah penghasil/ sumber

𝑛 = banyaknya daerah tujuan

Bentuk umum dari tabel transportasi dapat dilihat pada tabel berikut.

Tabel 2.1 Gambaran Umum Masalah Transportasi

Sebagai ilustrasi, Gambar 2.2 akan memodelkan persoalan transportasi dengan 3 sumber dan 4 tujuan (m= 3, n= 4).

Gambar 2.2 Representasi Model Persoalan Transportasi Fungsi Tujuan:

Meminimumkan

Z = C₁₁X₁₁ + C₁₂X₁₂ + C₁₃X₁₃ + C₁₄X₁₄ + C₂₁X₂₁ + C₂₂X₂₂ + C₂₃X₂₃ + C₂₄X₂₄ + C₃₁X₃₁ + C₃₂X₃₂ + C₃₃X₃₃ + C₃₄X₃₄

Dengan kendala:

X₁₁ + X₁₂ + X₁₃ + X₁₄ ≤ a₁ X₂₁ + X₂₂ + X₂₃ + X₂₄ ≤ a1

X₃₁ + X₃₂ + X₃₃ + X₃₄ ≤ a1

X11 + X21+ X31 ≥ b1

X12 + X22 + X32 ≥ b2

(Ariz Kurnia, 2017)

2.3.4.4 Keseimbangan Transportasi

Permasalahan transportasi seimbang adalah permasalahan biaya angkutan barang di mana jumlah barang yang dipasok dari tempat asal sama dengan jumlah barang yang diminta di tempat tujuan. (Sitorus, 1997)

Dalam kehidupan nyata, tidak selalu dapat dipastikan bahwa penawaran sama dengan permintaan atau melebihinya. Tetapi, sebuah model transportasi dapat selalu berimbang. Pengimbangan ini, di samping kegunaannya dalam pemodelan situasi

praktis tertentu, adalah penting untuk pengembangan sebuah metode pemecahan yang sepenuhnya memanfaatkan struktur khusus dari model transportasi ini (Taha, 1996).

Model Gambar 2.3 pada subbab 2.3.4.3 menyiratkan bahwa penawaran total harus setidaknya sama dengan permintaan total. Ketika penawaran total sama dengan permintaan total formulasi yang dihasilkan disebut model transportasi berimbang (balanced transportation model). Formulasi ini berbeda dengan formulasi sebelumnya hanya terletak pada batasannya yaitu bahwa semua batasan adalah persamaan, dituliskan sebagai berikut:

(2.5)

(2.6)

Dalam persoalan transportasi yang sebenarnya, jumlah supply yang tersedia tidak selalu sama dengan jumlah demand atau dengan kata lain jumlah supply yang tersedia mungkin lebih besar atau lebih kecil daripada jumlah demand. Jika hal ini terjadi, maka model persoalan disebut sebagai model transportasi tidak seimbang (unbalanced transportation model). Setiap persoalan transportasi dapat dibuat seimbang dengan memasukkan kolom dummy atau baris dummy. Ada 2 kemungkinan yang terjadi pada persoalan transportasi tidak seimbang yaitu:

1. Bila supply lebih besar daripada demand a_i > b_j, persoalan ini diselesaikan dengan cara menetapkan dummy pada tujuan (kolom) untuk menyerap kelebihan demand sebesar:

(2.7)

2. Bila supply lebih kecil daripada demand a_i < b_j , persoalan ini diselesaikan dengan cara menetapkan dummy pada sumber (baris) untuk men-supply kekurangan demand sebesar:

(2.8)

Dummy tujuan pada kolom maupun dummy sumber pada baris tabel transportasi pada dasarnya adalah buatan (tidak riil). Dengan demikian, biaya distribusi pada kolom dummy dan baris dummy adalah nol. Hal ini dapat dipahami karena pada kenyataan tidak terjadi pengiriman dari sumber dummy dan tidak terjadi pengiriman ke tujuan dummy.

