BAB II KAJIAN PUSTAKA
A. Landasan Teori
5. Operasi Hitung Bilangan Bulat
1) Penjumlahan dengan alat bantu
Guru maupun siswa dapat menggunakan garis bilangan dalam menghitung hasil penjumlahan bilangan bulat. Bilangan yang
dijumlahkan digambarkan dengan tanda panah dengan arah sesuai dengan bilangan tersebut. Bilangan positif pada garis bilangan menunjuk ke arah kanan. Sebaliknya, apabila bilangan negatif pada garis bilangan menunjuk ke arah kiri.
Contoh:
Hitunglah hasil penjumlahan berikut dengan menggunakan garis bilangan.
a) Penyelesaian:
Untuk menghitung dapat menggunakan alat peraga garis bilangan dengan langkah-langkahnya sebagai berikut:
Letakan boneka tepat pada angka 0.
Boneka berjalan sejauh enam langkah ke kanan dan berhenti di angka 6.
Perhatikan angka yang terletak setelah operasi penjumlahan yaitu . Sehingga boneka berbalik arah menghadap ke arah bilangan negatif. Karena operasinya adalah penjumlahan maka boneka bergerak maju sejauh 8 langkah ke kiri dan berhenti tepat pada angka .
Gambar garis bilangannya adalah:
3 -8 -2 -1 -10 -9 -7 -6 -5 -4 -3 0 1 2 4 5 6 7 8 9 10 6 -8 -2
Jadi, . b)
Untuk menghitung dapat menggunakan alat peraga garis bilangan dengan langkah-langkahnya sebagai berikut:
Letakan boneka tepat pada angka 0.
Boneka berjalan sejauh tiga langkah ke kiri dan berhenti di angka .
Perhatikan angka yang terletak setelah operasi penjumlahan yaitu . Sehingga boneka berbalik menghadap ke arah bilangan negatif. Karena operasinya adalah penjumlahan maka boneka bergerak maju sejauh 4 langkah ke kiri dan berhenti tepat pada angka .
Gambar garis bilangannya adalah:
Jadi, 2) Penjumlahan tanpa alat bantu
Penjumlahan pada bilangan yang bernilai kecil dapat dilakukan dengan bantuan garis bilangan. Namun, untuk bilangan-bilangan yang
3 -8 -2 -1 -10 -9 -7 -6 -5 -4 -3 0 1 2 4 5 6 7 8 9 10 -3 -4 -7
bernilai besar, hal itu kurang efektif untuk dilakukan. Oleh karena itu, kita harus dapat menjumlahkan bilangan bulat tanpa alat bantu.
a) Kedua bilangan bertanda sama
Jika kedua bilangan bertanda sama (kedua bilangan positif atau kedua bilangannya negatif), jumlahkan kedua bilangan tersebut dan berilah tanda sesuai dengan tanda pada kedua bilangan tersebut.
Contoh:
(1) (2)
b) Kedua bilangan berlawanan tanda
Jika kedua bilangan berlawanan tanda (bilangan positif dan bilangan negatif), kurangi bilangan yang bernilai lebih besar dengan bilangan yang bernilai lebih kecil tanpa memperhatikan tanda pada kedua bilangan tersebut. Hasilnya, berilah tanda sesuai bilangan yang bernilai lebih besar.
Contoh:
(1) (2) 3) Sifat-sifat penjumlahan
a) Sifat tertutup
Pada penjumlahan bilangan bulat, selalu menghasilkan bilangan bulat juga. Hal ini dapat dituliskan sebagai berikut:
Contoh:
dan 25 merupakan bilangan bulat. 9 juga merupakan bilangan bulat.
merupakan bilangan bulat. juga merupakan bilangan bulat. b) Sifat komutatif
Sifat komutatif disebut juga sifat pertukaran. Penjumlahan dua bilangan bulat selalu diperoleh hasil yang sama walaupun kedua bilangan tersebut dipertukarkan tempatnya. Hal ini dapat dituliskan sebagai berikut:
Contoh:
Untuk setiap bilangan bulat a dan b, berlaku a + b = c dengan c juga bilangan bulat.
c) Mempunyai unsur identitas
Bilangan 0 (nol) merupakan unsur identitas pada penjumlahan. Artinya, untuk sebarang bilangan bulat apabila ditambah 0 (nol) hasilnya adalah bilangan itu sendiri. Hal ini dapat dituliskan sebagai berikut:
d) Sifat asosiatif
Asosiatif disebut juga sifat pengelompokan. Sifat ini dapat dituliskan sebagai berikut:
Contoh: ( ) ( ) Jadi, ( ) ( ) ( ) ( ) Jadi, ( ) ( ) e) Mempunyai invers
Invers suatu bilangan artinya lawan dari bilangan tersebut. Suatu bilangan dikatakan mempunyai invers jumlah, apabila hasil Untuk sebarang bilangan bulat a, selalu berlaku
penjumlahan bilangan tersebut dengan inversnya (lawannya) merupakan unsur identitas yaitu 0.
