Operator-operator Fuzzy .1 Operasi Himpunan Crisp

Dalam hal ini, perbedaan antara 2 kurva:

)

2.3 Operator-operator Fuzzy 2.3.1 Operasi Himpunan Crisp

Pada logika tradisional, fungsi keanggotaan suatu himpunan terbagi atas 2 daerah, yaitu:

Gambar 2.42 Operasi himpunan crisp

Dengan kata lain, fungsi keanggotaan himpunan A bernilai nol (0), jika x bukan merupakan elemen dari himpunan A. Sebaliknya, fungsi keanggotaan A akan bernilai (1) jika x merupakan aggota A. keanggotaan himpunan crisp selalu dapat dikategorikan secara penuh tanpa ada dikotomi atau ambiguitas. Pada himpunan crisp, ada 4 operasi dasar seperti terlihat pada gambar 2.42.

Union dari himpunan A dan B (A∪B) berisi semua elemen yang berada pada himpunan A atau himpunan B. interseksi dari himpunan A dan B (A∩B) berisi semua elemen yang berada pada himpunan A dan pada himpunan B.

2.3.2 Tipe Dasar Daerah untuk Operasi Himpunan Fuzzy

Seperti halnya himpunan konvensional, ada beberapa operasi yang didefinisikan secara khusus untuk mengkombinasi dan memodifikasi himpunan fuzzy. Berikut ini beberapa operasi logika fuzzy konvensional yang didefinisikan oleh zaedah:

Interseksi μ^B_A∩B^B = min (μ^BA^B[x], μ^BB^B[y]).

Union μ^B_A∪B^B = max (μ^BA^B[x], μ^BB^B[y]).

Komplemen μ^BA’^B = 1-μ^BA^B[x]

Karena himpunan fuzzy tidak dapat dibagi dengan tepat seperti halnya pada himpunan crisp, maka operasi-operasi ini diaplikasikan pada tingkat keanggotaan.

Suatu elemen dikatakan menjadi anggota himpunan fuzzy jika:

1. Berada pada domain himpunan tersebut.

2. Nilai kebenaran keanggotaannya ≥ 0.

3. Berada di atas ambang α-cut yang berlaku.

2.3.2.1 Interseksi Himpunan Fuzzy

Pada sistem crisp, interseksi antara 2 himpunan berisi elemen-elemen yang berada pada kedua himpunan. Hal ini ekuivalen dengan operasi aritmetik atau logika AND. Pada logika fuzzy konvensional, operator AND diperlihatkan dengan derajat keanggotaan minimum antar kedua himpunan. Tabel 2.1 menunjukkan nilai fuzzy AND untuk merepresentasikan keanggotaan x dan y.

Tabel 2.1 Tabel kebenaran operator Zaedah ‘AND’

Operator interseksi seringkali digunakan sebagai batasan antarseden dalam suatu aturan fuzzy, seperti:

IF x is A AND Y is B THEN z is C

Kekuatan nilai keanggotaan antara konsekuen z dan daerah fuzzy C ditentukan oleh kuat tidaknya premis atau anteseden. Kebenaran anteseden ini ditentukan oleh min (µ[x is A], µ[y is B]. Gambar 2.43 dan gambar 2.44

menunjukkan fungsi karakteristik untuk himpunan fuzzy SETENGAH BAYA yang diberikan sebagai berikut:

µ SETENGAH BAYA[x]= [umur ≥ 35 ∧ umur ≤ 45]

sehingga, keanggotaan himpunan ini adalah semua individu yang berada di antara umur 35 dan 45 tahun.

Gambar 2.43 Operasi himpunan crisp

Gambar 2.44 Representasi crisp: TINGGI

Fungsi karakteristik himpunan fuzzy TINGGI diberikan sebagai berikut:

µ TINGGI[x] = [tinggi badan ≥ 150]

yang berisi semua individu yang tinggi badannya lebih dari 150 cm.

Tabel 2.2 Profil dosen perguruan tinggi A dalam umur dan tinggi

Jika ditanyakan: anggota-anggota suatu sampel populasi dosen perguruan tinggi A yang termasuk SETENGAH BAYA dan TINGGI, maka harus dipilih suatu sampel kecil seperti terlihat pada tabel 2.2.