Tabel 2.1 Tabel Persoalan Transportasi Seimbang ∑ai = ∑bj

Tabel 2.1 Tabel Persoalan Transportasi Tidak Seimbang ∑a_i > ∑b_j

Tabel 2.1 Tabel Persoalan Transportasi Tidak Seimbang ∑ai < ∑bj

(Jelly Luis, 2014)

2.3.4.5 Metode Penyelesaian Masalah Transportasi

Untuk menyelesaikan persoalan transportasi, harus dilakukan dengan langkah- langkah sebagai berikut:

1. Menentukan Solusi Fisibel Basis Awal.

2. Manentukan entering variabel dari variabel-variabel nonbasis. Bila semua variabel sudah memenuhi kondisi optimal, STOP. Bila belum lanjutkan ke langkah 3.

3. Tentukan leaving variabel diantara variabel-variabel basis yang ada, kemudian hitung solusi yang ada. Kembali ke langkah 2.

Ada beberapa metode untuk menentukan solusi awal. Tiga dari metode yang dikenal adalah North West Corner, Least Cost, dan Aproksimasi Vogel.

Metode Northwest Corner

Alur kerja metode Northwest Corner

a. Pendistribusian dimulai dari pojok kiri atas dan diakhiri pada pojok kanan bawah.

b. Setiap pendistribusian dipilih nilai sebanyak mungkin tanpa menyimpang dari sumber atau tujuan

c. Apabila variabel dasar sudah terisi semua, maka dihitung jumlah biaya yang akan dikeluarkan oleh perusahaan.

Metode Least Cost

Alur kerja metode Least Cost

a. Pendistribusian dimulai dari biaya terkecil dan apabila terdapat biaya terkecil lebih dari satu, maka dipilih salah satu.

b. Setiap pendistribusian dipilih nilai sebanyak mungkin tanpa mengabaikan jumlah sumber atau tujuan

c. Lanjutkan dengan cara yang sama sampai semua penawaran telah dihabiskan dan keperluan permintaan telah dipenuhi.

Vogel.’s Approximation

Alur kerja Vogel’s Approximation

a. Menghitung oppurtunity cost yang didasarkan pada dua biaya terkecil pada setiap baris dan kolom dan mengurangkan kedunya, hasil perhitungannya disebut dengan penalty cost.

b. Memilih nilai penalty cost terbesar di antara baris dan kolom.

c. Memilih biaya terkecil dari nilai penalty cost terbesar dan mendistribusikan sejumlah nilai. Baris atau kolom penalty yang sudah terpilih diabaikan untuk langkah selanjutnya.

d. Menyesuaikan jumlah permintaan dan penawaran untuk menunjukkan alokasi yang sudah dilakukan. Menghilangkan semua baris dan kolom di mana penawaran dan permintaan telah dihabiskan.

e. Apabila jumlah penawaran dan permintaan belum sesuai, maka ulangi langkah pertama sampai terisi semua.

Metode MODI (Modified Distribution)

Metode MODI merupakan variasi dari metode stepping stone yang didasarkan pada rumusan dual. Perbedaannya dengan metode stepping stone adalah metode ini tidak harus menentukan semua jalur tertutup variabel nonbasis, kecuali pada saat akan melakukan perpindahan pengisian tabel. Dengan demikian metode MODI

merupakan cara yang efisien untuk menghitung variabel non basis. Dalam metode MODI terdapat persamaan sebagai berikut.

cij = ui + vj (2.9)

Dengan,

cij = biaya transportasi per unit ui = nilai variabel dual setiap baris vj = nilai setiap sel kolom

Adapun langkah-langkah dalam metode MODI adalah :

a. Menentukan nilai u_iuntuk setiap baris dan nilai-nilai v_i untuk setiap kolom dengan menggunakan hubungan c_ij = u_i + v_i untuk semua variabel basis dan menentukan nilai u₁= 0

b. Menghitung perubahan biaya d_ij untuk setiap variabel non basis dengan menggunakan rumus d_ij = c_ij - m_i + n_i

c. Apabila hasil perhitungan terdapat nilai d_ij negatif, maka solusi belum optimal. Oleh karena itu dipilih X_ij dengan nilai d_ij negatif terbesar sebagai entering variabel.

d. Mengalokasikan sejumlah nilai ke entering variabel Xij sesuai dengan proses stepping stone dan mengulangi langkah pertama.