Dengan kata lain, untuk setiap bilangan bulat selain nol pasti mempunyai lawan, sedemikian sehingga berlaku a + ( ) = ( ) + a = 0.
b. Pengurangan pada bilangan bulat 1) Pengurangan tanpa alat bantu
Pada pengurangan bilangan bulat, mengurangi dengan suatu bilangan sama artinya menambah dengan lawan pengurangnya.
Bukti: Misal ( (sifat asosiatif) (invers penjumlahan) (identitas penjumlahan)
Jadi, terbukti bahwa .
Secara umum dapat dituliskan sebagai berikut.
Untuk setiap bilangan bulat , maka berlaku: Lawan dari a adalah -a, sedangkan lawan dari -a adalah a.
2) Pengurangan dengan alat bantu
Pengurangan dengan alat bantu dapat dilakukan dengan bantuan garis bilangan.
Contoh: a)
Penyelesaian:
Untuk menghitung , dapat menggunakan alat peraga garis bilangan dengan langkah-langkahnya sebagai berikut:
(1) Letakan boneka tepat pada angka 0
(2) Boneka berjalan sejauh empat langkah ke kanan dan berhenti di angka 4.
(3) Perhatikan angka yang terletak setelah operasi pengurangan yaitu . Sehingga boneka masih menghadap ke arah bilangan positif. Karena operasinya adalah pengurangan maka boneka bergerak mundur sejauh 7 langkah ke kiri dan berhenti tepat pada angka .
(4) Gambar garis bilanganya adalah:
Jadi, 3 -8 -2 -1 -10 -9 -7 -6 -5 -4 -3 0 1 2 4 5 6 7 8 9 10 4 7 -3
b) Penyelesaian:
Untuk menghitung dapat menggunakan alat peraga garis bilangan dengan langkah-langkahnya sebagai berikut:
(1) Letakan boneka tepat pada angka 0
(2) Boneka berjalan sejauh tiga langkah ke kiri dan berhenti di angka .
(3) Perhatikan angka yang terletak setelah operasi pengurangan yaitu Sehingga boneka masih menghadap ke arah bilangan negatif. Karena operasinya adalah pengurangan maka boneka bergerak mundur sejauh 5 langkah dan berhenti tepat pada angka
(4) Gambar garis bilangannya adalah:
Jadi, c. Perkalian pada bilangan bulat
Perhatikan contoh berikut : 4 5 = 5 + 5 + 5 + 5 = 20 5 4 = 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 20
Meskipun hasilnya sama, perkalian 4 5 dan 5 4 berbeda artinya. Secara umum, dapat dituliskan sebagai berikut :
3 -8 -2 -1 -10 -9 -7 -6 -5 -4 -3 0 1 2 4 5 6 7 8 9 10 - 5 -3 2
1) Menghitung hasil perkalian bilangan bulat
2) Sifat-sifat perkalian pada bilangan bulat a) Sifat tertutup
Untuk setiap bilangan bulat p dan q, selalu berlaku dengan r juga bilangan bulat
b) Sifat komutatif
Untuk setiap bilangan bulat p dan q, selalu . c) Sifat asosiatif
Untuk setiap bilangan bulat p, q dan r berlaku
d) Sifat disributif perkalian terhadap penjumlahan
Untuk setiap bilangan bulat p, q, dan r selalu berlaku
𝑛 … Jika n adalah sembarang bilangan bulat positif maka :
sebanyak n suku
Jika p dan q adalah bilangan bulat maka :
a)
b) –
c)
e) Sifat distributif perkalian terhadap pengurangan
Untuk setiap bilangan bulat p, q. dan r selalu berlaku
f) Memiliki elemen identitas
Untuk setiap bilangan bulat p, selalu berlaku Elemen identitas pada perkalian adalah 1.
