2. TEORI DASAR. Kotak Hitam. Gambar 2.1 Contoh pemetaan input-output

2.1 Pengertian Fuzzy Logic Control

Logika fuzzy merupakan suatu cara yang tepat untuk memetakan suatu ruang input ke dalam suatu ruang output. Antara input dan output terdapat suatu kotak hitam yang harus memetakan input ke output yang sesuai. Selama ini ada beberapa cara yang mampu untuk bekerja pada kotak hitam yaitu:

- Sistem fuzzy - Sistem linear - Sistem pakar - Jaringan syaraf

- Persamaan differensial

- Tabel interpolasi multi-dimensi

Ruang Input Kotak Hitam Ruang Output

Gambar 2.1 Contoh pemetaan input-output

Walaupun ada beberapa cara yang mampu bekerja dalam kotak hitam tersebut, namun fuzzy akan memberikan solusi yang paling baik. Ini disebabkan apabila menggunakan fuzzy akan lebih cepat dan lebih murah.

Beberapa alasan mengapa fuzzy logic digunakan antara lain:

1. Konsep logika fuzzy mudah dimengerti. Konsep matematis yang mendasari penalaran fuzzy sangat sederhana dan mudah dimengerti.

2. Logika fuzzy sangat fleksibel.

3. Logika fuzzy memiliki toleransi terhadap data-data yang tidak tepat.

4. Logika fuzzy mampu memodelkan fungsi-fungsi nonlinier yang sangat kompleks.

5. Logika fuzzy dapat membangun dan mengaplikasikan pengalaman- pengalaman para pakar secara langsung tanpa harus melalui proses pelatihan.

6. Logika fuzzy dapat bekerjasama dengan teknik-teknik kendali secara konvensional.

7. Logika fuzzy didasarkan pada bahasa alami.

Sebelum mengoperasikan logika fuzzy yang terdapat pada program MATLAB maka perlu diinstall TOOLBOX FUZZY terlebih dahulu. Adapun fungsi daripada fuzzy logic toolbox adalah memberikan fasilitas Graphical User Interface (GUI) untuk mempermudah dalam membangun sistem fuzzy. Ada 5 GUI tools yang dapat digunakan untuk membangun, mengedit dan mengobservasi sistem penalaran fuzzy yaitu:

• Fuzzy Inference System (FIS) Editor

• Membership Function Editor

• Rule Editor

• Rule Viewer

• Surface Viewer

Pada Fuzzy Inference System, Membership Function Editor dan Rule Editor dapat digunakan untuk membaca dan memodifikasi data yang ada sedangkan pada tool Rule Viewer dan Surface Viewer hanya dapat digunakan untuk membaca data saja dan tidak dapat dilakukan modifikasi data apabila terjadi kesalahan.

2.2 Himpunan Fuzzy

2.2.1 Himpunan Crisp dan Himpunan Fuzzy

Himpunan Crisp a didefinisikan oleh item-item yang ada pada himpunan itu. Jika a∈A, maka nilai yang berhubungan dengan a adalah 1. namun, jika a∉A, maka nilai yang berhubungan dengan a adalah 0. Notasi A = {x | P(x)}

menunjukkan bahwa A berisi item x dengan P(x) benar. Jika X^BA^B merupakan

fungsi karakteristik A dan property P, maka dapat dikatakan bahwa P(x) benar, jika dan hanya jika X^BA^B(x) = 1.

Himpunan fuzzy didasarkan pada gagasan untuk memperluas jangakuan fungsi karakteristik sedemikian hingga fungsi tersebut akan mencakup bilangan real pada interval [0,1]. Nilai keanggotaannya menunjukkan bahwa suatu item dalam semesta pembicaraan tidak hanya berada pada 0 atau 1, namun juga nilai yang terletak diantaranya. Dengan kata lain, nilai kebenaran suatu item tidak hanya bernilai benar atau salah. Nilai 0 menunjukkan salah, nilai 1 menunjukkan benar, dan masih ada nilai-nilai yang terletak antara benar dan salah.

2.2.2 Fungsi Keanggotaan

Fungsi keanggotaan (membership function) adalah suatu kurva yang menunjukkan pemetaan titik-titik input data ke dalam nilai keanggotaannya sering juga disebut dengan derajat keanggotaan) yang memiliki interval 0 sampai 1.

Gambar 2.2 Fungsi keanggotaan TINGGI secara tegas.

Gambar 2.3 Fungsi keanggotaan TINGGI secara kontinu.

Gambar 2.4 Himpunan Crisp SETENGAH BAYA

Gambar 2.5 Himpunan fuzzy SETENGAH BAYA

Terkadang kemiripan antara anggota fuzzy dengan probabilitas menimbulkan kerancuan. Keduanya memiliki nilai pada interval [0,1], namun interpretasi nilainya sangat berbeda antara kedua kasus tersebut. Keanggotaan fuzzy memberikan suatu ukuran terhadap pendapat atau keputusan, sedangkan

probabilitas mengindikasikan proporsi terhadap keseringan suatu hasil bernilai benar dalam jangka panjang.

2.2.3 Tinggi Himpunan Fuzzy dan Normalisasi

Tinggi himpunan fuzzy adalah derajat keanggotaan maksimumnya dan terikat pada konsep normalisasi. Sebagai contoh, gambar 2.6 dan gambar 2.7 masing-masing menunjukkan himpunan fuzzy, dekat dengan 4 dan dekat dengan 50.

Gambar 2.6 Himpunan fuzzy: DEKAT DENGAN 4

Tinggi himpunan fuzzy dekat dengan 4 adalah (1), sedangkan tinggi himpunan fuzzy dekat dengan 50 adalah 0,82. Himpunan fuzzy DEKAT DENGAN 4 disebut bentuk normal.

Gambar 2.7 Himpunan fuzzy: DEKAT DENGAN 50

Suatu himpunan fuzzy dikatakan memiliki bentuk normal maksimum (maximum normal form) jika paling sedikit satu elemennya memiliki nilai keanggotaan satu (1) dan satu elemennya memiliki nilai keanggotaan nol (0).

Suatu himpunan fuzzy dikatakan memiliki bentuk normal minimum (minimum normal form) jika paling sedikit satu elemennya memiliki nilai keanggotaan satu (1).

Gambar 2.8 DEKAT DENGAN 50 sebagai himpunan ternormalisasi

Pada pemodelan sistem fuzzy biasanya hanya dipusatkan pada bentuk normal minimum. Himpunan fuzzy dapat dinormalisasikan dengan cara mengatur semua nilai keanggotaannya secara proposional di sekitar nilai keanggotaan maksimum, seperti pada gambar di atas.

2.2.4 Domain Himpunan Fuzzy

Domain himpunan fuzzy adalah keseluruhan nilai yang diijinkan dalam semesta pembicaraan. Domain merupakan himpunan bilangan real yang senantiasa naik (bertambah) secara monoton dari kiri ke kanan. Nilai domain dapat berupa bilangan positif maupun negatif.

Biasanya domain memiliki batas atas dan batas bawah. Namun, pada konsep fuzzy bisa jadi domain ini bersifat open ended. Untuk merancang dan

membangun sistem fuzzy, ada beberapa hal yang perlu dipertimbangkan berhubungan dengan relasi antar domain.

Gambar 2.9 Pemetaan penyesuaian domain dalam 2 daerah fuzzy terhubung

2.2.5 Semesta Pembicaraan

Suatu model variabel fuzzy seringkali dideskripsikan dalam syarat-syarat ruang fuzzy-nya. Ruang ini biasanya tersusun atas beberapa himpunan fuzzy, himpunan-himpunan fuzzy yang overlap yang mana masing-masing himpunan fuzzy mendeskripsikan suatu arti tertentu dari variabel-variabel yang diijinkan dalam permasalahan.