(Sri Rahmawati, 2016)

2.4 Sistem Distribusi

Distribusi merupakan proses pemindahan barang-barang dari tempat produksi ke berbagai tempat atau daerah yang membutuhkan. Kotler (2005) mendefinisikan bahwa distribusi akan mencakup perencanaan, pelaksanaan dan pengawasan arus bahan dengan memperoleh produk akhir dari tempat produksi dengan memperoleh keuntungan. Sebagian besar perusahaan menyatakan bahwa tujuan distribusi adalah membawa barang dalam jumlah tepat, pada waktu yang tepat, dan dengan biaya serendah mungkin.

Aspek terpenting dari distribusi suatu produk adalah biaya pengangkutan sedangkan biaya pengangkutan sangat dipengaruhi oleh tarif angkut. Dengan demikian, tingginya biaya pengangkutan akan mempersempit wilayah pemasaran

suatu produk. Panjang pendeknya distribusi pemasaran tergantung beberapa faktor antara lain :

1. Jarak antara produsen dan konsumen, artinya semakin jauh jarak antara produsen dan konsumen maka biasanya semakin panjang saluran yang akan ditempuh oleh produk.

2. Cepat tidaknya produk rusak, artinya produk yang cepat atau mudah rusak harus segera diterima konsumen, dengan demikian menghendaki saluran yang pendek dan cepat.

3. Skala produksi, artinya bila produksi berlangsung dalam ukuran kecil maka jumlah produk yang dihasilkan dalam ukuran kecil pula, sehingga tidak akan menguntungkan jika produsen menjualnya langsung ke pasar. Dalam kondisi demikian kehadiran pedagang perantara diharapkan, agar saluran yang dilalui produk cenderung panjang.

4. Posisi keuangan perusahaan. Produsen yang kondisi keuangannya kuat cenderung untuk memperpendek saluran tataniaga. Agar efektif, pengoperasian aset sehari-hari harus mengimplementasikan strategi-strategi yang telah dikembangkan berdasarkan struktur dan otomatisasi rantai pasokan. Proses yang dijalankan adalah bagaimana membawa produk yang benar ke outlet yang benar dan pelanggan yang tepat pada waktu yang tepat pula.

Ada kemungkinan kesalahan apabila sasarannya tidak memenuhi tuntutan pelanggan 100 persen. Persediaan harus tersedia di tempat yang tepat pada waktu yang tepat setiap hari tanpa ada yang gagal. Tanpa adanya persediaan yang tepat, proses distribusi lainnya tidak akan dapat beroperasi. Pengiriman kilat merupakan pengecualian yang jarang dilakukan. Pada prinsipnya, agar dapat beroperasi setiap hari, persediaan harus ada di tempat yang benar pada waktu yang tepat. (Diah Purnama Sari, 2014)

2.5 Degenerasi dan Redundansi

Sebelum menguji optimalitas tabel, terlebih dahulu menghitung jumlah variabel basis yang ada pada tabel penyelesaian awal yakni harus memenuhi 𝑚+𝑛−1 (𝑚 = jumlah baris dan 𝑛 = jumlah kolom buah variabel basis (sel yang terisi)) agar proses

pengujian keoptimalan dan iterasi capat dilakukan. Akan tetapi dalam menghitung variabel basis ada kondisi dimana variabel basis yang ada tidak dapat memenuhi 𝑚+𝑛−1 buah variabel basis. Hal ini terjadi karena adanya degenerasi dan redundansi.