Pada logika Boolean, individu-individu yang termasuk SETENGAH BAYA dan TINGGI dapat dicari dengan menggunakan operator AND. Proses ini dapat divisualisasikan sebagai peng-AND-an bit pada vektor Boolean yang merepresentasikan kebenaran dari ekspresi himpunan karakteristik untuk tiap-tiap kategori seperti terlihat pada tabel 2.3.

Tabel 2.3 Vektor bit AND: SETENGAH BAYA dan TINGGI

Gambar 2.45 Representasi fuzzy: SETENGAH BAYA

Pada gambar 2.45 menunjukkan himpunan fuzzy SETENGAH BAYA.

Himpunan ini dimulai dari umur 25 tahun yang merupakan umur termuda dimana orang mendapatkan derajat keanggotaan terkecil untuk SETENGAH BAYA.

Kurva keanggotaan akan beranjak naik secara stabil hingga mencapai umur 40 tahun yang berarti benar-benar SETENGAH BAYA. Setelah melewati 40 tahun, kurva akan berangsur-angsur turun sehingga orang yang berumur 50 tahun hanya dikatakan SETENGAH BAYA secara lemah, dan orang yang berumur 55 tahun sudah tidak memiliki keanggotaan lagi pada himpunan fuzzy SETENGAH BAYA.

Berikut adalah aturan zaedah dasar untuk interseksi fuzzy, daerah antara 2 himpunan ditentukan oleh aplikasi operasi tersebut:

µA∩B = min(µA[x], µB[y])

Daerah yang diarsir pada gambar 2.46 menunjukkan daerah tersebut.

Gambar 2.46 Daerah interseksi himpunan fuzzy: TINGGI dan SETENGAH BAYA

2.3.2.2 Union Himpunan Fuzzy

Union dari 2 himpunan dibentuk dengan menggunakan operator OR. Pada logika fuzzy konvensional, operator OR diperlihatkan dengan derajat keanggotaan minimum antar kedua himpunan. Tabel 2.4 menunjukkan nilai fuzzy OR untuk merepresentasikan keanggotaan x dan y.

Tabel 2.4 Tabel kebenaran operator Zaedah ‘OR’

Operator fuzzy OR jarang sekali digunakan dalam pemodelan sistem, karena operasi OR pada dasarnya dapat dibentuk sebagai gabungan dari 2 proposisi fuzzy.

Sebagai contoh:

IF x is A OR y is B THEN z is C Dapat dibentuk:

IF x is A THEN z is C IF y is B THEN z is C

Pada kedua kasus, kekuatan nilai keanggotaan antara konsekuen z dan daerah fuzzy C oleh max (µ[x is A], µ[y is B]. Seperti halnya pada operator AND, proses ini dapat divisualisasikan sebagai peng-OR-an bit pada vector Boolean yang merepresentasikan kebenaran dari ekspresi himpunan karakteristik untuk tiap-tiap kategori seperti terlihat pada tabel 2.5.

Tabel 2.5 Vektor bit OR: SETENGAH BAYA dan TINGGI

Untuk membangun himpunan fuzzy yang menggunakan union dari himpunan fuzzy SETENGAH BAYA dan himpunan fuzzy TINGGI, berikut ini digunakan aturan zaedah dasar untuk union fuzzy, daerah antara 2 himpunan ditentukan oleh aplikasi operasi tersebut:

μ^B_A∪B^B = max (μ^BA^B[x], μ^BB^B[y])

Daerah yang diarsir pada gambar 2.47 menunjukkan daerah tersebut.

Gambar 2.47 Daerah union himpunan fuzzy: TINGGI dan SETENGAH BAYA

2.3.2.3 Komplemen (negasi) Himpunan Fuzzy

Komplemen atau negasi suatu himpunan A berisi semua elemen yang tidak berada di A dan direpresentasikan dengan:

μ^BA’^B[x] = 1 - μ^BA^B[x]

Gambar 2.48 Komplemen himpunan crisp: TINGGI

Gambar 2.49 Komplemen himpunan crisp: TINGGI

Gambar 2.48 dan gambar 2.49 menunjukkan contoh komplemen untuk himpunan SETENGAH BAYA dan TINGGI

μ^BSETENGAH BAYA’^B[X] = [umur < 35 ∨ umur > 45]

Tabel 2.6 Vektor bit AN: SETENGAH BAYA’ dan TINGGI’

Yang menjadi pertanyaan adalah: yang manakah anggota populasi yang tidak tinggi dan juga tidak setengah baya? Interseksi ini dapat ditunjukkan dengan proyeksi vector bit dari tabel populasi seperti terlihat pada tabel 2.6. Pada logika, komplemen dihasilkan dengan cara menginversikan fungsi kebenaran untuk tiap-tiap titik pada himpunan fuzzy sebagai berikut:

μ^BA’^B[x] = 1 - μ^BA^B[x]

Gambar 2.50 dan gambar 2.51 menunjukkan komplemen himpunan fuzzy untuk TINGGI dan himpunan fuzzy SETENGAH BAYA.