Gambar 2.10 Semesta pembicaraan temperature turbin

Sebagai catatan, semesta pembicaraan tergabung dalam suatu model variabel, tidak tergabung dengan himpunan fuzzy tertentu (jangkauan suatu himpunan fuzzy disebut sebagai domain). Jangkauan yang diperbolehkan oleh variabel tersebut merupakan ruang permasalahan. Ruang ini tersusun dalam sejumlah daerah fuzzy yang overlap. Tiap-tiap daerah menunjukkan suatu syarat sedemikian hingga dapat diambil kesimpulan dalam model tersebut (hanya ditulis aturan yang berhubungan dengan daerah fuzzy dalam semesta pembicaraan variabel tersebut). Koleksi himpunan fuzzy yang berhubungan dengan suatu variabel sering disebut dengan nama himpunan syarat (term set).

2.2.6 Himpunan Penyokong (Support Set)

Terkadang bagian tidak nol dari suatu himpunan fuzzy tidak ditambahkan dalam domain. Sebagai contoh, domain untuk BERAT adalah 40kg hingga 60kg, namun kurva yang ada dimulai 42 hingga 58kg. Daerah ini yang disebut dengan himpunan penyokong (support set). Hal ini penting untuk menginterpretasikan dan mengatur daerah fuzzy yang dinamis.

Gambar 2.11 Support set untuk himpunan fuzzy BERAT

2.2.7 Nilai Ambang Alfa-Cut

Salah satu teknik yang erat hubungannya dengan himpunan penyokong adalah himpunan level-alfa (α-cut). Level-alfa ini merupakan nilai ambang batas domain yang didasarkan pada nilai keanggotaan untuk tiap-tiap domain.

Himpunan ini berisi semua nilai domain yang merupakan bagian dari himpunan fuzzy dengan nilai keanggotaan lebih besar atau sama dengan α.

Gambar 2.12 Nilai ambang α-cut untuk himpunan fuzzy BERAT

ƒ α-cut lemah dapat dinyatakan sebagai:

μ^BA^B(x) ≥ α

ƒ α-cut kuat dapat dinyatakan sebagai:

μ^BA^B(x) > α

Nilai ambang ini membatasi domain himpunan fuzzy. Sebagai contoh, untuk α- cut = 0,2, himpunan fuzzy BERAT dibatasi oleh domain 45kg hingga 60kg (gambar 2.12).

Ada 2 alasan, mengapa α-cut begitu berguna:

ƒ Pertama, α-cut kuat di nol (0) merupakan himpunan penyokong bagi suatu himpunan fuzzy. Dapat dibandingkan dengan mudah himpunan level-alfa yang dihasilkan oleh fungsi ini (gambar 2.12) dan himpunan penyokong untuk BERAT (gambar 2.13).

ƒ Kedua, himpunan level-alfa menunjukkan tenaga atau fungsi kekuatan yang digunakan oleh suatu model fuzzy untuk memutuskan ada tidaknya suatu nilai kebenaran yang harus dipertimbangkan, bernilai sama dengan nol.

Gambar 2.13 Himpunan penyokong BERAT sebagai suatu ambang α-cut

2.2.8 Membangkitkan Nilai Keanggotaan Fuzzy

Setelah mengetahui himpunan fuzzy, juga harus mengetahui bagaimana himpunan fuzzy tersebut mempresentasikan pengetahuan. Sebagai contoh, himpunan fuzzy TINGGI konsisten terhadap suatu garis lurus dari domain false ke true. Permukaan himpunan fuzzy, yang merupakan bagian dari himpunan tersebut yang mendefinisikan fungsi keanggotaan, dapat dibuat dalam berbagai bentuk.

Biasanya (tapi tidak selalu), permukaan tersebut berupa suatu garis kontinu yang bergerak dari kiri ke kanan. Kontur dari suatu himpunan fuzzy menunjukkan property semantic dari konsep fuzzy tersebut.

Gambar 2.14 DEKAT DENGAN 5 sebagai kurva lonceng

Gambar 2.15 DEKAT DENGAN 5 sebagai kurva segitiga

Gambar 2.14 menunjukkan konsep DEKAT DENGAN 5 yang dimodelkan dalam bentuk kurva lonceng. Gambar 2.15 juga menunjukkan konsep yang sama, hanya saja dimodelkan sebagai suatu ruang segitiga. Apabila kedua model tersebut digambarkan secara bersama-sama (gambar 2.16) akan terlihat sedikit berbeda.

Hal ini menunjukkan bahwa model fuzzy sensitif terhadap jenis pendeskripsian himpunan fuzzy.

Gambar 2.16 Perbedaan representasi DEKAT DENGAN 5

2.2.8.1 Representasi Linier

Pada representasi linier, permukaan digambarkan sebagai suatu garis lurus.

Bentuk ini paling sederhana dan menjadi pilihan yang baik untuk mendekati suatu konsep yang kurang jelas.

Ada 2 keadaan himpunan fuzzy yang linier:

ƒ Pertama, kenaikan himpunan dimulai pada nilai domain yang memiliki derajat keanggotaan nol (0) bergerak ke kanan menuju ke nilai domain yang memiliki derajat keanggotaan lebih tinggi.

Gambar 2.17 Representasi linier naik Fungsi keanggotaan:

[ ]

⎪⎩

⎪⎨

⎧

≥

≤

≤

−

−

≤

=

b x

b x a a

b a x

a x x

; 1

);

/(

) (

; 0 μ

ƒ Kedua, merupakan kebalikan yang pertama. Garis lurus dimulai dari nilai domain dengan derajat keanggotaan tertinggi pada sisi kiri, kemudian bergerak menurun ke nilai domain yang memiliki derajat keanggotaan lebih rendah.

Gambar 2.18 Representasi linier turun

Fungsi keanggotaan:

[ ]

⎩⎨⎧

≥

≤

≤

−

= −

b x

b x a a

b x x b

; 0

);

/(

) μ (

2.2.8.2 Representasi kurva Segitiga

Kurva segitiga pada dasarnya merupakan gabungan antara 2 garis (linier) seperti terlihat pada gambar 2.19.

Gambar 2.19 Kurva segitiga Fungsi keanggotaan:

[ ]

⎪

⎩

⎪⎨

⎧

≤

≤

−

−

≤

≤

−

−

≥

≤

=

c x b b

c x b

b x a a

b a x

c x atau a x x

);

/(

) (

);

/(

) (

; 0 μ

2.2.8.3 Representasi Kurva Trapesium

Kurva trapezium pada dasarnya seperti bentuk segitiga, hanya saja ada beberapa titik yang memiliki nilai keanggotaan 1 (gambar 2.20).

Gambar 2.20 Kurva trapesium Fungsi keanggotaan:

[ ]

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

≥

−

−

≤

≤

≤

≤

−

−

≥

≤

=

d x c

d x d

c x b

b x a a

b a x

d x atau a x x

);

/(

) (

; 1

);

/(

) (

; 0 μ

2.2.8.4 Representasi Kurva Bentuk Bahu

Daerah yang terletak di tengah-tengah suatu variabel yang direpresentasikan dalam bentuk segitiga, pada sisi kanan dan kirinya akan naik dan turun (misalkan: DINGIN bergerak ke SEJUK bergerak ke HANGAT dan bergerak ke PANAS). Tetapi terkadang salah satu sisi dari variabel trsebut tidak mengalami perubahan. sebagai contoh, apabila telah mencapai kondisi PANAS, kenaikan temperatur akan tetap berada pada kondisi PANAS. Himpunan fuzzy ‘bahu’, bukan segitiga, digunakan untuk mengakhiri variabel suatu daerah fuzzy. Bahu kiri bergerak dari benar ke salah, demikian juga bahu kanan bergerak dari salah ke benar. Gambar 2.21 menunjukkan variabel TEMPERATUR dengan daerah bahunya.