Pada degenarasi sel yang terisi kurang dari 𝑚+𝑛−1 buah variabel basis, sedangkan pada redundansi sel yang terisi melebihi dari 𝑚+𝑛−1 buah variabel basis. Untuk mengatasi degenerasi, dapat dilakukan penambahan sel terisi dengan cara memasukkan nilai 0 (sebanyak yang dibutuhkan) ke dalam sel sehingga jumlah sel terisi sama dengan 𝑚+𝑛−1, sementara kasus redundasi dapat diatasi dengan megurangi sel alokasi yaitu menggabungkan dua sel ke dalam satu sel degan memperhatikan harga sel. (Putri Winda Sari, 2016)

BAB 3

METODOLOGI PENELITIAN

Pada bab ini disampaikan metodologi yang digunakan penulis dalam melakukan penelitian ini. Selain itu, diberikan langkah-langkah sistematis dan diagram alur sebagai penjelasan tentang proses yang akan dilakukan penulis dalam melakukan penelitian.

Metodologi yang digunakan dalam penelitian ini adalah menggunakan metode kepustakaan, yaitu dengan mengumpulkan, membaca, dan mempelajari referensi-referensi, jurnal, buku-buku yang berkaitan, maupun informasi- informasi yang didapat dari internet. Berikut ini langkah-langkah yang dilakukan penulis dalam melakukan penelitian, yaitu:

1. Studi pustaka

Tahap ini dimulai dengan studi kepustakaan yaitu mengumpulkan bahan referensi, mempelajari serta menggali informasi baik dari buku, artikel, paper, jurnal, makalah, maupun situs internet mengenai metode North west corner method (NWCM), Least cost method, approximation method (VAM) dan MODI (Modified Distribution)

2. Menjelaskan secara rinci setiap metode transportasi North west corner method (NWCM), Least cost method, approximation method (VAM) sebagai metode penentuan feasible solution dan Modified Distribution (MODI) sebagai metode uji optimalitas

3. Menganalisis karakteristik tiap metode dan penggunaan masing-masing metode

4. Penerapan dalam penyelesaikan contoh kasus dengan metode yang sudah dianalisis

5. Membuat kesimpulan dan saran.

3.1 Kerangka Penelitian

Berikut ini adalah susunan kerangka teoritis yang disajikan dalam bentuk diagram alur.

LATAR BELAKANG Menentukan metode optimal untuk

menyelesaikan kasus transportasi dalam pendistribusian barang

STUDI LITERATUR

Mempelajari teori yang berkaitan dengan masalah penelitian yakni : program linear, metode transportasi, jurnal-jurnal terkait masalah optimalisasi biaya distribusi

MENENTUKAN FOKUS PENELITIAN

Menentukan judul dan batasan masalah yang akan dianalisis, yakni metode transportasi menentukan solusi awal NWCM,

LCM, VAM, dan metode uji optimalitas MODI

PEMBAHASAN

Mengkaji dan menganalisis secara rinci karakteristik dan alur kerja setiap metode dalam menyelesaikan kasus

transportasi untuk menentukan solusi awal

NWCM LCM VAM

UJI OPTIMALITAS Solusi awal dari setiap metode

dengan

MODI

PENERAPAN SEMUA METODE

PADA CONTOH

SOAL METODE OPTIMAL

KESIMPULAN DAN SARAN

PEMBAHASAN

4.1 Masalah Transportasi

Pada umumnya, masalah transportasi berhubungan dengan distribusi suatu produk tunggal dari beberapa sumber, dengan penawaran terbatas, menuju beberapa tujuan, dengan permintaan tertentu, pada biaya transport minimum. Secara khusus masalah transportasi merupakan hal yang berkaitan dengan persediaan (supply), permintaan (demand), dan biaya pengiriman (shipping cost) barang atau produk tunggal tertentu yang bertujuan untuk megoptimalkan biaya pendistribusian.