Gambar 2.50 Komplemen himpunan fuzzy: TINGGI

Gambar 2.51 komplemen himpunan fuzzy: SETENGAH BAYA

Andaikan ada suatu aturan: x is NOT A dengan x adalah elemen dalam domain daerah fuzzy A, maka interseksi antara SETENGAH BAYA dan TINGGI memiliki keanggotaan:

μ^BSETENGAH BAYA’ ∩ TINGGI ’^B = min(μ^BSETENGAH BAYA’^B[x], μ^B TINGGI ’^B[y]).

Pada himpunan crisp, suatu daerah tidak akan memiliki interseksi dengan daerah yang menjadi komplemennya seperti terlihat pada gambar 2.52 dimana daerah TINGGI tidak akan beririsan dengan daerah TIDAK TINGGI (PENDEK). Namun tidak demikian dengan himpunan fuzzy. Pada gambar 2.53 terlihat adanya interseksi antara daerah TINGGI dan PENDEK (TINGGI‘), dimana suatu nilai domain dapat dikatakan TINGGI dan PENDEK.

Gambar 2.52 Interseksi komplemen crisp: TINGGI dan PENDEK

Gambar 2.53 Interseksi komplemen fuzzy: TINGGI dan PENDEK

Gambar 2.54 Daerah fuzzy ambiguous dalam suatu domain

Hal ini akan menyebabkan terjadinya ambiguitas. Sebagai contoh, pada definisis SETENGAH BAYA, ada seseorang yang termasuk baik SETENGAH BAYA maupun MUDA, ada pula orang yang termasuk kategori baik SETENGAH BAYA maupun TUA (gambar 2.54).

2.3.3 Operasi Non-Zaedah dan Pengganti

Operator AND, OR dan NOT dikatakan sebagai operator-operator pengganti (compensatory operators), jika operator-operator tersebut bekerja untuk menggantikan fungsi minimum, maksimum, dan komplemen yang bekerja secara kaku. Berikut ini adalah contoh operator-operator alternatif yang didefinisikan dalam bentuk fungsi:

Interseksi μ^B_{A ∩ B}^B = μ^BA*B^B = g^BAND^B (μ^BA^B[x], μ^BB^B[y], k) Union μ^B_A∪B^B = μ^BA*B^B = g^BOR^B (μ^BA^B[x], μ^BB^B[y], k) Komplemen μ^BA’^B = g^BCOMP^B (μ^BA^B[x], k)

Dengan fungsi g adalah operator klas (k: tipe operasi aljabar) yang merepresentasikan keluarga atau kelas yang berhubungan.

Ada 2 tipe operator alternatif, yaitu:

1. Operator alternatif yang didasarkan pada transformasi aritmetika, seperti:

mean, product, dan bounded sum.

2. Operator alternative yang didasarkan pada transformasi fungsi yang lebih kompleks, seperti: Klas Yager dan Sugeno.

2.3.3.1 Transformasi Aritmetika A. Operator Mean

Ada 2 kriteria yang harus diperhatikan untuk menggunakan operator mean, yaitu 1. tidak terlalu sensitif terhadap nilai minimum dan maksimum; 3.

distributif, urutan nilai kebenaran yang dievaluasi tidak mempengaruhi operasi.

Rumus yang digunakan:

Interseksi: μ^BA ∩ B^B = (μ^BA^B[x] + μ^BB^B[y])/2

Union μ^BA∪B^B = [2*min(μ^BA^B[x],μ^BB^B[y]) +4*max(μ^BA^B[x],μ^BB^B[y])]/6

B. Operator Intensified Mean

Operator intensified Mean dilambangkan dengan MEAN^P²^P. Operator ini digunakan untuk menyangatkan, misalkan: AMAT atau SANGAT.

C. Operator Diluted Mean

Operator Diluted Mean dilambangkan dengan MEAN^P^1/2^P. Operator ini digunakan untuk melemahkan, misalkan: AGAK atau SEDIKIT.