Gambar 2.21 Daerah ‘bahu’ pada variabel TEMPERATUR

2.2.8.5 Representasi Kurva-S

Kurva PERTUMBUHAN dan PENYUSUTAN merupakan kurva-S atau sigmoid yang berhubungan dengan kenaikan dan penurunan permukaan secara tak linier.

Kurva-S untuk PERTUMBUHAN akan bergerak dari sisi paling kiri (nilai keanggotaan = 1). Fungsi keanggotaannya akan tertumpu pada 50% nilai keanggotaannya yang sering disebut dengan titik infleksi (gambar 2.22).

Gambar 2.22 Himpunan fuzzy dengan kurva-S PERTUMBUHAN

Kurva-S untuk PENYUSUTAN akan bergerak dari sisi paling kanan (nilai keanggotaan = 1) ke sisi paling kiri (nilai keanggotaan = 0) seperti terlihat pada gambar 2.23.

Gambar 2.23 Himpunan fuzzy dengan kurva-S PENYUSUTAN

Kurva-S didefinisikan dengan menggunakan 3 parameter, yaitu; nilai keanggotaan nol (α), nilai keanggotaan lengkap (γ), dan titik infleksi atau crossover (β) yaitu titik yang memiliki domain 50% benar. Gambar 2.24 menunjukkan karakeristik kurva-S dalam bentuk skema.

Gambar 2.24 Karakteristik fungsi kurva-S

Beberap sistem yang menggunakan kurva PERTUMBUHAN atau PENYUSUTAN, antara lain:

ƒ Tinggi atau berat badan

ƒ The mean time between failure (MTBF) suatu hard disk drive

ƒ Akselerasi jatuhnya suatu obyek

ƒ Pendapatan rata-rata di suatu daerah

ƒ Kecepatan pesawat tempur

Kurva-S juga digunakan untuk mempresentasikan ketergantungan proposional dan frekuensi.

2.2.8.6 Representasi Kurva Bentuk Lonceng (Bell Curve)

Untuk merepresentasikan bilangan fuzzy, biasanya digunakan kurva berbentuk lonceng. Kurva berbentuk lonceng ini terbagi atas 3 kelas yaitu;

himpunan fuzzy PI, beta, dan Gauss. Perbedaan ketiga kurva ini terletak pada gradiennya.

UBilangan-bilangan fuzzy

Sebagai contoh, kurva DEKAT DENGAN, akan menghasilkan fungsi keanggotaan:

X dekat dengan y

Yang akan mempresentasikan suatu ruang fuzzy yang mana semua bilangan dekat dengan Y. kurva ini terbatas untuk kasus menggunakan kurva PI, dan bisa juga menjadi tak terbatas pada kasus dengan menggunakan kurva beta dan Gauss.

Lebar dan gradien kurva lonceng ini menunjukkan derajat edekatan terhadap bilangan fuzzy tersebut.

Gambar 2.25 Himpunan fuzzy DEKAT DENGAN 5

Sebagai contoh, untuk suatu bilangan fuzzy pada konsep DEKAT DENGAN 5 seperti terlihat pada gambar 2.25.

UKuantitas dan jumlah fuzzy

Bilangan fuzzy juga dapat dipergunakan untuk menunjukkan konsep-konsep yang batasannya sangat lemah, seperti SEBAGIAN KECIL dan BEBERAPA.

Kuantitas BEBERAPA adakalanya akan overlap dengan SEBAGIAN KECIL seperti terlihat pada gambar 2.26. arah horisontal menunjukkan jumlah item yang akan diukur. Elemen himpunan fuzzy BEBERAPA akan memiliki derajat keanggotaan 1 jika jumlah item yang ada sebanyak 5 buah.

Gambar 2.26 Kuantitas fuzzy SEBAGIAN KECIL dan BEBERAPA

UKurva PI

Kurva Pi berbentuk lonceng dengan derajat keanggotaan 1 terletak pada pusat dengan domain (γ), dan lebar kurva (β) seperti terlihat pada gambar 2.27. Nilai kurva untuk suatu nilai domain x diberikan sebagai:

Gambar 2.27 karakteristik fungsional kurva PI Fungsi keanggotaan:

⎪⎪

⎩

⎪⎪⎨

⎧

>

⎟ →

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ + +

−

≤

⎟ →

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ − −

∏

=

γ β

β γ γ γ

γ β γ

γ β γ γ

β

x x

S

x x

S x

2, ,

; 1

2, ,

; )

, , (

UKurva BETA

Seperti halnya kurva PI, kurva BETA juga berbentuk lonceng namun lebih rapat.

Kurva ini juga didefinisikan dengan 2 parameter, yaitu nilai pada domain yang

menunjukkan pusat kurva (γ), dan setengah lebar kurva (β) seperti terlihat pada gambar 2.28. Nilai kurva untuk suatu nilai domain x diberikan sebagai:

Gambar 2.28 Karakteristik fungsional kurva BETA

Fungsi keanggotaan:

2

1 ) 1 ,

; (

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝ +⎛ −

=

β β γ

γ

x x

B

Salah satu perbedaan mencolok kurva BETA dari kurva PI adalah, fungsi keanggotaannya akan mendekati nol hanya jika nilai (β) sangat besar.

UKurva GAUSS

Jika kurva PI dan kurva BETA menggunakan 2 parameter yaitu (γ) untuk menunjukkan nilai domain pada pussat kurva, dan (k) yang menunjukkan lebar kurva (gambar 2.29). Nilai kurva untuk suatu nilai domain x diberikan sebagai:

Gambar 2.29 Karakteristik fungsional kurva GAUSS Fungsi keanggotaan:

)2

)

(

,

;

( x k e

^{K Y X}

G γ =

^{− −}

UKoordinat keanggotaan

Himpunan fuzzy berisi urutan pasangan berurutan yang berisi nilai domain dan kebenaran nilai keanggotaannya dalam bentuk:

Scalar(i) / derajat(i)

‘skalar’ adalah suatu nilai yang digambar dari domain himpunan fuzzy sedangkan

‘derajat’ skalar merupakan derajat keanggotaan himpunan fuzzynya. Skalar dapat dispesifikasikan berdasarkan beberapa pesanan.

Gambar 2.30 titik-titik koordinat yang menunjukkan PENGENDARA BERESIKO TINGGI

Gambar 2.30 memperlihatkan koordinat yang menspesifikasikan titik-titik sepanjang domain himpunan fuzzy. Semua titik harus ada di domain, dan paling sedikit harus ada satu titik yang memiliki nilai kebenaran sama dengan 1.

2.2.9 Fungsi keanggotaan pada Toolbox Matlab

Matlab menyediakan beberapa tipe fungsi keanggotaan yang dapat digunakan. Tipe-tipe tersebut antara lain:

a. ^UTrimf

Fungsi ini berguan untuk membuat fungsi keanggotaan dengan kurva segitiga (gambar 2.31). Ada 3 parameter yang dapat digunakan, yaitu [a b c].

Gambar 2.31 grafik fungsi trimf

Fungsi keanggotaan:

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

≥

≤

≤

−

−

≤

≤

−

−

≤

=

c x

c x b b

c x c

b x a a

b a x

a x c

b a x f

; 0

);

/(

) (

);

/(

) (

; 0 ) , ,

; (

b. ^UTrapmf

Fungsi ini berguna untuk membuat fungsi keanggotaan dengan kurva trapezium (gambar 2.32). Ada 4 parameter yang dapat digunakan yaitu [a b c d].