Dalam hal ini produk yang didistribusikan adalah produk tunggal, maka suatu tujuan (destination) dapat memenuhi jumlah permintaan yang dibutuhkan dari beberapa sumber (source) yang berbeda, demikian halnya satu sumber dapat mengirimkan sejumlah barang ke beberapa tujuan sesuai dengan jumlah barang yang tersedia. Untuk lebih memahami pernyataan tersebut, penulis memperlihatkan dengan gambar jaringan transportasi berikut ini.

Gambar 4.1 Representasi Jaringan Sederhana Masalah Transportasi

Gambaran umum dari sebuah masalah transportasi berdasarkan representasi jaringan Gambar 4.1 dapat di uraikan dalam 3 hal berikut.

1. Sejumlah m titik sumber dapat mengirimkan sejumlah produk tunggal. Titik sumber i dapat menyediakan maksimal si unit produk.

2. Sejumlah n titik tujuan tempat produk dikirimkan, dengan setiap titik j harus menerima minimal dj unit produk.

3. Setiap unit produk yang dihasilkan pada sumber i dan dikirimkan ke tujuan j dihubungkan sebuah variabel biaya cij, dan variabel jumlah barang yang dikirimkan dari titik sumber i ke titik tujuan j adalah x_ij

Masalah transportasi ini dapat diperlihatkan dalam contoh sebuah perusahaan pembuatan barang atau pabrik yang mendistribusikan hasil produksi ke beberapa gudang. Sebuah perusahaan memiliki tiga buah pabrik yakni P₁, P₂, P₃ yang memproduksi produk yang sama. Dari ketiga pabrik, produk tersebut di angkut ke tiga buah gudang yakni W₁ , W₂ , W₃. Setiap pabrik memiliki kapasitas produksi barang yang terbatas, dan masing-masing gudang memiliki kapasitas permintaan tertentu. Setiap pabrik mendistribusikan hasil produksi ke setiap gudang, dengan biaya transportasi berbeda-beda untuk setiap rute pengiriman. Permasalahan yang perlu diselesaikan dalam hal ini adalah menentukan banyaknya jumlah barang yang dikirimkan ke setiap gudang dengan tujuan meminimalkan total biaya transportasi.

Uraian ini dapat diperlihatkan dalam Gambar 4.2 jaringan transportasi berikut.

Gambar 4.2 Jaringan transportasi

Data dari suatu masalah transportasi yang bersangkutan dapat dapat diringkas dalam sebuah tabel transportasi. Tabel transportasi secara implisit memperlihatkan batasan jumlah persediaan dan permintaan serta biaya pengiriman antara setiap sumber dan tujuan seperti yang diperlihatkan pada Tabel 4.1 berikut.

Tabel 4.1 Tabel Masalah Transportasi

4.2 Model Matematika Masalah Transportasi

Sebelum dilanjutkan menentukan solusi masalah transportasi menggunakan metode yang sudah dikembangkan khusus untuk masalah tersebut, maka terlebih dahulu diformulasikan dalam sebuah model matematika seperti masalah program linier umumnya. Model program linier dari masalah transportasi yang dibentuk dikenal dengan istilah model transportasi.

Data yang dimuat dalam sebuah model transportasi meliputi

1. Level supply dari setiap sumber dan jumlah demand dari setiap tujuan 2. Biaya transportasi setiap unit produk dari setiap sumber ke setiap tujuan

Gambar 4.3 Model jaringan transportasi

Gambar 4.3 mempresentasikan sebuah model transportasi dengan m sumber (sources) S1, S2, ….Sm yang memiliki ai (i = 1,2,3,...m) unit supply secara berurutan dan n tujuan (destination) D1, D2, …, Dndengan bj (j = 1,2,3,..., n) unit permintaan secara berurutan. Setiap sumber atau tujuan digambarkan melalui sebuah titik. Rute atau alur pendistribusian antara sumber dan tujuan direpresentasikan dengan sebuah busur yang menghubungkan dua titik. Biaya transportasi setiap unit antara sumber i dan tujuan j adalah cij dan jumlah unit yang dikirim setiap rute dari sumber i ke tujuan j disimbolkan xij.