d. Pembagian bilangan bulat
1) Pembagian bilangan bulat sebagai opersai kebalikan dari perkalian Perhatikan uraian berikut :
Di lain pihak, 12 : 3 = 4 atau dapat ditulis : 12 : 3 = 4
Di lain pihak, 12 : 4 = 3 atau dapat ditulis : 12 12 : 4 = 3
Dari uraian di atas, tampak bahwa pembagian merupakan operasi kebalikan (invers) dari perkalian. Secara umum dapat ditulis sebagai berikut :
Jika p, q dan r bilangan bulat, dengan q faktor p, q ≠ 0 maka berlaku:
2) Menghitung hasil pembagian bilangan bulat
3) Pembagian dengan nol
Untuk menentukan hasil pembagian bilangan bulat dengan bilangan nol (0), ingat kembali perkalian bilangan bulat dengan bilangan nol. Untuk setiap a bilangan bulat berlaku:
⟺ Jadi, dapat dituliskan sebagai berikut:
4) Sifat pembagian pada bilangan bulat
Pada pembagian bilangan bulat tidak berlaku sifat tertutup, komutatif, asosiatif, tidak mempunyai invers.
e. Operasi hitung campuran pada bilangan bulat
Dalam menyelesaikaan operasi hitung bilangan bulat, terdapat dua hal yang perlu kalian perhatikan yaitu :
Tanda operasi hitung
Tanda kurung.
Untuk setiap p, q, r bilangan bulat, q ≠ 0 dan memenuhi p : q = r berlaku: (i) jika p, q bertanda sama, r adalah bilangan bulat positif.
(ii) jika p,q berlainan tanda, r adalah bilangan bulat negatif
Apabila dalam suatu operasi hitung campuran bilangan bulat terdapat tanda kurung, pengerjaan yang berada dalam tanda kurung harus dikerjakan terlebih dahulu.
Operasi hitung bilangan bulat diselesaikan berdasarkan sifat-sifat operasi hitung bilangan bulat berikut:
1) Operasi penjumlahan dan pengurangan sama kuat, artinya operasi yang terletak di sebelah kiri dikerjakan terlebih dahulu.
2) Operasi perkalian dan pembagian sama kuat, artinya operasi yang terletak di sebelah kiri dikerjakan terlebih dahulu.
3) Operasi perkalian dan pembagian lebih kuat dari pada operasi penjumlahan dan pengurangan, artinya operasi perkalian dan pembagian dikerjakan terlebih dahulu dari pada operasi penjumlahaan dan pengurangan.
Contoh :
Tentukan hasil dari operasi hitung bilangan bulat berikut ini. a. b. Penyelesaian: a. = = = = 2344
b. ( ) = = -5
f. Penggunaan operasi hitung pada bilangan bulat untuk menyelesaikan masalah
Contoh :
1) Pada percobaan fisika, seorang siswa melakukan pengukuran pada sebongkah es. Suhu es tersebut mula-mula . Setelah dipanaskan, es berubah menjadi air yang bersuhu . Berapa kenaikan suhu es tersebut?
Penyelesaian :
Suhu es mula-mula . Setelah dipanaskan, es berubah menjadi air yang bersuhu . Artinya, suhu es mengalami kenaikan. Misalkan kenaikan suhu es tersebut = t, maka kondisi ini dapat dituliskan sebagai t = 3 – ( 5) = 8. Jadi, suhu es naik hingga berubah menjadi air.
2) Dalam suatu tes, penilaian didasarkan pada aturan bahwa jawaban benar diberi nilai 2, jawaban salah diberikan nilai , dan untuk soal yang tidak dijawab diberikan nilai 0. Dari 30 soal, seorang siswa menjawab 25 soal dan 19 diantaranya dijawab dengan benar. Berapakah nilai yang diperoleh siswa tersebut?
Penyelesaian:
Dari 30 soal, siswa tersebut menjawab 25 soal, 19 soal dijawab dengan benar dan 6 soal dijawab salah. Dengan demikian, ada 5 soal yang tidak dijawab siswa.
NS ( ) ( ) 2 Keterangan:
Banyaknya jawaban benar Banyaknya jawaban salah
Banyaknya soal yang tidak dijawab Nilai yang diperoleh siswa
Jadi nilai yang diperoleh siswa tersebut adalah 32.