Gambar 2.32 Output perintah dalam contoh

Fungsi keanggotaan:

⎪⎪

⎪

⎩

⎪⎪

⎪

⎨

⎧

≥

≤

≤

−

−

≤

≤

≤

≤

−

−

≤

=

d x

d x c c

d x d

c x b

b x a a

b a x

a x

d c b a x f

; 0

);

/(

) (

; 1

);

/(

) (

; 0

) , , ,

; (

c. ^UGbellmf

Gambar 2.33 Grafik fungsi gbellmf Parameter: [a b c]

Fungsi keanggotaan:

b

a c x c

b a x

f ₂

1 ) 1 , , ,

;

( −

+

=

Parameter biasanya positif.

d. ^UGaussmf

Gambar 2.34 Garfik fungsi gaussmf Parameter: [sig c]

Fungsi keanggotaan:

2 2

2 ) (

) ,

;

( σ ^σ

c x

c

c x f

−

−

=

e. Gauss2mf

Gambar 2.35 Grafik fungsi gauss2mf Parameter: [sig1 c1 sig2 c2]

Fungsi keanggotaan:

2 2

2 ) ( 1

) ,

;

( σ ^σ

c x

e

c x f

−

=

Fungsi gauss2mf merupakan kombinasi antara 2 kurva. Kurva pertama ada di sebelah kiri. Daerah antara c1 dan c2 harus bernilai 1.

f. Pimf

Gambar 2.36 Grafik fungsi pimf Parameter: [a b c d]

Fungsi keanggotaan:

) ,

; (

* ) ,

; ( )

, , ,

;

(x a b c d smf x a b zmf x c d

f =

g. Sigmf

Gambar 2.37 Grafik fungsi sigmf Fungsi keanggotaan:

)

1

(

)

1

,

;

( a x c

c

c

a x

f _{− −}

= +

Parameter a dapat bernilai positif maupun negatif.

h. Smf

Gambar 2.38 Grafik fungsi smf Parameter: [a b]

Fungsi keanggotaan:

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

≥

≤

≤ +

−

−

−

+

≤

≤

−

−

≤

=

b x

b x b

a a

b x b

b a x a a

b a x

a x b

a x f

; 1

2 / ) (

; )]

/(

) [(

2 1

2 / ) (

; )]

/(

) [(

2

; 0 ) ,

;

( 2

2

i. Zmf

Gambar 2.39 Grafik fungsi zmf Parameter: [a b]

Fungsi keanggotaan:

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

≥

≤

≤ +

−

−

+

≤

≤

−

−

−

≤

=

b x

b x b

a a

b x b

b a x a a

b a x

a x b

a x f

; 0

2 / ) (

; )]

/(

) [(

2

2 / ) (

; )]

/(

) [(

2 1

; 1 ) ,

;

( ₂

2

j. Dsigmf

Gambar 2.40 Grafik fungsi dsigmf Parameter: [a1 c1 a2 c2]

Fungsi keanggotaan:

) (

) 1 ,

;

( _{a x c}

e c a

a x

f _{− −}

= +

Dalam hal ini, perbedaan antara 2 kurva:

) ,

; ( ) ,

;

( _{1 1 2 2 2}

1 x a c f x a c

f −

k. Psigmf

Gambar 2.41 Grafik fungsi psigmf Parameter: [a1 c1 a2 c2]

Fungsi keanggotaan:

)

1 (

) 1 ,

;

( _{a x c}

c e a x

f _{− −}

= +

Dalam hal ini, perbedaan antara 2 kurva:

) ,

; (

* ) ,

;

( _{1 1 2 2 2}

1 x a c f x a c

f

2.3 Operator-operator Fuzzy 2.3.1 Operasi Himpunan Crisp

Pada logika tradisional, fungsi keanggotaan suatu himpunan terbagi atas 2 daerah, yaitu:

0 ] [x =

μA , jika x ∉ A atau 1

] [x =

μA , jika x ∈ A

Gambar 2.42 Operasi himpunan crisp

Dengan kata lain, fungsi keanggotaan himpunan A bernilai nol (0), jika x bukan merupakan elemen dari himpunan A. Sebaliknya, fungsi keanggotaan A akan bernilai (1) jika x merupakan aggota A. keanggotaan himpunan crisp selalu dapat dikategorikan secara penuh tanpa ada dikotomi atau ambiguitas. Pada himpunan crisp, ada 4 operasi dasar seperti terlihat pada gambar 2.42.

Union dari himpunan A dan B (A∪B) berisi semua elemen yang berada pada himpunan A atau himpunan B. interseksi dari himpunan A dan B (A∩B) berisi semua elemen yang berada pada himpunan A dan pada himpunan B.

2.3.2 Tipe Dasar Daerah untuk Operasi Himpunan Fuzzy

Seperti halnya himpunan konvensional, ada beberapa operasi yang didefinisikan secara khusus untuk mengkombinasi dan memodifikasi himpunan fuzzy. Berikut ini beberapa operasi logika fuzzy konvensional yang didefinisikan oleh zaedah:

Interseksi μ^B_A∩B^B = min (μ^BA^B[x], μ^BB^B[y]).

Union μ^B_A∪B^B = max (μ^BA^B[x], μ^BB^B[y]).

Komplemen μ^BA’^B = 1-μ^BA^B[x]

Karena himpunan fuzzy tidak dapat dibagi dengan tepat seperti halnya pada himpunan crisp, maka operasi-operasi ini diaplikasikan pada tingkat keanggotaan.

Suatu elemen dikatakan menjadi anggota himpunan fuzzy jika:

1. Berada pada domain himpunan tersebut.

2. Nilai kebenaran keanggotaannya ≥ 0.

3. Berada di atas ambang α-cut yang berlaku.

2.3.2.1 Interseksi Himpunan Fuzzy

Pada sistem crisp, interseksi antara 2 himpunan berisi elemen-elemen yang berada pada kedua himpunan. Hal ini ekuivalen dengan operasi aritmetik atau logika AND. Pada logika fuzzy konvensional, operator AND diperlihatkan dengan derajat keanggotaan minimum antar kedua himpunan. Tabel 2.1 menunjukkan nilai fuzzy AND untuk merepresentasikan keanggotaan x dan y.

Tabel 2.1 Tabel kebenaran operator Zaedah ‘AND’

Operator interseksi seringkali digunakan sebagai batasan antarseden dalam suatu aturan fuzzy, seperti:

IF x is A AND Y is B THEN z is C

Kekuatan nilai keanggotaan antara konsekuen z dan daerah fuzzy C ditentukan oleh kuat tidaknya premis atau anteseden. Kebenaran anteseden ini ditentukan oleh min (µ[x is A], µ[y is B]. Gambar 2.43 dan gambar 2.44

menunjukkan fungsi karakteristik untuk himpunan fuzzy SETENGAH BAYA yang diberikan sebagai berikut:

µ SETENGAH BAYA[x]= [umur ≥ 35 ∧ umur ≤ 45]

sehingga, keanggotaan himpunan ini adalah semua individu yang berada di antara umur 35 dan 45 tahun.

Gambar 2.43 Operasi himpunan crisp

Gambar 2.44 Representasi crisp: TINGGI

Fungsi karakteristik himpunan fuzzy TINGGI diberikan sebagai berikut:

µ TINGGI[x] = [tinggi badan ≥ 150]

yang berisi semua individu yang tinggi badannya lebih dari 150 cm.

Tabel 2.2 Profil dosen perguruan tinggi A dalam umur dan tinggi

Jika ditanyakan: anggota-anggota suatu sampel populasi dosen perguruan tinggi A yang termasuk SETENGAH BAYA dan TINGGI, maka harus dipilih suatu sampel kecil seperti terlihat pada tabel 2.2.

Pada logika Boolean, individu-individu yang termasuk SETENGAH BAYA dan TINGGI dapat dicari dengan menggunakan operator AND. Proses ini dapat divisualisasikan sebagai peng-AND-an bit pada vektor Boolean yang merepresentasikan kebenaran dari ekspresi himpunan karakteristik untuk tiap-tiap kategori seperti terlihat pada tabel 2.3.

Tabel 2.3 Vektor bit AND: SETENGAH BAYA dan TINGGI

Gambar 2.45 Representasi fuzzy: SETENGAH BAYA

Pada gambar 2.45 menunjukkan himpunan fuzzy SETENGAH BAYA.