Tabel 4.2 Tabel Transportasi secara umum

Misalkan x_ij merupakan banyaknya jumlah produk yang diangkut dari sumber i ke tujuan j. Biaya yang diasosiasikan dengan perpindahan ini adalah hasil kali biaya perunit dengan banyak unit.

Biaya alokasi = cost x quantity = c_ij x_ij

Biaya transportasi sejumlah barang dari sejumlah sumber i menuju seluruh tujuan j dinyatakan dalam persamaan berikut.

(4.1)

Maka, total biaya transportasi produk dari seluruh sumber ke seluruh tujuan adalah:

Total biaya:

(4.2)

Karena tujuan dari masalah transportasi adalah meminimumkan total biaya maka model transportasi nya adalah sebagai berikut:

Meminimalkan:

(4.3) Dengan kendala:

(4.5)

(4.5) (4.6) Keterangan:

Z = fungsi tujuan; total biaya transportasi

cij = biaya transportasi per unit barang dari sumber i ke tujuan j x_ij = jumlah barang yang didistribusikan dari sumber i ke tujuan j 𝑎i = jumlah barang yang ditawarkan atau kapasitas dari sumber i 𝑏j = jumlah barang yang diminta atau dipesan oleh tujuan j 𝑚 = banyaknya sumber

𝑛 = banyaknya tujuan (Akpan, Stephen dkk. 2015)

Untuk lebih memahami dalam memodelkan sebuah masalah transportasi, penulis mengambil sebuah contoh sederhana kasus transportasi berikut ini. Tiga buah pabrik A, B dan C memproduksi gula yang berlokasi di wilayah yang berbeda-beda.

Pabrik A memproduksi b1 ton gula pertahun dan pabrik B memproduksi b2 ton pertahun dan pabrik C memproduksi c3 ton gula pertahun. Gula tersebut di butuhkan oleh 4 pasar W, X, Y dan Z dengan masing-masing kebutuhan berturut-turut adalah d1, d2, d3 dan d4 ton. Biaya transportasi setiap ton gula dari setiap pabrik ke setiap pasar diberikan pada matriks transportasi Tabel 4.3 berikut. Tujuan dari masalah ini adalah untuk mengangkut gula dari pabrik menuju pasar dengan total biaya transportasi minimum.

Tabel 4.3 Contoh Tabel Transportasi Gula

Model transportasi:

Minimumkan total biaya:

Z = c11 x11 + c12 x12 + c13 x13 + c14 x14 + c21 x21 + c22 x22 + c23 x23 + c24x24+ c₃x₃₁ + c₃₂ x₃₂ + c₃₃ x₃₃ + c₃₄ x₃₄

Dengan kendala:

a₁₁ x₁₁ +a₁₂ x₁₂ + a₁₃ x₁₃ + a₁₄ x₁₄ ≤ b₁ a₂₁ x₂₁ + a₂₂ x₂₂ + a₂₃ x₂₃ + a₂₄ x₂₄ ≤ b₂ a₃₁ x₃₁ + a₃₂ x₃₂ + a₃₃ x₃₃ + a₃₄ x₃₄ ≤ b₃

a11 x11 + a21 x21 + a31 x31 ≥ d1

a12 x12 + a22 x22 + a32 x32 ≥ d2

a₁₃ x₁₃ + a₂₃ x₂₃ + a₃₃ x₃₃ ≥ d₃ a14 x14 + a24 x24+ a34 x34 ≥ d4

dan semua xij and xji lebih dari 0 untuk i = 1,2,3 and j = 1,2,3,4. (supply ≥ 0)

Contoh soal tersebut memiliki ciri-ciri 1. Memiliki fungsi tujuan

2. Memiliki persamaan kendala yang saling berkaitan 3. Persamaan kendala bernilai tidak negatif

4. Hubungan atara variabel dan kendala linier

Ciri-ciri ini juga adalah ciri-ciri dari persoalan program linier sehingga benar bahwa masalah transportasi adalah bentuk khusus masalah program linier.