D. Operator Product

Rumus yang digunakan:

Interseksi: μ^BA ∩ B^B = μ^BA^B[x] * μ^BB^B[y]

Union μ^B_A∪B^B = (μ^BA^B[x] + μ^BB^B[y]) – (μ^BA^B[x] * μ^BB^B[y])

E. Operator Bounded Product

Operasi Bounded Product ini akan memfilter nilai keanggotaan yang rendah yang dirumuskan sebagai berikut:

A?B = max (0, μ^BA^B[x] + μ^BB^B[y] – 1)

F. Operator Bounded Sum

Operasi Bounded Sum ini akan memfilter nilai keanggotaan yang tinggi yang dirumuskan sebagai berikut:

A ⊕ B = min (1, μ^BA^B[x] + μ^BB^B[y])

G. Operator Drastic product

Operasi Drastic product antar 2 himpunan fuzzy A dan B masing-masing dengan fungsi keanggotaan μ^BA⊗B^B[x] yang didefinisikan sebagai berikut:

[ ]

⎪

H. Operator Concentration

Operator Concentration dirumuskan sebagai:

μ^BCON(A)^B[x] = (μ^BA^B[x])^P²^P

Operator ini digunakan untuk menyangatkan, misalkan: AMAT atau SANGAT.

I. Operator Dilation

Operator Dilation dirumuskan sebagai:

μ^BDIL(A)^B[x] = (μ^BA^B[x])^P^1/2^P

Operator ini digunakan untuk melemahkan, misalkan: AGAK atau SEDIKIT

J. Operator Intensification

Operator Intensification dirumuskan sebagai:

[ ]

⎪⎩

Operator ini digunakan untuk menyangatkan, misalkan: AMAT atau SANGAT.

2.3.3.2 Transformasi Fungsional

Ada beberapa operasi himpunan fuzzy yang dikembangkan oleh para peneliti logika fuzzy. Operasi-operasi ini sebagian besar tergantung pada suatu parameter transformasi klas.

A. Operator-operator Pengganti Yager

Operator-operator ini untuk pertama kalinya diperkenalkan oleh Ron Yager. Klas Yager menggunakan parameter k untuk merepresentasikan kekuatan atau bobot koneksi. Fungsi-fungsi yang menggunakan operator interseksi dan union Yager konvergen ke min/max Zadeh dimana nilai k sangat besar (mendekati tak terhingga).

Operator AND Yager

Operator AND Yager didasarkan pada akar ke-k dari jumlah perbedaan antara kebenaran keanggotaan himpunan sebagai berikut:

μ^BA ∩ B^B = 1 – min (1-μ^BA^B[x])^P^K^P + (1-μ^BB^B[x])^P^K^P)^P^1/K^P)

Jika nilai k kecil, maka nilai interseksinya akan memiliki fungsi kebenaran yang tinggi, hal ini sering disebut dengan hard intersection. Jika k sangat besar, maka interseksinya akan lebih kecil dan derajat kebenarannya juga akan semakin kecil hingga akan mencapai kestabilan pada minimum fungsi kebenaran. Hal ini

menunjukkan bahwa dengan hanya menggunakan satu tabel kebenaran dapat merepresentasikan efek dari interseksi dan union Yager.

Operator OR Yager

Operator OR Yager (seperti halnya operator AND Yager) didasarkan pada akar ke-k dari jumlah perbedaan antara kebenaran keanggotaan himpunan sebagai berikut:

μ^BA∪B^B = min (1, ((μ^BA^B[x])^P^K^P + (μ^BB^B[x])^P^K^P)^P^1/K^P)

Jika nilai k kecil, maka nilai interseksinya akan memiliki fungsi kebenaran yang rendah. Jika k sangat besar, maka inteseksinya akan lebih kecil dan derajat kebenarannya juga akan semakin kecil hingga akan mencapai kestabilan pada maksimum fungsi kebenaran.

Operator NOT Yager

Operator NOT Yager digunakan sebagai pengganti komplemen fuzzy yang direpresentasikan dengan rumus sebagai berikut:

¬μ^BA^B[x] = (1-μ^BA^B[x]^P^K^P)^P^1/K^P

Dimana k bernilai antara [>0, <5]. Klas fungsi ini akan memiliki bentuk standar Zaedah jika nilai k=1.