Himpunan ini dimulai dari umur 25 tahun yang merupakan umur termuda dimana orang mendapatkan derajat keanggotaan terkecil untuk SETENGAH BAYA.

Kurva keanggotaan akan beranjak naik secara stabil hingga mencapai umur 40 tahun yang berarti benar-benar SETENGAH BAYA. Setelah melewati 40 tahun, kurva akan berangsur-angsur turun sehingga orang yang berumur 50 tahun hanya dikatakan SETENGAH BAYA secara lemah, dan orang yang berumur 55 tahun sudah tidak memiliki keanggotaan lagi pada himpunan fuzzy SETENGAH BAYA.

Berikut adalah aturan zaedah dasar untuk interseksi fuzzy, daerah antara 2 himpunan ditentukan oleh aplikasi operasi tersebut:

µA∩B = min(µA[x], µB[y])

Daerah yang diarsir pada gambar 2.46 menunjukkan daerah tersebut.

Gambar 2.46 Daerah interseksi himpunan fuzzy: TINGGI dan SETENGAH BAYA

2.3.2.2 Union Himpunan Fuzzy

Union dari 2 himpunan dibentuk dengan menggunakan operator OR. Pada logika fuzzy konvensional, operator OR diperlihatkan dengan derajat keanggotaan minimum antar kedua himpunan. Tabel 2.4 menunjukkan nilai fuzzy OR untuk merepresentasikan keanggotaan x dan y.

Tabel 2.4 Tabel kebenaran operator Zaedah ‘OR’

Operator fuzzy OR jarang sekali digunakan dalam pemodelan sistem, karena operasi OR pada dasarnya dapat dibentuk sebagai gabungan dari 2 proposisi fuzzy.

Sebagai contoh:

IF x is A OR y is B THEN z is C Dapat dibentuk:

IF x is A THEN z is C IF y is B THEN z is C

Pada kedua kasus, kekuatan nilai keanggotaan antara konsekuen z dan daerah fuzzy C oleh max (µ[x is A], µ[y is B]. Seperti halnya pada operator AND, proses ini dapat divisualisasikan sebagai peng-OR-an bit pada vector Boolean yang merepresentasikan kebenaran dari ekspresi himpunan karakteristik untuk tiap-tiap kategori seperti terlihat pada tabel 2.5.

Tabel 2.5 Vektor bit OR: SETENGAH BAYA dan TINGGI

Untuk membangun himpunan fuzzy yang menggunakan union dari himpunan fuzzy SETENGAH BAYA dan himpunan fuzzy TINGGI, berikut ini digunakan aturan zaedah dasar untuk union fuzzy, daerah antara 2 himpunan ditentukan oleh aplikasi operasi tersebut:

μ^B_A∪B^B = max (μ^BA^B[x], μ^BB^B[y])

Daerah yang diarsir pada gambar 2.47 menunjukkan daerah tersebut.

Gambar 2.47 Daerah union himpunan fuzzy: TINGGI dan SETENGAH BAYA

2.3.2.3 Komplemen (negasi) Himpunan Fuzzy

Komplemen atau negasi suatu himpunan A berisi semua elemen yang tidak berada di A dan direpresentasikan dengan:

μ^BA’^B[x] = 1 - μ^BA^B[x]

Gambar 2.48 Komplemen himpunan crisp: TINGGI

Gambar 2.49 Komplemen himpunan crisp: TINGGI

Gambar 2.48 dan gambar 2.49 menunjukkan contoh komplemen untuk himpunan SETENGAH BAYA dan TINGGI

μ^BSETENGAH BAYA’^B[X] = [umur < 35 ∨ umur > 45]

Tabel 2.6 Vektor bit AN: SETENGAH BAYA’ dan TINGGI’

Yang menjadi pertanyaan adalah: yang manakah anggota populasi yang tidak tinggi dan juga tidak setengah baya? Interseksi ini dapat ditunjukkan dengan proyeksi vector bit dari tabel populasi seperti terlihat pada tabel 2.6. Pada logika, komplemen dihasilkan dengan cara menginversikan fungsi kebenaran untuk tiap- tiap titik pada himpunan fuzzy sebagai berikut:

μ^BA’^B[x] = 1 - μ^BA^B[x]

Gambar 2.50 dan gambar 2.51 menunjukkan komplemen himpunan fuzzy untuk TINGGI dan himpunan fuzzy SETENGAH BAYA.

Gambar 2.50 Komplemen himpunan fuzzy: TINGGI

Gambar 2.51 komplemen himpunan fuzzy: SETENGAH BAYA

Andaikan ada suatu aturan: x is NOT A dengan x adalah elemen dalam domain daerah fuzzy A, maka interseksi antara SETENGAH BAYA dan TINGGI memiliki keanggotaan:

μ^BSETENGAH BAYA’ ∩ TINGGI ’^B = min(μ^BSETENGAH BAYA’^B[x], μ^B TINGGI ’^B[y]).

Pada himpunan crisp, suatu daerah tidak akan memiliki interseksi dengan daerah yang menjadi komplemennya seperti terlihat pada gambar 2.52 dimana daerah TINGGI tidak akan beririsan dengan daerah TIDAK TINGGI (PENDEK). Namun tidak demikian dengan himpunan fuzzy. Pada gambar 2.53 terlihat adanya interseksi antara daerah TINGGI dan PENDEK (TINGGI‘), dimana suatu nilai domain dapat dikatakan TINGGI dan PENDEK.

Gambar 2.52 Interseksi komplemen crisp: TINGGI dan PENDEK

Gambar 2.53 Interseksi komplemen fuzzy: TINGGI dan PENDEK

Gambar 2.54 Daerah fuzzy ambiguous dalam suatu domain

Hal ini akan menyebabkan terjadinya ambiguitas. Sebagai contoh, pada definisis SETENGAH BAYA, ada seseorang yang termasuk baik SETENGAH BAYA maupun MUDA, ada pula orang yang termasuk kategori baik SETENGAH BAYA maupun TUA (gambar 2.54).

2.3.3 Operasi Non-Zaedah dan Pengganti

Operator AND, OR dan NOT dikatakan sebagai operator-operator pengganti (compensatory operators), jika operator-operator tersebut bekerja untuk menggantikan fungsi minimum, maksimum, dan komplemen yang bekerja secara kaku. Berikut ini adalah contoh operator-operator alternatif yang didefinisikan dalam bentuk fungsi:

Interseksi μ^B_{A ∩ B}^B = μ^BA*B^B = g^BAND^B (μ^BA^B[x], μ^BB^B[y], k) Union μ^B_A∪B^B = μ^BA*B^B = g^BOR^B (μ^BA^B[x], μ^BB^B[y], k) Komplemen μ^BA’^B = g^BCOMP^B (μ^BA^B[x], k)

Dengan fungsi g adalah operator klas (k: tipe operasi aljabar) yang merepresentasikan keluarga atau kelas yang berhubungan.

Ada 2 tipe operator alternatif, yaitu:

1. Operator alternatif yang didasarkan pada transformasi aritmetika, seperti:

mean, product, dan bounded sum.

2. Operator alternative yang didasarkan pada transformasi fungsi yang lebih kompleks, seperti: Klas Yager dan Sugeno.

2.3.3.1 Transformasi Aritmetika A. Operator Mean

Ada 2 kriteria yang harus diperhatikan untuk menggunakan operator mean, yaitu 1. tidak terlalu sensitif terhadap nilai minimum dan maksimum; 3.

distributif, urutan nilai kebenaran yang dievaluasi tidak mempengaruhi operasi.

Rumus yang digunakan:

Interseksi: μ^BA ∩ B^B = (μ^BA^B[x] + μ^BB^B[y])/2

Union μ^BA∪B^B = [2*min(μ^BA^B[x],μ^BB^B[y]) +4*max(μ^BA^B[x],μ^BB^B[y])]/6

B. Operator Intensified Mean

Operator intensified Mean dilambangkan dengan MEAN^P2P. Operator ini digunakan untuk menyangatkan, misalkan: AMAT atau SANGAT.