4.3 Penyelesaian Masalah Transportasi

Masalah transportasi sebagai bentuk khusus dari masalah program linier dapat diselesaikan dengan metode simpleks. Tetapi karena struktur persamaan kendala yang lebih kompleks yakni adanya kombinasi tanda ≤ dan ≥ pada kendala, ketika diselesaikan dengan metode simpleks, diperlukan waktu yang lebih banyak atau lama dan mengalami kesulitan menentukan solusi akhir. Karena itu digunakan sebuah metode khusus yang disebut dengan algoritma transportasi atau metode transportasi.

Sebuah pendekatan untuk menentukan solusi dari sebuah persoalan transportasi dengan algoritma transportasi adalah sebagai berikut.

4.3.1 Menentukan Solusi Layak Awal (initial basic feasible solution )

Solusi layak awal merupakan solusi yang diperoleh dengan mengalokasikan seluruh produk ke tujuan dengan memenuhi seluruh ketentuan kendala dan fungsi tujuan yang mana nilai solusi yang diperoleh belum tentu optimal.

Langkah-langkah menentukan solusi layak awal:

1. Membuat model transportasi.

Menyajikan seluruh informasi dari suatu masalah transportasi yaitu supply dari seluruh sumber dan permitaan dari seluruh tujuan serta biaya pengiriman kedalam tabel berbentuk matriks yang terdiri dari sel-sel tempat alokasi yang terbentuk dari baris dan kolom.

2. Menyeimbangkan masalah transportasi yang akan diselesaikan.

Artinya melihat apakah jumlah supply (Σa_i) sama dengan jumlah demand (Σb_j) (Σa_i = Σb_j). Jika sama dapat dilanjutkan ke langkah kedua. Jika tidak maka harus diseimbangkan terlebih dahulu dengan menambahkan sebuah

kolom dummy atau baris dummy. Biaya dari sel dummy adalah nol. Jika Σai

lebih besar dari Σbj maka yang ditambah adalah sebuah kolom dummy, dengan maksimal unit yang ditampung adalah sebanyak Σai - Σbj dan nilai biaya dari sel-sel tersebut adalah nol. Demikian juga jika Σbj lebih besar dari Σai maka ditambahkan sebuah baris dummy, dengan maksimal unit yang ditampung adalah sebayak Σbi - Σaj dan nilai biaya dari sel-sel tersebut adalah nol. Ketika proses penyeimbangkan sudah selesai maka dilanjutkan ke langkah kedua. Dan sama hal nya dengan masalah program linier, maka pertidaksamaan harus diubah ke bentuk persamaan dengan menambahkan slack variable yaitu variabel dummy.

3. Sebuah solusi layak awal dapat ditentukan menggunakan 3 metode, yaitu a) North-west corner method (NWCM)

b) Leas-cost cell method

c) Vogel’s Approximation method (VAM) (Gupta, PK dan Hira, DS. 2007)

4.3.2 Menetukan Solusi Optimum (optimum solution)

Setelah solusi layak awal diperoleh, selanjutnya dilakukan evaluasi terhadap hasil alokasi solusi tersebut untuk mecapai solusi optimum. Ada dua metode yang dapat digunakan untuk menguji keoptimalan solusi layak awal yaitu:

a) Stepping Stone Method

b) Modified Distribution Method (MODI)

4.3.3 Ciri-ciri Solusi Layak Awal

Solusi layak awal yang diperoleh dinyatakan layak apabila memenuhi beberapa ciri berikut.

1. Alokasi yang dibuat harus memenuhi keseluruhan syarat, yakni menghabiskan seluruh ketersediaan supply dan memenuhi kapasitas demand 2. Memenuhi ketidaknegatifan persamaan kendala

3. Total jumlah sel alokasi atau variabel basis harus sama dengan m+n-1, dengan m adalah banyak baris dan n banyak kolom. Dalam suatu masalah LP banyaknya variabel basis dalam tabel simpleks sama dengan banyaknya