B. Operator-operator Klas Sugeno

Klas Sugeno memberikan alternatif operator untuk fungsi komplemen.

Seperti halnya komplemen Yager, komplemen Sugeno menempatkan suatu parameter klas yang menentukan kekuatan negasi, yang dirumuskan sebagai berikut:

Parameter klas Sugeno terletak pada [-1, ∞]. Jika k=0, maka komplemen Sugeno akan bernilai sama dengan komplmen standart Zadeh.

C. Operator Nilai Ambang NOT

Pada operator ini dapat diambil suatu nilai k sembarang dan membagi daerah menjadi 2 bagian, yaitu daerah keanggotaan dan nonkeanggotaan, yang dirumuskan sebagai berikut:

¬μ^BA^B(x;k) =

Komplemen fuzzy dapat juga direpresentasikan dengan menggunakan fungsi trigonometri cosinus, yang dirumuskan sebagai berikut:

¬μ^BA^B[x] = ½ (1+ cos (πμ^BA^B[x]))

2.3.4 Operator dan Hedge Secara Linguistik

Pada himpunan fuzzy pada dasarnya merupakan korespondensi antara suatu nilai linguistik seperti TINGGI dan suatu variabel linguistik seperti: ‘tinggi badan’. Hedge merupakan kata-kata yang bersifat menyangatkan atau melemahkan nilai suatu linguistik, seperti: lebih atau kurang, sangat, agak, terlalu dan sebagainya. Gambar 2.55 menunjukkan himpunan fuzzy TINGGI dan 3 hedge, yaitu ‘sangat’, ‘lebih atau kurang’ dan ‘tidak sangat’. Hedge ‘sangat’ dapat dibentuk dengan menggunakan operasi concentration, hedge ‘lebih atau kurang’

dibentuk dengan menggunakan operasi dilation, sedangkan hedge ‘tidak sangat’

dibentuk dengan menggunakan komplemen dari operasi concentration ‘sangat’.

Fuzzy hedge dapat didefinisikan secara berbeda tergantung dari aplikasi dan kebutuhannya seperti terlihat pada tabel 2.7.

Gambar 2.55 Himpunan fuzzy dengan hedge

Tabel 2.7 Hedge dan operator

2.3.4.1 Hedge Sangat

Misalkan ada suatu himpunan fuzzy TINGGI, maka hubungan fungsi keanggotaan antara TINGGI dan sangat TINGGI dapat dirumuskan sebagai:

μ^BTINGGI^B[x] ≥ μ^BSANGAT TINGGI^B[x]

Sehingga dengan menggunakan operasi concentration, didapat:

μ^BSANGAT A^B[x] = (μ^BA^B[x]^P²^P

Secara umum, hedge ‘sangat’ dapat dirumuskan sebbagai:

μ^BSANGAT A^B[x] = (μ^BA^B[x]^Pⁿ^P Dengan n > 1

2.3.4.2 Hedge Agak

Untuk himpunan fuzzy TINGGI, maka hubungan fungsi keanggotaan antara TINGGI dan agak TINGGI dapat dirumuskan sebagai:

μ^BTINGGI^B[x] ≤ μ^BAGAK TINGGI^B[x]

Sehingga dengan menggunakan operasi dilation, didapat:

μ^BAGAK A^B[x] = (μ^BA^B[x]^P^1/2^P

Secara umum, hedge ‘agak’ dapat dirumuskan sebagai:

μ^BAGAK A^B[x] = (μ^BA^B[x]^P^1/n^P Dengan n > 1

2.3.4.3 Hedge Pada Umumnya

Hedge ‘pada umumnya’ diperoleh dengan cara mengurangi semua nilai fungsi kebenaran di atas [0,5] dan menaikkan semua nilai fungsi kebenaran di bawah [0,5].

Untuk himpunan fuzzy TINGGI, maka hubungan fungsi keanggotaan antara TINGGI dan pada umumnya TINGGI dapat dirumuskan sebagai:

μ^BPADA UMUMNYA TINGGI^B[x] =

Secara umum, hedge ‘pada umumnya’ dapat dirumuskan:

μ^BPADA UMUMNYA TINGGI^B[x] =

2.4 Sistem Inferensi Fuzzy

Dalam dokumen 2. TEORI DASAR. Kotak Hitam. Gambar 2.1 Contoh pemetaan input-output (Halaman 28-47)