C. Operator Diluted Mean

Operator Diluted Mean dilambangkan dengan MEAN^P1/2P. Operator ini digunakan untuk melemahkan, misalkan: AGAK atau SEDIKIT.

D. Operator Product

Rumus yang digunakan:

Interseksi: μ^BA ∩ B^B = μ^BA^B[x] * μ^BB^B[y]

Union μ^B_A∪B^B = (μ^BA^B[x] + μ^BB^B[y]) – (μ^BA^B[x] * μ^BB^B[y])

E. Operator Bounded Product

Operasi Bounded Product ini akan memfilter nilai keanggotaan yang rendah yang dirumuskan sebagai berikut:

A?B = max (0, μ^BA^B[x] + μ^BB^B[y] – 1)

F. Operator Bounded Sum

Operasi Bounded Sum ini akan memfilter nilai keanggotaan yang tinggi yang dirumuskan sebagai berikut:

A ⊕ B = min (1, μ^BA^B[x] + μ^BB^B[y])

G. Operator Drastic product

Operasi Drastic product antar 2 himpunan fuzzy A dan B masing- masing dengan fungsi keanggotaan μ^BA⊗B^B[x] yang didefinisikan sebagai berikut:

[ ]

⎪

⎩

⎪⎨

⎧

<

=

=

⊗ =

1 ] [ ], [ 0

1 ] [ ]

[

1 ] [ ]

[

x x jika

x jika x

x jika x

B x A

B A A B

B A

μ μ μ μ

μ μ

μ

H. Operator Concentration

Operator Concentration dirumuskan sebagai:

μ^BCON(A)^B[x] = (μ^BA^B[x])^P2P

Operator ini digunakan untuk menyangatkan, misalkan: AMAT atau SANGAT.

I. Operator Dilation

Operator Dilation dirumuskan sebagai:

μ^BDIL(A)^B[x] = (μ^BA^B[x])^P1/2P

Operator ini digunakan untuk melemahkan, misalkan: AGAK atau SEDIKIT

J. Operator Intensification

Operator Intensification dirumuskan sebagai:

[ ]

⎪⎩

⎪⎨

⎧

≤

≤

−

−

≤

= ≤

1 ] [ 5 , 0 ) ] [ 1 ( 2 1

5 , 0 ] [ 0 )

] [ ( 2

2 2

)

( x x

x x x

A A

A A

A

INT μ μ

μ

μ μ

Operator ini digunakan untuk menyangatkan, misalkan: AMAT atau SANGAT.

2.3.3.2 Transformasi Fungsional

Ada beberapa operasi himpunan fuzzy yang dikembangkan oleh para peneliti logika fuzzy. Operasi-operasi ini sebagian besar tergantung pada suatu parameter transformasi klas.

A. Operator-operator Pengganti Yager

Operator-operator ini untuk pertama kalinya diperkenalkan oleh Ron Yager. Klas Yager menggunakan parameter k untuk merepresentasikan kekuatan atau bobot koneksi. Fungsi-fungsi yang menggunakan operator interseksi dan union Yager konvergen ke min/max Zadeh dimana nilai k sangat besar (mendekati tak terhingga).

Operator AND Yager

Operator AND Yager didasarkan pada akar ke-k dari jumlah perbedaan antara kebenaran keanggotaan himpunan sebagai berikut:

μ^BA ∩ B^B = 1 – min (1-μ^BA^B[x])^PKP + (1-μ^BB^B[x])^PKP)^P1/KP)

Jika nilai k kecil, maka nilai interseksinya akan memiliki fungsi kebenaran yang tinggi, hal ini sering disebut dengan hard intersection. Jika k sangat besar, maka interseksinya akan lebih kecil dan derajat kebenarannya juga akan semakin kecil hingga akan mencapai kestabilan pada minimum fungsi kebenaran. Hal ini

menunjukkan bahwa dengan hanya menggunakan satu tabel kebenaran dapat merepresentasikan efek dari interseksi dan union Yager.

Operator OR Yager

Operator OR Yager (seperti halnya operator AND Yager) didasarkan pada akar ke-k dari jumlah perbedaan antara kebenaran keanggotaan himpunan sebagai berikut:

μ^BA∪B^B = min (1, ((μ^BA^B[x])^PKP + (μ^BB^B[x])^PKP)^P1/KP)

Jika nilai k kecil, maka nilai interseksinya akan memiliki fungsi kebenaran yang rendah. Jika k sangat besar, maka inteseksinya akan lebih kecil dan derajat kebenarannya juga akan semakin kecil hingga akan mencapai kestabilan pada maksimum fungsi kebenaran.

Operator NOT Yager

Operator NOT Yager digunakan sebagai pengganti komplemen fuzzy yang direpresentasikan dengan rumus sebagai berikut:

¬μ^BA^B[x] = (1-μ^BA^B[x]^PKP)^P1/KP

Dimana k bernilai antara [>0, <5]. Klas fungsi ini akan memiliki bentuk standar Zaedah jika nilai k=1.

B. Operator-operator Klas Sugeno

Klas Sugeno memberikan alternatif operator untuk fungsi komplemen.

Seperti halnya komplemen Yager, komplemen Sugeno menempatkan suatu parameter klas yang menentukan kekuatan negasi, yang dirumuskan sebagai berikut:

¬μ^BA^B[x] =

] [ 1

] [ 1

x k

x

A A

μ μ +

−

Parameter klas Sugeno terletak pada [-1, ∞]. Jika k=0, maka komplemen Sugeno akan bernilai sama dengan komplmen standart Zadeh.

C. Operator Nilai Ambang NOT

Pada operator ini dapat diambil suatu nilai k sembarang dan membagi daerah menjadi 2 bagian, yaitu daerah keanggotaan dan nonkeanggotaan, yang dirumuskan sebagai berikut:

¬μ^BA^B(x;k) =

⎩⎨

⎧

≥

<

k x

k x

A A

] [ 0

] [ 1

μ μ

D. Fungsi Cosinus NOT

Komplemen fuzzy dapat juga direpresentasikan dengan menggunakan fungsi trigonometri cosinus, yang dirumuskan sebagai berikut:

¬μ^BA^B[x] = ½ (1+ cos (πμ^BA^B[x]))

2.3.4 Operator dan Hedge Secara Linguistik

Pada himpunan fuzzy pada dasarnya merupakan korespondensi antara suatu nilai linguistik seperti TINGGI dan suatu variabel linguistik seperti: ‘tinggi badan’. Hedge merupakan kata-kata yang bersifat menyangatkan atau melemahkan nilai suatu linguistik, seperti: lebih atau kurang, sangat, agak, terlalu dan sebagainya. Gambar 2.55 menunjukkan himpunan fuzzy TINGGI dan 3 hedge, yaitu ‘sangat’, ‘lebih atau kurang’ dan ‘tidak sangat’. Hedge ‘sangat’ dapat dibentuk dengan menggunakan operasi concentration, hedge ‘lebih atau kurang’

dibentuk dengan menggunakan operasi dilation, sedangkan hedge ‘tidak sangat’

dibentuk dengan menggunakan komplemen dari operasi concentration ‘sangat’.

Fuzzy hedge dapat didefinisikan secara berbeda tergantung dari aplikasi dan kebutuhannya seperti terlihat pada tabel 2.7.

Gambar 2.55 Himpunan fuzzy dengan hedge

Tabel 2.7 Hedge dan operator

2.3.4.1 Hedge Sangat

Misalkan ada suatu himpunan fuzzy TINGGI, maka hubungan fungsi keanggotaan antara TINGGI dan sangat TINGGI dapat dirumuskan sebagai:

μ^BTINGGI^B[x] ≥ μ^BSANGAT TINGGI^B[x]

Sehingga dengan menggunakan operasi concentration, didapat:

μ^BSANGAT A^B[x] = (μ^BA^B[x]^P2P

Secara umum, hedge ‘sangat’ dapat dirumuskan sebbagai:

μ^BSANGAT A^B[x] = (μ^BA^B[x]^PnP Dengan n > 1

2.3.4.2 Hedge Agak

Untuk himpunan fuzzy TINGGI, maka hubungan fungsi keanggotaan antara TINGGI dan agak TINGGI dapat dirumuskan sebagai:

μ^BTINGGI^B[x] ≤ μ^BAGAK TINGGI^B[x]

Sehingga dengan menggunakan operasi dilation, didapat:

μ^BAGAK A^B[x] = (μ^BA^B[x]^P1/2P

Secara umum, hedge ‘agak’ dapat dirumuskan sebagai:

μ^BAGAK A^B[x] = (μ^BA^B[x]^P1/nP Dengan n > 1

2.3.4.3 Hedge Pada Umumnya

Hedge ‘pada umumnya’ diperoleh dengan cara mengurangi semua nilai fungsi kebenaran di atas [0,5] dan menaikkan semua nilai fungsi kebenaran di bawah [0,5].

Untuk himpunan fuzzy TINGGI, maka hubungan fungsi keanggotaan antara TINGGI dan pada umumnya TINGGI dapat dirumuskan sebagai:

μ^BPADA UMUMNYA TINGGI^B[x] =

⎪⎩

⎪⎨

⎧

<

−

≥ 5 , 0 ] [

; ]) [ (

5 , 0 1

5 , 0 ] [

; ]) [ (

5 , 0

2 / 1 2 / 1

x x

x x

TINGGI TINGGI

TINGGI TINGGI

μ μ

μ μ

Secara umum, hedge ‘pada umumnya’ dapat dirumuskan:

μ^BPADA UMUMNYA TINGGI^B[x] =

⎪⎩

⎪⎨

⎧

<

−

≥ 5 , 0 ] [

; ]) [ (

5 , 0 1

5 , 0 ] [

; ]) [ (

5 , 0

/ 1 / 1

x x

x x

TINGGI n

TINGGI

TINGGI n

TINGGI

μ μ

μ μ

Dengan n > 1

2.4 Sistem Inferensi Fuzzy 2.4.1 Fungsi-fungsi Implikasi

Dalam sistem fuzzy, tiap-tiap aturan akan berhubungan dengan suatu relasi fuzzy. Ada dua jenis proposisi fuzzy yaitu conditional fuzzy proposition dan unconditional fuzzy proposition.

2.4.1.1 Conditional Fuzzy Proposition

Pada proposisi fuzzy ini ditandai dengan penggunaan pernyataan IF.

Secara umum rumus pernyataan IF ini adalah:

IF x is A THEN y is B

Variabel x dan y merupakan skalar sedangkan variabel A dan B adalah variabel linguistik. Proposisi yang mengikuti IF disebut anteseden sedangkan proposisi yang mengikuti pernyataan THEN disebut sebagai konsekuen.

Apabila dalam suatu proposisi menggunakan bentuk terkondisi maka ada dua fungsi implikasi yang dapat digunakan yaitu:

• Min (minimum). Fungsi ini akan memotong output himpunan fuzzy.

Gambar 2.56 menunjukkan salah satu contoh penggunaan fungsi min.

Gambar 2.56 Fungsi implikasi: MIN

• Dot (product). Fungsi ini akan menskala output himpunan fuzzy. Gambar 2.57 menunjukkan salah satu contoh penggunaan fungsi dot.

Gambar 2.57 Fungsi Implikasi: DOT

2.4.1.2 Unconditional Fuzzy Proposition

Pada proposisi jenis ini ditandai dengan tidak digunakannya pernyataan IF. Secara umum dapat dituliskan rumus yaitu:

x is A

Variabel x adalah skalar dan variabel A merupakan variabel linguistik.

Proposisi yang tak terkondisi selalu diaplikasikan dengan model pernyataan AND bergantung pada bagaimana proposisi tersebut diaplikasikan, bisa membatasi daerah output, bisa juga mendefiniskan default daerah solusi (jika tidak ada aturan terkondisi yang dieksekusi).

2.4.2 Penalaran Monoton

Metode penalaran secara monoton digunakan sebagai dasar untuk teknik implikasi fuzzy. Meskipun penalaran ini sudah jarang sekali digunakan, namun terkadang masih digunakan untuk penskalaan fuzzy. Jika 2 daerah fuzzy direlasikan dengan implikasi sederhana sebagai berikut:

IF x is A THEN y is B Transfer fungsi:

Y = f ((x,A),B)

Maka sistem fuzzy dapat berjalan tanpa harus melalui komposisi dan dekomposisi fuzzy. Nilai output dapat diestimasi secara langsung dari derajat keanggotaan yang berhubungan dengan antesedennya.

2.4.3 Komposisi Aturan-aturan Fuzzy Untuk Inferensi

Dalam komposisi inferensi fuzzy ini ada tiga metode yang digunakan yaitu max-min, additive dan probabilistic OR (probor).

2.4.3.1 Metode Max (Maximum)

Pada metode maksimum ini solusi himpunan fuzzy diperoleh dengan cara mengambil nilai maksimum aturan, kemudian menggunakannya untuk memodifikasi daerah fuzzy dan mengaplikasikannya ke output dengan menggunakan operator OR (union). Jika semua proposisi telah dievaluasi, maka output akan berisi suatu himpunan fuzzy yang merefleksikan konstribusi tiap-tiap proposisi. Secara umum dapat dituliskan dengan rumus sebagai berikut:

µ^Bsf^B[x^Bi^B] ← max (µ^Bsf^B[x^Bi^B], µ^Bkf^B[x^Bi^B] )

µ^Bsf^B[x^Bi^B] = nilai keanggotaan solusi fuzzy sampai aturan ke-i.

µ^Bkf^B[x^Bi^B] = nilai keanggotaan konsekuen fuzzy aturan ke-i.

Proses inferensi dengan menggunakan metode Max dalam melakukan komposisi aturan seperti terlihat pada gambar 2.58.

Apabila digunakan fungsi implikasi MIN maka metode komposisi ini sering disebut dengan nama MAX-MIN atau MIN-MAX atau MAMDANI.

Gambar 2.58 Komposisi aturan fuzzy: Metode Max

2.4.3.2 Metode Additive (Sum)

Pada metode ini, solusi himpunan fuzzy diperoleh dengan cara melakukan bounded-sum terhadap semua output daerah fuzzy. Secara umum dituliskan:

µ^Bsf^B[x^Bi^B] ← min (1, µ^Bsf^B[x^Bi^B], µ^Bkf^B[x^Bi^B] ) dengan:

µ^Bsf^B[x^Bi^B] = nilai keanggotaan solusi fuzzy sampai aturan ke-i.

µ^Bkf^B[x^Bi^B] = nilai keanggotaan konsekuen fuzzy aturan ke-i.

2.4.3.3 Metode Probabilistik

Pada metode ini, solusi himpunan fuzzy diperoleh dengan cara melakukan product terhadap semua output daerah fuzzy. Secara umum dituliskan:

µ^Bsf^B[x^Bi^B] ← (µ^Bsf^B[x^Bi^B] + µ^Bkf^B[x^Bi^B] ) – (µ^Bsf^B[x^Bi^B] * µ^Bkf^B[x^Bi^B] ) dengan:

µ^Bsf^B[x^Bi^B] = nilai keanggotaan solusi fuzzy sampai aturan ke-i.

µ^Bkf^B[x^Bi^B] = nilai keanggotaan konsekuen fuzzy aturan ke-i.

2.4.4 Defuzzifikasi

Adapun input dari proses defuzzifikasi adalah himpunan fuzzy yang diperoleh dari komposisi aturan-aturan fuzzy, sedangkan output yang dihasilkan merupakan suatu bilangan pada domain himpunan fuzzy tersebut. Sehingga apabila diberikan suatu himpunan fuzzy dalam range tertentu, maka harus dapat diambil suatu nilai crisp tertentu sebagai output seperti pada gambar 2.59. Ada beberapa metode defuzzifikasi pada komposisi aturan MAMDANI antara lain yaitu:

Gambar 2.59 Proses defuzzifikasi

2.4.4.1 Metode Centroid (Composite Moment)

Pada metode ini solusi crisp diperoleh dengan cara mengambil titik pusat daerah fuzzy. Secara umum dirumuskan sebagai berikut:

∫

=

∫

z z

dz z

dz z z

z ( )

) ( μ

μ

atau

∑

∑

=

= =_n j

j n

j

j j

z z z z

1 1

) (

) ( μ

μ

Gambar 2.60 Proses defuzzifikasi: Metode Centroid Ada dua keuntungan dengan menggunakan metode centroid yaitu:

• Nilai defuzzy akan bergerak secara halus sehingga perubahan dari suatu topologi himpunan fuzzy ke topologi berikutnya juga akan berjalan dengan halus.

• Mudah dihitung.

2.4.4.2 Metode Bisektor

Dengan menggunakan metode ini, maka solusi crisp diperoleh dengan cara mengambil nilai pada domain fuzzy yang memiliki nilai keanggotaan setengah dari jumlah total nilai keanggotaan pada daerah fuzzy. Secara umum dapat dituliskan dengan rumus sebagai berikut:

Z^Bp^B sedemikian sehingga

∫

ℜ =

∫

^ℜn

p

p (z)dz (z)dz

1μ μ

2.4.4.3 Metode Mean of Maximum (MOM)

Pada metode ini, solusi crisp diperoleh dengan cara mengambil nilai rata-rata domain yang memiliki nilai keanggotaaan maksimum.

2.4.4.4 Metode Largest of Maximum (LOM)

Metode ini, memperoleh solusi crisp dengan cara mengambil nilai terbesar dari domain yang memiliki nilai keanggotaan maksimum.

2.4.4.5 Metode Smallest of Maximum (SOM)

Metode ini memperoleh solusi crisp dengan cara mengambil nilai terkecil dari domain yang memiliki nilai keanggotaan maksimum.

2.4.5 Penalaran Fuzzy Metode Sugeno

Penalaran dengan metode Sugeno hampir sama dengan penalaran MAMDANI, hanya saja output (konsekuen) sistem tidak berupa himpunan fuzzy, melainkan berupa konstanta atau persamaan linier. Metode ini diperkenalkan oleh Takagi-Sugeno Kang pada tahun 1985.

2.4.5.1 Model Fuzzy Sugeno Orde-Nol

Secara umum bentuk model fuzzy SUGENO Orde-Nol adalah:

IF (X^B1^B is A^B1^B) • (X^B2^B is A^B2^B) • (X^B3^B is A^B3^B) • ….• (X^BN^B is A^BN^B) THEN z=k Dengan A^Bi ^B adalah himpunan fuzzy ke-i sebagai anteseden, dan k adalah suatu konstanta (tegas) sebagai konsekuen.

2.4.5.2 Model Fuzzy Sugeno orde-Satu

Secara umum bentuk model fuzzy SUGENO Orde-Satu adalah:

IF (X^B1^B is A^B1^B) • …. • (X^BN^B is A^BN^B) THEN z= p^B1^B * x^B1^B + … + p^BN^B * x^BN^B + q

Dengan A^Bi^B adalah himpunan fuzzy ke-i sebagai anteseden, dan p^Bi^B adalah suatu konstanta (tegas) ke-i dan q juga merupakan konstanta dalam konsekuen.

Apabila komposisi aturan menggunakan metode SUGENO, maka defuzzifikasi dilakukan dengan cara mencari nilai rata-ratanya.

Tabel 2.8 menunjukkan keuntungan-keuntungan dari metode MAMDANI dan metode SUGENO.

Tabel 2.8 Keuntungan metode MAMDANI dan SUGENO

2.4.6 Penalaran Fuzzy Metode Sugeno

Secara umum, di dalam logika fuzzy ada 5 langkah dalam melakukan penalaran, yaitu:

1. Memasukkan input fuzzy 2. Mengaplikasikan operator fuzzy 3. Mengaplikasikan metode implikasi 4. Komposisi semua output

5. Defuzzy

2.5 Simulink

Simulink merupakan software untuk modeling, simulating dan analyzing dynamic system. Sistem dapat berupa linier atau nonlinier yang dimodelkan dalam continuous time, sample time maupun kombinasi keduanya. Dengan simulink

dapat dibuat model secara cepat dan mudah. Untuk modeling, simulink menyediakan graphical user interface (GUI) untuk membangun model dalam blok diagram. Setelah membuat model dapat disimulasikan menggunakan metode integrasi.

2.5.1 Block Diagram

Pada simulink terdapat banyak sekali diagram blok. Beberapa diagram blok yang dipakai yaitu:

1. Gain block.

Gain block mengalikan input dengan suatu nilai konstan. Data input dan pengalinya dapat berupa scalar, vektor atau matrik.

Gain Block merepresentasikan persamaan matematik y = k.x

2. Sum block.

Sum block menambahkan atau mengurangi pada inputnya. Block ini dapat menambah atau mengurangi input scalar, vektor atau matrik.

Sum block merepresentasikan persamaan matematik c = a-b

3. Derivative block

Derivative block menghitung derivative dari input. Block ini merepresentasikan persamaan matematik

du dt

Dimana du adalah perubahan nilai input dan dt adalah perubahan terhadap waktu. Block menerima satu input dan mengeluarkan satu input pula.

4. Integrator

Integrator mengeluarkan output hasil intergral dari input dari waktu awal sampai kondisi tertentu. Persamaan direpresentasikan dengan

( )

t ⁼

∫

t^tu

( )

t dt⁺y y

0 0

Dimana y merupakan fungsi dari input dan inisial kondisi y^B0^B.

5. Constant

Constant block menghasilkan nilai real atau kompleks konstan. Block ini menghasilkan nilai scalar, vector, atau matriks.

6. And

And merupakan logical operator block. Dengan input 2 dan output 1.

7. Inport block

Inport block merupakan penghubung antara system yang di luar dengan system yang di dalam. Inport block umumnya dibuat untuk sebuah subsystem atau sebuah external input.

8. Outport

Outport merupakan penghubung dari sebuah system ke tempat outside system.

9. Product

Product block dapat terdiri dari satu atau lebih input. Jika terdapat satu input, output adalah semua elemen dari vector input. Apabila terdapat beberapa input, output adalah produk tiap-tiap elemen vector input.

10. Relation operator

Relation operator mengimplementasikan hubungan operasi seperti lebih kecil atau lebih besar, dsb. Juga membandingkan antara 2 input.

11. Saturation

Saturation menentukan batasan atas dan bawah sebuah signal. Jika nilai input berada di antara batas atas dan bawah maka nilai output akan sama dengan input. Tetapi apabila nilai input berada di luar batasan maka akan diambil batas tertinggi atau batas terendah.

12. Scope

Scope merupakan display scalar atau vector signal dalam metode analog yang tampil sebagai osiloskop.

13. Relay

Outputnya adalah satu dari dua nilai spesifik, berdasarkan nilai inputnya.

14. Display

Display menunjukkan nilai input pada icon ini.

15. Fcn

Fcn mengimplementasi sebuah fungsi menggunakan C language syntax.

Block ini dapat menerima input vector, tetapi menghasilkan output scalar.

16. Subsystem

Subsystem merepresentasikan sebuah subsystem dari system yang berisi subsystem tersebut.

17. Fuzzy logic controller

Fuzzy logic controller mengimplementasikan sebuah fuzzy interence system (FIS) dalam simulink.